Programmazione Matematica: VII La scomposizione di Dantzig Wolfe

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1 Programmazione Matematica: VII La scomposizione di Dantzig Wolfe Daniele Vigo D.E.I.S. Università di Bologna rev..0 Maggio 2004 Scomposizione di problemi Accade spesso che un problema PL di grande dimensione sia l unione di problemi più piccoli quasi indipendenti tra loro Es. matrice di incidenza nodi archi di un grafo N A N C N D N B N D { D D 2 D 3 N A { A 0 0 N B { 0 B 0 N C { 0 0 C Pmat.Rev.2

2 Scomposizione di problemi (2) I metodi di scomposizione cercano di sfruttare la struttura del problema per risolverlo mediante la risoluzione di problemi più piccoli (di dimensione A, B, C ) Esistono diverse tecniche di scomposizione Pmat.Rev.3 Scomposizione di Dantzig Wolfe Consideriamo un problema con due sottoproblemi n col. n 2 col. m 0 righe { D F b 0 m righe { m 2 righe { costi variabili A 0 c x 0 B f y b b 2 min z = c T x + f T y Dx + Fy = b 0 Ax = b By = b 2 x, y 0 Eq. di accoppiamento sottoproblemi Pmat.Rev.4

3 Sottoproblemi Consideriamo il sottoproblema A: Ax = b, x 0 Ogni punto ammissibile x del sottoproblema può essere espresso come combinazione convessa dei vertici x,, x p della regione ammissibile p x = λ x con λ 0 e λ = = p = analogamente per il sottoproblema B si ha: q y = µ y con µ 0 e µ = = q = Pmat.Rev.5 Sottoproblemi (2) Sostituiamo nel problema originale le rappresentazioni di x ed y in funzione dei vertici Diventa un problema nelle variabili λ e µ che sono tantissime ( per ogni vertice dei poliedri dei sottoproblemi). funzione obiettivo: min z = c T x + f T y diventa min z = ξ T λ + δ T µ ξ = c T x δ = d T y =,, p =,, q Pmat.Rev.6

4 Sottoproblemi (3) 2. Vincoli di accoppiamento: Dx + Fy = b 0 diventano λ + Φµ = b 0 = D x Φ = F y =,, p =,, q 3. Vincoli dei sottoproblemi sono sostituiti da p = λ = = µ = Pmat.Rev.7 q Sottoproblemi (4) Riassumendo la matrice dei vincoli diventa variabili λ λ p µ µ q m 0 righe { p Φ Φ q b 0 riga { 0 0 riga { 0 0 Pmat.Rev.8

5 Master Problem Il problema risultante è detto master problem min z = ξ T λ + δ T µ λ + Φµ = b 0 T λ = T µ= λ, µ 0 Il numero delle variabili è diventato enorme (=p+q) Il numero di vincoli però è diminuito da m 0 + m + m 2 a m Pmat.Rev.9 Vantaggi Per risolvere il master problem con il simplesso rivisto è sufficiente memorizzare una matrice di base di dimensione (m 0 + 3) 2 e non quella del problema completo (m 0 + m + m 2 + ) 2 Es. se m 0 = m = m 2 la memoria necessaria è ~/9 Usando il simplesso rivisto non è necessario gestire esplicitamente le p+q variabili (numero enorme) bastano solo quelle in base ed un modo efficiente per effettuare il pricing Pmat.Rev.0

6 Pricing Supponiamo di usare il simplesso rivisto per risolvere il master problem Ad ogni iterazione siano note le variabili duali (π,α,β) corrispondenti alla base corrente del master π = vettore corrispondente alle prime m 0 righe α, β = variabili corrispondenti agli ultimi due vincoli Il costo ridotto delle variabili λ è quindi ξ ' = ξ α 0 T [ π α β ] = ξ π =, K p, Pmat.Rev. Pricing (2) Una colonna è quindi appetibile se ξ π T < α Se ciò è verificato per almeno un vertice del sottoproblema A la corrispondente variabile x entra in base i vertici di A sono tantissimi, non vogliamo esaminarli tutti: cerchiamo il migliore min p (ξ π T ) se < α allora entra in base! Pmat.Rev.2

7 Pricing (3) Il problema è : min vertici di A (c T π T D) x minimizzare una funzione lineare sui vertici della regione ammissibile di un PL è un problema PL! Problema di pricing per λ : min (c T π T D) x Ax = b, x 0 Pricing per µ : min (d T π T F) y By = b 2, y 0 Pmat.Rev.3 Procedura di scomposizione procedure Dantzig Wolfe begin opt := false; it := 0; definisci la matrice K (it) ed azzerane la riga 0, contenente le variabili duali (π,α,β); while opt = false do begin /* Primo pricing */ risolvi il PL w = min{(c T π T D) x : Ax=b, x 0}; it := it+; if w < α then genera la colonna, pivot in K (it) ed aggiorna (π,α,β) else begin /* Secondo pricing */ risolvi il PL w = min{(d T π T F) y : By=b 2, y 0}; if w < β then genera la colonna, pivot in K (it) ed aggiorna (π,α,β) else opt := true; end end end. Pmat.Rev.4

8 Procedura di scomposizione (2) Il master, in base alla sua informazione globale invia al sottoproblema A un vettore di prezzi Il sottoproblema A, in base alla sua visione locale ed ai prezzi, risponde proponendo una soluzione che potrebbe migliorare il costo del master Il master compara il costo w di questa soluzione con il proprio prezzo α. Sew < α la proposta viene accettata e la colonna corrispondente alla soluzione viene fatta entrare in base (con il pivot si aggiornano anche i prezzi duali che sono la riga 0 di K (it) ) Pmat.Rev.5 Procedura di scomposizione (3) Altrimenti viene interrogato il sottoproblema B per ottenere una nuova proposta Finché almeno uno dei sottoproblemi produce una proposta valida il master trova un pivot appetibile Altrimenti si è trovata la soluzione ottima del problema complessivo Il vantaggio della scomposizione è principalmente nell occupazione di memoria Non si può dire nulla sul tempo (quante risoluzioni di sottoproblemi sono necessarie?) Pmat.Rev.6