Geometria differenziale delle curve.

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1 Geomeria differenziale delle curve Curve paramerizzae Definizione Una curva paramerizzaa in IR n è un applicazione γ γ γ: I IR n,, γ n dove I = [a, b] IR è un inervallo della rea reale con a < b + γa γ a b γb Una curva paramerizzaa γ in IR Le funzioni γ,, γ n sono le componeni della curva L immagine ramie γ dell inervallo I in IR n si chiama raieoria o supporo della curva I puni γa e γb in IR n sono gli esremi della curva Una curva γ è chiusa se γa = γb Una curva si dice semplice se l applicazione γ che la definisce è inieiva Inuiivamene, si può pensare una curva come un puno mobile che al variare del empo descrive una raieoria nello spazio Nel seguio sudieremo curve paramerizzae in IR e in IR 3 quindi n = o n = 3 γ: I IR, γ, γ: I IR 3, γ γ γ γ 3 Lo scopo sarà quello di oenere informazioni sulla geomeria della raieoria, a parire dalle funzioni che ne definiscono una paramerizzazione

2 Esempi di curve paramerizzae Una rea in IR, passane per il puno P = p p e parallela al veore A = γ: IR IR p + a, P + A = p + a a a, in forma paramerica 3 La rea passane per P = e parallela ad A = Una rea in IR 3, passane per il puno P = p p e parallela al veore A = a a, in forma paramerica p 3 a 3 γ: IR IR 3, P + A = p + a p + a p 3 + a 3 Il grafico di una funzione f: I IR γ: I IR, f Il grafico della funzione f = sin + sin + sin 3 La parabola y = ax in IR può essere paramerizzaa così γ: IR IR a

3 La parabola y = x La circonferenza x + y = R di cenro l origine e raggio R in IR può essere paramerizzaa così γ: [, π] IR, θ R cos θ R sin θ Al variare di θ fra e π, la circonferenza è percorsa una vola, in senso aniorario L ellisse x a così + y b La circonferenza x + y = = con cenro l origine e semiassi a e b in IR con a, b > può essere paramerizzaa γ: [, π] IR a cos θ, θ b sin θ Al variare di θ fra e π, l ellisse è percorsa una vola, in senso aniorario L ellisse x 4 + y = 3

4 I due rami dell iperbole x paramerizzai così a y b = con cenro l origine e semiassi a e b in IR con a, b > possono essere γ: IR IR ±a cosh b sinh Il ramo dell iperbole x 4 y =, con x > Al variare di IR, γ = a cos b sin a, b > descrive una curva che giace sul cilindro vericale di equazione x a + y b = in IR 3 e si chiama elica cilindrica L elica cilindrica γ = cos sin 5 Osservazione Ci sono diversi modi di paramerizzare una sessa raieoria: ad esempio, due diverse paramerizzazioni dell asse x 3 in IR 3 sono dae da, IR, 3, IR; due diverse paramerizzazioni della circonferenza x + y = sono dae da cos θ cos θ, θ [, π],, θ [, π] sin θ sin θ Nel primo caso la circonferenza è percorsa una vola in senso aniorario; nel secondo caso è percorsa due vole, sempre in senso aniorario 4

5 3 Curve paramerizzae regolari Per semplicià considereremo curve γ le cui componeni γ i sono infiniamene differenziabili Definizione Una curva paramerizzaa γ: I IR n si dice regolare se per ogni I il veore γ γ γ = γ n Se c e un puno I in cui γ =, si considerano separaamene le componeni di I \ { }, su cui γ è regolare Il veore γ è chiamao veore angene alla curva in γ: al variare di I, è un veore parallelo alla rea angene alla curva nel puno γ, con verso concorde al senso di percorrenza della curva Vedremo in seguio che la sua norma γ coincide con la velocià scalare con cui è percorsa la curva, a empo Esempio Consideriamo la curva γ = Dunque γ γ = sin π, al variare di [, ] Il veore angene è dao da cos 4π π cos π, γ = 4π cos π + 6 sin π >, [, ] 4π cos 4π per ogni [, ] e la curva γ è regolare La raieoria della curva γ = sin π e la rea angene in un puno della raieoria cos 4π 5

