Capitolo 2 Sistemi lineari tempo-invarianti: analisi nel dominio del tempo

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1 Capiolo 2 Sisemi lineari empo-invariani: analisi nel dominio del empo

2 1. Inroduzione In queso capiolo ci occuperemo dell analisi nel dominio del empo dei sisemi dinamici lineari empo-invariani. Vale a dire della definizione e dello sudio delle loro principali proprieà condoo adoando, per i segnali, la loro rappresenazione per così dire naurale: di funzioni del empo. Vedremo in uno dei capioli successivi come un analisi in pare simile e in pare complemenare, dea nel dominio della frequenza, possa essere uilmene condoa sulla base di una rappresenazione più asraa dei segnali, che saranno visi ancora come funzioni ma non più come funzioni del empo. Nei paragrafi che seguono esamineremo innanziuo il movimeno (dello sao) e la risposa (o movimeno dell uscia) di un sisema S, prodoi da un assegnao andameno u( ) della variabile d ingresso, a parire da un assegnao sao iniziale. Il risulao oenuo consenirà di riconoscere diverse versioni, in queso coneso, del cosiddeo principio di sovrapposizione degli effei; presene, come si sa, in ui i rami del sapere dove i sisemi lineari svolgano un ruolo significaivo. Successivamene, seguendo l imposazione daa da A. M. Liapunov più di un secolo fa, affroneremo il problema della sabilià. Dopo aver inrodoo e commenao le principali definizioni riguardani la sabilià del movimeno in un sisema qualsiasi, non necessariamene lineare, concenreremo l aenzione sui movimeni di un generico sisema lineare empo-invariane. Vedremo come il problema della sabilià assuma aspei peculiari e ineressani, nel caso dei sisemi lineari. Saremo quindi in grado di formulare alcuni crieri di sabilià decisamene noevoli, ano sul piano conceuale quano su quello operaivo. Accenneremo infine al caso di sisemi affei da parameri e al problema della sabilià robusa rispeo all insieme dei valori ammissibili dei parameri; vale a dire a quelle caraerisiche di sabilià che sussisono qualunque sia il valore ammissibile dei parameri. Nell ulima pare del capiolo, inconreremo e cominceremo ad esaminare alcune rispose paricolarmene significaive: le rispose canoniche, relaive a ingressi dall andameno paricolarmene significaivo e per queso indicao come canonico, le rispose cosani a un ingresso cosane o condizioni di equilibrio, le rispose periodiche a un ingresso periodico. 2. Movimeni, rispose e principio di sovrapposizione degli effei Consideriamo un sisema dinamico S lineare, empo-invariane in forma normale: 43

3 S : x () = A x() + B u() equazione di sao y() = C x() + D u() equazione d uscia. dove x è un veore n-dimensionale, u è un veore m-dimensionale, y è un veore p-dimensionale, A è una marice n n, B è una marice n m, C è una marice p n e D è una marice p m. Dao un paricolare andameno u( ) della variabile d ingresso, dall isane iniziale in poi, e un paricolare valore x dello sao iniziale: x( ) = x, ci chiediamo quali siano il movimeno (dello sao) x( ) e la risposa (o movimeno dell uscia) y( ), prodoi da u( ) a parire dallo sao iniziale x. Si noi che, essendo S empo-invariane, si sarebbe pouo porre =, senza con queso ledere la generalià della raazione. Procediamo per gradi, cominciando ad esaminare l equazione di sao nel caso scalare: m = n = p = 1. Il problema da risolvere consise in un equazione differenziale lineare a coefficieni cosani: x () = a x() + b u(), soggea alla condizione iniziale: x( ) = x. La soluzione di quesa equazione può essere espressa in forma esplicia nel modo seguene: x() = e a(- ) x + e a(-τ) b u(τ) dτ := ϕ(; x, u (, ) ( )). Verificare che si rai effeivamene della soluzione cercaa non è difficile; basa infai accerare che il movimeno x( ) soddisfa sia l equazione, sia la condizione iniziale. Il secondo puno è immediao; infai è chiaro che, per =, x() = x. Quano al primo, occorre preliminarmene ricordare la formula di derivazione soo segno di inegrale; infai, la verifica che ci accingiamo a fare richiede il calcolo di x (), ma nell espressione di x() è presene un inegrale dove la variabile compare sia nel secondo esremo che nell inegrando. Ricordiamo quindi che se β() v() := α() w(, τ) dτ 44

4 e le funzioni α, β e w sono sufficienemene regolari, allora: v () = w(, β()) β () - w(, α()) α () + β() α() w (, τ) dτ. Derivando rispeo al empo l espressione daa per x() e applicando per la derivaa del ermine inegrale la formula appena ricordaa [in queso caso abbiamo: α() =, β() =, w(, τ) = e a(-τ) b u(τ)], si oiene: x () = a e a(- ) x + b u() + a e a(-τ) b u(τ) dτ = = a e a(- ) x + e a(-τ) b u(τ) dτ + b u() = a x() + b u() Perano, x() = e a(- ) x + e a(-τ) b u(τ) dτ è effeivamene una soluzione dell equazione: x () = a x() + b u(). Passiamo ora a considerare l equazione di sao di S nel caso veoriale (m e n qualsiasi). E possibile dimosrare che, anche in queso caso, la soluzione esise, è unica e può essere fornia in forma esplicia. Precisamene, la soluzione è daa dalla formula di Lagrange (dal nome del celebre maemaico orinese, che l oenne mediane il cosiddeo meodo di variazione delle cosani ): x() = e A(- ) x + e A(-τ) B u(τ) dτ = ϕ(; x, u (, ) ( )) Come si può noare, la formula è sosanzialmene idenica alla precedene, valida nel caso scalare. Essa uavia meria qualche commeno. Innanziuo, compare qui un esponenziale con esponene mariciale. Per comprenderne il senso, è opporuno pensare allo sviluppo di Mac Laurin (o sviluppo di Taylor aorno all origine) della più familiare funzione esponenziale ad esponene reale: 45

