Lunghezza e Tempo. La Contrazione di Fitzgerald-Lorentz. La Contrazione Relativistica delle Lunghezze. La Contrazione di Fitzgerald-Lorentz (II)

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1 La Conraione di FigeraldLoren Lunghea e Tempo Relaivià Energia e Ambiene Fossombrone PU Polo olasio L. Donai maggio hp:// Prof. Domenio Galli Alma Maer udiorum Universià di Bologna Eere L idea di una onraione delle lunghee lungo la direione del moo nase per spiegare il fallimeno dell esperimeno di Mihelson e Morle onraione di FigeraldLoren. L idea era quella di una onraione degli oggei in moo rispeo all Eere Luminifero. i pensava a una effeiva deformaione dei orpi. La ragione della onraione era aribuia a effei eleromagneii dovui a una sora di ineraione ra il maeriale del orpo in movimeno e quello dell Eere Luminifero. asa in moo rispeo all Eere Eere L > asa a riposo nell Eere DMENIC GALLI Lunghea e Tempo La Conraione di FigeraldLoren II La Conraione Relaivisia delle Lunghee La massima lunghea si sarebbe osservaa nel dr dell Eere Luminifero. L osservaore dell Eere Luminifero sarebbe sao l unio osservaore he ha il privilegio di vedere onrai ui gli oggei he si muovono rispeo a lui: Gli alri osservaori avrebbero dovuo vedere allungai gli oggei he si rovano nell eere perhé si aoria il mero on ui misurano arao nel dr dell eere. edremo ora sulla base delle Trasformaioni di Loren he una onraione delle lunghee nella direione del moo relaivo dei dr si può osservare effeivamene. i raa uavia di una onraione dovua alla naura dello spaioempo: In pariolare alle sue proprieà di rasformaione nel passaggio da un dr ineriale a un alro. La disana ra due puni nello spaio dipende dal dr. Eere asa in moo rispeo all Eere Eere L > asa a riposo nell Eere L asa a riposo nel dr L L < asa a riposo nel dr DMENIC GALLI Lunghea e Tempo 3 DMENIC GALLI Lunghea e Tempo 4

2 La Conraione Relaivisia delle Lunghee II La Conraione Relaivisia delle Lunghee III Non i sono dr privilegiai: I dr ineriali sono ui ra loro equivaleni. e un osservaore nel dr vede un asa nel dr aoriaa parimeni un osservaore nel dr vede un asa nel dr aoriaa reiproià. La massima lunghea si osserva nel dr in ui l asa è a riposo. upponiamo he l asa di lunghea a riposo sia posa in quiee nel dr il quale si muove on veloià rispeo al dr. upponiamo he gli esremi dell asa nel dr abbiano oordinae e : Essendo l asa in quiee nel dr la posiione dei suoi due esremi nel dr non ambia nel empo per ui non è neessario misurare simulaneamene la loro posiione. i ha dunque: " L asa a riposo nel dr L L < asa a riposo nel dr Dove oordinae e essendo osani si riferisono a un isane arbirario. L L < asa a riposo nel dr DMENIC GALLI Lunghea e Tempo 5 DMENIC GALLI Lunghea e Tempo 6 La Conraione Relaivisia delle Lunghee I ogliamo deerminare ora la lunghea L dell asa nel dr. Poihé l asa è in moo nel dr la posiione dei due esremi e ambia nel empo. orre sabilire in quali isani se ne misurano gli esremi. upponiamo di misurare gli esremi mediane una foo on nell isane m segnao dagli orologi del dr. Flash e in quiee nel dr. Cioè misura degli esremi simulaneamene nel dr. L m m L L misura simulanea degli esremi nel dr asa a riposo nel dr La Conraione Relaivisia delle Lunghee Le relaioni ra le posiioni degli esremi nei due dr è daa dalle rasformaioni di Loren diree o inverse: Ci ineressa quesa formula perhé le misure degli esremi sono simulanee in e non in per ui noi onosiamo e non. " " " " " L L < asa a riposo nel dr DMENIC GALLI Lunghea e Tempo 7 DMENIC GALLI Lunghea e Tempo 8

