Restrizioni lineari nel MRLM: esempi

Transcript

1 Restrizioni lineari nel MRLM: esempi Eduardo Rossi 2 2 Università di Pavia (Italy) Maggio 2013 Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria / 22

2 Funzione di produzione Cobb-Douglas Esempio GDP Messicano: GDP Messicano GDP Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria / 22

3 Funzione di produzione Cobb-Douglas Funzione di produzione economia messicana Modello teorico: La funzione di produzione Cobb-Douglas per l economia messicana nel periodo Funzione di produzione Cobb-Douglas: Y = AK α L β Y output K capitale L lavoro Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria / 22

4 Funzione di produzione Cobb-Douglas Modello di regressione lineare Prendiamo i logaritmi: ln Y t = β 1 + β 2 ln L t + β 3 ln K t + ɛ t t = 1,..., 20 Campione: (T = 20) Variabile dipendente: ln Y t Coefficiente Errore Std. rapporto t p-value const 1,6524 0,6062 2,7259 0,0144 ln L t 0,3397 0,1857 1,8295 0,0849 ln K t 0,8460 0,0933 9,0625 0,0000 Media var. dipendente 12,22605 SQM var. dipendente 0, Somma quadr. residui 0, E.S. della regressione 0, R 2 0, R 2 corretto 0, F (2, 17) 1719,231 P-value(F ) 2,41e 20 Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria / 22

5 Funzione di produzione Cobb-Douglas Rendimenti costanti di scala Nel periodo l economia messicana è stata caratterizzata da rendimenti costanti di scala? α + β = 1 Nel modello di regressione lineare questa ipotesi corrisponde a β 2 + β 3 = 1 Regressione ristretta imponendo β 2 = 1 β 3 ln Y t = β 1 + (1 β 3 ) ln L t + β 3 ln K t + ɛ t ln Y t ln L t = β 1 + β 3 (ln K t ln L t ) + ɛ t [ Y ] [ K ] ln = β 1 + β 3 ln + ɛ t t = 1,..., 20 L L t t Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria / 22

6 Funzione di produzione Cobb-Douglas Test di restrizioni lineari Variabile dipendente: ln [ Y L Coefficiente Errore Std. rapporto t p-value const [ ] 0, 495 0,122 4, 061 0,001 ln K L 1, 015 0,036 28, 106 0,000 t Media var. dipendente 2, SQM var. dipendente 0, Somma quadr. residui 0, E.S. della regressione 0, R 2 0, R 2 corretto 0, F (1, 18) 789,9271 P-value(F ) 2,53e 16 ] t Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria / 22

7 Funzione di produzione Cobb-Douglas Test di restrizioni lineari Test F: F = ũ ũ û û n k 1 û = û q 0, , = 3, 78 0, Il p-value è pari a Accettiamo l ipotesi di rendimenti costanti di scala. Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria / 22

8 I t i t log p t Y t t Variabili investimento reale tasso d interesse nominale tasso d inflazione prodotto reale trend Dati: osservazioni. log I t = β 1 + β 2 i t + β 3 log p t + β 4 log Y t + β 5 t + ε t t = 1,..., N il modello dice che gli investitori sono sensibili al tasso d interesse nominale, i t, al tasso d inflazione, log p t, all output reale (log Y t ), e ad altri fattori che hanno un trend crescente. Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria / 22

9 Stime OLS con 203 osservazioni 1950 : : 4 Variabile Dipendente: log I t Variabile Stima Std. Error t p-value const i t log p t log Y t t Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria / 22

10 Modello investimentto Media campionaria della y 6,30947 Deviazione standard della y 0, SSR 1,47057 Standard error dei residui (s) 0, R 2 0, R 2 0, F (4.198) 2395,23 Statistica Durbin-Watson 0, Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria / 22

