1. Si consideri il seguente modello di regressione per serie storiche trimestrali riferite all area Euro:

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Michelangelo Santi
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1 1. Si consideri il seguene modello di regressione per serie soriche rimesrali riferie all area Euro: π β + β π + β π + β π + β y + δ D + δ D + D + u = δ3 3 in cui π è il asso di inflazione (infld nell oupu), y è il prodoo inerno lordo, 2 dummy sagionali (dpi) con i = 1, 2, 3 e u ~ WN(0, σ u ). La sima del modello ramie lo simaore OLS conduce ai segueni risulai: Modello 1: OLS, usando le osservazioni 1971:1-2006:4 (T = 144) Variabile dipendene: infld Coefficiene Errore Sd. rapporo p-value cons 0, , ,2532 0,00144 *** y -0, , ,2578 0,00142 *** dq1 0, , ,6705 0,09713 * dq2 0, , ,3574 0,17691 dq3 0, , ,0304 0,97583 infld_1 0, , ,8399 <0,00001 *** infld_2 0, , ,5630 0,00051 *** infld_3 0, , ,4842 0,62904 Media var. dipendene 0, SQM var. dipendene 0, Somma quadr. residui 0, E.S. della regressione 0, R-quadro 0, R-quadro correo 0, F(7, 136) 102,4569 P-value(F) 4,69e-51 Log-verosimiglianza 403,9921 Crierio di Akaike -791,9842 Crierio di Schwarz -768,2257 Hannan-Quinn -782,3301 rho 0, Durbin-Wason 1, D i indicano le A. Si valui la bonà del modello araverso l indicaore R-quadro e si commeni il risulao del es F riporao specificando opporunamene l ipoesi nulla e quella alernaiva. B. Si commenino le sime dei coefficieni dandone una inerpreazione sul piano economico e si valuino le relaive saisiche es. Dao il seguene es: Insieme di vincoli 1: b[dq1] = 0 2: b[dq2] = 0 3: b[dq3] = 0 Saisica es: F(3, 136) = 1,5152, con p-value = 0, C. Si commeni il risulao e lo si inerprei.

2 Si valui ora il seguene modello ridoo rispeo al Modello 1: Modello 2: OLS, usando le osservazioni 1971:1-2006:4 (T = 144) Variabile dipendene: infld Coefficiene Errore Sd. rapporo p-value cons 0, , ,7059 0,00030 *** y -0, , ,6833 0,00033 *** infld_1 0, , ,3855 <0,00001 *** infld_2 0, , ,9867 0,00011 *** Media var. dipendene 0, SQM var. dipendene 0, Somma quadr. residui 0, E.S. della regressione 0, R-quadro 0, R-quadro correo 0, F(3, 140) 235,5268 P-value(F) 1,70e-54 Log-verosimiglianza 401,3444 Crierio di Akaike -794,6887 Crierio di Schwarz -782,8095 Hannan-Quinn -789,8617 rho 0, Valore h di Durbin 0, Confrono ra il Modello 1 e il Modello 2: Ipoesi nulla: i parameri della regressione valgono zero per le variabili dq1, dq2, dq3, infld_3 Saisica es: F(4, 136) = 1,2736, con p-value = 0, Delle 3 saisiche di selezione del modello, 3 sono migliorae. D. Si valui la specificazione del Modello 2 e si commeni il confrono ra i due modelli. Nel seguio vengono presenai alcuni es di mispecificazione riferii al Modello 2: Tes RESET di specificazione (quadrai e cubi): Saisica es: F(2, 134) = 2,83558 con p-value = P(F(2, 134) > 2,83558) = 0, Tes LM per l'auocorrelazione fino all'ordine 4: Saisica es: LMF = 7,59168 con p-value = P(F(4,132) > 7,59168) = 1,55007e-005 Tes per la normalià dei residui: Saisica es: Chi-quadro(2) = 31,641 con p-value = 1,3466e-007 Tes di Whie per l'eeroschedasicià: Saisica es: LM = 48,1936 con p-value = P(Chi-Square(29) > 48,1936) = 0, Tes Chow per break sruurale all'osservazione 1990:2: Saisica es: F(8, 128) = 1,1088 con p-value = P(F(8, 128) > 1,1088) = 0,361619

3 E. Si valuino i risulai dei es di mispecificazione definendo per ognuno la relaiva ipoesi nulla. F. Si valui se le ipoesi alla base del modello di regressione sono rispeae, in quali evenuali conseguenze si può incorrere nel caso non siano soddisfae e quali rimedi si possono adoare.

