3 Cinematica. La descrizione del moto dipende dal sistema di riferimento in cui viene studiato.

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1 3 Cinemaica 3 Cinemaica Inroduzione Moi reilinei Alcuni esempi di grafici orari Moi reilinei: definizione della velocià Regole di derivazione Relazione ra la velocià veoriale isananea e la velocià scalare isananea Moi reilinei: definizione dell'accelerazione Moi reilinei: il problema del moo Risoluzione formale delle equazioni differenziali (definizione dell inegrale) Risoluzione formale delle equazioni differenziali (meodo alernaivo più veloce) Le soluzioni dell equazione differenziale. Il problema delle condizioni iniziali L inegrale definio Moo reilineo uniforme Moo reilineo uniformemene accelerao Velocià in funzione della posizione Moo dei corpi in cadua libera Moo smorzao Moo armonico Moo in due e re dimensioni. Legge oraria Moo nel piano: la velocià angolare Moo in due dimensioni: definizione del veore velocià Rappresenazione della velocià riferia alla raieoria Rappresenazione caresiana della velocià Rappresenazione polare della velocià Moo in due (re) dimensioni: definizione del veore accelerazione Moo armonico e moo circolare uniforme Moo in re dimensioni: il problema del moo Moo del proieile Moi relaivi Inroduzione. La cinemaica, fornisce una descrizione del moo in ermini delle grandezze caraerisiche del moo sesso: la lunghezza, il empo e le grandezze derivae da quese, cioè la velocià e l'accelerazione. La cinemaica, quindi, deermina le relazioni ra quese grandezze. La dinamica complea la descrizione del moo facendolo derivare dalle cause che lo hanno prodoo: le forze. Per descrivere il moo di un corpo, bisogna essere in grado di descrivere come varia la sua posizione in funzione del empo. Abbiamo già viso che la posizione di un corpo può essere specificaa inroducendo un sisema di riferimeno (*), per esempio una erna caresiana. La descrizione del moo dipende dal sisema di riferimeno in cui viene sudiao. Consideriamo il moo di una persona che, rispeo ad un sisema di riferimeno solidale con la sanza in cui si rova, percorre un rao di 5 m in s. In un sisema di riferimeno solidale con se sesso, invece la persona non si è mossa per niene. In un sisema di riferimeno con origine nel cenro della erra e assi invariabilmene orienai rispeo alle selle fisse, la persona si è invece sposaa di circa 1 Km a causa del moo di roazione della erra su se sessa. Si è sposaa di una (*) Il sisema di riferimeno sarà spesso indicao nel seguio anche con il ermine osservaore.

2 disanza ancora maggiore in un sisema di riferimeno con origine nel cenro del sole ed assi invariabilmene orienai rispeo alle selle fisse perché rascinao dalla erra nel suo moo di rivoluzione aorno al sole. E, infine, se si scegliesse come riferimeno una erna con origine nel cenro della Via Laea e assi invariabilmene orienai rispeo alle galassie lonane, bisognerebbe enere cono anche del moo di uo il sisema solare all'inerno della Via Laea. E così via. Quale sisema di riferimeno conviene scegliere per descrivere il moo? Quello in cui la descrizione del moo è la più semplice possibile, quello in cui si riescono ad evidenziare meglio quegli aspei del moo che maggiormene ci ineressano. Per un moo che avviene nel Laboraorio 1, un sisema di riferimeno solidale con il Laboraorio è più che sufficiene. Per descrivere il moo della luna o dei saellii arificiali aorno alla erra, si può prendere un riferimeno solidale con la Terra e con gli assi invariabilmene orienai rispeo alle selle fisse. Per descrivere il moo della Terra, o dei pianei inorno al sole, va meglio un sisema di riferimeno solidale con il Sole. Per descrivere un moo che avviene all'inerno di un reno che si muove con una cera velocià rispeo al suolo, si può usare un sisema di riferimeno legao al reno. Dal puno di visa cinemaico ui i sisemi di riferimeno sono equivaleni ra di loro, quello che cambia scegliendo l'uno o l'alro, è che la descrizione del moo divena più o meno complessa. Queso vale per esempio per la descrizione del moo dei pianei nel sisema geocenrico o eliocenrico. Vedremo poi in dinamica che si può selezionare una classe di sisemi di riferimeno in cui le leggi della dinamica sono valide. Con l'inroduzione di un sisema di riferimeno si può specificare la posizione di un corpo. Per descriverne il moo, è necessario anche un orologio che scandisca il empo e quindi permea di meere in corrispondenza la posizione occupaa dal corpo e l'isane di empo in cui ciò accade. In conclusione, per poer descrivere un moo, è necessario un sisema di riferimeno e un orologio che inizi a misurare il empo a parire da un isane arbirario, assuno come l'isane iniziale (=0). Cominceremo a sudiare il moo dei corpi che possono essere localizzai specificando solano la posizione di un puno, sudieremo cioè il moo del puno maeriale, un puno geomerico doao di massa. Quesa nauralmene è un'asrazione, serve per semplificare il problema: i corpi preseni in naura in generale non sono puniformi ma hanno delle sruure molo complesse: sono fai di aomi e molecole. A loro vola gli aomi sono fai di prooni e neuroni confinai nel nucleo dell aomo e di eleroni che si sposano in uo il volume aomico. Anche i componeni elemenari dell aomo, i prooni ed i neuroni, si comporano come sruure complesse fae a loro vola di quark; al momeno auale solo gli eleroni e i quark mosrano una sruura semplice, puniforme. E giusificao rappresenare un corpo maeriale mediane un puno? Se siamo ineressai al moo di insieme degli oggei e non alla descrizione deagliaa del moo di ogni loro pare, allora l approssimazione del puno maeriale è una buona approssimazione: così se vogliamo descrivere il moo di una auomobile che si sposa ra due cià o di una nave che si sposa ra due pori possiamo rappresenare quesi oggei come dei puni maeriali. Ovviamene in queso modo si rinuncia alla descrizione della roazione delle ruoe, del moo alernaivo dei pisoni nel moore, alla roazione delle eliche, ec. Anche corpi di grandi dimensioni come la erra possono essere rappresenai come un puno maeriale. Nello sudio del moo della Terra inorno al Sole, dao che le dimensioni della Terra sono molo più piccole rispeo alla disanza Terra-Sole, la Terra può essere pensaa come un puno 1 Per Laboraorio si inende la sanza in cui si effeua la osservazione del moo. Si noi che per moli anni, fino a Copernico, per la descrizione del:moo dei pianei è sao usao un sisema di riferimeno solidale con la Terra (geocenrico). G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 43

