Vediamo come si sviluppa la soluzione esplicita del problema. ( t)

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1 Analisi ransioria L'analisi dinamica ransioria (dea anche analisi emporale) è una ecnica che consene di deerminare la risposa dinamica di una sruura soggea ad una generica ecciazione emporale Gli effei emporali sono ali da rendere imporani gli effei delle masse inerziali, alrimeni si può uilizzare un analisi saica Anche in queso caso si può operare con il sisema compleo, con il sisema condensao, od anche mediane sovrapposizione modale Tranne che nel caso modale, il sisema può rispondere in modo lineare o non lineare, il che vuol dire che in ques ulimo caso ad ogni sep emporale sarà necessario risolvere il problema non lineare Sono proposi due algorimi direi per la risoluzione nel empo: il meodo di inegrazione esplicia ed il meodo di Newmark (implicio) I meodi esplicii ed implicii differiscono per il fao che i primi deerminano gli sposameni al empo successivo imponendo l equilibrio al empo precedene, i secondi invece impongono l equilibrio complessivo ad ogni passo Ne deriva la conseguenza che i meodi esplicii consenono il calcolo ad ogni sep molo più rapido, ma richiedono moli più sep emporali per oenere soluzioni acceabili, gli implicii richiedono meno passi emporali ma ad ogni passo richiedono l inversione della marice di rigidezza dinamica

2 INTEGRAZIONE ESPLICITA (differenze cenrali) Esise una serie di codici specializzai in queso ipo di analisi, paricolarmene adao a sudiare fenomeni foremene non lineari quali il crash o il meal forming LS-DYNA3D ABAQUS-eplici PACRASH RADIOSS Vediamo come si sviluppa la soluzione esplicia del problema C K f Come discusso nella prima pare del corso, il puno nodale è quello di esprimere le derivae mediane rappori incremenali ( ) Esisono moli modi per farlo, ma solo alcuni porano a soluzioni acceabili; nel meodo delle differenze cenrali si assumono per accelerazione e velocià con il seguene crierio ( ) ( ) La soluzione al passo del sisema si riscrive sosiuendo vel. e acc. C f - K - C

3 Dalla precedene si può risolvere in - C f - K - C È richiesa l inversione di e di C, ma se la massa è lumped e lo smorzameno è diagonale, l inversione è un procedimeno immediao Noo si deerminano velocià ed accelerazioni ( ) ( ) Un problema connesso al meodo riguarda l inizio, 0 ove non è noo lo sposameno al empo - Si può uavia ovviare al problema mediane il calcolo a riroso della posizione al empo - Uno dei vanaggi del meodo è che non occorre memorizzare le marici di massa e rigidezza del sisema Tuavia il meodo non è incondizionaamene sabile, ma richiede un passo emporale ale da essere criico π ν AX

4 Si enga presene che la frequenza più ala dipende dal modello, più sono preseni elemeni piccoli e maggiormene sarà richieso un passo inegrazione emporale piccolo Se non si rispea ale condizione il sisema divena insabile e si può ad esempio produrre energia nel calcolo senza che agiscano forze eserne ETODO DI NEWARK Si raa di un meodo implicio, nel senso che l equilibrio è poso nel empo ; l accelerazione è lineare ra due sep successivi C K f Velocià e sposameno sono calcolai nel modo seguene [( δ) δ ] ( ) [( α) α ] Per avere sabilià incondizionaa, è necessario porre δ Chiamando γ damping numerico: γ 0 δ α δ δ α > 0 4 γ α 4 ( γ) In genere γ 0.005

5 Elaborando le espressioni precedeni di sposameno e velocià si ha α α α δ ( δ) δ δ α α α a 0 Ponendo ora per semplicià α δ a α a a α 3 α δ δ a 4 a 5 a ( δ) α α 6 a 7 δ a ( ) a a Si ha, dopo alcuni passaggi a a 0 6 Tenendo preseni le precedeni e sosiuendo nella equazione di equilibrio al empo si ricava per il sisema a a C K f a a a C a a a ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 A sinisra dell uguale è una marice di rigidezza dinamica che va inveria, a desra il ermine forzane Risolo per si calcolano le nuove velocià ed accelerazioni dalle ( ) a a a 0 a a 6 7

6 CONSIDERAZIONI SULLA STABILITÀ Dal puno di visa fenomenologico, si può dire che la sabilià nel processo di inegrazione direa implica che ogni errore (numerico) inrodoo non viene amplificao nei successivi passi di inegrazione Una procedura di inegrazione è incondizionaamene sabile quando la soluzione paricolare, legaa ad una qualunque condizione iniziale, rimane limiaa nel empo E invece condizionaamene sabile quando la limiazione della soluzione si ha solo per inferiori a valori criici Il meodo delle differenze cenrae è condizionaamene sabile. Il valore del passo emporale criico verrà discusso più avani Il meodo di Newmark è incondizionaamene sabile se δ 0.5 e α 0.5 (δ0.5) L analisi di sabilià non va confusa con l accuraezza aribuibile a ciascuno dei meodi ciai

7 CONSIDERAZIONI SULLA ACCURATEZZA Nel meodo delle differenze cenrali la limiazione del passo emporale precedenemene definia è quella che domina la scela Nei meodi incondizionaamene sabili l accuraezza fornisce indicazioni circa il valore oimale di Per quesi ulimi, si vede come il può essere qualche ordine di grandezza più elevao di quello criico precedene, in quano le componeni di ala frequenza non coneggiabili correamene vengono agliae dalla soluzione e non la influenzano né posiivamene né negaivamene I meodi incondizionaamene sabili agiscono come un filro passa-basso Nel caso di sisemi non lineari le considerazioni si complicano ed ogni sisema andrebbe analizzao a pare