Stima dei sistemi di equazioni simultanee

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1 Università di Pavia Stima dei sistemi di equazioni simultanee Eduardo Rossi University of Pavia

2 Stima dei SES Limited Information OLS 2STLS K CLASS H CLASS Full Information FIMLE 3STLS FIIV Eduardo Rossi - Macroeconometria 2

3 Stima OLS Consideriamo la prima equazione del sistema: y tγu c 1 + x tbu c 1 = ǫ tu c 1 y tγ c 1 + x tb c 1 = ǫ 1t t = 1,,T sappiamo che il primo elemento di γ c 1 = 1: y 1t = y t γ 1 + x tb 1 + ǫ 1t γ 1 = b 1 = γ 1 0 b 1 0 Eduardo Rossi - Macroeconometria 3

4 Stima OLS con γ 1 = γ 2,1 γ 3,1 b 1 = b 1,1 b 2,1 γ g1 1,1 b k1,1 Eduardo Rossi - Macroeconometria 4

5 Stima OLS in forma matriciale: y 1 = Y 1γ 1 + X 1 b 1 + ǫ 1 (1) sia Z 1 = [Y 1 X 1 ] e δ 1 = [γ 1 b 1 ] la (1) può essere scritta come: y 1 = Z 1 δ 1 + ǫ 1 lo stimatore OLS di δ 1 è: ˆδ 1OLS = (Z 1Z 1 ) 1 Z 1y 1 = δ 1 + (Z 1Z 1 ) 1 Z 1ǫ 1 Eduardo Rossi - Macroeconometria 5

6 Stima OLS ˆδ 1OLS = δ+ Y 1 Y1 Y1 X X Y1 X X 1 Y 1 ǫ 1 X ǫ 1 dove p lim X ǫ 1 T = 0 ma p lim Y 1 ǫ 1 T inconsistente di δ 0 ˆδ 1OLS è uno stimatore Eduardo Rossi - Macroeconometria 6

7 Stima OLS - Sistemi triangolari Gli stimatori OLS equazione per equazione sono consistenti quando il modello è ricorsivo e la matrice Σ di varianza e covarianza è diagonale: y 1t = β 1x t +ǫ 1t y 2t = γ 12 y 1t +β 2x t +ǫ 2t y 3t = γ 13 y 1t +γ 23 y 2t +β 3x t +ǫ 3t = y gt = γ 1g y 1t +γ 2g y 2t +γ g 1,g y g 1,t +β gx t +ǫ gt Eduardo Rossi - Macroeconometria 7

8 Stimatore delle variabili strumentali A Caso generale Consideriamo la prima equazione: y 1t = y t γ 1 + x tb 1 + ǫ 1t t = 1,,T sia Z 1 = [Y 1 X 1 ] e δ 1 = [γ 1 b 1 ] la prima equazione puó essere riscritta in forma compatta come: y 1 = Z 1 δ 1 + ǫ 1 Un metodo generale per ottenere delle stime consistenti di δ é tramite il metodo delle variabili strumentali Sia W 1 (T (g k 1 )) la matrice delle variabili strumentali Come tale essa soddisfa i requisiti per le variabili strumentali: plim 1 T W 1Z 1 = Σ WZ Eduardo Rossi - Macroeconometria 8

9 Stimatore delle variabili strumentali con Σ WZ matrice finita non singolare e plim 1 T W 1ǫ 1 = 0 plim 1 T W 1W 1 = Σ WW con Σ WW matrice definita positiva Eduardo Rossi - Macroeconometria 9

10 Stimatore delle variabili strumentali Lo stimatore delle variabili strumentali: ˆδ 1IV = (W 1Z 1 ) 1 W 1y 1 ˆδ 1IV é uno stimatore consistente con matrice di varianza-covarianza asintotica pari a: σ1 2 [ ] W 1 [ ] [ T plim 1 Z 1 W 1 W 1 Z 1 W 1 T T T = σ2 1 T [ Σ 1 WZ Σ WWΣ 1 ] ZW ] 1 uno stimatore consistente della varianza σ 2 1 è dato da: σ 2 1 = (y 1 Z 1ˆδ1IV ) (y 1 Z 1ˆδ1IV ) T Eduardo Rossi - Macroeconometria 10