3 maeriale (R T = m, disanza Terra-Sole = 1 UA = m). Ovviamene con quesa semplificazione si perderanno moli deagli del moo erresre, per esempio non riusciremo a descrivere quei moi che dipendono proprio dalla esensione della erra, come per esempio la roazione aorno all asse erresre, il moo di precessione dell asse erresre e le variazioni delle dimensioni della erra (fenomeno delle maree): infai un puno maeriale, proprio perché non ha dimensioni, non può essere doao di quesi ipi di moo. Il fao che si possano approssimare corpi complessi con un puno maeriale ha comunque un fondameno eorico. Quando sudieremo il moo dei sisemi di puni maeriali faremo vedere infai che, dao un qualunque corpo, esise un suo puno caraerisico, denominao Cenro di Massa: il moo del corpo, comunque complesso, può essere sempre scomposo nel moo del cenro di massa, che descrive il moo di insieme del corpo sesso, più il moo delle varie pari del corpo rispeo al cenro di massa. Ne risula che se il corpo è rigido, le varie pari che cosiuiscono il corpo non si muovono l una rispeo all alra ( si pensi ad un corpo solido), e se il suo moo è di pura raslazione, cioè ue le pari del corpo si muovono allo sesso modo, con la sessa velocià, il moo del Cenro di Massa è sufficiene da solo a descrivere compleamene il moo dell inero corpo rigido. 3. Moi reilinei. Per semplificare uleriormene il problema, cominceremo lo sudio del moo dei corpi con lo sudio del moo reilineo. La raieoria, che è il luogo dei puni via via occupai dal puno maeriale, è in queso caso una rea. Esisono diversi esempi di moi reilinei: il moo di cadua di un corpo abbandonao con velocià nulla da una cera alezza sulla superficie erresre, il moo di un auomobile su un rao di srada reilineo, il moo dell ascensore, il moo oscillaorio di un grave appeso ad un soffio mediane una molla, ec. Per descrivere la posizione del puno maeriale durane il suo moo è sufficiene inrodurre un riferimeno unidimensionale lungo la raieoria reilinea: occorre cioè fissare sulla raieoria il verso posiivo e l'origine del sisema di riferimeno (chiameremo "asse " l'asse orienao così definio). Poi, con l'ausilio di un orologio che comincia a misurare il empo dall'isane in cui inizia l'osservazione del moo, meiamo in corrispondenza la posizione occupaa dal puno maeriale lungo la raieoria con l'isane di empo in cui ale posizione viene occupaa. Definiamo cioè la posizione del puno maeriale in funzione del empo = (). (s) (m) 0,00 1,00 0,03 0,99 0,07 0,98 0,10 0,95 0,13 0,91 0,17 0,86 0,0 0,80 0,3 0,73 0,7 0,65 0,30 0,56 0,33 0,46 0,37 0,34 0,40 0, 0,43 0,08 Tabella 1 1,0 1,00 0,80 0,60 0,40 0,0 0,00 (m) (m) Grafico orario 1,00 0,80 0,60 0,40 0,0 0,00 0,00 0,0 0,40 0,60 (s) La posizione del puno maeriale che si muove sulla raieoria reilinea in funzione del empo, G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 44

4 =() porà essere rappresenaa o mediane una espressione analiica: = 1,0 1 9, 81 in m in s dea legge oraria, oppure mediane una rappresenazione grafica, il grafico orario. Nel grafico orario si ripora sull'asse delle ascisse il empo, menre sull'asse delle ordinae la posizione del puno maeriale. (Poiché il empo non è una lunghezza, per rappresenare il empo sull'asse delle ascisse occorre definire una scala, per esempio 1 cm = 0,1 s. D'alra pare spesso anche la posizione, sebbene sia una lunghezza, viene rappresenaa mediane una scala: per esempio 1 cm = 0. m). (m) Grafico orario 1,00 0,80 0,60 0,40 0,0 0,00 0,00 0,0 0,40 0,60 (s) Nel grafico precedene è riporaa la posizione del puno maeriale agli isani di empo riporai nella Tab. 1. E' facile immaginare che misurando la posizione del puno maeriale ad inervalli di empo sempre più piccoli si riesca a conoscere la posizione del puno maeriale ad ogni isane di empo. In realà, una vola deerminai un cero numero di puni, si inerpolano i puni misurai con una curva coninua: l'esperienza mosra infai che un puno maeriale per sposarsi da una posizione ad un alra deve occupare ue le posizioni inermedie, non è mai sao verificao sperimenalmene che un corpo sia spario da una posizione e riapparso allo sesso isane in un'alra posizione ad una disanza finia della prima. La posizione è una vera funzione del empo, nel senso che a ciascun isane di empo è associaa una ed una sola posizione: in nessun caso è sao osservao sperimenalmene che un corpo occupi due posizioni diverse allo sesso empo (ubiquià). Se si conosce la legge oraria, o il grafico orario, è facile deerminare la posizione in cui si rovava il puno maeriale ad un paricolare isane di empo (per esempio, nel nosro caso al empo = 0. s). Legge oraria Se si conosce la legge oraria basa sosiuire il valore del empo nella espressione analiica e calcolare la posizione: = ,81 in m in s = 1,0 1 9, 81 0, = ,81 0, 04 = 1,0 0,196 = 0, 803 (m) Grafico orario Dal puno sull'asse delle ascisse corrispondene a 0, s, si manda la parallela all'asse delle ordinae fino ad inersecare la curva che rappresena il grafico orario. Dal puno di inersezione si manda la parallela all'asse delle ascisse fino ad inersecare l'asse delle ordinae e si deermina la posizione di ques'ulimo puno sull'asse delle ordinae. (m) Grafico orario 1,00 0,80 0,60 0,40 0,0 0,00 0,00 0,0 0,40 0,60 (s) G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 45

5 3.3 Alcuni esempi di grafici orari Puno maeriale fermo. Un puno maeriale fermo occupa sempre la sessa posizione: se si va a misurare ale posizione ad 1,0 1,00 0,80 (m) 1,0 1,00 0,80 0,60 0,40 0,0 (m) 0,60 0,40 0,0 0,00 0,00 0,00 5,00 10,00 15,00 (s) inervalli regolari di empo, si roverà sempre lo sesso valore. Il grafico orario è cosiuio da una rea parallela all'asse delle ascisse, la cui pendenza è nulla. Si noi che anche la velocià del puno maeriale è nulla. La legge oraria sarà quindi: = o dove o rappresena la posizione cosane del puno maeriale Puno maeriale in moo con velocià cosane. 1,0 (m) 1,0 1,00 0,80 1,00 0,80 an g α = Δ 0,60 (m) 0,60 Δ 0,40 0,40 0,0 0,0 0,00 0,00 0,00 5,00 10,00 15,00 (s) Poiché la velocià è cosane, il puno maeriale percorrerà rai uguali in inervalli di empo uguali (Δ = v). Il grafico orario sarà rappresenao da una rea inclinaa. Maggiore è la velocià del puno maeriale, ano più grande sarà la pendenza della rea nel grafico orario. D'alra pare la pendenza della rea è proprio uguale alla velocià del puno maeriale. Infai pendenza = an gα = Δ = v G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 46