6 4 Lunghezza di un arco di curva Sia γ: [a, b] IR n una curva regolare Una suddivisione dell inervallo [a, b] è un insieme di puni = a < < < n < n = b Ad ogni suddivisione dell inervallo [a, b] possiamo associare una poligonale P con verici γ, γ,, γ n su γ γ γ γ n- γ n Una poligonale P con verici sulla curva γ La lunghezza di quesa poligonale è daa dalla somma delle lunghezze dei suoi lai LP = γ γ + γ 3 γ + γ n γ n Aggiungendo puni ad una suddivisione daa dell inervallo [a, b], si deermina una poligonale P di lunghezza LP LP per la disuguaglianza riangolare Inolre, LP è più vicina alla lunghezza della raieoria di γ Al endere all infinio del numero dei puni delle suddivisioni di [a, b] così oenue, le lunghezze delle poligonali associae formano una successione monoona non decrescene che converge all inegrale b a γ d Definizione Definiamo lunghezza d arco la funzione daa da L γ = a γ τ dτ = a γ τ + + γ n τ dτ La funzione L γ è posiiva, perché è inegrale di una funzione posiiva; inolre è sreamene crescene: infai, per il eorema fondamenale del calcolo inegrale, la sua derivaa è daa da L γ = d d a γ τ dτ = γ, ed è posiiva posiiva dao che per una curva regolare γ >, per ogni [a, b] La norma γ del veore γ coincide con la velocià scalare con cui è percorsa la raieoria di γ, che per definizione è appuno la derivaa della disanza percorsa L γ rispeo al empo Esempio La lunghezza del rao di elica cilindrica γ = [ π, ] è daa da L γ = π cos sin, percorso nell inervallo di empo sin τ + cos τ + dτ = dτ = + π π In paricolare, la lunghezza del rao di elica cilindrica paramerizzao dall inervallo [ π4π] risula L γ [ π, 4π] = 6π 6

7 5 Paramerizzazioni equivaleni Ci sono diversi modi di paramerizzare una sessa raieoria Siano γ: [a, b] IR n e γ: [c, d] IR n due paramerizzazioni di una sessa raieoria Definizione Si dice che γ e γ sono equivaleni se esise una funzione φ: [a, b] [c, d], infiniamene differenziabile, sreamene crescene o decrescene con φ, per ogni [a, b], ale che γ = γφ, [a, b] Esempio Le due diverse paramerizzazioni dell asse x 3 in IR 3 dae da γs =, s IR, γ = s 3, IR non sono equivaleni Infai per φ = 3 si ha γ = γφ, ma φ = Esempio Le due diverse paramerizzazioni della circonferenza x + y = dae da cos s cos θ γs =, s [, π], γθ =, θ [, π] sin s sin θ sono equivaleni Infai γθ = γφθ, con φθ = θ Inolre φ: [, π] [, π] è una funzione biieiva, con φ θ > Derivando γ e γ rispeo a, oeniamo γ = γ φφ ossia γ γ n = γ φ γ nφ φ, 5 da cui vediamo che, dae due paramerizzazioni equivaleni γ e γ di una sessa raieoria: a γ è regolare se e solo se γ è regolare; b i veori angeni γ e γ hanno la sessa direzione; c i veori angeni γ e γ hanno lo sesso verso se e solo se φ >, per ogni [a, b] Alrimeni hanno verso opposo Derivando γ e γ rispeo a, oeniamo ossia γ γ n γ = γ φφ + γ φφ 5 = γ φ γ φ φ + γ nφ γ nφ φ, da cui vediamo che i veori γ e γ, e i veori γ e γ, se generano un piano, generano lo sesso piano Span{γ, γ } = Span{ γ φ, γ φ} Queso piano si chiama piano osculaore alla curva Osservazione I puni in cui γ e γ non sono linearmene indipendeni, e dunque non generano un piano, sono i cosidei puni di flesso Osservazione Le relazioni 5 e 5 suggeriscono che la direzione del veore angene e il piano osculaore sono deerminai dalla geomeria della raieoria, e non dipendono dalla paramerizzazione Sudiare la velocià con cui variano lungo la raieoria ci darà informazioni sulla geomeria della raieoria Prima di far queso però è necessario normalizzare il modo in cui la raieoria viene percorsa 7