5 e z = 1 k! zk = 1 + z z z z k= Se l esponene è una marice quadraa M, poniamo: e M := 1 k! Mk = I + M M M M4 +..., k= dove compaiono solano la marice idenià I e le poenze di M. Nauralmene, non bisogna farsi inimidire, qui, dalla pesanezza dei calcoli che le precedeni espressioni suggeriscono. Si raa infai di calcoli che fondamenalmene non devono essere svoli; non in queso modo e, comunque, non a mano. La formula di Lagrange è fondamenale, ma non come srumeno per la soluzione numerica di equazioni differenziali veoriali del prim ordine, qual è l equazione di sao di S. Il Calcolo numerico fornisce infai, a quello scopo, alri e più efficaci srumeni, oggi disponibili in moli pacchei sofware di larga diffusione e basso coso. Quella formula è imporane soprauo da un puno di visa conceuale: per la luce che gea sul legame fra sao iniziale, andameno dell ingresso e conseguene movimeno (dello sao) di S. Noo il movimeno (dello sao) di S, è immediao calcolare, ramie l equazione d uscia, la risposa (o movimeno dell uscia) prodoa da u( ) a parire dallo sao iniziale x : y() = C e A(- ) x + C e A(-τ) B u(τ) dτ + D u() := η(; x, u [, ] ( )). La formula di Lagrange, così come ques ulima formula che dà la risposa di S all isane, meono in evidenza come i conribui individualmene dovui alle due cause di movimeno, vale a dire lo sao iniziale e l ingresso, siano disini e addiivi. Infai, ano il movimeno x( ) quano la risposa y( ) sono somma di due conribui: uno, dovuo esclusivamene allo sao iniziale, è deo movimeno libero o rispeivamene risposa libera, l alro, dovuo esclusivamene all ingresso, è deo movimeno forzao o rispeivamene risposa forzaa (da u): 46

6 x() = x l () + x f (), x l () := e A(- ) x, x f () := e A(-τ) B u(τ) dτ; y() = y l () + y f (), y l () := C e A(- ) x, y f () := C e A(-τ) B u(τ) dτ + D u(). Siamo così pervenui, nell ambio dei sisemi dinamici lineari (empo-invariani) ad una delle possibili formulazioni del principio di sovrapposizione degli effei. Il principio in quesione può essere uleriormene aricolao e approfondio. Ad esempio, se il numero m di elemeni del veore u è maggiore di uno (se S è soggeo a più di un ingresso scalare), si può definire l effeo di ogni singolo ingresso e riformulare il principio in modo più deagliao. Sia infai: B := [B 1 B 2... B m ], D := [D 1 D 2... D m ] ; indichiamo, cioè, con B i la i-esima colonna di B e con D i la i-esima colonna di D. Allora: x f () := e A(-τ) B u(τ) dτ = e A(-τ) m B i u i (τ) dτ = i=1 m = i=1 e A(-τ) m B i u i (τ) dτ := x f,i () i=1 y f () := C e A(-τ) B u(τ) dτ) + D u() = = C e A(-τ) m m B i u i (τ) dτ + D i u i () = i=1 i=1 47

7 m = i=1 C e A(-τ) m B i u i (τ) dτ + D i u i () := y f,i () i=1 dove con x f,i () e y f,i () si sono indicai gli effei su x e y dovui al solo u i ( ); si sono indicai, cioè, gli andameni di x e, rispeivamene, di y prodoi dall ingresso u i ( ), quando x = e u k ( ) = per ogni k i. Da un alro puno di visa, se u( ) è formao dalla somma di due (o più) segnali: u( ) = u a ( ) + u b ( ), si può vedere che ano x f ( ) quano y f ( ) sono la somma degli effei individualmene prodoi su x e su y dai segnali che compongono l ingresso; vale a dire, da u a ( ) e da u b ( ): x f () := e A(-τ) B u(τ) dτ = e A(-τ) B [u a (τ) + u b (τ)] dτ = = e A(-τ) B u a (τ) dτ + e A(-τ) B u b (τ) dτ := x fa () + x fb () ; y f () := C e A(-τ) B u(τ) dτ + D u() = = C e A(-τ) B [u a (τ) + u b (τ)] dτ + D [u a () + u b ()] = = C e A(-τ) B u a (τ) dτ + D u a () + C e A(-τ) B u b (τ) dτ + D u a () := := y fa () + y fb (). Concludendo, nel caso dei sisemi dinamici (empo-invariani) il principio di sovrapposizione degli effei può essere formulao con riferimeno alle diverse cause di moo: lo sao iniziale, i singoli ingressi, le singole componeni di ogni ingresso. 48

8 3. Sisemi lineari: analisi della sabilià Seguendo Liapunov (Cap.1, Paragrafo 8), consideriamo l equazione di sao: x () = A x() + B u(). di un sisema S lineare e empo-invariane. In queso caso, sappiamo che il movimeno nominale, forzao da u ( ) a parire da x() = x, è dao da: x () = e A x + e A(-τ) B u (τ) dτ menre, per ogni perurbazione δx dello sao iniziale, x p () = e A (x + δx ) + e A(-τ) B u (τ) dτ ; quindi, la differenza fra movimeno perurbao e movimeno nominale è daa da: δx() := x p () - x () = e A δx. Come si vede, il legame ra δx e δx(), legame che per definizione deermina la sabilià o meno del movimeno x ( ), dipende esclusivamene dalla marice e A dea di ransizione. Esso non dipende, quindi, né da x né da u ( ); non dipende, cioè, dal paricolare movimeno considerao come movimeno nominale. Conseguenza 1 In un sisema lineare, se un movimeno è (asinoicamene) sabile, ui i movimeni sono (asinoicamene) sabili; se un movimeno è insabile, ui i movimeni sono insabili. Perano ha senso, nel caso di sisemi lineari, parlare di sabilià, di sabilià asinoica o di insabilià del sisema. Conseguenza 2 Se S è asinoicamene sabile e δx è sufficienemene piccola ( δx < δ) allora sappiamo che δx() ende a per che ende all infinio. Ora, comunque grande sia δx, è sempre possibile rovare N reale ale che la norma di δx := δx /N sia sufficienemene piccola (minore di δ) e perano: δx () := e A δx ende sicuramene a per che ende all infinio. Ma se δx = N δx, allora anche δx() := e A δx = e A N δx = N δx () ende a per che ende all infinio. In alre parole, se S è asinoicamene sabile, il bacino di arazione di ogni 49