6 La legge oraria, corrispondene all'equazione della rea nel grafico orario) sarà daa da: () = o + v dove o è la posizione del puno maeriale al empo = Moo di un auomobile su di un rao reilineo. Inizialmene l'auomobile si rova in A ferma. Il grafico orario è una rea parallela all'asse delle ascisse. All'isane 1 l'auomobile viene messa in moo e comincia ad Moo di una auomobile su un rao reilineo acquisare velocià come si deduce dalla pendenza variabile del grafico orario. La pendenza del grafico coninua ad aumenare fino all'isane di empo, il che vuol dire che la velocià dell'auomobile coninua ad aumenare fino all'isane. Successivamene il grafico orario ha una pendenza cosane e quindi l'auomobile percorre un rao di srada a velocià cosane. All'isane di empo 3, l'auomobile giuna nei pressi della sua desinazione finale comincia a rallenare: si può noare che la pendenza del grafico empo diminuisce fino a ridursi a zero all'isane di empo 4 in cui l'auomobile si ferma nella posizione B. Dopo 4 l'auomobile resa ferma nella posizione B (rao orizzonale del grafico). posizione 3.4 Moi reilinei: definizione della velocià. Supponiamo di conoscere l'equazione oraria del moo e che la dipendenza della posizione dal empo sia del ipo = o + v o + ½a o dove o è la posizione del puno maeriale all'isane di empo =0 (supponiamo valga 7. m), v o e a o sono delle cosani il cui significao apparirà più chiaro una vola compleao lo sudio del presene e del prossimo paragrafo. Le dimensioni di v o sono [LT -1 ], perano nel Sisema Inernazionale le unià di misura saranno m/s, menre le dimensioni di a o sono [LT - ] e le sue unià di misura saranno m/s. Supponiamo infine che i rispeivi valori numerici siano v o = 11.4 m/s e a o = -5.0 m/s. G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 47

7 (m) Grafico Orario (s) L'equazione oraria divena perano: = ( in m quando è in s) Quesa funzione (cioè la dipendenza della posizione dal empo) può essere rappresenaa in un grafico. Riporiamo sull'asse delle ascisse il empo e sull'asse delle ordinae la posizione del puno maeriale. (Per poer rappresenare il empo come una lunghezza sull'asse delle ascisse, dobbiamo inrodurre un coefficiene di proporzionalià, per cui per esempio 1 cm corrisponde a 1 s). La curva disegnaa, che rappresena la funzione () = , mee in relazione l'isane di empo con la posizione occupaa sulla raieoria reilinea dal puno maeriale. Supponiamo di voler conoscere la posizione del puno maeriale all'isane di empo 1. Si manda per 1 la parallela all'asse delle ordinae fino ad inersecare la curva nel puno 1; si proiea queso puno sull'asse delle ordinae, oenendo così la posizione, 1, occupaa dal puno maeriale all'isane di empo 1. In maniera analoga si può ricavare la posizione,, occupaa dal puno maeriale ad un isane successivo. G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 48

8 (m) 5 Grafico Orario Si definisce sposameno del puno maeriale nell'inervallo di empo = - 1 sulla raieoria reilinea, che abbiamo chiamao asse, la quanià: Δ Δ = - 1 Si osservi che lo sposameno non ha niene a che vedere con il percorso effeuao dal puno maeriale nell'inervallo di empo. Facendo riferimeno alla figura si vede che il cammino percorso è dao dalla lunghezza del segmeno che va da 1 a massimo più la lunghezza del segmeno per andare da massimo a (s) 5 percorso effeuao = ma 1 + ma Se il puno maeriale alla fine dell'inervallo è ornao nella posizione di parenza, allora lo sposameno è nullo, menre non lo è il cammino percorso. (m) 5 Grafico Orario Si osservi infine che lo sposameno Δ alro non è che la componene del veore sposameno. Per alro essendo il moo lungo l asse, lo sposameno ha solo la componene an α = Δ (s) 5 Δ Definizione della velocià veoriale media Si definisce velocià (veoriale) media del puno maeriale nell'inervallo di empo il rapporo ra lo sposameno Δ subio dal puno maeriale e il corrispondene inervallo di empo. v = Δ m = Δ 1 1 La velocià media nell'inervallo di empo = - 1 alro non è che il coefficiene angolare della rea che passa per i puni 1 e del grafico orario. Poiché il moo del puno maeriale avviene lungo l'asse, indicheremo la velocià media con v m (Il pedice indica anche che v m è la componene del veore velocià. Nel paragrafo XX in cui verrà G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 49

9 daa la definizione del veore velocià, mosreremo che la precedene definizione di velocià media fornisce appuno la componene del veore velocià media). Perano: Δ 1 v m = = 1 Se v m è maggiore di zero (v m > 0) allora è maggiore di 1, ed il moo avviene nella direzione posiiva dell'asse delle, se v m à minore di zero (v m < 0) allora è minore di 1, ed il moo avviene nella direzione negaiva dell'asse delle. Definizione della velocià scalare media Si definisce invece velocià scalare media nell inervallo, il rapporo ra il percorso effeuao e l inervallo di empo impiegao. v sm = percorso effeuao La velocià scalare media in generale è diversa dalla velocià media: innanziuo essa e sempre posiiva, menre la velocià media può essere posiiva o negaiva a seconda se il moo avviene nel verso posiivo dell asse o in quello opposo. In secondo luogo abbiamo fao vedere che il percorso effeuao può essere diverso dal modulo dello sposameno. (m) ' 3 1 Grafico Orario an α = Δ (s) 5 Δ Supponiamo ora che il puno maeriale si muova, nell'inervallo di empo ra 1 e, con velocià cosane pari alla velocià media appena calcolaa. Allora il suo grafico orario in ale inervallo di empo sarà rappresenao dal segmeno reilineo ra i puni 1 e del grafico. La corrispondene legge oraria per compreso ra 1 e, sarà daa da: () = 1 + v m ( 1 ) = ( 1 ) com preso ra 1 e Come si vede dal grafico orario e della legge oraria, si riesce a predire con accuraezza la posizione del puno maeriale agli isani 1 e, gli esremi dell'inervallo di empo, ma la previsione fallisce miseramene per gli isani di empo inermedi. La velocià media non fornisce una buona descrizione del moo. Delle previsioni più accurae si riescono a fare se si suddivide l'inervallo di empo ra 1 e in inervalli più piccoli e in ciascuno di essi si calcola la velocià media, poi si sosiuisce il moo originario con rai di moo a velocià cosane pari alla velocià media calcolaa in quell'inervallo di empo. Il grafico orario ra 1 e divena, in queso caso, la linea spezzaa mosraa in figura. G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 50

