COSTRUZIONE DELLE TAVOLE SELEZIONATE

Transcript

1 COSTRUZIONE DELLE TAVOLE SELEZIONATE 1. Inroduzione Ai fini della deerminazione delle presazioni di un conrao assicuraivo sulla via umana, srumeno indispensabile sono le avole demografiche di moralià, prospei in cui sono raccoli gli elemeni uili alla valuazione della disribuzione di probabilià della variabile aleaoria duraa di via residua per una esa di eà x. Spesso, nella praica auariale, vengono uilizzae le avole di moralià di popolazione, cosruie sulla base di opporune indagini demografiche condoe su popolazioni nazionali. (es. avole SIM (Saisica Ialiana Maschile) e SIF(Saisica Ialiana Femminile) cosruie dall ISTAT sulla base dei risulai dei censimeni della popolazione ialiana). In realà le condizioni di sopravvivenza della popolazione complessiva possono essere considerae rappresenaive di quelle sperimenae dai sooscriori di polizze sulla via solo in via approssimaa. Perano, ai fini di garanire l equià del conrao di assicurazione per enrambe le pari conraeni, si dovrebbe poer disporre di avole di assicurai. Tuavia effeuare indagini sulla moralià degli assicurai compora noevoli problemi meodologici, isiuzionali ed organizzaivi. Uno degli aspei più imporani che caraerizzano le assicurazioni in caso di via, è il fenomeno dell auoselezione da pare degli assicurandi, le cui condizioni di salue risulano migliori rispeo a quelle della popolazione generale. L esperienza dimosra che chi si assicura conro il rischio di sopravvivenza, ad una deerminaa eà, presena una moralià per malaia inferiore rispeo a qualunque alro coeaneo. Perano l impiego delle avole di popolazione compora una sovrasima delle probabilià di more, in paricolare nei primi anni di assicurazione. Per simare più correamene le probabilià di sopravvivenza delle ese assicurae, per i conrai di assicurazione sulla via, e più precisamene per le rendie vializie, si cosruiscono le avole selezionae, i cui elemeni sono le probabilià: [ β 0 β[ x] + 1 A M q x] + = qx+ + qx+ [ x] +

2 q [x]+ probabilià annua di decesso per una esa di eà x+, avene eà x all ingresso in assicurazione A q x+ probabilià annua, per una esa di eà x+, di decesso per causa accidenale M q x+ probabilià annua di decesso, per malaia, per una esa di eà x+ β [x]+ coefficiene di riduzione della moralià per malaia, per una esa di eà x+, avene eà x all ingresso in assicurazione Le probabilià annue di decesso q x+, derivani da una avola di popolazione, risulano scompose nei due addendi: A M q x+ = qx+ + qx+ Perano conoscendo una delle due componeni della moralià è possibile ricavare l alra per differenza.. Deerminazione delle probabilià di more per causa accidenale Con riferimeno agli anni 1998, 1999, 000, disponendo, per ciascun anno, dei dai relaivi al numero di decessi per causa accidenale 1, classificai per sesso e per eà (classi quinquennali) e alla popolazione residene al 1 gennaio, per sesso e per classi di eà, è possibile calcolare la frequenza di eliminazione m(i) per ciascuna classe di eà i M(i)(1998) + M(i)(1999) + M(i)(000) m(i) = 0,5P(i)(1998) + 0,5P(i)(1999) + 0,5P(i)(1999) + 0,5P(i)(000) + 0,5P(i)(000) + 0,5P(i)(001) dove: M(i)(1998) è il numero dei mori, per causa accidenale, dell i-esima classe di eà osservai nell anno di calendario P(i)(1998) è la popolazione residene dell i-esima classe di eà osservaa al 1 gennaio ,5 P(i)(1998)+ 0,5 P(i)(1999) è la popolazione residene media nel 1998 dell i-esima classe di eà. 1 ISTAT- Annuari Cause di more. Il gruppo di cause considerae corrisponde al seore IX della classificazione inernazionale, codici dal n. E800 al n E999, con esclusione dei n. E950-E959 (Suicidio ed auolesione) e dei n.e980-e989 (Lesioni non specificae se accidenali o provocae inenzionalmene) ISTAT Informazioni Popolazione - Popolazione per sesso, eà e sao civile nelle province e nei grandi comuni anni 1998, 1999, 000, 001

