Istituto Italiano degli Attuari Seminario Attuariale. La garanzia assicurativa del T.F.R. Prof. Antonio Longo. 15 dicembre 2005

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1 Isiuo Ialiano degli Auari Seminario Auariale La garanzia assicuraiva del T.F.R. Prof. Anonio Longo 15 dicembre 2005

2 Il T.F.R. è un problema nazionale che scuoe il Governo menre l assicurazione privaa, come srumeno naurale di previdenza complemenare colleiva ed individuale, rova nel nosro paese degli osacoli preconceuali che non hanno risconro nel reso del mondo. Ciò si verifica oggi come nel 1993 quando venne emanaa la legge dei fondi pensione. Ci ha spino ad inraprendere queso sudio la ferma convinzione che la finanza dell assicurazione ha caraerisiche specifiche che la differenziano decisamene dal reso del sisema e che le garanzie finanziarie, con buona pace degli IAS, sono un elemeno inrinseco dell assicurazione via che ne ha sin qui garanio lo sviluppo. Lo scopo dichiarao di queso sudio è quindi quello di analizzare, con la massima obieivià possibile, quale possa essere sul piano ecnico l approccio assicuraivo al problema del TFR. 1

3 Per queso siamo parii da una semplicissima evidenza saisica. Abbiamo supposo che una impresa d assicurazione avesse emesso mensilmene per 10 anni dal 1985 al 1995 polizze di ramo III a premio unico e duraa decennale (con scadenza quindi ra il 1995 ed il 2005), con rendimeno pari al risulao conseguio da un indice azionario globale (Sandard & Poor s 500) e garanzia alla scadenza pari a quella offera sul TFR, conformemene alle regole nazionali ed in base all andameno effeivo dell inflazione nel periodo considerao. Le segueni Tabelle ed il relaivo Grafico meono in evidenza che, nel periodo preso in considerazione, il rendimeno dello Sandard & Poor s 500 è sao sempre superiore al rendimeno garanio dall indicizzazione del TFR. 2

4 Tabella 1: Coefficieni di capializzazione del TFR con duraa decennale relaivi alle scadenze delle 120 emissioni mensili di polizze di ramo III (emesse da gennaio 1985 a dicembre 1994). Dae di scadenza Gen Feb Mar Apr Mag Giu Lug Ago Se O Nov Dic delle polizze ,7203 1,7174 1,7188 1,7146 1,7151 1,7151 1,7122 1,7139 1,7119 1,7034 1,7019 1, ,6864 1,6865 1,6853 1,6891 1,6892 1,6869 1,6845 1,6833 1,6834 1,6775 1,6765 1, ,6685 1,6651 1,6617 1,6596 1,6586 1,6542 1,6508 1,6475 1,6410 1,6336 1,6338 1, ,6287 1,6289 1,6236 1,6217 1,6208 1,6178 1,6147 1,6106 1,6056 1,5986 1,5897 1, ,5780 1,5704 1,5668 1,5635 1,5609 1,5553 1,5546 1,5528 1,5504 1,5414 1,5411 1, ,5306 1,5280 1,5267 1,5234 1,5232 1,5230 1,5207 1,5132 1,5089 1,5025 1,5002 1, ,4938 1,4876 1,4856 1,4845 1,4834 1,4795 1,4775 1,4746 1,4707 1,4649 1,4592 1, ,4536 1,4554 1,4536 1,4518 1,4481 1,4463 1,4454 1,4463 1,4445 1,4410 1,4375 1, ,4372 1,4348 1,4363 1,4340 1,4308 1,4265 1,4251 1,4258 1,4274 1,4212 1,4189 1, ,4147 1,4141 1,4130 1,4127 1,4105 1,4111 1,4090 1,4088 1,4059 1,4002 1,3989 1,3951 3

5 Tabella 2: Coefficieni di capializzazione dello S&P 500 con duraa decennale relaivi alle scadenze delle 120 emissioni mensili di polizze di ramo III (emesse da gennaio 1985 a dicembre 1994). Dae di scadenza Gen Feb Mar Apr Mag Giu Lug Ago Se O Nov Dic delle polizze ,7763 2,6334 2,6505 2,7685 2,8831 2,8179 2,8431 2,9131 3,0006 3,1432 3,0503 3, ,9616 2,9840 2,8585 2,7802 2,7836 2,7248 2,6816 2,7671 2,6345 2,9498 2,8632 3, ,9905 2,8458 2,8103 2,5980 2,7724 2,9202 2,9413 2,9825 2,8682 2,9188 3,6715 4, ,8096 3,9259 3,9207 4,3272 4,2858 4,0908 4,2261 4,0867 3,8484 3,6347 3,9834 4, ,4608 4,2849 4,3055 4,3649 4,3822 4,0198 4,3259 3,8634 3,7630 3,6561 3,9687 3, ,0458 4,2863 4,1449 4,4463 4,4191 3,9895 4,0873 4,0451 4,7070 4,5603 4,6291 4, ,9310 4,0037 3,3504 3,0861 3,3302 3,2486 3,2724 3,1410 2,8890 2,6684 2,7704 2, ,7673 2,7402 2,7440 2,8364 2,6337 2,4938 2,3461 2,0811 2,1103 2,0368 2,1312 2, ,0879 1,9441 1,8887 1,9065 2,0709 2,1308 2,1877 2,1774 2,2066 2,2074 2,2576 2, ,3816 2,3670 2,4890 2,5794 2,4668 2,4500 2,5301 2,4004 2,3372 2,4505 2,4135 2,6539 4