3 La Conraione Relaivisia delle Lunghee I La Conraione Relaivisia delle Lunghee II Dalle rasformaioni di Loren diree oeniamo in pariolare per i esremi dell asa: " " " m m " " " m m da ui: " m " m " m m m " m L m " m " L " asa a riposo nel dr L L Dunque per effeo delle rasformaioni di Loren l asa è più ora nel dr nel quale l asa è in moo. L L " onraione relaivisia delle lunghee Il dr in ui la lunghea dell asa è massima è il dr in ui l asa è a riposo lunghea a riposo o lunghea propria. L L < asa a riposo nel dr DMENIC GALLI Lunghea e Tempo 9 DMENIC GALLI Lunghea e Tempo Reiproià Reiproià II upponiamo ora he l asa di lunghea a riposo sia posa in quiee nel dr menre il dr si muove on veloià rispeo al dr. upponiamo he gli esremi dell asa nel dr abbiano oordinae e : Essendo l asa in quiee nel dr la posiione dei suoi due esremi nel dr non ambia nel empo per ui non è neessario misurare simulaneamene la loro posiione. i ha dunque: dove oordinae e essendo osani si riferisono a un isane arbirario. L DMENIC GALLI Lunghea e Tempo asa a riposo nel dr ogliamo deerminare ora la lunghea L dell asa nel dr. Poihé l asa è in moo rispeo al dr la posiione dei due esremi e ambia nel empo. orre sabilire in quali isani se ne misurano gli esremi. upponiamo di misurare gli esremi mediane una foo on nell isane m segnao dagli orologi del dr. Flash e in quiee in. Cioè misura degli esremi simulaneamene in. L m " m DMENIC GALLI Lunghea e Tempo misura simulanea degli esremi nel dr L asa a riposo nel dr

4 Reiproià III Reiproià I Le relaioni ra le posiioni degli esremi nei due dr è daa dalle rasformaioni di Loren diree o inverse: " " DMENIC GALLI Lunghea e Tempo " " Ci ineressa quesa formula perhé le misure degli esremi sono simulanee in e non in per ui noi onosiamo e non. L asa a riposo nel dr 3 Dalle rasformaioni di Loren inverse oeniamo in pariolare per i esremi dell asa: " " " " m " " m " " " " " " m " m " " da ui: " " m m m m " m m L m m DMENIC GALLI Lunghea e Tempo " " < L asa a riposo nel dr 4 Reiproià L asa è più ora nel dr. Dunque non osane noi abbiamo inverio le pari asa a riposo nel dr invee he asa a riposo nel dr per effeo delle rasformaioni di Loren l asa è sempre più ora nel dr nel quale l asa è in moo. L L " Il dr in ui la lunghea dell asa è massima è il dr in ui l asa è a riposo lunghea a riposo o lunghea propria. DMENIC GALLI Lunghea e Tempo L asa a riposo nel dr 5 Le Lunghee si Possono Anhe Dilaare: È Quesione di imulaneià upponiamo ome nel primo aso esaminao he l asa di lunghea a riposo sia posa in quiee nel dr il quale si muove on veloià rispeo al dr. Gli esremi dell asa nel dr abbiano oordinae e : Essendo l asa in quiee nel dr la posiione dei suoi due esremi nel dr non ambia nel empo per ui non è neessario misurare simulaneamene la loro posiione. i ha dunque: " dove oordinae e essendo osani si riferisono a un isane arbirario. DMENIC GALLI Lunghea e Tempo L L L > L asa a riposo nel dr 6