10 Dal grafico precedene si inuisce che la descrizione del moo sarà ano più accuraa quano più grande è il numero degli (m) Grafico Orario inervalli in cui si suddivide 5 l'inervallo ra 1 e, cioè quano più si riduce l'inervallo di empo in cui si calcola la velocià media. Per oenere la 0 3 descrizione più accuraa '3 possibile del moo occorrerebbe ridurre a zero l'ampiezza dell'inervallo di empo in cui 15 Δ calcolare la velocià media, in 1 1 maniera da deerminare il valore della velocià ad un ben preciso 10 isane di empo: velocià / / / isananea Nauralmene, se si fa riferimeno alla definizione di 5 velocià media, si vede che non ha senso parlare di velocià media calcolaa su un inervallo di empo di ampiezza nulla. Noi 0 riusciamo ad aribuire al puno 1 (s) maeriale il valore della velocià possedua ad ogni isane di empo, o, in maniera equivalene assegnare ad ogni posizione occupaa dal puno maeriale il valore della sua velocià in quella posizione, uilizzando un Δ procedimeno di passaggio al (m/s) Δ in funzione di limie. 10 Si parla quindi non più di ( velocià media, ma di velocià v ( 1 ) 1 + ) ( 1 ) = lim 8 0 isananea, cioè la velocià possedua dal puno maeriale ad ogni isane di empo, oppure in 6 ciascuna posizione lungo la raieoria reilinea. 4 Supponiamo quindi di voler calcolare la velocià isananea all'isane di empo 1, o, equivalenemene nella posizione 0 ( 1 ). Si procede nel seguene modo: Si considera un inervallo di empo (>0, maggiore di zero), sia ( 1 + ) la posizione occupaa dal puno maeriale all'isane di empo ( 1 + ) (s) La velocià media nell'inervallo sarà daa da: ,5 1 1,5,5 3. ( Δ ) ( ) v = Δ m = + Δ 1 1 Definizione della velocià isananea (veoriale) G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 51

11 (m) 5 Grafico Orario 0 (1+) (1) 1 Δ v ( 1 ) = d() ( 1 + ) ( 1 ) = lim (s) 5 Si definisce velocià isananea all'isane di empo 1 il limie del rapporo incremenale: ( ) ( 1 ) v ( 1 ) 1 + = lim 0 ( ) ( 1 ) Il rapporo 1 + si chiama infai rapporo incremenale. Dall'analisi maemaica sappiamo che il limie del rapporo incremenale è uguale alla derivaa, rispeo al empo, della funzione () calcolaa all'isane di empo v ( 1 ) = lim 0 ( ) ( 1) = d( ) = 1 Dal grafico orario si può vedere che al endere di a 0, il puno ende al puno 1. Per cui la velocià isananea, all'isane di empo 1, corrisponde al coefficiene angolare della rea angene al grafico nel puno 1. Nell'esempio che siamo facendo, conoscendo l'espressione analiica della funzione rappresenaa nel grafico, possiamo calcolare espliciamene la velocià isananea all'isane di empo 1. lim 0 ( v ( 1 ) = lim 1 + ) ( 1 ) 0 = $ % o + v o ( 1 + )+ 1 lim a ( + & o 1 ) ' $ % + v ( )+ o o 1 1 a ( & o 1 ) ' 0 = # $ o + v o 1 + v o + 1 a ( o 1 ) + a o a % o () & # $ + v ( )+ o o 1 1 a ( % o 1 ) & = G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 5

12 $ % o + v o 1 + v o + 1 lim a o( 1 ) + a o a o() o v o ( 1 ) 1 a o( 1 ) 0 $ % v o + a o lim a o() 0 Possiamo concludere che la velocià all'isane di empo 1 è & ' = lim 0 [ v o + a o a () o ] = v o + a o 1 & ' = v ( 1 ) = v o + a o 1 che è anche il coefficiene angolare della angene al grafico nel puno 1. L'isane di empo 1 è sao scelo in maniera arbiraria, il risulao del limie del rapporo incremenale sarà sempre lo sesso qualunque sia l'isane 1 fissao. Così possiamo affermare che il valore della velocià isananea a qualunque isane di empo è dao da: v () = v o + a o = da cui si vede anche che v o è la velocià del puno maeriale all'isane =0. (m) (1+) (1) 1 Grafico Orario (s) 5 Δ v ( 1 ) = d() ( 1 + ) ( 1 ) = lim Regole di derivazione Se si conosce la legge oraria, per conoscere la velocià in funzione del empo è sufficiene fare la derivaa rispeo al empo della posizione applicando le regole sudiae in analisi per deerminare la derivaa di una funzione Derivaa di una funzione consane La derivaa di una funzione dà un idea di come varia la funzione sessa. Una funzione cosane, che non varia ha una derivaa nulla. Si pensi ad un oggeo fermo, che non varia la sua posizione, la sua velocià è nulla. f () = k = cosane df () = dk = La derivaa di una somma di funzioni La derivaa di una somma di funzioni è pari alla somma delle derivae. F() = f ()+ g() df() d ( f ()+ g() ) df () = = + dg() La derivaa di un prodoo di due funzioni La derivaa del prodoo di funzioni è uguale alla derivaa della prima per la seconda funzione più la prima funzione per la derivaa della seconda. F() = f ()g() df() = df () g()+ f () dg() G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 53

13 3.5.4 La derivaa di una cosane per una funzione La derivaa di una cosane per una funzione è uguale alla cosane per la derivaa della funzione. F() = kf () df() = dk df () df () f ()+ k = k = La derivaa del rapporo di due funzioni La derivaa del rapporo di due funzioni è uguale alla derivaa del numeraore per il denominaore meno il numeraore per la derivaa del denominaore, uo diviso per il denominaore al quadrao df () g() f () dg() g () F() = f () df() = g() La derivaa di una funzione di funzione. A vole ci sono funzioni che dipendono da una variabile araverso una seconda funzione. Per esempio consideriamo la seguene legge oraria: () = Acos(ω +ϕ) Che si può immaginare in queso modo: la funzione coseno è funzione dell angolo θ che varia nel empo secondo la legge θ=ω+ϕ. () = Acos(θ) con θ = ω +ϕ Per calcola la derivaa di una funzione di funzione si può operare in queso modo: si moliplica e si divide per il rapporo del differenziale della variabile inermedia: F() = f (g()) df() df (g()) df (g()) dg df (g) dg = = = dg dg Nel caso della funzione coseno: () = Acos(ω +ϕ) d d ( Acos(ω +ϕ) ) = = A d cos(ω +ϕ) cosane = A d cos(θ) dθ dθ = A ( sen(θ) d(ω +ϕ) ) dθ = Aωsen(ω +ϕ) La derivaa di alcune funzioni più comuni: f () = m df () con m reale = m = m m 1 df (θ) f (θ) = sin(θ) dθ = d sin(θ) dθ f (θ) = cos(θ) df (θ) dθ f () = e df () = de d d = e f () = ln() df () d = d cos(θ) dθ = d ln() d = 1 = cos(θ) = sin(θ) 3.6 Relazione ra la velocià veoriale isananea e la velocià scalare isananea. Definizione della velocià scalare isananea In analogia con la definizione della velocià veoriale isananea, la velocià scalare isananea si definisce come: G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 54

