Parte IV: Rafforzamento di formulazioni e algoritmo dei piani di taglio

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1 Parte IV: Rafforzamento di formulazioni e algoritmo dei piani di taglio

2 Nozioni di geometria Definizione: Un vettore y R n è combinazione conica dei vettori { 1,, k } se esistono k coefficienti reali λ 1,,λ k tali che y = Σ λ i i, con λ i > 0, per ogni i = 1,,k. k i = 1 Definizione: Un vettore y R n è combinazione affine dei vettori { 1,, k } se esistono k coefficienti reali λ 1,,λ k tali che y = Σ λ i i, k con Σ λ i = 1. i = 1 Definizione: Un vettore y R n è combinazione convessa dei vettori { 1,, k } se esistono k coefficienti reali λ 1,,λ k tali che y = Σ λ i i, k con Σ λ i = 1 e λ i > 0, per ogni i = 1,,k. i = 1 k i = 1 k i = 1

3 Nozioni di geometria Definizione: Dato un insieme S R n, l involucro convesso di S, conv(s), è l insieme di tutti i vettori ottenibili come combinazione convessa di sottoinsiemi finiti di vettori di S. Definizione: Dato un insieme convesso S, un vettore y S si dice estremo se e solo se esso non è ottenibile come combinazione convessa di altri vettori in S. Definizione: Un poliedro P = { R n : A < b} è un insieme convesso con un numero finito di punti estremi detti vertici di P.

4 Nozioni di geometria Definizione: Una disequazione a T < α è valida per il poliedro P = { R n : A < b} se e solo se P { R n : a T < α}, ovvero se e solo se la disequazione è soddisfatta da tutte le soluzioni ammissibili del sistema A < b (diremo che a T < α è implicata dal sistema A < b). Definizione: Una disequazione valida a T < α definisce una faccia F = P { R n : a T = α}. L insieme { R n : a T = α} è detto iperpiano di supporto di F. Ogni faccia di un poliedro è essa stessa un poliedro. Definizione: La dimensione di un poliedro P, dim(p), è data dal massimo numero di vettori affinemente indipendenti appartenenti a P meno uno. Data una faccia F di P, risulta sempre dim(f) < dim (P). Se dim(f) = dim(p), F è detta faccia impropria di P. Se dim(f) = dim(p) 1, F è detta faccia massimale di P. Se dim(f) = 0, F coincide con un vertice di P.

5 Nozioni di geometria La rappresentazione A < b di un poliedro P non è univocamente determinata. Infatti, è sempre possibile aggiungere alla rappresentazione nuove disuguaglianze valide per P, ottenute come combinazione conica delle disequazioni del sistema A < b, senza modificare la regione ammissibile. Definizione: Una rappresentazione A < b è minimale se, rimuovendo una qualsiasi disequazione dal sistema si ottiene un nuovo sistema A < b tale che P { R n : A < b }. Definizione: Se P R n è tale che dim(p) = n, una rappresentazione A < b è minimale se e solo se ogni disequazione del sistema definisce una faccia massimale di P.

6 Formulazioni di problemi di PL 0-1 Ricordiamo che, date due diverse formulazioni lineari P 1 e P 2 di un problema di programmazione lineare 0-1 della forma (1), diremo che P 1 è migliore di P 2 se e solo se P 1 P 2. La formulazione ottima di un problema di programmazione lineare 0-1 della forma (1) ma c T S (S {0,1} n ) è costituita dal poliedro contenuto in tutti i poliedri contenenti S, ovvero dall involucro convesso conv(s). Indichiamo con P S la formulazione ottima.

7 Formulazioni di problemi di PL 0-1 Ricordiamo ancora che, dato un problema di programmazione lineare 0-1 ma c T (1) S (S {0,1} n ) un poliedro P = { R n : A < b} è una formulazione lineare del problema se e solo se S = P {0,1} n. Teorema: Un problema di programmazione lineare 0-1 della forma (1) ammette sempre una formulazione lineare conv(s) con la proprietà che S se e solo se è un vertice di conv(s).

8 Formulazioni di problemi di PL 0-1 Dal teorema precedente, possiamo riscrivere il problema (1) nella forma ma c T (2) P S Infatti, poiché i vertici di P S coincidono con i vettori in S, risolvere il problema (1) è equivalente ad individuare un vertice di P S che massimizzi c T, ovvero ad individuare un vertice ottimo per il problema (2). Pertanto, ogni problema di programmazione lineare 0-1 può essere espresso come problema di programmazione lineare.

9 Formulazioni di problemi di PL 0-1 Il fatto che si possa passare da un problema di programmazione lineare 0-1 a un problema di programmazione lineare suggerisce importanti conseguenze riguardanti la complessità computazionale: infatti, è noto che un problema di programmazione lineare può essere risolto in tempo e spazio polinomiali ricorrendo a opportuni algoritmi. ATTENZIONE! E sbagliato pensare che algoritmi polinomiali per problemi di programmazione lineare possano essere utilizzati per risolvere qualsiasi problema di programmazione lineare 0-1.

