Relatività, Energia e Ambiente

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1 Digiall signed b DN: c=it o=infn ou=personal Cerificae l=bologna cn=domenico Galli Dae: :30: Relaivià Energia e Ambiene Trasformaioni di Loren Prof. Il cambiameno di dr in meccanica relaivisica. Alma Maer udiorum Universià di Bologna Inroduione alla Relaivià Risrea III pare hp:// Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. Polo colasico L. Donai Fossombrone 0 Aprile 009 Le Nuove Leggi di Trasformaione ogliamo ora formulare le nuove leggi di rasformaione che sosiuiscano la rasformaione di Galileo. Ci baseremo sui segueni posulai: alidià del Principio di Relaivià Risrea: Invariana della velocià della luce nel vuoo: la luce si propaga nello spaio vuoo con una velocià che ha lo sesso valore c in ui i dr ineriali; mogeneià dello spaio-empo: le leggi della fisica hanno la sessa forma in ui i dr ineriali; Le leggi della fisica sono invariani per raslaioni nello spaio o nel empo; La Forma Generale Innaniuo le rasformaioni che cerchiamo possono coinvolgere le 3 variabili spaiali e e a differena delle rasformaioni di Galileo anche la variabile emporale. = = = = ( f ( f ( f ( f0 3 Isoropia dello spaio-empo: Le leggi della fisica sono invariani per roaioni. Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare

2 La Forma Generale (II In quese rasformaioni f 0 f f e f 3. sono funioni generiche che associano a una quaerna ordinaa di numeri reali un alro numero reale: = f 0 ( f 0 :( 4 ( = f ( f :( 4 ( = f ( f :( 4 ( = f 3 ( f 3 :( 4 ( Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare La Forma Generale (III Procederemo ora nel cercare le resriioni che i posulai prima elencai (relaivià invariana della velocià della luce omogeneià e isoropia dello spaio-empo impongono alla forma delle funioni f 0 f f e f Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare mogeneià dello paio-tempo Qualunque esperimeno deve dare esaamene gli sessi risulai se viene ripeuo nelle sesse condiioni fisiche in puni diversi dello spaio e in empi diversi (omogeneià dello spaio-empo. In alre parole le leggi della fisica debbono essere invariani per raslaioni nello spaio o nel empo. i raa di un requisio fondamenale in quano sarebbero poco uili leggi che cambiano a seconda della posiione o nel empo. Queso requisio impone alle funioni f 0 f f e f 3 di essere lineari (ovvero di essere funioni di primo grado. Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 7 mogeneià dello paio-tempo (II Mosriamo con un esempio che se le funioni f 0 f f e f 3 non sono lineari lo spaio non sarebbe omogeneo. upponiamo che la coordinaa si rasformi come: = f ( = a Consideriamo ora la misura di un asa di lunghea uniaria (nel dr collocaa lungo l asse. 0 0 Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 8

3 mogeneià dello paio-tempo (III mogeneià dello paio-tempo (I e l asa è collocaa con le esremià in = e = allora la sua lunghea in vale: l = = a ( = a 4 ( = 3a e invece l asa è collocaa con le esremià in = 3 e = 4 allora la sua lunghea in vale: l = = a ( = a 6 9 ( = 7a 0 0 Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 9 Quindi anche se la lunghea dell asa è sempre uniaria in la misura compiua dall osservaore di darebbe risulai diversi a seconda del puno dello spaio in cui l asa è saa posa. e invece la coordinaa si rasformi come la funione lineare: = f 0 ( = a 0 si ha: l = = a l = = a ( = a( = a ( = a( 4 3 = a Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 0 mogeneià dello paio-tempo ( mogeneià dello paio-tempo (I La forma più generale di rasformaioni lineari è daa dalle espressioni: ( = a 0 a 0 a 03 b 0 ( = a 0 a a a 3 b ( = a 0 a a a 3 b ( = a 30 a 3 a 3 a 33 b 3 = f 0 = f = f = f Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. e supponiamo che i due dr coincidano e i loro orologi siano sincroniai quando = = 0 allora i emini b 0 b b e b 3 si annullano e si ha: ( = a 0 a 0 a 03 ( = a 0 a a a 3 ( = a 0 a a a 3 ( = a 30 a 3 a 3 a 33 = f 0 = f = f = f Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare.