14 percorso effeuao v s ( 1 ) = lim 0 Si osservi dalla figura che, quando ende a zero, il percorso effeuao in divena uguale al valore assoluo dello sposameno. Perano: percorso effeuao v s ( 1 ) = lim 0 = lim 0 Δ = lim 0 ( 1 + ) ( 1 ) = v ( 1 ) La velocià scalare isananea è uguale al modulo della velocià veoriale. 3.7 Moi reilinei: definizione dell'accelerazione. Anche la velocià isananea può essere rappresenaa in un grafico. Riporiamo sull'asse delle ascisse il empo, e sull'asse delle ordinae la velocià. Siccome la velocià non è una lunghezza, occorrerà definire anche per la velocià un coefficiene di proporzionalià: per esempio 1 acca corrisponde a m/s. v (m/s) grafico della velocià isananea v (s) 5-5 v Il grafico della velocià deermina la corrispondenza ra l'isane di empo e la velocià del puno maeriale in quell'isane. Nel nosro esempio il grafico della funzione è una rea, avene coefficiene angolare a o. Definizione dell'accelerazione media. Come appare dal grafico, la velocià non è cosane, ma varia con il empo. Possiamo perciò calcolarci l'accelerazione, cioè la rapidià con cui varia la velocià. Operando come abbiamo fao per la velocià, consideriamo l'inervallo di empo = - 1. L'accelerazione media nell'inervallo si definisce come il rapporo ra la variazione di velocià subia dal puno maeriale nell'inervallo = - 1 e l'inervallo di empo, ossia: G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 55

15 Δv a m = = v v 1 1 Poiché si raa di un moo unidimensionale lungo l'asse, possiamo aggiungere il pedice all'accelerazione così calcolaa. Queso significa inerpreare l'accelerazione come componene del veore accelerazione. Come nel caso della velocià rimandiamo quesa verifica al momeno in cui inrodurremo l'accelerazione come veore. a m Δv = = v v 1 1 Applicando quesa definizione al paricolare moo che siamo sudiando oeniamo: a m = v o + a o ( v o + a o 1) v o + a o v o a o 1 a o ( 1) = = = a o Come per la velocià, anche nel caso dell accelerazione possiamo passare all'accelerazione isananea per una migliore descrizione del moo. Definizione dell'accelerazione isananea. L'accelerazione isananea all'isane di empo 1 si definisce come il limie del seguene rapporo incremenale: Δv a ( 1 ) = lim 0 = lim v ( 1 + ) v ( 1 ) 0 Uilizzando la definizione di derivaa, possiamo dire che l'accelerazione all'isane di empo 1 è uguale alla derivaa della funzione v () calcolaa al empo 1. a ( ) = 1 dv ( ) = 1 Applicando quesa definizione al paricolare moo che siamo sudiando oeniamo: v a ( 1 ) = lim o + a o ( 1 + ) v o a o ( 1 ) 0 = lim 0 a o G r a f i c o d e l l ' a c e l e r a z i o n e i s a n a n e a = lim 0 a o = a o S e r i e 3 L'accelerazione isananea all'isane di empo 1 è uguale all'accelerazione media nell'inervallo di empo = - 1, queso perché l'accelerazione è cosane durane il moo. Infai, poiché l'isane di empo 1 è sao scelo arbirariamene, l'accelerazione ad un generico A c c el r a zi o n a o G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 ( s ) 56

16 isane di empo si porà scrivere come: Nel nosro caso: a ( ) = dv ( ) a dv ( ) ( ) = = a o. Ovviamene anche l'accelerazione può essere rappresenaa in un grafico. Essendo cosane, l'accelerazione è rappresenaa da una rea parallela all'asse delle ascisse, che inerseca l'asse delle ordinae alla coordinaa a o. G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 57

17 3.8 Moi reilinei: il problema del moo. Nel dare la definizione della velocià isananea e dell'accelerazione abbiamo supposo noa la legge oraria (posizione in funzione del empo) o la dipendenza della velocià dal empo e quindi abbiamo ricavao rispeivamene la velocià e l accelerazione. Supponiamo ora di conoscere l'accelerazione subia dal puno maeriale P durane il suo moo, di conoscere cioè l accelerazione ad ogni isane di empo, o in alri ermini l accelerazione come funzione del empo, siamo in grado di risalire alla sua legge oraria? Possiamo riscrivere la definizione dell'accelerazione avendo cura di meere a sinisra le quanià incognie e a desra le quanià noe, oeniamo: dv = a e poi passando allo sposameno: Combinando le due, oeniamo la relazione ra l'accelerazione e lo sposameno. d d = v = a Allora risolvere il problema del moo significa risolvere l'equazione precedene. Poiché vi compaiono le derivae, l'equazione si dice differenziale. In paricolare è differenziale del second'ordine perché vi compare la derivaa seconda. Cosa vuol dire risolvere una equazione differenziale? Risolvere una equazione differenziale del ipo: d ( ) = a ( ) significa ricercare ra ue le possibili funzioni del empo quelle che derivae due vole rispeo al empo diano proprio la funzione accelerazione: () a () In analisi si dimosra che esisono infinio alla soluzioni dell'equazione differenziale del secondo ordine. Infai se 1 () è una soluzione dell'equazione differenziale, anche la funzione: ( ) = k + k + ( ) 1 1 con k 1 e k cosani, è soluzione della sessa equazione differenziale. G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 58

18 d ( ) 1 = a ( ) perchè soluzione d( ) d1( ) d ( ) d 1( ) = k + = = a ( ) G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 59

19 3.9 Risoluzione formale delle equazioni differenziali (definizione dell inegrale). Cominciamo col supporre di conoscere l'andameno della velocià isananea v in funzione del empo, supponiamo per esempio che l'andameno sia quello mosrao nel grafico. v (m/s) (s) * Per deerminare la legge oraria del moo dobbiamo risolvere l'equazione differenziale: d() = v () Proviamo a calcolare lo sposameno subio dal puno maeriale nell'inervallo di empo [0,*] a parire dall'isane iniziale =0. Se conoscessimo la velocià veoriale media nell inervallo [0,*], lo sposameno subio porebbe essere calcolao araverso la seguene espressione: Purroppo noi, pur conoscendo la velocià ad ogni isane di empo, non sappiamo ancora calcolare la velocià media. Sappiamo solo che la velocià media è compresa ra la velocià massima e la minima nell inervallo di empo [0,*]. Se però riduciamo l ampiezza dell inervallo [0,*], allora la differenza ra il massimo ed il minimo della velocià nell inervallo scelo Δ = v m * v (m/s) # " ( ) o = v m # * o $ & * % =0 ( ) = o + v m * (s) * G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 60

