Esercitazione n o 6 per il corso di Ricerca Operativa

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1 Esercitazione n o 6 per il corso di Ricerca Operativa Il problema è stato tratto dal libro C. Mannino, L.Palagi, M. Roma. Complementi ed esercizi di Ricerca Operativa, Edizioni Ingegneria 2000, 1998, ISBN: Modello di Miscelazione con funzione di tipo modulo Una compagnia petrolifera possiede tre depositi. Ciascun deposito è riempito con un tipo di greggio che può essere venduto rispettivamente a e15, e17, e20 al barile. I depositi hanno la capacità di 4000, 3000 e 5000 barili rispettivamente. La qualità dei tre tipi di greggio è misurata dai numeri 6.8, 7.4 e 8.1. La compagnia deve soddisfare (esattamente) i seguenti quattro ordini utilizzando il greggio nei depositi: Ordine Barili Qualità della miscela almeno al piu tra 7.0 e SI vuole massimizzare la somma pesata del ricavo totale e la differenza della qualità della miscela destinata all ordine 3 dal valore 7.5; formalmente, indicato con R è il ricavo totale, Q3 è la qualità della miscela destinata all ordine 3 e data una costante positiva assegnata P, si vuole massimizzare la seguente funzione obiettivo z = R P Q Formulare il problema di PL che consente di risolvere il problema. Analisi sintetica del problema. Si supponga che la qualità di una miscela sia funzione lineare delle percentuali dei componenti. La funzione obiettivo è non lineare a causa della presenza del valore assoluto e quindi è necessario ottenere una formulazione equivalente. IN generale, dato S IR n e una funzione h: S IR, risultano equivalenti i problemi (P 1 ) { min h(x) x S (Q 1 ) min x,v v h(x) v x S. Come si può facilmente osservare, nel problema (Q 1 ) è stata introdotta una variabile aggiuntiva v e quindi tale problema è formulato nelle variabili (x, v) T. 1

2 qualitá domanda ordine variabili di decisione almeno x 11 x 21 x 31 al più x 12 x 22 x 32 tra 7.0 e x 13 x 23 x 33 v esattamente x 14 x 24 x 34 OLIO GREZZO ricavo e/barile olio disponibile, max barile/giorno qualità Formulazione. Variabili. Le variabili di decisione sono le quantità di greggio i-esimo usato nella miscela relativa all ordine j-esimo, indicate con x ij, con i = 1,..., 3 e j = 1,..., 4. Inoltre è necessario usare una variabile aggiuntiva v per scrivere la funzione modulo in forma di PL. Vincoli. Per quanto riguarda i vincoli si hanno: Vincoli di capacità. I serbatoi possono contenere una prefissata quantità di greggio: x 1j 4000 x 2j 3000 x 3j 5000 Vincoli di qualità. Ciascuna miscela deve soddisfare certi requisiti qualitativi espressi da: 6.8x x x 31 7( x i1 ) 6.8x x x ( x i2 ) 7( x i3 ) 6.8x x x 33 8( x i3 ) 6.8x x x 34 = 7.4( x i4 ) 2

3 Vincoli di domanda. Si deve soddisfare l ordine: x i1 = 2000 x i2 = 1500 x i3 = 2500 x i4 = 3000 Vincoli di non negatività. Si tratta di quantità di greggio utilizzate in ogni miscela: x ij 0 i, j. Funzione obiettivo. Per quanto riguarda la funzione obiettivo osserviamo che non è lineare a causa della presenza della funzione modulo. Il ricavo R è dato da R = 15 x 1j + 17 x 2j + 20 x 3j. La qualità Q 3 della miscela 3 è data da: Q 3 = 6.8x x x 33 = x i3 6.8x x x 33, 2500 quindi la funzione obiettivo si può scrivere con l aggiunta di una variabile v come: Abbiamo poi i vincoli aggiuntivi: R P v v 6.8x x x v. 3

4 Complessivamente il problema di PL si scrive: max 15 x 1j + 17 x 2j + 20 x 3j P v 4 x 1j 4000 x 2j 3000 x 3j x x x x x x x x x x x x x x x 34 = x i1 = 2000 x i2 = 1500 x i3 = 2500 x i4 = x x x (7.5 + v) 0 6.8x x x (7.5 v) 0 x ij 0 i, j = 1, Osservazione 1 Non è necessario, seppur non produce errore, imporre il vincolo di non negatività della variabile v. Osservazione 2 Notiamo che è stato possibile trasformare la minimizzazione della funzione modulo in un problema equivalente lineare perché la quantità totale di miscela i x i3 è costante. Altrimenti si avrebbe avuto il modulo di un rapporto di funzioni lineari. I fogli Microsoft Excel corrispondenti ai dati con valore della costante P = 1 è in figura 1. Il foglio con il modelloè in figura 2 1. Il file Excel corrispondente al modello è disponibile in rete. 1 Ringrazio lo studente Andrea Alfonso Tedeschi per aver reso disponibile il file realizzato durante l esercitazione del a partir dal quale è stato realizzato il file in rete 4

5 Figure 1: Foglio Excel relativo ai dati del problema 5

6 Figure 2: Foglio Excel relativo al modello 6