9 movimeno di S è l inero spazio di sao; in un sisema lineare la sabilià asinoica è quindi sempre globale. La precedene argomenazione può essere uleriormene affinaa per giungere ad una noevole conclusione relaiva al nesso fra sabilià, o sabilià asinoica, di S ed equivaleni proprieà della marice di ransizione Φ() := e A. Mosriamo innanziuo che se la marice di ransizione Φ( ) è limiaa (se, cioè, il valore assoluo di ogni suo elemeno è superiormene limiao), il sisema S è sabile. Infai, se Φ( ) è limiaa, sia: k() := sup Φ() z K ; z = 1 allora, Φ() z = Φ() (z/ z ) z K z, per ogni R e z R n. Quindi, per ogni ε>, sia: δ = ε/k; in queso modo, δx <δ implica δx() = Φ() δx < K δ = ε. E' inolre evidene che se, olre a essere limiaa, Φ( ) si annulla all infinio, il sisema S è asinoicamene sabile. Mosriamo ora che se S è sabile allora Φ( ) è limiaa. Infai, se Φ ij ( ) fosse illimiaa, si porebbe porre: δx i = per ogni i j, δx j = α ; in al caso si avrebbe: δx i () = Φ ij () α; quindi, per ogni δ>, esiserebbero α < δ e δx, con δx = α, ali da far sì che δx( ) risuli illimiaa (conrariamene all ipoesi di sabilià di S). Infine, se S è asinoicamene sabile allora Φ( ) è ovviamene limiaa e, in più, si annulla all infinio. Infai, se Φ ij ( ) non si annullasse all infinio, baserebbe porre δx i = per ogni i j, δx j = α ; si avrebbe di nuovo: δx i () = Φ ij () α; quindi, per ogni δ>, esiserebbero α < δ e δx, con δx = α, ali da far sì che δx( ) non si annulli all infinio (conrariamene all ipoesi di asinoicasabilià di S). La discussione appena conclusa può essere riassuna nel modo seguene. Proposizione 1 (Sabilià di S e marice di ransizione) Il sisema S, lineare e empo-invariane, è sabile se e solo se ogni elemeno della sua marice di ransizione è limiao; è asinoicamene sabile se e solo se ogni elemeno della sua marice di ransizione è limiao e ende a zero per che ende all infinio. Osserviamo innanziuo che, in visa della Proposizione 1, in un sisema S lineare asinoicamene sabile il movimeno libero, vale a dire l effeo dello sao iniziale sulla risposa di S a un ingresso qualsiasi, svanisce (ende a zero) col passare del empo (al endere di all infinio). Occorre uavia ammeere che, da un puno di visa operaivo, la soluzione offera dalla Proposizione 1 al problema di sabilire se un sisema dinamico S lineare e empo-invariane sia (asinoicamene) sabile o no appare 5

10 insoddisfacene. Daa infai la marice dinamica A di S, è u alro che semplice sabilire se la corrispondene marice di ransizione sia limiaa o meno e, qualora essa sia limiaa, se si annulli o no all infinio. Occorre quindi individuare un crierio compuazionalmene meno impegnaivo. Vediamo, almeno nel caso più semplice in cui la marice dinamica A di S sia diagonalizzabile, come si possa ricavare un crierio che risponda all esigenza appena soolineaa. Esaminiamo, cioè, il caso in cui esise una marice T non singolare ale che Λ := T A T -1 è diagonale. Allora, gli elemeni λ i, i=1, 2,, n, della diagonale principale di Λ sono gli auovalori di A, infai: n de(s I - A) = de(s T -1 T - T -1 Λ T) = de(t -1 (s I - Λ) T) = de(s I - Λ) = Π (s - λ i ). i=1 Inolre, noando che A k = (T -1 Λ T) k = T -1 Λ T T -1 Λ T T -1 Λ T = T -1 Λ k T, si ha: e A := A k k k! = T -1 Λ k T k k! = T -1 Θ T k= k= dove Θ è una marice diagonale, e l i-esimo elemeno della diagonale di Θ è dao da: ϑ i = λ k i k k! = e λi = e a ι e jb ι = e a ι (cos b i + j sin b i ), k= avendo poso: λ i := a i + j b i. E allora evidene che la marice di ransizione e A è limiaa e ende a zero per che ende all infinio se e solo se la pare reale a i degli auovalori λ i di A, i=1, 2,, n, è negaiva; è limiaa, se alcuni auovalori di A hanno pare reale nulla e gli alri hanno pare reale negaiva; è illimiaa, se almeno un auovalore di A ha pare reale posiiva. Nel caso in cui la marice A non sia diagonalizzabile, l analisi è più laboriosa e la conclusione non dipende solano dalla posizione degli auovalori di A nel piano complesso. Rimandando ad alra sede per ale analisi più approfondia, riassumiamo con la proposizione che segue le conclusioni che, in generale, si possono rarre esaminando solano gli auovalori di A. Proposizione 2 (Sabilià di S e auovalori della marice dinamica A) Il sisema S, lineare e empo-invariane, è asinoicamene sabile se e solo se gli auovalori di A hanno pare reale negaiva. Se la pare reale di almeno un auovalore di A è posiiva, il sisema S è insabile. Se la pare reale degli auovalori di A è negaiva o nulla e gli auovalori con pare reale nulla sono semplici, il sisema S è sabile. Negli alri casi, cioè se la pare reale di almeno due auovalori coincideni di A è nulla e quella di ui gli alri è negaiva o nulla, il sisema può essere ano insabile quano sabile (ma non asinoicamene sabile). 51

11 e A b = 1 Illusriamo con un esempio ques ulima affermazione. Consideriamo, per la marice dinamica A, due possibili valori: 1 A a =, A b =. E immediao riconoscere che A a e A b, pur essendo diverse, hanno lo sesso polinomio caraerisico: de(si - A a ) = de(si - A b ) = s 2. Perano enrambe hanno due auovalori coincideni nell origine del piano complesso (pare reale nulla!). Inolre, A a è diagonale, menre A b non è diagonalizzabile. Poiché: δx() = e A δx, è evidene che: δx () = A δx(). Se A = A a, abbiamo: δx 1() = δx 2() = ; quindi: δx 1 () = δx 1, δx 2 () = δx 2. Ciò significa che, in queso caso, e A = I; perano, la marice di ransizione è limiaa e, per la Proposizione 1, il sisema S a è sabile. Se invece A = A b, si ha: δx 1() = δx 2 () e δx 2() = ; quindi: δx 2 () = δx 2 menre δx 1 () = δx 2 + δx 1. Ciò significa che in queso secondo caso si ha: 1 palesemene illimiaa; quindi, sempre per la Proposizione 1, il sisema S b è insabile. L imporanza della Proposizione 2 può essere difficilmene sopravvaluaa. Essa infai fornisce una chiave esauriene per l analisi dell asinoica sabilià di un sisema lineare empo-invariane. D alronde vedremo che, da un puno di visa applicaivo, la sabilià asinoica è d ineresse assoluamene predominane; spesso sarà anzi insufficiene acconenarsi della sabilià asinoica; in fase di progeo, bisognerà assicurare, che sia sufficienemene elevao un grado di asinoica sabilià opporunamene definio. E comunque innegabile che, per sisemi di ordine superiore al secondo, anche il calcolo degli auovalori non è banale. E quindi naurale chiedersi se, per verificare la condizione di asinoica sabilià espressa dalla Proposizione 2, sia davvero necessario calcolare gli auovalori di A; se sia necessario, cioè, risolvere l equazione caraerisica: de(s I - A) =. Il primo a rispondere compiuamene al quesio appena sollevao fu, nel 1877, lo sudioso briannico E. J. Rouh, seguio dallo svizzero A. Hurwiz che, dicioo anni dopo, indipendenemene rovò una soluzione diversa, ma equivalene. Nel seguio, ci limieremo ad illusrare la versione dovua a Rouh. Dao un polinomio di grado n: p(s) = a s n + a 1 s n-1 + a 2 s n a n-1 s + a n, a 52