3 Tale meodologia è adoaa dall ISTAT per la deerminazione delle probabilià di more quinquennali desune dai dai osservazionali e conduce a risulai che non differiscono in modo significaivo da quelli che si oerrebbero adoando i crieri esai nel calcolo delle avole complee. Si rova la seguene abella: Frequenze di eliminazione Classi eà m(i) maschi femmine 0-4 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , e olre 0, , Successivamene occorre disaggregare, per eà x, ali frequenze uilizzando la formula di inerpolazione lineare: m(i + 1) - m(i) m( x) = m(i) + [ x x(i)] x(i) < x x(i + 1) x(i + 1) - x(i) dove x(i) indica l eà cenrale dell i-esima classe. Per le eà infanili, da 0 a 5 anni compresi, i valori di m(x) sono sai calcolai direamene disponendo dei dai relaivi al numero dei decessi e alla popolazione residene a ali eà. Per il calcolo degli alri valori sono sae adoae le eà cenrali riporae nel prospeo seguene:

4 Classe eà i Cenro classe x(i) 0-4, , , ,5 0-4, , , , , , , , , , , , , ,5 90 e olre 100 E saa consideraa quale eà esrema x = 110 e quindi il cenro di classe dell ulima classe è poso pari a 100. Si oengono i segueni risulai (la abella complea viene riporaa in appendice): Eà m(x) x maschi femmine 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Poiché le frequenze deerminae possono essere inerpreae solo in misura approssimaa come i corrispondeni valori delle probabilià annue di decesso, in quano i valori sperimenali sono soggei a moleplici cause di errore, occorre applicare un uleriore procedimeno correivo.

5 Per le eà infanili si assumono come probabilià eoriche quelle grezze, ossia i valori di m(x) precedenemene rovai. Per le eà cenrali, da x = 5 a x = 67, esremi esclusi, è sao uilizzao un procedimeno analiico, adoao dall ISTAT per la cosruzione dei quozieni di moralià della popolazione ialiana, che consise nella deerminazione dei parameri della parabola di ordine: Q( y) = a + by + cy y = -, -1, 0,1, scela come funzione perequarice, che passa ra cinque quozieni grezzi consecuivi: Q(-) = m(x-); Q(-1) = m(x-1); Q(0) = m(x); Q(1) = m(x+1); Q() = m(x+) Con il meodo dei minimi quadrai si rovano i parameri a, b, c: 17 A 5C a = 35 B b = 10 C A c = 14 A = m(x-) + m(x-1) + m(x) + m(x+1) + m(x+) B = - m(x-) - m(x-1) + m(x+1) + m(x+) C = 4 m(x-) + m(x-1) + m(x+1) + 4 m(x+) 17A 5C B C A Perano Q( y) = + y + y Quindi per le eà cenrali, maggiori di 5 e minori di 67, la probabilià di more, per causa accidenale, per una esa di eà x, è saa rovaa dall espressione precedene con y = 0: ossia: q A x 17A 5C = Q( 0) = 5 < x < q A x 17m( x) + 1[m( x 1) + m( x + 1)] 3[m( x ) + m( x + )] = 5 < x < Per le eà senili, x 67, seguendo la procedura dell ISTAT, è saa uilizzaa una funzione perequarice di ipo iperbolico con le segueni caraerisiche: - asinoo parallelo all asse delle ascisse a disanza 3, cioè Log1000, che rappresena il valore limie della probabilià di more, su scala logarimica