6 Grafico 1: Coefficieni di capializzazione dello Sandard & Poor s 500 e del TFR a confrono. 5,0 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 gen-95 gen-96 gen-97 gen-98 gen-99 gen-00 gen-01 gen-02 gen-03 gen-04 TFR S&P 500 5

7 Poiché 120 dae non sono alro che un campione più o meno rappresenaivo per di più solano su durae decennali, abbiamo elaborao un modello per l indicizzazione al TFR basao su un andameno dell inflazione che segue una equazione differenziale socasica di Ornsein Uhlenbeck. Il modello si fonda su re grandezze aleaorie: S, indice del mercao azionario F, T.F.R. raameno di fine rapporo ĩ, asso di inflazione. Si inroduce l ipoesi che le grandezze di cui sopra soddisfino alle segueni equazioni differenziali socasiche: 6

8 ds = S µ d S σ d w df 1 1 ( 0,015 0,75 ) = i F ( ) σ 2 2 di = i d d w La prima è caraerisica del modello Black Scholes, la seconda raduce le norme nazionali per il calcolo del TFR, menre la erza è un equazione dea di Ornsein Uhlenbeck ma che risale di fao a Langevin. L inegrazione del sisema conduce alle segueni espressioni: S = S e 0 σ1 µ 1w1 2 σ 7

9 8 ( ) ( ) ,015 0,75 1 s s e i e d w F e = σ s i e i e e d w = = = = σ La deerminazione di F richiede una doppia inegrazione che si oiene applicando nel dominio socasico il eorema di Fubini. L inegrale socasico: ( ) ( ) s e d w s σ (che può essere raao nella faispecie alla maniera ordinaria secondo Riemann) vale:

10 = N N 2 ( 0,1) σ 2 2 ( 0,1) σ e ( ) s 2 ds = ( ) 2 3 e 4 e 2 F è quindi un processo socasico con disribuzione marginale lognormale, ma log F non è un processo ad incremeni indipendeni e non può quindi definirsi un processo Gaussiano. Noe quindi le disribuzioni di S e di F si può procedere alla deerminazione della disribuzione della variabile casuale: ( ). X = F S 9

11 A ale riguardo conviene prendere le mosse dalla disribuzione di probabilià della variabile casuale F S. Sia: ( ) = ( < ) e F ( ) ( ) 2 x = Pr S < x F1 x Pr F x ; consideriamo il piano caresiano ( f, s ) in cui immaginiamo disese le deerminazioni della variabile casuale F, S 10

12 Avremo: Pr ( ) ( F S x) G ( x) x f < z s x z s ( ) ( ) = dz df f df s = = < = = 1 2 ( ) ( ) dz df s df f A queso puno è immediao deerminare la: Pr( X < x) = F ( x) < =. 3 Infai: ( ) ( ) ( ) F3 x 0 x < 0 F3 x G x x > 0 11

13 menre ha un puno di disconinuià per x = 0 su cui il limie sinisre differisce da quello desro per un ammonare pari a G ( 0) Grafico sruurale di F ( x ) 3 G ( 0) corrisponde alla probabilià che l opzione ermini ou of he money e valga quindi 0, menre G ( x) F ( x) corrisponde alla probabilià di un sinisro non superiore ad x. 3 12

14 Poso quindi TFR = F ( ) abbiamo oenuo una funzione aleaoria F ( ) cui corrisponde una disribuzione marginale in lognormale e l abbiamo posa a confrono con l indice S ( ) anch esso lognormale derivane dall inegrazione della radizionale equazione socasica di Black & Scholes con 5,5% µ = e σ = 20%. S Abbiamo sudiao quindi una sora di pu con srike socasico pari ad F ( ), analizzando la disribuzione di probabilià della differenza: ( ) = ( ) ( ) X F S 13