12 si raa di formulare un crierio che consena di sabilire se le radici di p(s) abbiano o no pare reale negaiva. La formulazione del crierio elaborao da Rouh richiede preliminarmene la cosruzione di una abella di n+1 righe e forma quasi riangolare, dea Tabella di Rouh. La Tabella di Rouh si cosruisce nel modo seguene: a a 2 a 4 n + 1 righe a 1 a 3 a 5 b b 1 b 2 c c 1 b = a 1 a 2 - a a 3 a 1, b 1 = a 1 a 4 - a a 5 a 1, ec. c = b a 3 - a 1 b 1 b, ec. Il Crierio di Rouh afferma che condizione necessaria e sufficiene perché le radici del polinomio p(s) abbiano pare reale negaiva è che gli n+1 elemeni della prima colonna della Tabella di Rouh siano diversi da zero e di segno concorde. Se due di quesi elemeni (ovviamene non nulli) hanno segni opposi, almeno una radice di p(s) ha pare reale posiiva. Osservazione Dao un sisema S con equazione di sao x () = A x() + B u(), il Crierio di Rouh applicao al polinomio caraerisico della marice (dinamica) A fornisce immediaamene, alla luce della Proposizione 2, un crierio di asinoica sabilià e una condizione sufficiene di insabilià del sisema S. Condizione necessaria Se le radici di p(s) hanno pare reale negaiva, allora gli n+1 coefficieni di p(s) sono diversi da zero e di segno concorde. E facile riconoscere che, nel caso n 2, ques ulima condizione è anche sufficiene. 53

13 Seguono alcuni esempi di applicazione del Crierio di Rouh. Esempio 1 p(s) = s s s s s + 2 Tabella di Rouh: Poiché gli elemeni della prima colonna sono posiivi, le radici di p(s) hanno pare reale negaiva. E infai possibile verificare che: p(s) = (s j 2.426)(s j 2.426)(s j.736) (s j.736)(s ) Esempio 2 p(s) = s s s s s + 2 Tabella di Rouh: Poiché un elemeno della prima colonna è nullo, non ue le radici di p(s) hanno pare reale negaiva. E infai possibile verificare che: p(s) = (s j 1.371)(s j 1.371)(s j )(s + j ) (s +.432) Esempio 3 p(s) = s s s s 3 + s s

14 Tabella di Rouh: Poiché gli elemeni della prima colonna non sono di segno concorde, non ue le radici di p(s) hanno pare reale negaiva. E infai possibile verificare che: p(s) = (s j )(s j )(s.689 j ) (s j )(s )(s ) Esempio 4 p(s) = s s 3 + s 2 4 s + 6 Poiché i coefficieni del polinomio non sono di segno concorde, è violaa la condizione necessaria; quindi, non ue le radici di p(s) hanno pare reale negaiva. E infai possibile verificare che: p(s) = (s )(s )(s.5925 j.6674)(s j.6674) Esempio 5 p(s) = s 2 3 s 2 Poiché i coefficieni di p(s) sono non nulli e di segno concorde, è soddisfaa la condizione necessaria e, poiché il grado del polinomio è uguale a due, ale condizione è anche sufficiene; quindi si può concludere che le radici di p(s) hanno pare reale negaiva. Esempio 6 A = χ(s) := de(s I - A) = s s s

15 Tabella di Rouh: Poiché gli elemeni della prima colonna sono posiivi, le radici di χ(s) (gli auovalori di A) hanno pare reale negaiva. E infai facile verificare che: χ(s) = (s +.645) (s +.219) (s ) ; cioè che -.645, e sono gli auovalori di A. Esempio 7 χ(s) = s s s s Poiché il coefficiene di s 2 è nullo, è violaa la condizione necessaria; quindi non ue le radici di χ(s) hanno pare reale negaiva. Infai, χ(s) si annulla in.7162 ± j Se χ(s) è il polinomio caraerisico della marice dinamica di un sisema S lineare e empo-invariane, S non è asinoicamene sabile. Coefficieni inceri: il crierio di Kharionov Si consideri ancora un polinomio di grado n del ipo: p(s) = a s n + a 1 s n-1 + a 2 s n a n-1 s + a n, e si supponga che sia noo non il valore esao di ui i coefficieni a i, ma solo l inervallo dei valori ammissibili di a i ; gli esremi, cioè, di un inervallo chiuso enro il quale il valore di a i ceramene ricade: a i - a i a i +. Qualora, per qualche i, il valore di a i fosse noo, si avrebbe: a i - = a i +. In quese condizioni, risula di ovvio ineresse sapere soo quali condizioni le radici di p(s) hanno pare reale negaiva qualunque sia il valore ammissibile dei coefficieni inceri. Un elegane soluzione del problema, daa nel 1978 da un 56

16 giovane (allora) maemaico russo, ha desao in uo il mondo un grande ineresse fra i ricercaori ineressai allo sudio della sabilià di sisemi dinamici lineari e empo-invariani affei da parameri inceri. Il risulao è il seguene. Crierio di Kharionov Le radici di p(s) hanno pare reale negaiva qualunque sia il valore ammissibile dei coefficieni se e solo se la pare reale delle radici di: p 1 (s) = a + s n + a + 1 s n-1 + a - 2 s n-2 + a - 3 s n-3 + a + 4 s n-4 + p 2 (s) = a - s n + a - 1 s n-1 + a + 2 s n-2 + a + 3 s n-3 + a - 4 s n-4 + p 3 (s) = a + s n + a - 1 s n-1 + a - 2 s n-2 + a + 3 s n-3 + a + 4 s n-4 + p 4 (s) = a - s n + a + 1 s n-1 + a + 2 s n-2 + a - 3 s n-3 + a - 4 s n-4 + è negaiva. In auomaica, il caso più frequene, e quindi più ineressane, è però più sruurao di quello considerao da Kharionov. I coefficieni a i non sono semplicemene vincolai ad assumere un valore qualsiasi all inerno di un deerminao inervallo, indipendenemene uno dall alro; essi sono, più in generale, funzioni noe di un veore q di parameri inceri, per il quale può rienersi noo l insieme Q dei valori ammissibili. Se il sisema S è (asinoicamene) sabile qualunque sia il valore di q in Q, si dice che la sua (asinoica) sabilià è robusa relaivamene a Q. Una breve riflessione consene di riconoscere che, se a - i e a + i sono, rispeivamene, il minimo e il massimo di a i (q) su Q, allora ui i valori dei coefficieni a i corrispondeni a valori ammissibili del paramero (veoriale) q sono palesemene compresi negli inervalli [a - i, a + i ], ma è imporane noare che non ue le possibili combinazioni di valori dei coefficieni a i compresi negli inervalli suddei devono necessariamene corrispondere a valori ammissibili di q. In queso caso, il Crierio di Kharionov fornisce dunque una condizione sufficiene, ma u alro che necessaria per la sabilià asinoica robusa di S relaivamene a Q; una condizione, cioè, solo sufficiene affinché le radici del polinomio p(s, q) = a (q) s n + a 1 (q) s n-1 + a 2 (q) s n a n-1 (q) s + a n (q) abbiano pare reale negaiva per ui i valori ammissibili di q. Il crierio di Rouh consene di ricavare insiemi di disequazioni che impliciamene specificano la regione R, nello spazio dei parameri, cosiuia da ui i puni q ali che le radici di p(s, q) abbiano pare reale negaiva, ma è u alro che semplice (se si escludono casi elemenari, connoai da non più di due o re parameri) sabilire definiivamene se Q R oppure no. 57