20 divena sempre più piccolo. Per l ampiezza dell inervallo che ende a zero ale differenza divena zero. Perano se l ampiezza dell inervallo ende a zero, la velocià media risula essere uguale alla velocià massima che però è anche uguale a quella minima nello sesso inervallo. La sraegia per calcolare lo sposameno subio dal puno maeriale nell inervallo [0,*], è quello di suddividere l inero inervallo di osservazione in inervallini molo piccoli, infiniesimi, in maniera da ridurre a zero la differenza ra il massimo e il minimo della velocià in ciascuno degli inervallini, simare lo sposameno in ciascun inervallino, sommare ui gli sposameni su ui gli inervallini di empo in cui era sao suddiviso l inervallo [0,*]. Dividiamo dunque l'inervallo [0,*] in n inervalli ciascuno di ampiezza. Abbiamo così definio n+1 isani di empo: 0 o + 1 = o + = o + i = o + i n = o + n = * Lo sposameno subio dal puno maeriale nell'inervallo di empo, ra i-1 e i, sarà dao da: Δ i = vm,i Δ dove abbiamo indicao con v m,i la velocià media del puno maeriale nell'i-esimo inervallo di empo, cioè ra i-1 e i. Ovviamene lo sposameno complessivo nell'inervallo di empo ra 0 e *, si oiene sommando su ui gli inervalli di empo. Se o è la posizione della paricella all'isane di empo =0, possiamo scrivere: n (*) o = Δ i = v m,i i=1 Noi però non conosciamo la velocià media v m,i in ciascuno degli n inervalli di empo [1], sappiamo solo che essa è compresa ra il valore minimo e quello massimo assuni dalla funzione v () nell'inervallo ra i-1 e i. Possiamo fornire una sima della velocià media v m,i ponendola uguale al valore assuno dalla funzione v () nell'esremo iniziale dell'inervallo i-1 e i, cioè v m,i ~ v ( i-1 ) []. Di conseguenza n i=1 [1] In generale la velocià media nell'inervallo considerao non è uguale alla media dei valori della velocià agli esremi dell'inervallo v m,i (v( i-1 ) + v( i ))/ né è uguale al valore assuno dalla velocià nel puno di mezzo dell'inervallo D v m,i v( i-1 +/) Solo se la velocià varia linearmene nell'inervallo D, vale il segno di uguaglianza in enrambe le relazioni. [] Nauralmene la scela di approssimare il valore medio della velocià nell'inervallo i-esimo con il valore assuno dalla velocià isananea all'isane iniziale dell'inervallo sesso è assoluamene arbiraria. Se per esempio si scegliesse G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 61

21 la sima dello sposameno subio dal puno maeriale nell'inervallo di empo ra i-1 e i sarà daa da: ( ) Δ v i = i 1 che nel grafico è rappresenao dall'area del reangolo di base e alezza v ( i-1 ). Una sima dello sposameno complessivo subio dal puno maeriale nell'inervallo di empo ra =0 e, si oiene sommando le sime parziali: n (*) o = Δ i v ( i 1 ) i=1 Quesa sima dello sposameno, nel grafico, corrisponde all'area ricopera dagli n reangoli di ampiezza e alezza v ( i-1 ). La sima dello sposameno subio dal puno maeriale è ano migliore, quano migliore è l'approssimazione v m,i ~ v ( i-1 ) in ogni inervallo di empo. È abbasanza inuiivo che quano più piccolo è l'inervallo di empo, cioè quano più grande è il numero n di inervalli in cui viene diviso l'inervallo di empo ra 0 e, ano più piccola è la differenza ra il valore minimo ed il valore massimo assuni dalla funzione v () nell'inervallo ra i-1 e i, e, quindi, ano migliore è l'approssimazione v m,i ~ v ( i-1 ). Si può anzi affermare che quese due quanià coincidono nel limie per che ende a 0, o, equivalenemene, quando il numero degli inervalli, n, ende all'infinio. v (m/s) 4 0 n i= (s) * di approssimarla con il valore assuno dalla velocià isananea nell'isane finale dell'inervallo i-esimo, ale scela sarebbe alreano valida per giungere alla definizione di inegrale con la sessa idenica procedura. Una scela paricolarmene usaa per le applicazioni numeriche è la seguene: v m,i (v( i-1 ) + v( i ))/ cosa che equivale ad approssimare l'area soo la curva nell'inervallo i-esimo con l'area del rapezio di basi v( i-1 ) e v( i ) e alezza, anziché con l'area del reangolo di base v( i-1 ) e alezza. G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 6

22 v (m/s) (s) * Allora possiamo affermare che lo sposameno subio dal puno maeriale nell'inervallo di empo ra 0 e * è dao da: (*) o = lim n v ( i 1 ) Tale limie è, per definizione, l'inegrale ra 0 e * della funzione v (), e si scrive: n i=1 (*) o = o * v () Si noi che in ale inegrale abbiamo indicao la variabile di inegrazione in corsivo per disinguerla dal simbolo * con cui abbiamo indicao l'esremo superiore dell'inervallo di empo [0,*] in cui siamo calcolando lo sposameno del puno maeriale. Poiché l'isane * è generico (è sao fissao arbirariamene), l'equazione precedene vale qualunque sia l'isane di empo. Perano l'equazione oraria del moo del puno maeriale si può scrivere in maniera formale come: () = o + o v () 3.10 Risoluzione formale delle equazioni differenziali (meodo alernaivo più veloce) Suddividiamo l inervallo di osservazione del moo da 0 s a * in infinii inervallini di ampiezza. G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 63

23 v (m/s) * (s) Parendo dalla definizione di velocià d = v e moliplicando ambi i membri per, l ampiezza di ciascuno inervallino di empo 3, possiamo scrivere: d = v espressione che può essere inerpreaa in queso modo: In ciascuno degli infinii inervallini in cui ho suddiviso l inervallo di osservazione del moo, lo sposameno subio dal puno maeriale, d, è dao dal prodoo della velocià del puno maeriale in quell inervallino di empo per l ampiezza dell inervallo di empo. Nel grafico queso sposameno è rappresenaa dall area del reangolino di base e alezza v (). Di quese equazioni ne possiamo scrivere infinie, una per ciascun inervallino di empo. L eguaglianza ra primo e secondo membro coninuerà a valere se sommo ui i primi membri ra loro e ui i secondi membri. Sommare su infinii ermini infiniesimi significa fare l inegrale sull inero inervallo di osservazione del moo, ra 0 s (zero secondi) e *. * * d = v 0s L inegrale al primo membro è proprio (*)- o, con o la posizione occupaa dal puno maeriale all isane 0 s, perano si arriva alla soluzione formale dellequazione differenziale già rovaa: (*) = o + Poiché l isane *, la fine dell inervallo di osservazione del moo, è un isane scelo in modo arbirario, la relazione precedene vale per ui i valori di *, perciò poremo scriverla nella forma: 0s * 0s v 3 Si osservi che è infiniesimo ma sempre diverso da zero, per cui l operazione di moliplicare ambo i membri dell equazione è lecia. G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 64