15 che può essere scria in forma chiusa parendo dalle disribuzioni di F ( ) e di S ( ) oengono inegrando le equazioni differenziali socasiche del modello. che si Ne abbiamo calcolao media e varianza con la ecnica Monecarlo e riporao nella Tabella 3 e nella Tabella 4 i risulai oenui per le varie durae da 1 a 10 con i valori dei parameri impiegai. 14

16 Tabella 3: Media e Varianza dei processi F ed S su varie durae Duraa Media di F Media di S Varianza di F Varianza di S 1 1,0324 1,0697 0,0000 0, ,1766 1,3329 0,0040 0, ,3943 1,7548 0,0255 0, ,6586 2,3102 0,0763 0, ,9760 3,0415 0,1737 0, ,3560 4,0042 0,3455 0, ,8099 5,2716 0,6368 1,

17 Tabella 4: media e varianza della variabile casuale X = ( F S ) su varie durae Duraa M (X ) σ 2 (X ) 1 0,0679 0, ,0460 0, ,0323 0, ,0278 0, ,0240 0, ,0210 0, ,0177 0,0155 M (X ) è il valor medio della variabile casuale ( ) F S che esprime il valore medio della presazione a scadenza di assicurazione di ramo III; σ 2 (X ) è la varianza della variabile casuale ( F S ). Parameri impiegai: µ = 0,055; σ = 0,20; = 0,20 ; = 0,005 ; σ = 0,015; S i 0 = 0,0225; S0 = F0 = 1. F 16

18 A queso puno si pone la pare più delicaa: avendo misurao in prima approssimazione il rischio araverso la media e la varianza del coso, come ariffarlo? Osserviamo en passan, ma in linea di principio, che i derivai finanziari classici non sarebbero applicabili perché ci roviamo, come capia per la maggior pare dei problemi assicuraivo finanziari, in siuazioni di mercai incomplei e quindi non direamene replicabili. E sponaneo allora far riferimeno a funzioni di uilià che si suppone possano radurre la propensione al rischio dell assicuraore in connessione con la sua poenzialià finanziaria e che quindi in generale siano meno curve di quelle degli assicurai, in modo da far si che l assicurazione sia sooscrivibile grazie ad un caricameno di rischio e nello sesso empo vendibile malgrado il medesimo. 17

19 Dao quindi un rischio X ( ) e il premio di ariffa, per calcolare deo premio abbiamo applicao il principio dell invarianza dell uilià media, prima e dopo l assunzione del rischio, che si raduce in generale nell equazione: ( ) ( u x = E u x X ) ove x misura il capiale di cui dispone l assicuraore. Se si pone: u( x) = 1 β x e β si ricava: = 1 log X E e β β (1) ove: β misura l aiudine dell assicuraore di frone al rischio; 18

20 19 non dipende da x ed è funzione monoona di β. L indipendenza di dalla disponibilià parimoniale dell assicuraore è croce e delizia del crierio. Infai, se da un lao semplifica il calcolo di, non fornisce alcuna indicazione per valuare β. Ci viene in aiuo forunaamene la relazione di Bruno de Finei inrodoa nel 1940 nell ambio della eoria asinoica del rischio che nella faispecie si scrive: ( ) = 1 X E e (2) Infai dalla (1) segue: = X e E e β β β β β β β β da cui: ( ) = 1 X E e β β β β.

21 Le espressioni (1) e (2) possono coesisere solo e solano se β =. Resa così individuao il crierio di scela di β poiché la probabilià di fallimeno dell assicuraore P ( ) f x che possiede il capiale x non è alro che x e β. Bruno de Finei con il suo lavoro di circa 65 anni fa ha dao un conribuo essenziale, nella sua semplicià crisallina, alla scienza auariale che merierebbe un analisi moderna alla luce della eoria dei cambi di misura. Poso U = ( X ) se U ha disribuzione normale Bruno de Finei ha dimosrao inolre che: 20

22 ( M ( X )) = β = 2 2 σ menre in generale, se U non è normale, come nel nosro caso, la relazione vale in prima approssimazione. Con quese considerazioni si perviene alla relazione fondamenale: X 1 2 = βσ ν = ν 2 X M ( X ) ν (che vale a scadenza e va quindi aualizzaa) dando luogo in definiiva alla: * r ν = ν e νν 21

23 che inegraa con la relazione: P ( x) f = x e β fornisce immediaamene il valore ricercao di β : = log Pf x β. Poso: P f = 10 c risula quindi: = c log10 x β. 22