17 Esempio 8 Sia: (1 + q 1 ) 1 + q 1 2 (1 + 4 q q 2 q 2 1 ) A(q) := la marice dinamica di un sisema S lineare e empo-invariane e sia: q 1 q :=, q Q := {q : 46 q 1 5, 8 q 2 1} q 2 il veore dei parameri e, rispeivamene, l insieme dei suoi possibili valori. Si vuol sapere se S è asinoicamene sabile per ui i valori di q in Q; in alre parole, se la sabilià asinoica di S è robusa relaivamene a Q. Il polinomio caraerisico di A(q) è dao da: χ(s, q) := de(s I A(q)) = s 3 + (1 + q 1 ) s 2 + q 1 s + 6 (q 1 +q 2 ) 2 q 1 2 := := s 3 + a 1 (q) s 2 + a 2 (q) s + a 3 (q) quindi, la Tabella di Rouh ha la forma seguene: 1 q 1 (1 + q 1 ) 6 (q 1 +q 2 ) 2 q 1 2 β(q) 6 (q 1 +q 2 ) 2 q 1 2 dove: β(q) := q 2 1 (1 + q 1 ) 6 (q 1 +q 2 ) + 2 q q = 3 q q 1 6 q q. 1 Dunque S è asinoicamene sabile se e solo se: 58

18 (1 + q 1 ) > β(q) > 6 (q 1 +q 2 ) 2 q 2 1 > ; cioè, se e solo se : q 1 > 1 3 q q 1 6 q 2 > q 2 <.5 q 2 1 5/6 q 1 := h b (q 1 ) 6 (q 1 +q 2 ) 2 q 2 1 > q 2 > 1/3 q 2 1 q 1 := h a (q 1 ) b R Q Fig. 3.1 : Regione di asinoica sabilià R ={q : q 1 >-1, q 2 >h a (q 1 ), q 2 <h b (q 1 )} In queso caso, la regione R di asinoica sabilià è facilmene visualizzabile (Fig.3.1); perano, è anche facile concludere che S è asinoicamene sabile in modo robuso relaivamene a Q. Tuavia si comprende che, con un numero maggiore di parameri, ano la visualizzazione di R quano la verifica della condizione Q R possono rapidamene divenire problemi compuazionalmene impervi. 59

19 Un modo alernaivo di affronare il problema, sia pure senza alcuna garanzia di pervenire in ogni caso ad una soluzione, è offero dal eorema di Kharionov. Ricordando che: a 1 (q) := 1 + q 1, a 2 (q) := q 1, a 3 (q) := 6 (q 1 +q 2 ) 2 q 1 2 avremmo pouo procedere nel modo seguene. Poniamo: a = a + = 1, e inolre a i := min a i (q), a + i := max a i (q), i = 1, 2, 3 ; q Q q Q cioè: a 1 = 47, a 1 + = 51, a 2 = 46, a 2 + = 5, a 3 = 1, a 3 + = 244. Quindi, p 1 (s) = s s s + 1 p 2 (s) = s s s p 3 (s) = s s s p 4 (s) = s s s + 1 e applicando 4 vole il Crierio di Rouh si verifica facilmene che le radici dei polinomi di Kharionov: p 1 (s), p 2 (s), p 3 (s) e p 4 (s), hanno pare reale negaiva. Perano, le radici di p(s) = s 3 + a 1 s 2 + a 2 s + a 3 hanno pare reale negaiva per ogni a i [a i, a i + ], i=1, 2, 3. Poiché q Q implica a i [a i, a i + ], i=1, 2, 3, possiamo concludere, anche per quesa via, che S è asinoicamene sabile in modo robuso relaivamene a Q. Si noi, però, che a i [a i, a i + ], i=1, 2, 3, non implica q Q; ad esempio, se q = [46 7], si ha q Q e uavia: a 1 = 47 [a 1, a 1 + ], a 2 = 46 [a 2, a 2 + ], a 3 = 244 [a 3, a 3 + ]. Quindi, se la pare reale di una radice di uno dei polinomi di Kharionov fosse risulaa non negaiva, allora, per almeno un valore ammissibile di a i, i=1, 2, 3, il sisema S non sarebbe sao asinoicamene sabile; ma nessuna conclusione si sarebbe pouo rarre circa la robusezza della sabilià asinoica di S relaivamene a Q. 6

20 4. Sabilià dell equilibrio in un sisema non lineare Il comporameno di un sisema dinamico S non lineare in prossimià di un puno di equilibrio è descrio con buona accuraezza dal modello lineare δs angene a S nel puno di equilibrio considerao. E allora naurale aspearsi che la sabilià del puno di equilibrio in S sia, almeno in pare, legaa alla sabilià di δs. Tale legame è alla base del cosiddeo meodo indireo di Liapunov (per l analisi della sabilià) che, per i sisemi inrodoi nel primo capiolo, può essere espresso nel modo seguene. Proposizione 3 Sia x uno sao di equilibrio di un sisema dinamico S e sia A la marice dinamica del sisema lineare δs angene a S nel puno di equilibrio considerao. Se gli auovalori di A hanno pare reale negaiva, allora x è uno sao di equilibrio asinoicamene sabile di S. Se almeno un auovalore di A ha pare reale posiiva, allora x è uno sao di equilibrio insabile di S. Negli alri casi, x può essere uno sao di equilibrio asinoicamene sabile, oppure semplicemene sabile, oppure anche insabile di S. In paricolare, va soolineao che la sabilià asinoica dello sao di equilibrio x non implica la sabilià asinoica e neppure la semplice sabilià di δs; per conro, la sabilià o l insabilià di δs non implicano la sabilià o, rispeivamene, l insabilià di x così come la sabilià o l insabilià di x non implicano necessariamene la sabilià o, rispeivamene, l insabilià di δs. Esempio 9 Torniamo ad esaminare il pendolo semplice di Fig.4.1, già considerao nel seso paragrafo del primo capiolo. Il modello in forma normale già adoao per queso sisema era cosiuio dalle segueni equazioni: L u x () = f (x(), u()) equazione di sao S : y() = g(x()) equazione d uscia,. ϑ mg Fig. 4.1 : Pendolo. dove: x 1 := ϑ, x 2 := ϑ. f 1 (x, u) := x 2, f 2 (x, u) := A J x 2 m g L J sin(x 1 ) + 1 J u f (x, u) := [ f 1 (x, u) f 2 (x, u) ], g(x) := x 1. 61

