Algoritmi generali per PLI

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Carmela Ranieri
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1 Programmazione Lineare Intera: Parte II: Algoritmo Cutting Planes Daniele Vigo D.E.I.S. Università di Bologna rev. 3.1 ottobre 23 Algoritmi generali per PLI Metodi esatti tradizionali (anni 6-oggi): Metodo dei piani di taglio (cutting planes) Branch-and-Bound Programmazione Dinamica Metodi esatti più avanzati (anni 9-oggi): Branch-and-Bound + Cutting planes = Branch-and-Cut Branch-and-Price/Column generation PLI-CP.2

2 Algoritmo Cutting Planes Sia P un problema di PLI C(P) = rilassamento continuo di P * = soluzione ottima di C(P) Un iperpiano α α si dice piano di taglio (cutting plane) se: 1. * non è più ammissibile (α * < α ) 2. nessuna soluzione intera del problema originale diventa non ammissibile (α α ammissibile e intera) PLI-CP.3 Algoritmo Cutting Planes (2) Piano di taglio non valido Piano di taglio valido * PLI-CP.4

3 Algoritmo Cutting Planes (3) Algoritmo cutting planes (P) begin 1. risolvi il rilassamento C(P) ottenendo * 2. if C(P) è illimitato o impossibile then stop; 3. while * non è intero do 4. determina un cutting plane α α ed aggiungilo ai vincoli di P 5. risolvi il rilassamento C(P) ottenendo * 6. if C(P) è impossibile then stop; 7. end while end PLI-CP.5 Algoritmo Cutting Planes (4) La procedura determina la soluzione ottima di P: C(P) contiene tutte e sole le soluzioni intere di P (più altre non intere) I tagli aggiunti non eliminano soluzioni intere C(P) e P hanno la stessa funzione obiettivo La procedura è molto efficace quando la soluzione ottima del problema C(P) non è troppo diversa da quella del problema P PLI-CP.6

4 Algoritmo Cutting Planes (5) SVANTAGGI : Il numero delle iterazioni del ciclo while non è polinomiale Il problema di PL da risolvere per C(P) diventa ad ogni iterazione sempre più grande lunghi tempi di calcolo Come si generano in modo automatico i piani di taglio? PLI-CP.7 Tagli di Gomory (1958) y R 1, y = ma {q intero: q y} Sia Y il tableau finale di C(P): Elementi del tableau y i, i =,,m; =,,n β = colonne nella base ottima B ; β( ) = -z riga del tableau i =,.,m si ha: y i = β () i + y i (α) yi A Β A Β A Β y i PLI-CP.8

5 i Tagli di Gomory (2) y = β y (α) β () i + () i + y i y i A A Β Β i intera intera () i + y i y i β (β ) A Β PLI-CP.9 (α ) ( β ) : A Β Tagli di Gomory (3) ( y i y i ) y i y i ( ) f i = y i y i (parte frazionaria di y i ); f i 1 : A Β f i f i taglio di Gomory corrispondente alla riga i (riga generatrice del taglio) PLI-CP.1

6 Tagli di Gomory (4) Moltiplicando per -1 ed aggiungendo una variabile slack f i + s = f i A Β Se si aggiunge al tableau finale di C(P) il taglio 1. non si elimina alcun punto intero ammissibile 2. il nuovo tableau contiene una base che : a) non è ammissibile per il primale b) è ammissibile per il duale PLI-CP.11 Tagli di Gomory (5) Dim: 1) il taglio è stato ottenuto esclusivamente imponendo a C(P) le condizioni di interezza 2.a) s è una nuova variabile base che, aggiunta a β, forma una base in cui s = - f i, inammissibile per il primale se y i non è intero; La soluzione corrente non è più ammissibile. 2.b) nella riga si aggiunge uno nella colonna di s la soluzione resta ammissibile per il duale Si prosegue con il simplesso duale. PLI-CP.12

7 Procedure Gomory begin rimuovi il vincolo di interezza da PLI PL ; call TWO_PHASE per PL e sia Y il tableau finale; if infeasible = false and unbounded = false then begin feasible := true; k := (contatore dei tagli ) while y i frazionario and feasible = true do PLI-CP.13 end begin scegli un i : y i è frazionario; k = k + 1 ; aggiungi al tableau l equazione A Β call DUAL_SIMPLEX ; f i + s = f if infeasible = true ( duale PL illimitato) then feasible := false (PLI impossibile ) end end i PLI-CP.14

8 Procedure Gomory Si può dimostrare che il metodo converge se a) si sceglie sempre la prima riga frazionaria b) si sceglie il pivot del simplesso duale secondo uno specifico metodo lessicografico PLI-CP.15 min = = 1, 2, interi 3, 4 interi PLI-CP.16

9 z / z -3/2 1/ /2 1 1/2 PLI-CP.17 -z 3/2 1 1/ /6-1/6 4 3/2 1 1/4 1/4 riga generatrice : 1 2 taglio: per sostituzione: / ¼ PLI-CP.18

10 2 Scegliendo la riga : s1 = taglio ottimo di PL PLI-CP z 3/2 1/4 1/ /6-1/6 4 3/2 1 1/4 1/4-1/2-1/4-1/4 s 1 1 PLI-CP.2

11 z 1 3 2/3 1-1/ s 1 1 2/3 1-4 riga generatrice : 1 (, 2, 3 intere ) taglio : 4 + s per sostituzione 1 2 PLI-CP.21 2 ottimo taglio 1 PLI-CP.22

12 Equazione del taglio: s s2 = s 1 s 2 -z /3 1-1/3 2/ s 2-2/3-2/3-2/ PLI-CP s 1 s 2 -z / / /2 3 4 PLI-CP.24

13 2 ottimo Soluzione ottima intera: 1 = 2 = 1 ; z = PLI-CP.25 2 min = = 1, 2, interi 3, 4 interi PLI-CP.26

14 2 Fase 1 : a ξ a a ξ /3 1/ /3 PLI-CP.27 2 Fase 2 : z -7/ / /3 2-1/3 PLI-CP.28

15 z -1/ / /3 2-1/3 Riga generatrice : taglio s1 = 2 3 PLI-CP s 1 - z -1/3 1 1/ /3 1-1/3 s 1-2/3-1/3 1 3 PLI-CP.3

16 s 1 - z s Duale illimitato primale impossibile PLI-CP taglio 1 PLI-CP.32

17 2 Quando il rilassamento PL è illimitato normalmente PLI è illimitato, ma in casi particolari può essere impossibile 2 1 PLI-CP.33

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