24 A iolo di esempio ponendo P 2 = 10 e x = 0,50 ne consegue β = 9, 20, menre ponendo P 2 = 10 e x = 5 ne consegue β = 0,92, Le Tabelle 5 e 6 forniscono i premi corrispondeni: 1 βσ ( ) ν * 0,03 2 e ν M X ν = βσ X 2 ν avendo adoao per semplicià l ipoesi: r ν = 0,03. Si osserva, a commeno, che se la compagnia sooscrive rischi non superiori a euro, imporo che diviene quindi l unià di misura, il capiale x = 5 equivale a 2,5 milioni di euro che è il 50% dell esigenza minima richiesa dalla legislazione. 23

25 Tabelle 5 e 6: Premio puro incremenao del caricameno di rischio delle polizze di assicurazione di ramo III. 1 9,20 M X e 2 ν Durae = σ ( ν ) * 2 0,03ν X 1 0, , , , , , , ,92 M X e 2 ν Durae = σ ( ν ) * 2 0,03ν X 1 0, , , , , , ,

26 Il modello offre quindi una ampia possibilià di scele che parendo da P f e da x consenono, mediane la deerminazione conseguene di β, quella di e di La successione dei premi risula generalmene decrescene e garanisce a chi la acquisa la possibilià di eseguire l opzione alla scadenza scela. Chi vende l opzione (l assicuraore) conosce la probabilià asinoica di defaul in relazione al caricameno di rischio scelo ed al capiale iniziale scelo. *. Traandosi dell esecuzione di una opzione devono concorrere due circosanze: che l opzione sia a he money; che vi sia la volonà di eseguirla da pare di chi ne dispone (l assicurao). 25

27 L andameno decrescene dei premi e la circosanza che non vi sia la necessià di alcuna replicazione sineica da pare del vendiore dell opzione parrebbe suggerire la possibilià al vendiore di offrire all acquirene una garanzia del ipo seguene: acquisare una garanzia per una duraa n 1 (rinunciando quindi ad eseguirla per ν < n1 ) riservandosi il dirio di eseguirla successivamene per qualunque ν > n1. Ci siamo a queso puno poso il problema di sabilire in qualche modo un confrono con le coperure finanziarie classiche di ipo derivaivo. 26

28 Per queso abbiamo sosiuio il modello dell inflazione nel calcolo del TFR con un paramero cero, supponendo che l inflazione permanga sul livello auale, menre con l ipoesi di Uhlenbeck l evoluzione è assai più complessa anche se viene ipoizzao il manenimeno nel lungo periodo di un andameno pari a quello auale. Abbiamo quindi eroicamene supposo: ( ) 0,015 75% i 0,035 TFR = e = e, i = 2,66% inroducendo queso srike in una pu europea classica alla Black & Scholes di duraa 10 anni, σ = 0,15, r = 0,03, k 0,35 = e : 0,035 ( ) Pu 10;0,03;0,15; e 0, 22. BS 27

29 Abbiamo anche proceduo, in queso schema semplificao, al calcolo di una coperura di ipo clique con la relazione: ( ) 10 0,035 0,3 0,3 1 1;0,03;0,15; 0,32 ( ) Pu e e e In ques ulimo caso non siamo pienamene convini del risulao perché abbiamo qualche dubbio sulla replicabilià sineica dell opzione che è il presupposo per l impiego di una disribuzione di probabilià rischio neurale per S ( ). Abbiamo confronao i due meodi: quello puramene finanziario e quello assicuraivo scrivendo la relazione (pur ricordando che i due modelli non sono idenici nemmeno nella volailià che è σ = 0,20 in quello assicuraivo): 28

30 1 0, 22 = 0, ,032 2 ( β ) e da cui si ricava: β 65. Se l assicuraore è disposo a correre il rischio di fallire all 1 ( 0,001) basa in queso caso un capiale iniziale pari al 10% del capiale assicurao x = 0,10. 0,30 P = La pu europea alla Black & Scholes su 10 anni equivale, grosso modo come prezzo, alla pu assicuraiva con capiale di coperura iniziale pari al 10% del versameno acceao. Si soolinea che la pu assicuraiva è una garanzia saica che evia i cosi noevoli di replicazione. f 29

31 Soolineiamo infine che la pu assicuraiva ha uno srike socasico che copre eoricamene il rischio di inflazione in modo più adeguao. Il TFR socasico F ( ) è un processo aleaorio con disribuzione marginale lognormale, ma il suo rendimeno non è caraerizzao da un processo ad incremeni indipendeni; il che renderebbe malagevole la deerminazione del coso di una coperura del ipo clique, perché i vari faori di accumulazione non sono più variabili casuali indipendeni. E possibile uavia approfondire ancora il problema. Ci auguriamo che queso nosro sudio, assai modeso, possa fornire qualche non inuile spuno di riflessione. 30