5 Le Lunghee si Possono Anhe Dilaare: È Quesione di imulaneià II Le Lunghee si Possono Anhe Dilaare: È Quesione di imulaneià III ogliamo deerminare ora la lunghea L dell asa nel dr. Poihé l asa è in moo nel dr la posiione dei due esremi e ambia nel empo. orre sabilire in quali isani se ne misurano gli esremi. A differena del aso preedene supponiamo di meere sull asa solidale a essa un disposiivo lampeggiaore orologio ollegao on fili di ugual lunghea a due lampade pose alle esremià dell asa e on il lampo delle due lampade impressioniamo una in quiee nel dr del laboraorio: Misura degli esremi dell asa nel dr simulaneamene nel dr aso preedene: 7 " " DMENIC GALLI Lunghea e Tempo L L L L L L asa a riposo nel dr > L DMENIC GALLI Lunghea e Tempo 8 " " " " da ui: > L L " 9 > L DMENIC GALLI Lunghea e Tempo " " " " " " m" " m" m" " m" m " m m " "m " L m " m " L asa a riposo nel dr Dalle rasformaioni di Loren inverse oeniamo in pariolare per i esremi dell asa: Ci ineressa quesa formula perhé le misure degli esremi sono simulanee in e non in per ui noi onosiamo e non. Le Lunghee si Possono Anhe Dilaare: È Quesione di imulaneià Le relaioni ra le posiioni degli esremi nei due dr è daa dalle rasformaioni di Loren diree o inverse: L m " m Le Lunghee si Possono Anhe Dilaare: È Quesione di imulaneià I " " Misura degli esremi dell asa nel dr simulaneamene nel dr presene aso: DMENIC GALLI Lunghea e Tempo Il lampo si ha nell isane m dell orologio sulla sbarra del dr. asa a riposo Pelliola in quiee in. nel dr L Cioè misura degli esremi in simulaneamene in. L L > L L m m L L L asa a riposo nel dr > L

6 Le Lunghee si Possono Anhe Dilaare: È Quesione di imulaneià I La Dilaaione Relaivisia dei Tempi Dunque quesa vola per effeo delle rasformaioni di Loren e a ausa della differene sela di simulaneià delle misure l asa è più lunga nel dr nel quale l asa è in moo. Consideriamo la misura della duraa di un eveno he ha luogo in una posiione fissa nel dr per esempio il sempieriodo dell osillaione di un pendolo. L " > L orologio poso in fermo rispeo a misura il empo quando l eveno ha iniio e quando l eveno ermina. La duraa dell eveno misuraa da è quindi T " L L L > L asa a riposo nel dr DMENIC GALLI Lunghea e Tempo DMENIC GALLI Lunghea e Tempo La Dilaaione Relaivisia dei Tempi II La Dilaaione Relaivisia dei Tempi III ogliamo ora deerminare il semiperiodo del pendolo nel dr rispeo al quale il dr si muove on veloià. Poihé il pendolo è in moo nel dr la posiione del pendolo nei due isani e è diversa: e. orre sabilire in quali posiioni si misurano i empi. upponiamo di misurare i empi nella posiione m fissa nel dr a ui però orrisponderanno posiioni diverse nel dr : T m " m misure nella sessa posiione nel dr " m " m Le relaioni ra i empi nei due dr è daa dalle rasformaioni di Loren diree o inverse: " " " m " " Ci ineressa quesa formula perhé le misure dei empi sono nello sessa posiione in e non in per ui noi onosiamo e non. " m DMENIC GALLI Lunghea e Tempo 3 DMENIC GALLI Lunghea e Tempo 4