4 2. Si consideri il seguene modello auoregressivo veoriale di ordine 3 per le serie soriche rimesrali riferie all area Euro: π : variazione del asso di inflazione y : variazione del prodoo inerno lordo. La sima del modello VAR(3) conduce ai segueni risulai: Sisema VAR, ordine riardi 3 Sime OLS usando le osservazioni 1971:2-2006:4 (T = 143) Log-verosimiglianza = 969,32828 Deerminane della marice di covarianza = 4, e-009 AIC = -13,3612 BIC = -13,0712 HQC = -13,2434 Tes pormaneau: LB(35) = 122,565, df = 128 [0,6190] Equazione 1: d_infld Coefficiene Errore Sd. rapporo p-value cons -0, , ,1356 0,00006 *** d_infld_1-0,6015 0, ,9141 <0,00001 *** d_infld_2-0, , ,0820 0,00008 *** d_infld_3-0, , ,0236 <0,00001 *** d_y_1 0, , ,3941 0,00090 *** d_y_2 0, , ,4277 0,01650 ** d_y_3 0, , ,0938 0,92543 Media var. dipendene -0, SQM var. dipendene 0, Somma quadr. residui 0, E.S. della regressione 0, R-quadro 0, R-quadro correo 0, F(6, 136) 14,88459 P-value(F) 4,90e-13 rho 0, Durbin-Wason 1, Tes F per zero vincoli: Tui i riardi di d_infld F(3, 136) = 25,99 [0,0000] Tui i riardi di d_y F(3, 136) = 8,4872 [0,0000] Tue le variabili, riardo 3 F(2, 136) = 12,881 [0,0000] Equazione 2: d_y Coefficiene Errore Sd. rapporo p-value cons 0, , ,5819 0,00047 *** d_infld_1-0, , ,2010 0,84097 d_infld_2 0, , ,0032 0,99742 d_infld_3-0, , ,2996 0,02299 ** d_y_1 0, , ,6778 0,00034 *** d_y_2 0, , ,4986 0,13629 d_y_3 0, , ,8890 0,37559 Media var. dipendene 0, SQM var. dipendene 0, Somma quadr. residui 0, E.S. della regressione 0, R-quadro 0, R-quadro correo 0, F(6, 136) 5, P-value(F) 0, rho 0, Durbin-Wason 1,978217

5 Tes F per zero vincoli: Tui i riardi di d_infld F(3, 136) = 2,3624 [0,0740] Tui i riardi di d_y F(3, 136) = 8,1148 [0,0001] Tue le variabili, riardo 3 F(2, 136) = 2,782 [0,0654] Per il sisema nel complesso Ipoesi nulla: il riardo maggiore è 2 Ipoesi alernaiva: il riardo maggiore è 3 Tes del rapporo di verosimiglianza: Chi-quadro(4) = 30,166 [0,0000] Confrono dei crieri di informazione: Ordine dei riardi 3: AIC = -13,3612, BIC = -13,0712, HQC = -13,2434 Ordine dei riardi 2: AIC = -13,2062, BIC = -12,9990, HQC = -13,1220 Sisema VAR, ordine massimo riardi 6 Riardi logver p(lr) AIC BIC HQC 1 930, , , , , , , , , , , ,403370* -13,109206* -13,283831* 4 953, , , , , A. Si scriva il modello VAR specificao. B. Si valuino i risulai riferii alle singole equazioni del sisema commenando i valori dell indicaore R-quadro e dei vari es F (sia per l equazione nel complesso, sia i es F per zero vincoli). C. Si commenino ed inerpreino sul piano economico le sime dei coefficieni valuandone la significaivià. D. Si valui quale sia l ordine dei riardi p a cui è meglio ricorrere per analizzare l insieme dei dai araverso la sime di un modello VAR(p) moivando opporunamene la risposa. Si considerino i segueni es di mispecificazione del modello VAR(3): Tes LM per l auocorrelazione: Equazione 1: Ljung-Box Q' = 3,43824 con p-value = P(Chi-quadro(4) > 3,43824) = 0,487 Equazione 2: Ljung-Box Q' = 1,68108 con p-value = P(Chi-quadro(4) > 1,68108) = 0,794 Tes per la normalià mulivariae dei residui: Doornik-Hansen Chi-square(4) = 41,8772, wih p-value = 1,76888e-008 Tes per la normalià di uha1: Tes di Jarque-Bera = 102,419, con p-value 5,75303e-023 Tes per la normalià di uha2: Tes di Jarque-Bera = 19,6315, con p-value 5,45839e-005 Ed il grafico delle radici inverse:

6 Radici inverse del VAR, in relazione al cerchio uniario E. Si commenino i risulai dei es riporai. F. Si valuino le conclusioni che si possono rarre dal grafico delle radici inverse del VAR.

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