10 Formulazioni di problemi di PL 0-1 Alcuni metodi per la programmazione lineare richiedono una rappresentazione esplicita della formulazione P S. Tale rappresentazione è teoricamente ottenibile per qualsiasi problema di programmazione lineare 0-1 ma è spesso algoritmicamente impraticabile. Invece altri metodi,come il Metodo dell Ellissoide, si accontentano di una rappresentazione implicita della formulazione P S fornita dal cosiddetto Oracolo di Separazione. Tale oracolo è realizzato da un algoritmo che, dato un vettore R n, o genera un iperpiano che separa da P S oppure conclude che P S. L oracolo di separazione descrive P S in modo algoritmico e rende i metodi che lo utilizzano indipendenti dal numero di disequazioni della rappresentazione esplicita.

11 Rafforzamento di formulazioni Il problema di knapsack ma < 6 {0,1} 2 ha come rilassamento lineare ma < 6 1 > 0 2 > 0 1 < 1 2 < 1 Sia * LP la soluzione ottima del rilassamento.

12 Oracolo di Separazione Dato il vettore * LP, l oracolo di separazione consente di individuare una disequazione soddisfatta da tutti i vettori in P S (valida per P S ), e non soddisfatta dal vettore * LP, OPPURE di concludere che * LP P S. Dal punto di vista geometrico, l oracolo costruisce, se esiste, un iperpiano che separa * LP da P S. Se tale iperpiano non esiste allora il punto * LP appartiene a P S. L iperpiano individuato è detto iperpiano di separazione o piano di taglio.

13 Oracolo di Separazione 2 * LP 1 L oracolo viene generalmente realizzato tramite un algoritmo detto Algoritmo di Separazione.

14 Disuguaglianze valide per il Knapsack 0-1 Consideriamo l insieme X = { {0,1} n : Σ a j j < b}. n j = 1 Definizione: Un insieme C N è un cover se e solo se Σ a j > b. j C Un cover è minimale se, comunque preso j C, l insieme C \ { j } NON è un cover. Osservazione: Un insieme C è un cover se e solo se il suo vettore caratteristico C non è ammissibile per X.

15 Disuguaglianze valide per il Knapsack 0-1 Teorema: Se C N è un cover per X, la disequazione è valida per X. Σ j < C 1 (*) j C Dimostrazione: Dimostriamo che se un generico vettore R non soddisfa il vincolo (*) allora R X. Se R è tale che Σ R j > C 1, allora R C = C e quindi C j C R. Pertanto: ovvero R X. n Σ a j jr = Σ a j > Σ a j > b j =1 j R j C

16 Consideriamo il problema di knapsack ma < 19 {0,1} 7 Esempio La soluzione associata al suo rilassamento lineare è ( * ) LP = (1, 1, 1/3, 0, 0, 0, 0). Una disequazione cover violata da ( * ) LP è la disequazione < 2. Qual è il problema di separazione che consente di individuare una disequazione di tipo cover violata da ( * ) LP?

17 Oracolo di separazione Riscriviamo la disequazione Σ j < C 1 nella forma 1 + Σ j - C < Σ ( j 1) < 0 j C j C La disequazione è violata da ( * ) LP se e solo se: 1 + Σ (( * j ) LP 1) > 0 Quindi, possiamo massimizzare la violazione definendo SEP = ma {Σ (( * j ) LP 1) : Σ a j > b} C N j C j C j C j C Un algoritmo per SEP è un oracolo di separazione.

18 Oracolo di separazione Siano y * SEP z * SEP la soluzione ottima del problema SEP, e il corrispondente valore della funzione obiettivo. Se 1 + z * > 0, allora esiste una disuguaglianza cover violata da y * SEP. Se 1 + z * SEP < 0, allora non esiste una disuguaglianza cover violata da y * SEP. A questo punto non resta che formulare come programmazione lineare 0-1 il problema di separazione.

19 Formulazione del problema di separazione Il problema di separazione può essere formulato come un problema di programmazione lineare 0-1 in cui la variabile y j = 1 se j C e y j = 0 altrimenti. Funzione Obiettivo ma Σ (( * j ) LP 1)y j j N Vincoli Σ a j y j > b + 1 j N y {0,1} n Osservazione: I coefficienti in funzione obiettivo sono < 0 e quindi il problema non ammette una soluzione banale.

20 Trasformazione Ponendo w j = 1 y j, il problema di separazione diventa Funzione Obiettivo ma Σ (( * j ) LP 1) Σ ((* j ) LP 1)w j j N Vincoli Σ a j w j > Σ a j + b + 1 j N w {0,1} n j N j N Poiché Σ (( * j ) LP 1) è una costante possiamo non tenerne j N conto nella funzione obiettivo.