8 6 Paramerizzazione di una curva regolare rispeo alla lunghezza d arco lunghezza d arco In quesa sezione dimosriamo che la raieoria di una curva regolare γ: [a, b] IR n ammee una paramerizzazione γ, equivalene a γ, con velocià scalare cosane uguale a uno Come abbiamo viso nella Sezione 4, la funzione lunghezza d arco L γ = a γ τ dτ ha derivaa L γ = γ sreamene posiiva in ogni puno e definisce dunque una biiezione L γ : [a, b] [, L], dove L = b a γ τ dτ è la lunghezza di γ[a, b] Se definiamo γ := γ L γ, abbiamo che γ: [, L] IR n, soddisfa γl γ = γ, [a, b] 6 ed è una paramerizzazione equivalene della raieoria di γ Se chiamiamo s = s = L γ, derivando la 6, roviamo d d γl γ = d ds γs d d L γ = γ s γ = γ, da cui γ s = γ γ e γ s Dunque la raieoria è percorsa con velocià scalare cosane uguale a uno In queso caso si dice che la raieoria è paramerizzaa rispeo alla lunghezza d arco Si verifica infai che L γ s = s γ τ dτ = s dτ = s, ossia la lunghezza dell arco di curva γ paramerizzao dall inervallo [, s] è proprio s Esempio La circonferenza γθ = sin θ Infai γ x = cos θ Esempio Sia γ = cos θ, θ [, π], è paramerizzaa rispeo alla lunghezza d arco sin θ = e la lunghezza della raieoria percorsa nell inervallo [, θ] è L γ θ = θ γ τ dτ = θ dτ = θ 3 3, In queso caso γ =, da cui γ = = + La curva non è paramerizzaa rispeo alla lunghezza d arco: infai L γ = γ τ dτ =

9 7 Curvaura di una curva in IR Sia γ: I IR γs = γ s, γ s una curva regolare in IR paramerizzaa rispeo alla lunghezza d arco percorsa a velocià scalare cosane uguale a uno e sia γ γ s = s γ s, γ s il versore angene alla curva, che indicheremo anche con s := γ s Consideriamo adesso la derivaa del versore angene γ γ s = s γ s Il veore γ s è orogonale a γ s quando è non nullo Infai implica γ s γ s = γ s + γ s = d ds γ s γ s = γ sγ s + γ sγ s = γ s γ s Definiamo versore normale alla curva il versore di γ s quando γ s è non nullo e lo indichiamo con ns := γ s γ s = s s Definizione Definiamo curvaura della curva γ la funzione e raggio di curvaura di γ il suo reciproco ks := γ s = s ρs := ks per ks Il significao geomerico della curvaura e del raggio di curvaura sono precisai dal seguene fao: Per ogni s I, il cerchio di cenro Cs = γs + ρsns e raggio ρs è un cerchio angene alla curva in γs deo cerchio osculaore a γ in γs Definizione La curva Cs descria dai cenri dei cerchi osculaori a γ al variare di s I, è dea evolua di γ In generale, la curvaura misura la velocià con cui una curva γ si discosa da una rea Quano maggiore è la curvaura, ano più la curva si arriccia Esempio Sia γ = P + A, con IR, una rea in IR in forma paramerica Si ha che la rea è paramerizzaa rispeo alla lunghezza d arco se e solo se A = Il versore angene γ = A è cosane, 9