4 Disposiione degli Assi Caresiani Disposiione degli Assi Caresiani (II e disponiamo gli assi dei due dr in modo che i piani e coincidano allora si ha che: = 0 = 0 qualsiasi siano i valori di e. Da queso segue che: a 30 = a 3 = a 3 = 0 ( = a 30 a 3 a 3 a 33 = a 33 = f 3 Analogamene se disponiamo gli assi dei due dr in modo che i piani e coincidano allora si ha che: = 0 = 0 qualsiasi siano i valori di e. Da queso segue che: a 0 = a = a 3 = 0 ( = a 0 a a a 3 = a = f Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare Avremo quindi: = f 0 = f = f = f 3 ( = a 0 a 0 a 03 ( = a 0 a a a 3 ( = a ( = a Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 4 Isoropia e Relaivià Isoropia e Relaivià (II ulla base dell Isoropia dello spaio e del Principio di Relaivià possiamo deerminare il coefficiene a. Inveriamo (cioè cambiamo verso conemporaneamene i 4 assi e. L equaione di rasformaione di non cambia. I ruoli di e risulano scambiai. Possiamo rendercene cono osservando il sisema così oenuo da un alro puno di visa: Ruoiamo poi di 80 aorno all asse i due dr. Per l Isoropia dello spaio nulla deve cambiare. Infine sosiuiamo la raslaione di rispeo a con la raslaione di rispeo a con verso opposo. Per il Principio di Relaivià le due raslaioni sono equivaleni. î î ( ˆk ˆk ı ˆ ˆ ı k ˆ k ˆ * Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 5 relaivià Inverendo conemporaneamene i 4 assi e : L equaione di rasformaione di non cambia. eniamo così una configuraione che differisce da quella di parena solano per lo scambio delle variabili con gli apici con le variabili sena apici. Insieme alla rasformaione: = a deve perciò valere anche la rasformaione: = a î î ( ˆk ˆk ı ˆ ˆ ı k ˆ k ˆ * Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 6 relaivià

5 Isoropia e Relaivià (III Isoropia e Relaivià (I i ha quindi: = a = a a a = a = = a = a a î î ( ˆk ˆk ı ˆ ˆ ı k ˆ k ˆ * Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 7 relaivià Analogamene sulla base dell Isoropia dello spaio e del Principio di Relaivià possiamo deerminare il coefficiene a 33. Inveriamo (cioè cambiamo verso conemporaneamene i 4 assi e. L equaione di rasformaione di non cambia. I ruoli di e risulano scambiai. Possiamo rendercene cono osservando il sisema così oenuo da un alro puno di visa: Ruoiamo poi di 80 aorno all asse i due dr. Per l Isoropia dello spaio nulla deve cambiare. Infine sosiuiamo la raslaione di rispeo a con la raslaione di rispeo a con verso opposo. Per il Principio di Relaivià le due raslaioni sono equivaleni. î î ( relaivià ˆ ˆ ı ˆ ˆ ı ˆ ˆ * Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 8 Isoropia e Relaivià ( Isoropia e Relaivià (I Inverendo conemporaneamene i 4 assi e : i ha quindi: L equaione di rasformaione di non cambia. eniamo così una configuraione che differisce da quella di parena solano per lo scambio delle variabili con gli apici con le variabili sena apici. Insieme alla rasformaione: = a 33 = a 33 = a 33 a 33 a 33 = a 33 = = a 33 = a 33 a 33 deve perciò valere anche la rasformaione: = a 33 î î ( relaivià ˆ ˆ ı ˆ ˆ ı ˆ ˆ * Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 9 î î ( relaivià ˆ ˆ ı ˆ ˆ ı ˆ ˆ * Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 0