24 () = o + 0s v ed oenere la posizione come funzione del empo (legge oraria) Le soluzioni dell equazione differenziale. Il problema delle condizioni iniziali L'espressione: () = k + o v () dove k è una cosane arbiraria, rappresena la soluzione generale dell'equazione differenziale da cui siamo parii. d = v Esisono cioè "infinio alla uno" soluzioni dell'equazione differenziale di primo grado, ane quane sono le possibili scele della cosane arbiraria k. Infai, siccome la derivaa di una cosane è sempre uguale a zero, cambiando la cosane addiiva nell'espressione di () non si cambia il valore della derivaa di (). Per passare dalle "infinio alla uno" soluzioni dell'equazione differenziale, alla equazione oraria del moo bisogna fissare la cosane addiiva k sulla base delle condizioni iniziali. Sapendo che all isane iniziale il puno maeriale si rova nella posizione o (condizione iniziale), imponendo che (0) sia proprio uguale a o si deermina il valore della cosane addiiva k. Nel nosro caso k è proprio uguale a o. Si dimosra in analisi che esise una ed una sola funzione soluzione dell equazione differenziale che soddisfa anche le condizioni iniziali. Nel caso di una equazione differenziale del secondo ordine le cosani da fissare sulla base delle condizioni iniziali sono due, come vedremo nei prossimi esempi. 3.1 L inegrale definio Inerpreazione geomerica dell inegrale definio Torniamo ancora alla definizione dell'inegrale: * v () = lim n v ( i 1 ) 0 Osservando il grafico della funzione v (), vediamo che man mano che diminuiamo l'ampiezza degli inervalli, l'area ricopera dai reangoli si avvicina sempre più all'area compresa ra l'asse dei empi e la curva v () e delimiaa dagli esremi dell'inervallo di empo, 0 e. Possiamo quindi inerpreare l'inegrale o * v () n i=1 G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 65

25 può essere appuno inerpreao come l'area delimiaa dall'asse delle ascisse e dalla curva che rappresena la funzione inegranda e compresa ra gli esremi dell'inervallo di inegrazione. Si può usare quesa v (m/s) inerpreazione per risolvere alcune semplici equazioni differenziali Bisogna fare aenzione, nel 1 valuare geomericamene l'inegrale, che le aree vanno sommae col proprio segno. 8 4 Inervalli di empo in cui la funzione è 0 posiiva danno luogo ad aree posiive, * 1 14 (s) inervalli di empo in cui la funzione è negaiva danno luogo ad aree negaive Richiamo delle regole per il calcolo dell inegrale definio Una vola daa la definizione dell inegrale araverso l operazione di limie, il calcolo dell inegrale definio si basa su alcune regole specifiche basae sulle regole di derivazione. E un po come accade per il calcolo della derivaa: la definizione viene daa come limie del rapporo incremenale, ma poi per calcolare la funzione derivaa di una funzione daa si usano alcune regole già richiamae al paragrafo 3.5. Riprendendo la definizione di inegrale definio daa nel paragrafo si vede che: la sommaoria si è rasformaa nel simbolo dell inegrale, una S (per somma) silizzaa, l inervallo si è rasformao nell inervallo infiniesimo, il valore della velocià all isane iniziale dell inervallo, nel valore della velocià all isane. gli indici della sommaoria, i che va da 1 a n, nei limii di inegrazione. La figura seguene mosra quali sono gli elemeni di un inegrale definio e il loro significao. G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 66

26 Limie superiore di inegrazione Inegrale definio i f f() Variabile di inegrazione f Il significao Limie inferiore di inegrazione Funzione Inegranda f() + * (s) Il calcolo di un inegrale definio Per calcolare l'inegrale definio della funzione f(), occorre ricercare una qualsiasi funzione F() della variabile di inegrazione, ale che la sua derivaa, faa rispeo alla variabile di inegrazione, sia proprio uguale alla funzione inegranda: df() = f () La funzione F() si chiama primiiva della funzione f(). Una vola individuaa una primiiva (di solio ce né più di una), il valore dell inegrale definio si oiene calcolando la differenza ra i valori assuni dalla funzione primiiva nell esremo superiore e nell esremo inferiore. In simboli: i f f () f = [ F() ] i = F( f ) F( i ) Le proprieà degli inegrali L inegrale alro non è che una somma, con l unica paricolarià che è faa su infinii ermini. Siccome in una somma il risulao non cambia cambiando l ordine con cui vengono sommai i vari ermini, allora ne deduciamo che l inegrale di una somma di funzioni è uguale alla somma degli inegrali. f f f f ( f ()+ g() ) = ( f () + g()) = f () + g() i i Inolre, così come in una somma, se ui i ermini hanno un faore comune, queso può essere messo in evidenza, così nell inegrale, evenuali cosani che moliplicano i vari elemeni infiniesimi da sommare, possono essere porae fuori del segni di inegrale. f f kf () = k f () i i Esempio: calcolo dell inegrale: In queso caso: la variabile di inegrazione è la variabile la funzione inegranda è la funzione cosane f()=1 la primiiva è F()= L inegrale divena dunque: i f d f = [ ] i i f d = f i = ( * ) o i i G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 67

27 3.13 Moo reilineo uniforme. E' un moo reilineo che avviene con velocià cosane, uguale alla velocià iniziale: v () = cosane = v o dove v o rappresena appuno la velocià del puno maeriale al empo =0 (v o = v (0)). v (m/s) v o 0 (s) e v o, cioè v o. Perano l'equazione oraria del moo è: Nel paragrafo precedene abbiamo viso che l'equazione oraria del moo è daa da: () = o + o v () dove o è la posizione del puno maeriale all'isane di empo =0 e l'inegrale si calcola deerminando l'area delimiaa dall'inervallo di inegrazione [0,], dall'asse delle ascisse e dalla curva che rappresena la velocià. Nel caso che siamo esaminando, cioè con v cosane, l'area cercaa è proprio l'area del reangolo di lai () = o + v o 3.14 Moo reilineo uniformemene accelerao. E' un moo reilineo caraerizzao da una accelerazione cosane, uguale a quella iniziale: a () = k = a o Nel paragrafo precedene abbiamo risolo la seguene equazione differenziale d() = v o con v o cosane. Ora invece vogliamo rovare l'espressione della velocià parendo dalla conoscenza dell'accelerazione cosane, a ()=a o. Dobbiamo perciò risolvere la seguene equazione differenziale: dv ( ) = a Confronando le due equazioni differenziali, si vede che esse sono formalmene ideniche: nella seconda v gioca il ruolo di e a o quello di v o. Ovviamene anche la soluzione avrà una sruura simile. o G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 68