10 da cui segue che γ In queso caso si dice che la curvaura di γ è idenicamene nulla: κ D alra pareuna rea non curva R cos Esempio Sia γθ = R θ R sin R θ, con θ [, π], la circonferenza di cenro l origine e raggio R Osserviamo innanziuo che γ è paramerizzaa rispeo alla lunghezza d arco: infai γ sin θ = R θ cos R θ, γ θ Quindi possiamo calcolare la curvaura e il raggio di curvaura di γ direamene dalle definizioni kθ = γ θ = R cos R θ R sin R θ, ρθ R R Dunque la circonferenza di raggio R ha curvaura cosane inversamene proporzionale al raggio: ano maggiore è il raggio, ano meno curva è la circonferenza Il cerchio di cenro R cos C = R θ cos R sin R θ + R R θ sin R θ = e raggio R è il cerchio osculaore ad ogni puno della circonferenza Come previso coincide con la circonferenza sessa La curvaura con segno Per le curve del piano a vole si considera la curvaura con segno k s, che dà informazioni non solo sulla geomeria della raieoria ma anche sul senso in cui è percorsa Sia s il versore angene alla curva e sia n s s un versore normale a s e ale che la coppia {s, n s s} sia orienaa posiivamene Osserviamo che il versore n s s è sempre ben definio, anche quando γ s = O Se γ s O, allora n s s = ±ns La curvaura con segno è per definizione la funzione per cui vale In paricolare, γ s = k s sn s s k s s := γ s n s s γ s Osservazione Sia γs =, s I una curva in IR, paramerizzaa rispeo alla lunghezza d arco γ s cos θs Scriviamo il versore angene come γ s =, con θs angolo che dipende da s Il versore n sin θs s è sin θs sin θs dao allora da n s s = Derivando γ cos θs rispeo ad s roviamo γ s = θ s e la cos θs curvaura con segno risula k s s = γ s n s s = θ sin θs sin θs s = θ s cos θs cos θs Da ciò segue che nei rai in cui la curva gira in senso aniorario la curvaura con segno è posiiva e coincide con la curvaura assolua : k s s = ks > ; nei rai in cui la curva gira in senso orario la curvaura con segno è negaiva e vale k s s = ks < Sia γ = γs una curva in IR, paramerizzaa rispeo alla lunghezza d arco, e sia F : IR IR, X MX + b, b IR, M marice orogonale, con de M = Si verifica facilamene che la curva γs = Mγs + b, immagine di γ ramie F, ha la sessa curvaura con segno di γ Viceversa, la curvaura con deermina compleamene una curva del piano, a meno di movimeni rigidi:

11 Teorema Teorema fondamenale della eoria delle curve del piano Sia daa una funzione differenziabile k s s, s I Esise una curva γ = γs in IR, paramerizzaa rispeo alla lunghezza d arco, la cui curvaura con segno è k s s Tale curva è unica a meno di movimeni rigidi del piano di ipo * γ s Esempio Sia γs =, s I una curva in IR, paramerizzaa rispeo alla lunghezza d arco, con γ s curvaura idenicamene nulla κs Allora γ è un segmeno di rea Dim Sia γ s il versore angene a γ Se κs = γ s, allora il versore angene è cosane γ γ s = s c c s + d γ s = Inegrando rispeo ad s, si rova γs =, come richieso c c s + d γ s Esempio Sia γs =, s I una curva in IR, paramerizzaa rispeo alla lunghezza d arco, con γ s curvaura cosane κ s s R Allora γ è un arco di circonferenza percorso in senso aniorario cos θs Dim Sia γ s il versore angene a γ Scriviamo γ s =, con θs angolo che dipende da s sin θs Poiché la curvaura con segno è daa da k s s = θ s cf Osservazione precedene e per ipoesi θ s R, abbiamo che θs = s cos R + c, c IR s γ s = R + c sin s R + c Inegrando rispeo ad s, roviamo infine γs = R sin s R + c + x R cos s R + c + y, che è un arco di circonferenza di raggio R percorsa in senso aniorario Esempio Le circonferenze di raggio R =,,, con curvaura cosane κs,,, rispeivamene