7 La Dilaaione Relaivisia dei Tempi I La Dilaaione Relaivisia dei Tempi Dalle rasformaioni di Loren inverse oeniamo in pariolare per i isani: " " m " " " " " m " " " " m " " " " " m da ui: " m m T m m " " m " " m " T T " > T " m " m Dunque per effeo delle rasformaioni di Loren l inervallo di empo è più lungo nel dr nel quale il pendolo è in moo: T T T " > T dilaaione relaivisia dei empi Il dr in ui il periodo del pendolo è minimo è il dr in ui il pendolo è a riposo empo proprio. " m " m DMENIC GALLI Lunghea e Tempo 5 DMENIC GALLI Lunghea e Tempo 6 Reiproià Reiproià II L effeo di dilaaione dei empi deve essere ompleamene reiproo e non deerminare il privilegio di nessun dr rispeo agli alri. Cosideriamo un dr in moo relaivo rispeo al dr. La hiave della risposa sa nel proedimeno di onfrono degli orologi. Per onfronare i empi in un ero isane oorre poere disporre di due orologi he in quell isane si rovano nella sessa posiione: Un orologio fisso in è viso in moo da un osservaore in il quale dunque lo vede rimanere indiero. Alrimeni non è possibile definire univoamene la simulaneià della misura del empo da pare dei orologi. Tuavia è vero anhe he un orologio fisso in è viso in moo da un osservaore in il quale dunque lo vede rimanere indiero. orre dunque poere disporre almeno in uno dei dr di una suessione di orologi i ra loro. Come si possono oniliare quese due affermaioni? Qual è l orologio he veramene rimane indiero rispeo all alro? Qual è l orologio he invee va avani rispeo all alro? P. es. mediane un disposiivo di sinronismo he omanda ui gli orologi della suessione mediane avi elerii della sessa lunghea. Nell alro dr è suffiiene un orologio singolo. DMENIC GALLI Lunghea e Tempo 7 DMENIC GALLI Lunghea e Tempo 8

8 Reiproià III Reiproià I Nel nosro alolo abbiamo supposo di misurare sia il empo sia il empo nel puno alla oordinaa m he è fisso nel dr ma he si muove nel dr. Queso signifia he abbiamo bisogno di un solo orologio nel dr ma di almeno orologi nel dr. L orologio he rimane indiero è quello nel dr ioè l orologio singolo he viene onfronao on orologi. " m " m In generale rimane indiero l orologio singolo he viene onfronao on la suessione di orologi. rimane indiero rimane indiero DMENIC GALLI Lunghea e Tempo 9 DMENIC GALLI Lunghea e Tempo 3 Reiproià Paradosso dei Gemelli Che osa suede se si prendono orologi: Uno fisso in un ero dr ineriale; Uno he parendo dallo sesso puno desrive una raieoria hiusa e riorna al puno di parena? In queso aso il alolo è più ompliao perhé l orologio in moo si rova in un dr nonineriale non è in moo raslaorio reilineo e uniforme rispeo a un dr ineriale. Tuavia si può dimosrare he rimane indiero l orologio in moo. Uno dei due gemelli pare a bordo di una naviella spaiale e ompie un lungo viaggio on veloià osane e prossima a quella della lue lasiando l alro gemello sulla Terra. Dopo aluni anni egli riorna sulla Terra e si riongiunge al fraello. Per uo il empo in ui è sao sulla naviella il gemello viaggiaore ha vissuo in un mondo in ui lo sorrere del empo e ui i fenomeni ompresi i proessi biologii dell invehiameno erano rallenai. La reiproià non vale perhé uno dei due dr non è ineriale. rimane indiero Al suo riorno sulla Terra egli sarà quindi rimaso più giovane del fraello he è rimaso sulla Terra. DMENIC GALLI Lunghea e Tempo 3 DMENIC GALLI Lunghea e Tempo 3

9 Paradosso dei Gemelli II e il gemello viaggiaore ha viaggiao per anni seondo quano indiao dall orologio della naviella a una veloià v.9 per il gemello sulla Terra sono passai: T T T " anni ".9.94 anni Prof. Domenio Galli Diparimeno di Fisia domenio.galli@unibo.i hp:// hps://lhbweb.bo.infn.i/gallididaia DMENIC GALLI Lunghea e Tempo 33