28 a (m/s ) a o 0 v ( ) = v o + a o (s) Formalmene dunque, la soluzione all'equazione differenziale dv ( ) = a ( ) si scrive come: v () = v o + 0 a ( ) dove v o rappresena la velocià del puno maeriale all'isane di empo =0 e l'inegrale può essere calcolao valuando l'area compresa ra l'asse delle ascisse e la curva che rappresena l'accelerazione e delimiaa dagli esremi dell'inervallo di inegrazione. v (m/s) v o Possiamo ora fare un passo uleriore e deerminare la legge oraria del moo. Riporiamo in un grafico la velocià in funzione del empo. Essa sarà rappresenaa da una rea che inerseca l'asse delle ordinae nel puno v o e avene una pendenza pari ad a o. 0 (s) Come abbiamo viso precedenemene, la soluzione dell'equazione G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 69

29 differenziale d ( ) = v ( ) si può scrivere come: () = o + o v () L'inegrale, al solio può essere valuao calcolando l'area soo la curva della velocià che in queso caso è l'area di un rapezio di basi v (0)=v o e v () ed alezza pari a : o v () = 1 ( v o + v ()) = 1 ( v o + ( v o + a o ) ) = v o + 1 a o La legge oraria del moo è dunque daa da: ( ) = o + v o + 1 a o Facciamo una osservazione: nell'esempio precedene per deerminare l'espressione della legge oraria è sao necessario risolvere due equazioni differenziali: d( ) = v ( ) dv ( ) = a o e queso ha richieso la conoscenza di due cosani, la velocià iniziale e la posizione iniziale. Infai il problema che abbiamo affronao è sao quello di deerminare la funzione () soluzione dell'equazione del secondo ordine dv ( ) d ( ) = ao = a Per passare dalle infinio alla due soluzioni dell'equazione differenziale, all'unica che descrive il moo del puno maeriale è sao necessario fissare le condizioni iniziali del problema, cioè i valori assuni dalla velocià e dalla posizione ad un isane di empo, che noi abbiamo assuno coincidene con l'isane iniziale o = 0. Queso è vero non solo per il moo uniformemene accelerao. Ogni qualvola l'accelerazione è una funzione noa del empo o della posizione, inegrando le due equazioni differenziali del primo ordine: o dv ( ) d( ) = a ( ) = v ( ) corrispondeni alla seguene equazione differenziale del secondo ordine: d ( ) = a ( ) G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 70

30 è possibile deerminare la legge oraria del moo se vengono anche specificae le condizioni iniziale del moo, cioè la posizione e la velocià assune dal puno maeriale all'isane iniziale o = 0. Moo reilineo uniforme a ( ) = 0 v ( ) = v = cos o ( ) = + v o o Moo uniformemene accelerao a ( ) = a = cos o v ( ) = v o + a o ( ) = o + v o + 1 a o 3.15 Velocià in funzione della posizione Eliminando il empo ra l'espressione della velocià e quella della posizione in funzione del empo, si può oenere l'espressione della velocià in funzione della posizione. o o o o o o v ( ) = v + a elevando al quadrao v = v + v a + a Da cui: e enendo cono che: v = v o + a o v o + 1 a # " o $ si oiene () = o + v o + 1 a o () o = v o + 1 a o v = v o + a o ( o )) che ci fornisce l'espressione della velocià in funzione della posizione del puno maeriale Accelerazione in funzione della posizione. In alcuni casi può capiare di conoscere l espressione della accelerazione in funzione della posizione,. In al caso l equazione differenziale si scriverà: dv = a() Si possono moliplicare enrambi i membri per d, lo sposameno subio dal puno maeriale nell inervallo, uni degli infinii inervallini in cui è sao suddiviso l inervallo di osservazione del moo. dv d = a()d Porando a dividere d al primo membro si oiene: v dv = a()d v dv = a()d 0s 0s G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 71

31 dal primo membro si oiene: 0s $ 0s v dv = 1 v " # = 1 v ( v o ) e quindi 1 v ( v o ) = a()d v 0s = v o + a()d 0s Queso procedimeno può essere applicao a ui i moi. Per avere la soluzione complea occorre conoscere l espressione della accelerazione in funzione del empo Il caso del moo uniformemene accelerao. Nel caso paricolare in cui l accelerazione è cosane: v = v o + a o d v = v o + a o d 0s 0s v = v o + a o [ ] 0s v = v o + a o ( o ) Si rioiene cioè l equazione ra velocià e posizione che avevamo ricavao eliminando il empo nella legge oraria Moo dei corpi in cadua libera. Un esempio di moo con accelerazione cosane è il moo di cadua libera dei corpi pesani (gravi). Infai se si rascura la resisenza dell'aria, ed il moo avviene su di un percorso limiao nelle vicinanze della superficie erresre, si osserva che ui i corpi, qualunque sia la loro forma, dimensione, massa, composizione chimica, si muovono sooposi ad una accelerazione, dea accelerazione di gravià, il cui modulo vale circa 9.81 m/s, la direzione è quella della vericale e puna verso l'inerno della erra. La direzione vericale in un puno della superficie erresre può essere deerminaa per mezzo di un filo a piombo. In generale la direzione della vericale non passa per il cenro della Terra (queso succede solo ai poli e all equaore), ma ci passa molo vicino. Indichiamo l'accelerazione di gravià con g. Il veore g ha dunque modulo g=9.81 m/s, direzione quella della vericale, verso che puna verso l'inerno della erra. Si deve a Galilei l'osservazione sperimenale che ui i corpi in cadua subiscono la sessa accelerazione. Il moo di cadua libera è un moo piuoso rapido: un corpo che pare da fermo dopo 1 secondo ha percorso circa 5 m, dopo secondi circa 0 meri, dopo 3 secondi circa 45 meri, ec. Galilei uilizzò per i sui esperimeni dei piani inclinai. In queso modo riusciva a lavorare con accelerazioni più piccole di g. Egli, infai, si rese cono che nel moo su di un piano inclinao, un corpo subisce un'accelerazione pari alla componene di g lungo il piano inclinao. Lavorava così con moi più leni, che, quindi, a parià di disanza percorsa, duravano di più. In queso modo egli riuscì a ridurre l'errore relaivo nella misura degli inervalli di empo, che effeuava con un orologio ad acqua, osservando la variazione del livello dell'acqua in un recipiene forao. Non poendo a quell'epoca produrre il vuoo, e quindi eliminare gli effei dovui alla resisenza dell'aria, uilizzò oggei aveni la sessa forma, ma massa e composizione differeni, ed osservò appuno che ui i corpi cadevano sooposi alla medesima accelerazione. Cominciamo col deerminare il moo di un grave, nel caso in cui pare con velocià iniziale nulla oppure con una velocià iniziale v o lungo la vericale, cioè parallela, o aniparallela, a g. In queso caso il moo è reilineo, ed avviene lungo la vericale. Inroduciamo perciò un asse orienao vericale direo verso l'alo, l'asse y. G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 013/014 7