Ricerca Operativa a.a : I appello

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1 Ricerca Operativa a.a : I appello (Prof. Fasano Giovanni) Università Ca Foscari Venezia - Sede di via Torino 14 gennaio 2016 Regole per l esame: la violazione delle seguenti regole comporta il ritiro dell elaborato e l allontanamento dello studente dall aula È necessario rispondere alle domande e risolvere gli esercizi usando esclusivamente i fogli distribuiti dal docente. Ogni risposta/calcolo deve essere opportunamente motivata/o dallo studente. È necessario scrivere Nome-Cognome-Matricola sul presente foglio e su ciascun foglio contenente le risposte dello studente (i fogli privi di tale informazione saranno cestinati e non considerati per la valutazione). In aggiunta, è necessario indicare (SI/NO) se il voto della Prova Intermedia (20 Novembre 2015) deve essere considerato dal docente. Il tempo complessivo per la prova è di 1h 20 : per gli studenti che hanno superato la Prova Intermedia; 3h 05 : per gli studenti che NON hanno superato la Prova Intermedia. È necessario risolvere gli esercizi e rispondere alle domande, secondo le seguenti modalità: gli studenti che hanno superato la Prova Intermedia devono risolvere/rispondere solo gli/alle esercizi/domande con (***); gli studenti che NON hanno superato la Prova Intermedia devono risolvere/rispondere tutti gli/le esercizi/domande; È vietato parlare durante la prova. È vietato usare durante la prova: testi, appunti, note, dispense, dispositivi cellulari, tablets, palmari, calcolatori/calcolatrici programmabili. Durante la prova non è possibile allontanarsi dall aula. Nome: Cognome: Matricola: Considerare la Prova Intermedia: SI NO

2 Esercizio 1 Un impresa edile deve pianificare il lavoro per l intera settimana corrente, provvedendo a chiamare in ciascun giorno un numero di manovali specifico. La settimana lavorativa consiste di 6 giorni (Lun, Mar, Mer, Gio, Ven, Sab). Il costo giornaliero per chiamare un manovale è riportato nella seguente tabella, per ogni giorno della settimana lavorativa Lun Mar Mer Gio Ven Sab Costo giornaliero (Euro) per manovale Per esigenze contrattuali, se vengono chiamati manovali in uno specifico giorno, per quel giorno deve essere pagato anche un costo addizionale come da tabella seguente Lun Mar Mer Gio Ven Sab Costo addizionale (Euro) Si formuli un modello di PL/PLI che minimizzi i costi di chiamata dei manovali, nell arco della settimana lavorativa corrente, tenendo conto dei seguenti vincoli: 1. il numero di manovali chiamati complessivamente nei primi tre giorni (Lun, Mar e Mer) deve essere non inferiore al numero di manovali chiamato complessivamente nei rimanenti giorni; 2. il numero di manovali occupati in ciascun giorno deve essere non inferiore al numero dei manovali chiamati nel giorno successivo; 3. per esigenze contrattuali il numero di manovali che lavora Mer deve superare rispettivamente di almeno 2 e 5 unità, il numero di manovali chiamati Gio e Ven; 4. per note regole di sicurezza sul lavoro, Sab non possono lavorare più del 30% dei manovali che hanno lavorato Gio. In aggiunta, la regione nella quale verranno svolti i lavori di edilizia richiede che almeno uno dei seguenti vincoli sia soddisfatto bisogna chiamare almeno 12 manovali il Gio; la somma dei manovali chiamati complessivamente Lun e Mar deve essere almeno di 25 unità. Per la scelta delle variabili possiamo usare la seguente: x i = numero di manovali assunti nel giorno i-simo, i = Lun,Mar,Mer,Gio,Ven,Sab y i = { 1 se xi > 0, i = Lun,Mar,Mer,Gio,Ven,Sab, 0 altrimenti α, β {0,1}, mentre per i vincoli e la funzione obiettivo risulta: min (55x 1 +55x 2 +70x 3 +65x 4 +60x 5 +90x 6 ) + (150y y y y y y 6 ) x 1 +x 2 +x 3 x 4 +x 5 +x 6 (ridondante!!!) x i x i+1, i = Lun,...,Ven x 3 x 4 +2 x 3 x 5 +5 x 6 0.3x 4 12 x 4 αm, M 1 25 x 1 x 2 βm, M 1 α+β 1 y i x i M, i = Lun,...,Sab x i 0, intera, i = Lun,...,Sab