21 un problema di knapsack Funzione Obiettivo ma Σ (1 ( * j ) LP )w j j N Vincoli Σ a j w j < Σ a j b 1 j N j N w {0,1} n

22 Esempio ma < 19 {0,1} 7 * LP = (1, 1, 1/3, 0, 0, 0, 0) Problema di separazione ma (1 1) w 1 + (1 1) w 2 + (1-1/3) w 3 + w 4 + w 5 + w 6 + w 7 11 w w w w w w 6 + w 7 < = 18 w {0,1} 7

23 Separazione Problema di separazione ma 2/3 w 3 + w 4 + w 5 + w 6 + w 7 11 w w w w w w 6 + w 7 < 18 w {0,1} 7 Soluzione ottima w* = (0, 0, 0, 1, 1, 1, 1) di valore 4 Riportiamola nello spazio delle y: y* = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0) di valore z * SEP = 2/3. Pertanto, 1 + z * SEP = 1/3 > 0

24 Separazione 1. Il valore di 1 + z * SEP cover violata. è > 0, ovvero esiste una disequazione 2. Il cover associato alla violazione è formato dagli indici che hanno valore 1 in y *, ovvero y* = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0) corrisponde al cover C = {1, 2, 3}. 3. La disequazione è scritta in corrispondenza degli indici in C, ossia C = {1, 2, 3} corrisponde a < C 1 = 2

25 Algoritmo dei piani di taglio Dato il rilassamento lineare di un problema di knapsack 1. Calcola la soluzione ottima * LP. 2. Se * LP {0, 1} n STOP, altrimenti vai al passo Definisci il problema di separazione. 4. Risolvi il problema di separazione. 5. Se esiste una disequazione cover violata aggiungila alla formulazione corrente e torna al punto 1, altrimenti STOP.

26 Pianificazione degli investimenti Dati I = {1, 2,, n} = insieme di investimenti attivabili su un orizzonte temporale T = {1, 2,, t} di t periodi Ad ogni investimento i è associato un indice di redditività c i Ogni investimento i genera un flusso di cassa a i = (a i1, a i2,, a it ) (> 0 introiti, < 0 esborsi) per ogni periodo j T Per ogni periodo j T esiste un budget b j che limita gli esborsi (flussi di cassa negativi). Problema Determinare un insieme di investimenti I * I che massimizza la redditività e che rispetta il vincolo per cui la somma dei flussi di cassa degli investimenti attivati in ogni periodo j T non superi il budget b j.

27 Esempio a 12 = 10 a 13 = 2 a 11 =2 Investimento 1 a 22 = 3 a 21 =3 a 23 =5 Investimento 2 a 31 = 6 a 33 = 3 a 32 =2 Investimento 3 Periodo 1 b 1 = 4 Periodo 2 b 2 = 5 Periodo 3 b 3 = 1

28 Esempio Nell esempio precedente, se vengono attivati tutti e tre gli investimenti il vincolo di budget nel periodo 2 NON è rispettato. Formulazione Variabili decisionali i = 1 se il progetto i è attivato i = 0 altrimenti ma Σ c i i i I Σ a ij i > b j i I {0,1} n j T ma c T A > b {0,1} n

29 Rilassamento lineare Per migliorare la formulazione precedente, consideriamo un singolo vincolo di budget del sistema A > b e il problema di Knapsack continuo ad esso associato: ma c T a T j > b j 0 < < 1 cambiamo segno nel vincolo ma c T a T j < b j 0 < < 1 (KP j )

30 Rafforzamento L insieme delle soluzioni del problema di pianificazione originario è costituito dall intersezione degli insiemi delle soluzioni dei singoli problemi di knapsack (KP j ). Pertanto, è possibile rafforzare ciascun problema KP j, ad esempio con disequazioni cover, per ottenere un rafforzamento della formulazione di pianificazione.

31 Esempio Consideriamo la seguente istanza di un problema di pianificazione: I = {1, 2, 3, 4, 5} T = {1, 2, 3} c = (3, 7, 3, 5, 7) = Redditività b = (-2, 0, -5) = Budget a 1 = (-4, 1, -2) = Flusso di Cassa I 1 a 2 = (2, -4, 1) = Flusso di Cassa I 2 a 3 = (1, 3, -5) = Flusso di Cassa I 3 a 4 = (1, -3, -2) = Flusso di Cassa I 4 a 5 = (-3, 4, 1) = Flusso di Cassa I 5

32 Esempio ma La soluzione ottima di (PL) è: * PL = [0.67; 1; 0.74; 0.96; 1] di valore z* = (PL) Il rilassamento lineare si scrive (considerando il cambiamento di segno sul vincolo di budget)

33 Esempio Consideriamo a questo punto il primo vincolo di budget e il problema di knapsack continuo ad esso associato: ma (KP 1 ) Effettuiamo un cambio di variabili per ottenere tutti coefficienti positivi nel vincolo di knapsack: J( ) = {2, 3, 4} y i = 1 i per ogni i J( ). Si ottiene: y y y

34 Esempio Dobbiamo vedere se esiste una cover violata rispetto alla soluzione: * PL = [0.67; 1 1 = 0 ; = 0.26; = 0.04; 1] Risolvendo il problema di separazione si individua la cover violata < 1, che si può aggiungere direttamente alla formulazione, essendo già nelle variabili. Osservazione: Se la cover contiene variabili y, bisogna effettuare il cambio di variabile y h = 1 h prima di aggiungere la disequazione alla formulazione La nuova soluzione ottima del RL (peraltro intera) è * = [0; 1; 1; 1; 1] di valore z* = 22.