6 Isoropia e Relaivià (II Avremo quindi: ( = a 0 a 0 a 03 ( = a 0 a a a 3 ( = ( = = f 0 = f = f = f 3 Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. Isoropia e Relaivià (III In maniera simile sulla base dell Isoropia dello spaio possiamo deerminare i coefficieni a 0 a 0 a. Inveriamo (cioè cambiamo verso conemporaneamene i 4 assi e. Le equaioni di rasformaione di e cambiano nel seguene modo: = a 0 a 0 a 03 = a 0 a a a 3 I ruoli di e risulano scambiai. = a a ( a ( a = a 0 a ( a ( a 3 Possiamo rendercene cono osservando il sisema così oenuo da un alro puno di visa: Ruoiamo poi di 80 aorno all asse i due dr. Per l Isoropia dello spaio nulla deve cambiare. ˆ ˆ ( ˆk ˆk ˆ ˆ k ˆ k ˆ * Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. Isoropia e Relaivià (IX Isoropia e Relaivià (X Insieme alle rasformaioni: = a 0 a 0 a 03 = a 0 a a a 3 devono perciò valere anche le rasformaioni: = a 0 a 0 a 03 = a 0 a a a 3 ommandole membro a membro: = a 0 a 0 a 03 a 0 a 0 a 03 = a 0 a a a 3 a 0 a a a 3 ˆ ˆ ( ˆk ˆk ˆ ˆ k ˆ k ˆ * Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 3 Le leggi di rasformaione si riducono quindi a: = f 0 = f = f = f 3 ( = a 0 ( = a 0 a ( = ( = ˆ ˆ ( ˆk ˆk ˆ ˆ k ˆ k ˆ * Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 4

7 La elocià Relaiva dei Due dr La elocià Relaiva dei Due dr (II sserviamo che un puno maeriale che sia in quiee nell origine del dr ( = 0 nel dr deve avere velocià : = 0 = osiuendo nelle leggi di rasformaione oeniamo: = a 0 a 0 = a 0 a = ( a 0 a a 0 a = 0 a 0 = a Avremo quindi: a 0 = a ( = a 0 a = a a = a Le leggi di rasformaione si riducono quindi a: ( = a 0 ( = a ( ( = ( = = f 0 = f = f = f 3 Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 5 Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 6 mogeneià Isoropia e Relaivià Le leggi di rasformaione: ( = a 0 = f 0 = f ( = a ( = f ( = = f 3 ( = sono le più generali leggi compaibili con i posulai di mogeneià e Isoropia dello spaio e con il Principio di Relaivià. Un caso paricolare di quese leggi sono le rasformaioni di Galileo. Un caso paricolare di quese leggi sono le rasformaioni di Loren. Trasformaioni di Galileo Nelle rasformaioni di Galileo il empo è assoluo ovvero non cambia passando da un dr a un alro per cui deve essere: = = a 0 = = a 0 = 0 Inolre le lunghee non cambiano nel passaggio da un dr a un alro per cui deve essere: = = = a = = a = ( a ( = a ( Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 7 Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 8

8 Trasformaioni di Galileo (II osiuendo le condiioni: = a 0 = 0 a = nelle rasformaioni: = f 0 ( = a 0 = f ( = a ( = f ( = = f 3 ( = oeniamo le rasformaioni di Galileo: ( = ( = ( = ( = = f 0 = f = f = f 3 Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 9 Trasformaioni di Galileo (III Nelle rasformaioni di Galileo: ( = ( = ( = ( = = f 0 = f = f = f 3 Lo spaio è assoluo: La disana ra due puni non dipende dal dr: Il empo è assoluo: L inervallo di empo non dipende dal dr. Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 30 Invariana della elocià della Luce La relaivià di Einsein sosiuisce: i vincoli di Galileo sullo spaio-empo evidenemene roppo radicali: spaio assoluo e empo assoluo. con un alro ipo di vincolo sulle proprieà dello spaio-empo: l invariana della velocià della luce. Dovremo imporre quesa condiione alle rasformaioni generiche: ( = a 0 ( = a ( ( = ( = = f 0 = f = f = f 3 Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 3 Frone d nda ferico Consideriamo un onda sferica di luce prodoa da una sorgene puniforme. Consideriamo un frone d onda che all isane = 0 ha raggio r = 0. Il frone d onda è una superficie sferica il cui raggio aumena con il empo: r ( = c ( ( ( = c ( ( ( = c 0 Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 3 = 0 = 0 r = c = 0 r = c