21 Per ogni valore cosane u della coppia al perno, che in valore assoluo non superi m g L, gli sai di equilibrio di S sono dai da: x 1 = y := arcsin(u /(m g L)) x 2 =. Ad esempio, per u = 2 m g L / 3, nell inervallo ( π, π] si ha: x 1a =.7297 ( ), x 1b = ( ) ; x 2a = x 2b =. Il polinomio caraerisico della marice dinamica di δs (Cap.1, Par.7) è dao da: χ(s) = s 2 + A J s + m g L J cos(x 1) quindi χ a (s) = s 2 + A J s m g L J, χ b (s) = s 2 + A J s.7454 m g L J. Perano, poiché i parameri A, J, m, g e L sono ovviamene posiivi, si può concludere che x a è uno sao di equilibrio asinoicamene sabile del sisema non lineare S, menre x b è uno sao di equilibrio insabile. 5. Rispose paricolari di noevole ineresse In queso paragrafo esamineremo brevemene rispose noevoli di un sisema dinamico S lineare e empo invariane, che supponiamo noo in forma normale: S : x () = A x() + B u() equazione di sao y() = C x() + D u() equazione d uscia. In paricolare, inrodurremo le principali rispose canoniche, vale a dire le rispose di S a paricolari andameni, dei canonici, dei segnali d ingresso. Facendo prevalenemene riferimeno al caso di sisemi asinoicamene sabili, esamineremo quindi due ipi paricolari di rispose a regime; concenreremo infai l aenzione sulle rispose cosani a ingressi cosani (condizioni di equilibrio) e su quelle periodiche a ingressi periodici. 62

22 5.1 Rispose canoniche Ricordiamo innanziuo quali sono i principali segnali canonici, ai a rappresenare, in modo schemaico ma significaivo, paricolari eveni plausibilmene preseni all ingresso di sisemi dinamici Impulso o funzione δ di Dirac L impulso (ideale), o funzione δ di Dirac, a rigore non è una funzione ma può essere pensao come il limie, per ε endene a zero, della funzione cosane a rai ir(; ε) mosraa in Fig.5.1 ed indicaa a vole come impulso reale (uniario) di duraa ε. imp() := δ() := lim ir(; ε). ε Un imporane e (relaivamene) inuiiva proprieà dell impulso può essere formulaa nel modo seguene: v() imp(- ) d = v( ), - ε qualunque sia la funzione reale di variabile reale v( ), coninua in. 1 ε Fig. 5.1 : Impulso reale di duraa ε Scalino La funzione scalino è definia come segue: 1, > sca() :=, 1 Si noi che se poniamo (Fig.5.2): w(; ε) := ir(τ; ε) dτ allora sca() è il limie, per ε che ende a zero, di w(, ε). ε Fig. 6.2 : La funzione w(, ε) Rampa La rampa può essere definia come inegrale dello scalino. Precisamene: 63

23 ram() := sca(τ) dτ =, >, La funzione ram( ) è mosraa in Fig.5.3. Fig. 5.3 : La funzione rampa Parabola In maniera del uo analoga, la parabola può essere definia come inegrale della rampa. Precisamene: par() := ram(τ) dτ = 2 /2, >, La funzione par( ) è mosraa in Fig.5.4. Fig. 5.4 : La funzione parabola. I segnali canonici hanno, per definizione, ampiezza uniaria; nauralmene, i segnali A imp( ), A sca( ), A ram( ) e A par( ) sono un impulso, uno scalino, una rampa e una parabola di ampiezza A. Ad esempio, un segnale pari a 1 2 per > e nullo alrove è una parabola di ampiezza 2. Essi sono rappresenaivi di un segnale rispeivamene soggeo, in un deerminao isane, preso come origine dell asse dei empi, a una fore e sporadica perurbazione isananea oppure a una brusca variazione del valore correne, o di quello della derivaa prima, o della derivaa seconda. Le rispose canoniche del sisema S, e precisamene: la risposa all impulso (o impulsiva), a scalino, a rampa e a parabola di S, sono gli andameni dell uscia di S quando l ingresso è, rispeivamene, un impulso, uno scalino, una rampa o una parabola (di solio di ampiezza uniaria), e lo sao iniziale è nullo. Ad esempio, se u e y sono scalari, la risposa a scalino (uniario) di S è daa (per ogni > ) da: σ() = C e A(-τ) dτ B + D. 64

24 In base alla definizione di e A, è facile riconoscere che d dτ ea(- τ) = e A(- τ) A = A e A(- τ). Allora, se A è non singolare, si ha: e A(-τ) dτ = A -1 e A(- τ) quindi, in quel caso, σ() = C A -1 (e A I ) B + D, per ogni >. = A-1 (e A I ), 5.2 Risposa cosane (di equilibrio) a un ingresso cosane Sappiamo che gli sai di equilibrio di S corrispondeni a un ingresso cosane e uguale a u sono le soluzioni cosani dell equazione di sao; cioè, le soluzioni dell equazione A x + B u = nell incognia x. Se A è non singolare, la soluzione esise, è unica ed è daa da: x = - A -1 B u. Di conseguenza, è unica, in queso caso, la risposa cosane: y = - C A -1 B u + D u. Possiamo ornare un aimo all espressione della risposa a scalino σ() di S per osservare che, se S è un sisema asinoicamene sabile, gli auovalori di A hanno pare reale negaiva e quindi A è non singolare; perano, σ() = C A -1 (e A I ) B + D, per ogni >, σ( + ) =D, e il limie di σ() per che ende all infinio è uguale a y, dal momeno che, al endere di all infinio, ogni elemeno di e A ende a zero. Poiché ogni movimeno di un sisema asinoicamene sabile è non solo asinoicamene ma globalmene sabile, il movimeno (dello sao) di S forzao da un ingresso cosane uguale a u a parire da uno sao iniziale x deve endere a x = - A -1 B u qualunque sia x, se S è asinoicamene sabile. Infai: 65