12 Esempio Esempio La curva con curvaura κ ss = s Esempio La curva con curvaura κ ss = s La curva con curvaura κ ss = sin s

13 Esempio La curva con curvaura κ ss = s sin s 8 Curvaura e orsione di una curva in IR 3 Equazioni di Frene Analogamene a quano abbiamo fao per le curve del piano, anche per le curve dello spazio γs = γ s γ s γ 3 s paramerizzae rispeo alla lunghezza d arco, definiamo la curvaura come κs := γ s = s Assumiamo da ora in poi che i veori s e s siano linearmene indipendeni e in paricolare che sia ben definio il piano osculaore alla curva In al caso vale con s = κsns 8 s = γ s = versore angene, ns = s = versore normale 8 s Definiamo poi il versore binormale come bs := s ns 83 Il versore binormale individua la direzione normale al piano osculaore a γ in γs Al variare di s, i versori {s, ns, bs} formano una erna oronormale, orienaa posiivamene, dea Terna di Frene Per la derivaa del versore binormale valgono le segueni relazioni: b s bs =, b s s = La prima si oiene derivando bs bs, la seconda derivando bs s = : = d ds bs bs = b s bs + bs b s = b s bs; 3

14 = d ds bs s = b s s + bs s = b s s + κsbs ns = b s s Ne segue che b s = τsns 84 Definizione La funzione τs che appare nella 84 è per definizione orsione della curva La orsione misura la velocià con cui varia il piano osculaore lungo la curva; quindi misura quano γ si discosa dall essere una curva piana ossia ineramene conenua in un piano di IR 3 Derivando la relazione ns = bs s che segue da bs = s ns si oiene n s = b s s + bs s = τsns s + bs κsns = κss τsbs 85 Le re equazioni 8, 85,84 si chiamano le equazioni di Frene della curva s = κsns n s = κss τsbs b s = τsns Esempio Sia γ = P + A una rea in IR 3, paramerizzaa rispeo alla lunghezza d arco, con A = Come abbiamo già osservao, il versore angene γ = A è cosane, da cui segue che γ In queso caso si dice che la curvaura e la orsione di γ sono idenicamene nulle: κ = τ La rea è chiaramene una curva piana: ci sono infinii piani dello spazio che la conengono Esempio Sia γ l elica cilindrica di equazioni cos γ = sin, IR Osserviamo che γ = sin cos soddisfa γ, per cui γ è paramerizzaa rispeo alla lunghezza d arco e possiamo calcolarne curvaura e orsione direamene dalle equazioni di Frene calcolo di γ cos = sin, roviamo che γ ha curvaura cosane Dal κ = γ Al variare di, i cerchi osculaori alla curva sono cerchi di cenro C = cos sin e raggio R =, giaceni sui rispeivi piani osculaori Ad esempio, il cerchio osculaore in γ = C = e raggio R =, nel piano di equazione x x 3 = 4 è il cerchio di cenro