9 Invariana della elocià della Luce Invariana della elocià della Luce (II upponiamo ora che il frone d onda sferico abbia raggio r = 0 nell isane = = 0 in cui i due dr e sono sovrapposi. Per l invariana della velocià della luce: Nel dr il frone d onda è una superficie sferica di cenro e raggio crescene r = c. Nel dr il frone d onda è ancora una superficie sferica di cenro e raggio crescene r = c. r = c Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 33 = = 0 r = c Per l invariana della velocià della luce dovranno perciò valere simulaneamene le due relaioni: r = r = ( ( ( = c ( ( ( = c r = c Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 34 = = 0 r = c Trasformaioni di Loren r ( = r ( ( ( = c ( = ( ( ( = c osiuiamo nella seconda relaione le variabili con gli apici oenue dalle rasformaioni generiche: = a 0 = a ( = = = c a ( = c ( a 0 Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 35 Trasformaioni di Loren (II viluppiamo e raccogliamo le variabili: = c a ( = c ( a 0 a a a = c a 00 c a 0 c a 0 = c a c a 0 ( a ( c a 0 = c a 00 ( a Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 36

10 Trasformaioni di Loren (III Confronando ermine a ermine le due relaioni (debbono essere equivaleni : = c a c a 0 a c a 0 = a c a 0 = 0 c a 00 a = c ( a ( 4 ( c a 0 = c a 00 ( a Da queso sisema possiamo ricavare le 3 incognie a 0 e a. Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 37 Trasformaioni di Loren (I a c a 0 = a c a 0 = 0 c a 00 a = c Ricaviamo a 0 dalla seconda e sosiuiamo nella prima: a c a c a 0 = a * c c a 00 = a c = ( a 4 a = ( c a c a 00 a = a 4 c 00 Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 38 Trasformaioni di Loren ( c a 00 a = a 4 c a 0 = a c c a 00 = a c Moliplichiamo ambo i membri della III per a e soraendola dalla I: c a 00 a = a 4 c a 0 = a c c a 00 a = a 4 c a a 00 a = 0 = ±a Trasformaioni di Loren (I c a 00 a = a 4 c a 0 = a c = ±a osiuendo ricavao dalla III nella I: c a 4 = a 4 c a ( c a 4 c a = 0 ( c a c = 0 a 0 = a c = ±a Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 39 Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 40

11 Trasformaioni di Loren (II Infine sosiuendo: ( c a = c a = a 0 = a = a = c c c = ±a c c = c c a = ± Dove scegliamo i segni superiori per avere gli assi e e gli assi e concordi. Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 4 c Trasformaioni di Loren (III osiuendo ora i parameri oenui nelle rasformaioni generiche si oiene infine: = a = c a 0 = c c = a 0 = a ( = = 0 0 Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 4 = c c = c = = Trasformaioni di Loren (IX Per semplificare le formule spesso si indica con il cosiddeo paramero di velocià ovvero la velocià misuraa in un sisema naurale di unià di misura in cui c = : = c e con il cosiddeo faore di Loren: = = c Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare Trasformaioni di Loren (X Uiliando quesi simboli si può scrivere: * = c = c ( = ( c = = = c - = = c c = ( c = ( c = 0 = = 0 ( = Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 44