25 x() = e A x + e A(-τ) dτ B u ma sappiamo anche che, se x è uno sao di equilibrio di S e x = x, allora x() = x per ogni, cioè: x = e A x + e A(-τ) dτ B u quindi (come c era da aspearsi), δx() := x() x = e A (x x ) = e A δx() e perano, x() = x + e A (x x ). Se S è asinoicamene sabile, ogni elemeno di e A ende a zero al endere di all infinio; quindi, qualunque sia lo sao iniziale x, il movimeno x( ) forzao dall ingresso cosane u() = u ende, per che ende all infinio, all unico sao di equilibrio x = - A -1 B u. Ogni movimeno di un sisema S asinoicamene sabile prodoo da un ingresso cosane u a parire da x x differisce dallo sao di equilibrio x corrispondene a u di un ermine ransiorio dao da e A (x x ). Il ransiorio ha duraa eoricamene infinia, ma in praica può rienersi esaurio dopo un inervallo di empo limiao di duraa approssimaivamene simabile, come vedremo, in 5 8 vole l inverso della disanza dall asse immaginario dell auovalore di A ad esso più vicino. Considerazioni del uo analoghe valgono ovviamene per la risposa y( ) di un sisema asinoicamene sabile ad un ingresso cosane. Infai, y() = C x() + D u = y + C e A (x x ) ; la risposa ende cioè, asinoicamene, all uscia di equilibrio (che esise ed è unica). Se S non è asinoicamene sabile, possono esisere una, nessuna o infinie condizioni di equilibrio corrispondeni ad un ingresso cosane u. Ma se x non è uno sao di equilibrio, non vi è alcuna garanzia che la risposa forzaa da u enda, dopo un ransiorio iniziale, ad un uscia di equilibrio o che rimanga limiaa. 66

26 Esempio 1 A iolo illusraivo, riprendiamo l Esempio 5 del primo capiolo. Consideriamo, cioè, il circuio elerico di Fig.5.5, il cui comporameno può essere descrio, come sappiamo, da un sisema dinamico lineare empo-invariane S : x () = A x() + B u() y() = C x() dove: u:= v 1, y := x 1 := v 2, x 2 := i 2, e inolre C R C C R A :=, B := 1 L R L C := [ 1 ]. Per quano riguarda il valore numerico dei parameri, consideriamo re casi: a) R = 1 [Ω], R = 2 [Ω], C = 2.7 [µf], L =.5 [mh] ; b) R = 3 [Ω], R =.7 [Ω], C = 2.7 [µf], L =.5 [mh] ; c) R = 1 [Ω], R = 6 [Ω], C = 2.7 [µf], L = 1.5 [mh]. i R i 2 R C i 1 v 1 v 2 L Fig. 5.5 : Un circuio elerico. Il polinomio caraerisico di A è dao da: χ(s) = s 2 + α s + β 67

27 dove: α := R L + 1 R C = R R C + L 1 R R L C, β = L C + R L C = R + R R L C. In ui e re i casi, le radici di χ(s) sono complesse coniugae. Seguendo allora una conveniene consueudine, meiamo in evidenza la pulsazione naurale ω n e il faore di smorzameno ζ della coppia di radici in quesione, scrivendo: χ(s) := s ζ ω n s + ω n 2. Im Ovviamene, ω n ω n = β, ζ = α α = 2 ω n 2 β. Come mosrao in Fig.5.6, ω n è il modulo e ζ ω n la pare reale delle due radici, menre la pare immaginaria è daa da: ± j ω r, dove: ζ ω n ω r := ω n 1 ζ 2 Le rispose a scalino (u = 1, x = ) del sisema di Fig. 5.6 : Radici complesse Fig.5.5, nei re casi (a), (b) e (c) precedenemene specificai, sono mosrae in Fig.5.7. Re (a) ζ =.14, ω n = (b) ζ =.5, ω n = (c) ζ =.24, ω n = Fig. 5.7 : Rispose a scalino 68

28 In ogni caso, poiché α e β sono posiivi, il sisema è asinoicamene sabile. La duraa a del ransiorio (empo di assesameno simao) è pari a circa 5 8 vole l inverso della disanza degli auovalori di A dall asse immaginario: , nel caso (a) 5 a ζ ω n = , nel caso (b) , nel caso (c) Il periodo T delle oscillazioni (smorzae) che si manifesano durane il ransiorio è dao da: T = 2 π, ω ω r := ω n 1 ζ 2, r dove ± j ω r è la pare immaginaria degli auovalori di A (Fig.6.6); quindi, il numero di oscillazioni visibili durane il ransiorio è simabile in: n o a T = 5 1 ζ2 2 π ζ.75 ζ, ( ζ <.7), ovviamene arroondao all inero più vicino. Qualora fosse ζ <, il sisema sarebbe insabile e quindi n o = ; menre, per ζ >.7, non ci sarebbero oscillazioni visibili (n o =). Infine, per quano riguarda i valori a ransiorio esaurio delle rispose mosrae in Fig.5.7, abbiamo (u = 1, D = ):.196, nel caso (a) y = C A -1 B u + D u = C A -1 B =.23, nel caso (b)..566, nel caso (c) Per soolineare come la duraa del ransiorio dipenda essenzialmene da ζ ω n, cioè dalla disanza dall asse immaginario degli auovalori di A, consideriamo, nel caso (a), la risposa libera (u = ) a parire da: x() = [-2 5]. Fig. 5.8 : Risposa nel caso (a) con x(). Il risulao (Fig.5.8) è quello aeso: nonosane la diversa inensià e naura della perurbazione, la duraa approssimaiva del ransiorio è invariaa. 69

29 6.3 Risposa periodica a un ingresso periodico Sia u p ( ) un segnale periodico di periodo fondamenale (o minimo) T; T sarà quindi il più piccolo valore posiivo di τ ale che u p ( + τ) = u p (), per ogni. La pulsazione fondamenale di u p sarà Ω := 2π/T. Ci chiediamo innanziuo se, soo l azione di u p ( ), esisa un regime periodico di periodo fondamenale T. Ci domandiamo, cioè, se con u() = u p () esisono soluzioni periodiche dell equazione di sao e corrispondeni rispose periodiche di periodo T del sisema S. La quesione è di noevolissima imporanza ecnica: si pensi, ad esempio, alle rei eleriche di poenza funzionani in regime sinusoidale o al problema delle vibrazioni indoe nelle macchine da solleciazioni periodiche. Fissao l ingresso periodico u p ( ), si chiama generaore periodico di S (corrispondene a u p ) qualunque puno dello spazio di sao che, preso come sao iniziale, fa sì che risuli: x(t) = x(). Una breve riflessione consene di riconoscere come il movimeno che scaurisce da un generaore periodico, soo l azione dell ingresso u p ( ), sia effeivamene un movimeno periodico di S; vale a dire: una soluzione periodica dell equazione di sao. Infai, in ogni inervallo di duraa T successivo o precedene quello che ha l origine dell asse dei empi come isane iniziale sia l andameno dell ingresso che lo sao iniziale (e quindi l inero movimeno) si ripeeranno invariai. La ricerca delle soluzioni periodiche dell equazione di sao quando u() = u p () equivale allora alla ricerca dei generaori periodici di S (corrispondeni a u p ). Tale ricerca è, di solio, decisamene ardua nel caso di equazioni di sao non lineari; ma, nel caso lineare, la disponibilià della soluzione generale in forma esplicia (formula di Lagrange) rende più agevole la soluzione del problema. Infai, poiché T x(t) = e A T x() + e A(T-τ) B u p (τ) dτ, l equazione (nell incognia x) che dev essere soddisfaa da ogni generaore periodico è la seguene: T x = e A T x + e A(T-τ) B u p (τ) dτ ovvero : 7