3 Esercizio 2 (***) Si dica(motivandolo) se i vincoli del seguente problema di PL sono in forma canonica. In quest ultimo caso, a partire dalla soluzione di base ammissibile corrente si applichino (al più) le prime 2 iterazioni della fase II del Metodo del Simplesso. max 3x 1 +4x 2 x 6 +2x 7 x 8 2x 1 2x 2 +x 3 +x 4 x 8 = 7 x 1 +x 2 x 5 +x 6 = 5 x 0 Il problema ha i vincoli senz altro in forma canonica, essendo equivalente a l problema max 3x 1 +4x 2 +0x 3 +0x 4 +0x 5 x 6 +2x 7 x 8 2x 1 2x 2 +x 3 +x 4 x 8 = 7 x 1 +x 2 x 5 +x 6 = 5 x 0 in cui x 3 ed x 6 (oppure x 4 ed x 6 ) sono in base, e tutte le altre variabili sono fuori base. Inoltre è rk(a) = rk, b = Applicandoo quindi direttamente la Fase II del Metodo del Simplesso si ottiene alla prima iterazione ( ) ( ) essendo il vettore dei guadagni ridotti (cambiato di segno) pari a γ T = ( ). Si osservi ora che la colonna della matrice B 1 N relativa alla variabile fuori base x 7 risulta essere 0 0 0, ed essendo il corrispondente coefficiente di guadagno ridotto pari a +2 (i.e. -2 cambiato di segno), il problema risulterà illimitato superiormente. Per ispezione visiva si poteva già desumere quest ultimo risultato, osservando che la variabile x 7 compare solo nella funzione obiettivo (con coefficiente positivo) e nei vincoli di non-negatività. Pertanto, rendendo comunque grande la variabile x 7 si rimane nella regioneammissibile e si aumenta a piacere il valore della funzione obiettivo.

4 Esercizio 3 Si determini in IR 4 il numero massimo (possibile) di vertici del seguente poliedro. Successivamente, si determinino tali vertici (se esistono). x 2 10 x 2 x 3 2 2x 2 +x 4 7 x 1 +2x 4 1 Essendo n = 4 ed m = 5, il massimo numero possibile di vertici del poliedro sarà non superiore a m! n!(m n)! = 5! 4! = 5. Basterà pertanto considerare i seguenti 5 sistemi di uguaglianze: (I) in cui 2x 2 +x 4 = 7 P 1 = il quale soddisfa anche il quinto vincolo e si ha = 1 = Pertanto il punto P 1 è un vertice del poliedro. (II) in cui x 1 +2x 4 = 1 P 2 = il quale soddisfa anche il quinto vincolo e si ha = 1 = Pertanto il punto P 2 è un vertice del poliedro.

5 (III) in cui 2x 2 +x 4 = 7x 1 +2x 4 = 1 P 3 = il quale NON soddisfa anche il terzo vincolo. Pertanto il punto P 3 NON è un vertice del poliedro. (IV) in cui 2x 2 +x 4 = 7x 1 +2x 4 = 1 P 4 = il quale NON soddisfa anche il secondo vincolo. Pertanto il punto P 4 NON è un vertice del poliedro. (V) in cui 2x 2 +x 4 = 7x 1 +2x 4 = 1 che risulta un sistema lineare incompatibile (i.e. non ammette soluzione). Pertanto dal caso (V) non possono esserci ulteriori vertici.

6 Esercizio 4 (***) Dato il seguente grafo: verificare se il vettore di flusso è ammissibile, calcolare il massimo valore del flusso per il nodo s, ed indicare un taglio a capacità minima del grafo. Dopo una facile verifica il vettore di flusso corrente soddisfa sia i vincoli di capacità che i vincoli di conservazione, pertanto è ammissibile. Inoltre il valore del flusso iniziale è f 0 = 5. È possibile considerare i seguenti cammini aumentanti ed i relativi valori del flusso corrispondenti: P 1 = {s,1,6,t}, con δ = 2, da cui f 1 = f 0 +δ = 7 P 2 = {s,2,6,t}, con δ = 3, da cui f 2 = f 1 +δ = 10 P 3 = {s,1,2,6,5,t}, con δ = 2, da cui f 3 = f 2 +δ = 12 P 4 = {s,2,6,5,t}, con δ = 1, da cui f 4 = f 3 +δ = 13 P 5 = {s,2,4,t}, con δ = 1, da cui f 5 = f 4 +δ = 14 P 6 = {s,4,t}, con δ = 5, da cui f 6 = f 5 +δ = 19. Inoltre un taglio a capacià minima è dato dal seguente: W = {s}, W = {1,2,3,4,5,6,t}, che da un facile controllo soddisfa la condizione F(W, W) = C(W, W).

7 Domanda Scritta 1 Dato il problema di minimizzazione min f(x) x C con C convesso ed f : IR n IR, convessa su C, allora ogni minimo locale del problema è anche un minimo globale. Domanda Scritta 2 (***) Si enunci il Teorema Fondamentale della PL per il problema di massimizzazione max c T x Ax = b x 0, inoltre supponendo che (x B,x N ) sia una soluzione di base ammissibile, ed in corrispondenza si abbia A = (B.. N) e c = (cb,c N ), mostrare/dimostrare il criterio di illimitatezza.