6 - passaggio della curva per re puni, individuai sperimenalmene in modo da minimizzare la somma degli scosameni ra dai grezzi e i corrispondeni eorici. Ponendo z = Log 1000 q A x, l equazione perequarice scela è: (z-3) (z-ax-b) = c c 0 che è un iperbole equilaera con asinoi paralleli agli assi, di equazioni z = 3 z = ax+b I valori dei parameri a, b, c sono sai deerminai imponendo il passaggio della curva per re puni di ascissa x 1, x e x 3 e di ordinaa z* 1, z*, z* 3 e quindi risolvendo il sisema lineare: ax ax ax 1 3 c + b + = z * z * 1 3 c + b + = z * z * 3 c + b + = z * z * 3 L equazione perequarice può essere riscria nella forma: z - (ax + b + 3) z + (3ax + 3b - c) = 0 Il ramo di iperbole che meglio inerpola i logarimi delle probabilià per cause accidenali è quello che corrisponde alla radice: ax + b + 3 ax + b + 3 z = 3ax 3b + c mediane la quale calcolare la probabilià di more per cause accidenali, per una esa di eà x 67: z A 10 q = x 67 x 35 Scegliendo x 1 = 67, x = 8 e x 3 = 95 le ordinae z* 1, z*, z* 3 mediane le quali far passare la funzione inerpolarice sono: z * 1 = Log (1000 m(67)) z * = Log(1000 m(8)) z * 3 = Log(1000 m(95))

7 Si oengono i segueni risulai: maschi femmine z* 1-0, , z* 0, ,3673 z* 3 0, ,80467 maschi femmine a 0, ,0398 b -3, , c 5, ,9947 q x A Eà x maschi femmine 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Deerminazione dei coefficieni di riduzione della moralià per malaia Una vola deerminai i valori delle probabilià annue di decesso per cause accidenali, occorre deerminare il coefficiene di riduzione della moralià per malaia β [x]+ così definio, a seguio di un approfondia analisi numerica: 0 = 0 β[ x] + = h() 1 4 x 60 0, = 0 β[ x] + = min x > 0,85 5 ( 0,03( x - 60) + h(); 0,85 )

8 h (1) = 0,100 h () = 0,00 h (3) = 0,333 h(4) = 0,600 h(5) = 0,850 Si riporano alcuni valori dei coefficieni di riduzione della moralià per malaia Coefficieni di riduzione della moralià per malaia Eà di ingresso della esa in assicurazione x<= 60 x = 65 x = 70 x = 75 x = 80 x = ,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,100 0,50 0,400 0,550 0,700 0,850 0,00 0,350 0,500 0,650 0,800 0, ,333 0,483 0,633 0,783 0,850 0, ,600 0,750 0,850 0,850 0,850 0,850 >= 5 0,850 0,850 0,850 0,850 0,850 0, Tavole selezionae Scegliendo quali avole di moralià le SIM e le SIF 000, si calcolano i valori delle probabilià annue di decesso q x e, soraendovi i valori delle probabilià annue di decesso per cause accidenali precedenemene calcolai, si rovano le probabilià annue di decesso per malaia che riporiamo di seguio per alcuni valori di x a parire dall eà 50: q x q x A q x M x maschi femmine maschi femmine maschi femmine 50 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0647 0, , , , , , , ,1951 0, , , , ,085643

9 A queso puno si hanno ui gli elemeni per cosruire le avole selezionae maschili e femminili. eà di ingresso Tavola selezionaa maschi eà raggiuna [x] q [x] q [ x]+1 q [x]+ q [x]+3 q [x]+4 q [x]+5 x , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0169 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,1341 0,1319 0, , eà di ingresso Tavola selezionaa femmine aniduraa [x] q [x] q [x]+1 q [x]+ q [x]+3 q [x]+4 q [x]+5 x+5 eà raggiuna 50 0, ,0009 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0083 0, , , , , , , , , , ,0057 0, , , , , , , , , ,0076 0, , , , , , ,0086 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

10 5. Rendie vializie Sulla base di un asso di ineresse ecnico i e della legge di sopravvivenza, ricavabile dalla avola selezionaa precedenemene cosruia, si calcola il premio unico, al variare dell eà x, per un assicurazione di rendia vializia immediaa uniaria posicipaa. Esso risula pari a: dove a x = ω x = 1 p [ x] (1 + i) p = [ x] [ x] s= 1 p + s p + = 1 q + [ x] s [ x] s Annualià vializie maschi femmine Eà i = 0% i = % i = 0% i = % 50 9,8875 1, , , , ,9430 9, , , , , , , , , , , , , , , ,7601 1, , ,1634 6, , , , ,6666 6,4074 5,63895