12 Trasformaioni Inverse i possono oenere inverendo le precedeni rasformaioni: vvero ricavando le 4 variabili sena apici e in funione delle 4 variabili con apici e dalle precedeni relaioni. i raa in queso caso di risolvere un sisema di 4 equaioni in 4 incognie di I grado. i possono anche oenere più semplicemene applicando il principio di relaivià: reciprocià del moo relaivo dei due dr: 0 e si muove rispeo a con 0 velocià allora si muove rispeo a con velocià. scambiando ra loro coordinae con apici e coordinae sena apici e inverendo conemporaneamene il verso della velocià relaiva 0 si devono oenere relaioni alreano valide. 0 Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 45 Trasformaioni Inverse (II i ha quindi: * = c ( = ( = - = * c = ( c. = (.c = - = / * = c ( = ( = - = * c = ( c. = (.c = - = Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 46 Il Principio di Corrispondena Einsein comprese che le regole con cui le leggi della naura si rasformano nel passaggio da un dr all alro hanno origine unicamene nelle proprieà dello spaioempo: Devono quindi essere uguali per ui i fenomeni: Meccanici ed eleromagneici. D alro cano le rasformaioni di Galileo avevano oenuo un oimo accordo sperimenale con la meccanica dei corpi macroscopici con velocià molo inferiori alla velocià della luce (dominio di applicabilià delle rasformaioni di Galileo. Affinché le rasformaioni di Loren manengano l accordo sperimenale delle rasformaioni di Galileo nel loro dominio di applicabilià è necessario che esse si riducano alle rasformaioni di Galileo nel limie << c. Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 47 Il Principio di Corrispondena (II È chiaro che nel limie << c si ha: = 0 0 c c c c = c e dunque come aeso: * = c ( = ( = - = Loren.../ c * = = = - = Galileo Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 48

13 = Il Principio di Corrispondena (III Deviaione delle previsioni della relaivià di Einsein da quella di Galileo all aumenare della velocià del moo: c Dipendena del faore di Loren dal paramero di velocià. La elocià Limie Nelle rasformaioni di Loren il faore di Loren: = c diverge per c e non è reale per > c: lim = c > c Queso pone un limie superiore per il modulo della velocià di raslaione reciproca dei dr. < c Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 49 = c Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 50 Trasformaioni delle elocià Dalle rasformaioni di Loren: = c ( = ( = = si oiene: v = = ( = c ( = c = v c c v v = = = c ( v = = c ( = c c v = c v = c v Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 5 v Trasformaioni delle elocià (II eniamo quindi le leggi di rasformaione delle velocià: v = v c v v = v c v v = v c v v = v = v = v v c v v c v v c Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 5

14 Trasformaioni delle elocià (II Nell esempio in figura le due auo si muovono con velocià 0.5 c e 0.7 c nel dr della srada. La velocià di un auo rispeo all alra con le rasformaioni di Galileo sarebbe: v G = v = ±0.7c 0.5c = 0.c.c < c Uiliando invece le rasformaioni di Loren si ha: v L = v v = 0.7 c = 0.5 c = v G = 0. c c v v L = 0.3 c ±0.7c 0.5c = 0.5c ( ±0.7c = v = 0.7 c c = 0.5 c v G =. c v L = 0.89 c = 0.3c 0.89c Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 53 Trasformaioni delle elocià (III Nell esempio in figura l auo si muove con velocià c nel dr della srada. La velocià dell onda rispeo all auo con le rasformaioni di Galileo sarebbe: ( v G = v = ±c c = c ( c < c Uiliando invece le rasformaioni di Loren si ha: v = c v L = v v ±c c = c v c ( ±c = G = ( c v L = c c ( = ± c = v = c = c v G = c v L = ( c c Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 54 Trasformaioni delle elocià (I La velocià del frone d onda vale dunque sempre c nella meccanica relaivisica qualsiasi sia cioè in qualsiasi sisema di riferimeno in moo rispeo a. La velocià della luce nel vuoo rappresena quindi un limie: non può essere olrepassao nemmeno componendo ra di loro velocià prossime o uguali a quelle della luce. Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 55