15 Al variare di, la erna di Frene è daa da sin cos = cos sin, n = sin, b = n = cos Il fao che il versore binormale non sia cosane al variare di, ci dice già che la curva non è piana Derivando il veore binormale, roviamo b = cos sin, τ Dunque l elica cilindrica ha sia curvaura che orsione cosani Si può anche osservare che la angene γ forma un angolo cosane uguale a 45 con l asse x 3, a conferma che la curva sale con pendenza cosane Le sezioni orizzonali del cilindro su cui si avvolge la curva sono cerchi di raggio r =, e dunque hanno curvaura κ = Il fao che l elica abbia curvaura κ =, corrisponde al fao che per sollevarsi dal piano, la curva si sende Osservazione Sia γ = γs una curva in IR 3, paramerizzaa rispeo alla lunghezza d arco, e sia F : IR 3 IR 3, X MX + b, b IR 3, M marice orogonale, con de M = Si verifica facilamene che la curva γs = Mγs + b, immagine di γ ramie F, ha la sessa curvaura e la sessa orsione di γ Viceversa, la curvaura e la orsione deerminano compleamene una curva dello spazio, a meno di movimeni rigidi: Teorema Teorema fondamenale della eoria delle curve dello spazio Siano dae due funzioni differenziabili ks > e τs, s I Esise una curva γ = γs in IR 3, paramerizzaa rispeo alla lunghezza d arco, con curvaura ks e orsione τs Tale curva è unica a meno di movimeni rigidi dello spazio del ipo * Esempio Sia γs = γ s γ s, s I una curva in IR 3, paramerizzaa rispeo alla lunghezza d arco, con γ 3 s orsione idenicamene nulla τs Allora γ è una curva piana Dim Facciamo vedere che i piani osculaori a γ sono ui coincideni Se τs = b s, il versore binormale è cosane bs B = b b Di conseguenza, al variare di s, i piani osculaori alla curva sono b 3 la famiglia di pani paralleli B X = B γs, ossia b x + b x + b 3 x 3 = b γ s + b γ s + b 3 γ 3 s Derivando B γs rispeo ad s, roviamo d ds B γs = B γ s = B s = B γs c IR Dunque le equazioni dei piani osculaori alla curva hanno ui anche lo sesso ermine noo Ne segue che ui i piani osculaori coincidono con il piano che coniene la curva 5

16 Esempio Sia γs = γ s γ s, s I una curva in IR 3, paramerizzaa rispeo alla lunghezza d arco, con γ 3 s curvaura e orsione idenicamene nulle κs τs Allora γ è un segmeno di rea Esempio Esempio La curva con curvaura cosane κs e orsione cosane τs = La curva con curvaura κs = e orsione τs = s 6

17 Esempio La curva con curvaura κs = s e orsione τs = 9 Curvaura e orsione di una curva rispeo ad una paramerizzazione qualunque Dai risulai dei paragrafi precedeni, segue che ad ogni puno della raieoria di una curva paramerizzaa regolare dello spazio γ, I, è associaa una erna oronormale di veori, orienaa posiivamene, così definii: = {, n, b} γ γ, n = b, b = γ γ γ γ 9 Le formule 9 sono equivaleni alle formule 8 e 83 del paragrafo precedene, quando γ è paramerizzaa rispeo alla lunghezza d arco La erna di Frene dipende essenzialmene dalla geomeria della raieoria: infai per la relazione 5, la direzione del versore angene = γ γ è la sessa in due qualunque paramerizzazioni equivaleni; per la relazione 5 la direzione del versore binormale b = γ γ γ γ, orogonale al piano osculaore quando è definio, è la sessa in due qualunque paramerizzazioni equivaleni; lo sesso vale anche per il versore normale n = b Le velocià con cui variano le direzioni dei versori della erna di Frene sono quanificae da curvaura e orsione e deerminano compleamene la geomeria della raieoria D alra pare però, curvaura e orsione di una curva possono essere calcolae con le formule di Frene solo se la curva è paramerizzaa rispeo alla lunghezza d arco Non sempre è possibile riparamerizzare espliciamene la raieoria rispeo alla lunghezza d arco perché la funzione daa dall inegrale L γ s = s a γ x dx porebbe essere non esprimibile in ermini di funzioni elemenari È imporane dunque esprimere curvaura e orsione rispeo ad una paramerizzazione qualunque Proposizione Sia γ = γ una curva paramerizzaa regolare in IR 3 Allora curvaura e orsione sono dae dalle formule k = τ = γ γ γ 3 γ γ γ γ γ = deγ γ γ γ γ 7