11 t(198,.025) = 1,972 Variabile Stima Intervallo di confidenza 95% const -9,12843 (-11,8202;-6,4367) i t -0, (-0,0149;-0, ) log Y t 1,93016 (1,5687; 2,2916) log p t 1,32248 (-0,5200;3,1659) t -0, (-0,008593;-0,002725) Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria / 22

12 7.5 Fitted Actual Actual and Fitted log_i log(i)_t Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria / 22

13 0.4 Residuals Residual Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria / 22

14 4 Ellisse di confidenza al 95% e intervalli marginali al 95% ld_cpi_u ,93, 1, log_y Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria / 22

15 Se gli investitori rispondono solo a variazioni dei tassi d interesse reali, nell equazione log I t = β 1 + β 2 i t + β 3 log p t + β 4 log Y t + β 5 t + ε t t = 1,..., n ciò implica che Dobbiamo verificare β 2 + β 3 = 0. H 0 : β 2 + β 3 = 0 H 1 : β 2 + β 3 0 Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria / 22

16 Con errori omoschedastici: H 0 : Rβ = [0, 1, 1, 0, 0] β 1. β 5 = 0 F = (R β r) [R(X X) 1 R ] 1 (R β rc) s 2 = ( β 2 + β 3 )[R(X X) 1 R ] 1 ( β 2 + β 3 ) s 2 V ar(r β r) X) = s 2 [R(X X) 1 R ] ( SE( β 2 + β 3 ) = V ar(r β X) ) 1/2 ( SE( β 2 + β 3 ) = V ar[ β2 X] + V ar[ β 3 X] + 2Cov[ β 2, β 2 X] ) 1/2 Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria / 22

17 Con errori omoschedastici e gaussiani: F = ( β 2 + β 3 ) ( 2 Var[ β2 X] + Var[ β ) F (1,198) 3 X] + 2Cov[ β 2, β 2 X] with t = F 1/2 ( β 2 + = β 3 ) Var[ β2 X] + Var[ β 3 X] + 2Cov[ β 2, β 2 X] Cov[ β 2, β 2 X] = t (198) SE( β 2, β 3 ) = (0, , ( 3, )) 1/2 = 0, t = ( 0, , 00331) 0, = 1, 845 Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria / 22

18 Stime ristrette Variabile Stima Std. Error t p-value const 7, , , 589 < 0, *** i t 0, , , 950 0, * log p t 0, , , 950 0, * log Y t 1, , , 987 < 0, *** t 0, , , 308 0, *** 1 Standard error dei residui s = 0, ũ ũ = (0, ) 2 (203 4), 3 F = 3, 39913, p-value = 0, , F (1, 198). Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria / 22

19 Riparametrizzazione del modello in modo tale che la statistica t prodotta dal software sia usata per verificare un ipotesi congiunta. Aggiungiamo e sottraiamo β 2 log p t log I t = β 1 + β 2 (i t log p t ) + (β 2 + β 3 ) log p t + β 4 log Y t + β 5 t + ε t log I t = δ 1 +δ 2 (i t log p t )+δ 3 log p t +δ 4 log Y t +δ 5 t+ε t in questa regressione H 0 : δ 3 = 0 corrisponde alla nulla nel modello precedente t = 1,..., n β 2 + β 3 = 0 Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria / 22

20 Variabile Stime Std.error t p-value const -9, , ,688 < 0, *** log Y t 1, , ,532 < 0, *** log p t -2, , ,844 0,06663 * t -0, , ,803 0,00019 *** i t log p t -0, , ,692 0,00772 *** t( ˆδ 3 ) = 1, 844 Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria / 22

21 Infine, consideriamo le ipotesi congiunte: β 2 + β 3 = 0 β 4 = 1 β 5 = 0 Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria / 22

22 Variabile Stime Std.error t p-value const -2, , ,32 < 0, *** i t 0, , ,029 0,04379 ** log p t -0, , ,029 0,04379 ** log Y t 1 0 t 0 0 F (3, 198) = 109, 841, con p-value = 6, 59341e 042. Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria / 22