30 T (I - e A T ) x = b, b := e A(T-τ) B u p (τ) dτ. Come per la ricerca degli sai di equilibrio corrispondeni a un ingresso cosane, si raa di risolvere un sisema di equazioni lineari algebriche. La soluzione esise ed è unica se e solo se la marice I - e A T è non singolare; alrimeni, o non c è soluzione o ce ne sono infinie. Se I - e A T è non singolare, il generaore periodico è dao da: T x g = (I - e A T ) -1 b = (I - e A T ) -1 e A(T-τ) B u p (τ) dτ. La marice I - e A T è non singolare se e solo se e A T non ha auovalori uguali a 1 e queso accade se e solo se A non ha auovalori del ipo j k Ω, dove Ω è la pulsazione fondamenale di u p e k un inero qualsiasi (la dimosrazione è omessa, ma si noi che e jkωt jk2π = e = 1). Si noi che, se S è asinoicamene sabile, A non può avere auovalori immaginari e quindi I - e A T è sicuramene non singolare. In queso caso dunque, x g = (I - e A T ) -1 b è l unico generaore periodico di S corrispondene a u p. Il movimeno periodico di S forzao da u p è unico ed è dao da: x p () = e A x g + e A(-τ) B u p (τ) dτ. Se x x g, il movimeno di S forzao da u p a parire da x() = x, vale a dire: x() = e A x + e A(-τ) B u p (τ) dτ, non è periodico, ma (ancora una vola) δx() := x() x p () = e A (x x g ) = e A δx() e quindi x() = x p () + e A (x x g ). Se S è asinoicamene sabile, ogni elemeno di e A ende a zero al endere di all infinio; quindi, qualunque sia lo sao iniziale x, il movimeno x( ) forzao dall ingresso periodico u p ( ) ende, per che ende all infinio, all unico movimeno periodico x p ( ) di S prodoo da u p ( ). 71

31 In ogni movimeno x( ) forzao dall ingresso periodico u p ( ), a parire da uno sao iniziale x x g, sono riconoscibili un ermine di regime x p ( ) e un ermine ransiorio dao da e A (x x g ). Il ransiorio ha duraa eoricamene infinia, ma in praica può rienersi esaurio dopo un inervallo di empo limiao di duraa approssimaivamene simabile, come vedremo, in 5 8 vole l inverso della disanza dall asse immaginario dell auovalore di A ad esso più vicino. Considerazioni del uo analoghe valgono ovviamene per la risposa periodica y p ( ), di un sisema asinoicamene sabile, all ingresso periodico u p ( ). Infai, y p () = C x p () + D u p () e, se x x g, y() = C x() + D u p () = y p () + C e A (x x g ) ; l uscia, cioè, ende asinoicamene all unica risposa periodica di S forzaa dall ingresso periodico u p. Qualunque sia x, y( ) ende a divenare periodica; dopo un ransiorio di duraa solo eoricamene infinia, y() y p (). Esempio 11 Consideriamo di nuovo il semplice circuio elerico di Fig.5.5 (Esempio 1) e, per quano riguarda il valore dei parameri, supponiamo di essere nel caso denominao (a): R = 1 [Ω], R = 2 [Ω], C = 2.7 [µf], L =.5 [mh]. Fig. 5.9 : Risposa (x = ) e risposa periodica all ingresso u p () = sin( ). 72

32 Supponiamo inolre che l ingresso u p ( ) sia una sinusoide a 5 [Hz]: u p () = sin(2 π 5 ). La pulsazione fondamenale dell ingresso u p è Ω = 2 π 5 = [rad/sec]; ad essa corrisponde un periodo di 2 [msec]. Il generaore periodico corrispondene a u p è x g = [ ]. In Fig.5.9, sono mosrae la risposa periodica del sisema all ingresso u p (linea raeggiaa) e la risposa y( ) prodoa dall ingresso u p a parire dallo sao iniziale x = (linea coninua). Com era da aendersi, dopo un ransiorio della duraa di circa 1.3 [msec], y() è praicamene coincidene con la risposa periodica. 6. Considerazioni conclusive In queso capiolo s è affronaa l analisi nel dominio del empo di sisemi dinamici lineari e empo-invariani; l analisi, cioè, basaa su una descrizione nella quale i segnali compaiono come funzioni del empo. Si sono innanziuo riprese e approfondie le nozioni di movimeno (dello sao) e di risposa (o movimeno dell uscia) di un sisema S, lineare e empoinvariane, consegueni all applicazione di un segnale u( ), definio per, a parire dallo sao iniziale x() = x. La formula di Lagrange consene di dare, di ali movimeni, un espressione in forma esplicia e di meere adeguaamene in luce, nei suoi vari aspei, il cosiddeo principio di sovrapposizione degli effei. Si è quindi cominciao ad affronare il problema della sabilià inroducendo, con riferimeno ad un sisema non lineare (empo-invariane, a dimensioni finie), le principali definizioni di Liapunov relaive alla sabilià del movimeno. Si è poi concenraa l aenzione sui sisemi lineari, per i quali si è dimosrao come sia possibile rasferire le nozioni di sabilià dal singolo movimeno all inero sisema. Si sono quindi enunciai e commenai alcuni imporani crieri di sabilià asinoica, o di insabilià, e di sabilià asinoica robusa rispeo a un insieme ammissibile di parameri inceri. L analisi della sabilià del movimeno nei sisemi non lineari esula dai limii imposi ad una raazione inroduiva. Tuavia, noevoli informazioni circa la sabilià asinoica, o l insabilià, di quei paricolari movimeni che sono gli sai di equilibrio di un sisema non lineare si possono rarre dal modello lineare angene al sisema in esame nella condizione di equilibrio consideraa; più precisamene, dagli auovalori della sua marice dinamica. Infine, si sono inrodoe e brevemene discusse varie rispose molo significaive di un sisema S, lineare e empo-invariane. Nel farlo, si è presaa 73

33 un aenzione del uo paricolare al caso dei sisemi asinoicamene sabili. Le cosiddee rispose canoniche rappresenano gli andameni dell uscia di S, soo l azione degli ingressi canonici, vale a dire dei segnali impulso, scalino, rampa e parabola di ampiezza uniaria, a parire da sao iniziale nullo. La risposa cosane a un ingresso cosane e la risposa periodica a un ingresso periodico soendono invece l esisenza di paricolari regimi (cosane o periodico). 74