18 dove deγ γ γ indica il deerminae della marice 3 3 che ha per colonne i veori γ, γ, γ Dim Quese formule si dimosrano combinando le regole di derivazione di funzioni compose con le formule di Frene Scriviamo γ = γφ, s = φ = lunghezza d arco Almeno eoricamene queso si può sempre fare Allora le equazioni 5 e 5 della sezione 5 divenano γ = γ sφ, γ = s γ, γ = γ φφ + γ φφ γ = κsns γ + s d d γ Poiché il versore di γ γ coincide con il versore binormale alla curva, dalla relazione γ γ γ γ = γ 3 γ γ κsbs possiamo ricavare k = γ γ γ 3, come richieso In modo simile, derivando l equazione γ = κsns γ + s d d γ, si oiene la formula per la orsione Esercizio Grafici di funzioni in IR Sia γ: IR IR una curva della forma γ = dove f: IR IR è una funzione C i Dimosrare che γ è regolare in ui i puni ii Calcolare la curvaura di γ, f Soluzione i Per ogni IR, si ha γ = f, per cui la curva è regolare ovunque ii Scriviamo γ = f, così da poer usare le formule per le curve in IR 3, rispeo ad una parameriz- zazione qualunque Derivando roviamo γ = da f e γ = f k = γ γ f γ 3 = + f 3 La curvaura di γ è daa Esercizio Sia γ: [, π] IR cos l ellisse definia da γ = sin i Calcolare il versore angene e il versore normale a γ al variare di IR ii Calcolare la curvaura di γ al variare di iii Deerminare il cerchio osculaore a γ nei puni dove la curvaura è massima e minima 8

19 i La curva non è paramerizzaa rispeo alla lunghezza d arco, e il versore angene è dao da = γ γ = 4 sin + cos sin cos Per calcolare versore normale n, curvaura ec, conviene scrivere γ = cos sin e usare le formule per una curva in IR 3 Per il versore normale si calcola n = b e poi se ne prendono le prime due coordinae: b = perché la curva è piana e percorsa in senso aniorario n = 4 sin + cos cos sin ii La curvaura di γ al variare di è daa da k = γ γ γ 3 = 4 sin + cos 3 iii La curvaura è massima per =, π, dove vale k = kπ = ed è minima per = π/, 3π/, dove vale kπ/ = k3π/ = /4 Nei puni di curvaura massima, i cerchi osculaori sono cerchi angeni inernamene alla curva, di raggio ρ = / e cenri dai rispeivamene da C = 3 3, Cπ = Nei puni di curvaura massima, i cerchi osculaori sono cerchi angeni inernamene alla curva, di raggio ρ = 4 e cenri dai rispeivamene da Cπ/ =, C3π/ = 3 3 Cerchi osculaori nei puni di curvaura massima 9

20 Cerchi osculaori nei puni di curvaura minima Esercizio Sia γ: IR IR 3 la cubica dello spazio γ =, IR 3 i Calcolare il riedro di Frene di γ al variare di IR ii Calcolare la curvaura e la orsione di γ al variare di Dim a Calcoliamo innanziuo γ = 3, γ =, γ γ = 6 6 6, γ = Osserviamo che per ogni IR la curva è regolare ed i veori γ e γ sono non nulli e linearmene indipendeni Quindi il riedro è ben definio in ogni puno della curva Osserviamo anche che la curva non è paramerizzaa rispeo alla lunghezza d arco Quindi per calcolare il riedro di Frene, la curvaura e la orsione dobbiamo usare le formule della Sezione 9 Il versore angene alla curva è dao da = γ γ =, il binormale da ed il normale da b La curvaura è daa da κ = b = γ γ γ γ = n = b = γ γ γ 3 = = =

21 Ad esempio, per =, la curvaura risula κ =, menre per = risula κ = 76/4 3 < Si vede inolre che al endere di a ±, la curvaura ende a zero La orsione è daa da τ = deγ γ γ γ γ = Poiché la orsione non è idenicamene nulla, la curva non è piana Ad ogni modo, al endere di a ±, la orsione ende a zero La cubica 3