11 Stimatore delle variabili strumentali B Equazione esattamente identificata g 1 1 = k k 1 Intuitivamente abbiamo esattamente uno strumento per ogni variabile endogena inclusa La matrice delle variabili strumentali sará: W 1 = X e lo stimatore delle variabili strumentali é: ˆδ 1IV = [X Z 1 ] 1 X y 1 stimatore consistente per un equazione esattamente identificata è lo stimatore determinato dalle variabili strumentali formate da tutte le esogene del sistema Eduardo Rossi - Macroeconometria 11

12 Stimatore delle variabili strumentali C Equazione sovraidentificata k k 1 > g 1 1 In questo caso la matrice X non può essere utilizzata come matrice delle variabili strumentali perchè X Z, (K T) (T k 1 + g 1 1), non è invertibile L alternativa é il metodo di stima 2SLS Quali variabili strumentali utilizzare? Utilizzare un sottoinsieme delle variabili esogene a disposizione del sistema é inefficiente perché significa non utilizzare tutta l informazione a disposizione Eduardo Rossi - Macroeconometria 12

13 Stimatore delle variabili strumentali Pensiamo all espressione in forma ridotta per Y1: Y1 = XΠ 1 + V 1 che si ricava opportunamente dalla forma ridotta del sistema: Y = XΠ + V Il metodo 2SLS consiste nell utilizzare come strumenti per Y1, Ŷ 1: Ŷ1 = X ˆΠ 1 dove ˆΠ 1 è dato da: ˆΠ 1 = (X X) 1 X Y 1 Si può mostrare che questo è lo stimatore delle variabili strumentali più efficiente tra gli stimatori che utilizzano solo le colonne di X Eduardo Rossi - Macroeconometria 13

14 Stimatore delle variabili strumentali Lo stimatore a due stadi è pari a: ˆδ 2SLS = (W 1Z 1 ) 1 W 1y 1 dove W 1 = [Ŷ 1 X 1 ] (T (g k 1 )) ˆδ 2SLS = Ŷ 1 Y1 Ŷ 1 X 1 X 1Y 1 X 1X 1 1 Ŷ 1 y 1 X 1y 1 Eduardo Rossi - Macroeconometria 14

15 Full Information Estimation Method: 3SLS Possiamo riscrivere il sistema di equazioni nel modo seguente: y 1 y 2 y g = Z Z Z g δ 1 δ 2 δ g + ǫ 1 ǫ 2 ǫ g e in forma compatta Y = Zδ + ǫ con E[ǫ] = 0 e Eduardo Rossi - Macroeconometria 15

16 Full Information Estimation Method: 3SLS E[ǫǫ ] = E[ǫ 1 ǫ 1] E[ǫ 1 ǫ g] E[ǫ 2 ǫ 1] E[ǫ 2 ǫ g] E[ǫ g ǫ 1] E[ǫ g ǫ g] = = σ 2 1I T σ 1g I T σ g1 I T σ 2 gi T = Σ I T Eduardo Rossi - Macroeconometria 16

17 Full Information Estimation Method: 3SLS Lo stimatore OLS é dato da: ˆδ OLS = [Z Z] 1 Z Y Questo stimatore altro non é che lo stimatore OLS equazione per equazione Lo stimatore é inconsistente Assumiamo che sia disponibile uno stimatore consistente: ˆδ IV = [W Z] 1 W Y Lo stimatore piú efficiente è quello basato sul principio dello stimatore GLS: ˆδ IV,GLS = [W (Σ 1 I T )Z] 1 W (Σ 1 I T )Y Eduardo Rossi - Macroeconometria 17

18 Full Information Estimation Method: 3SLS Consideriamo come matrice di strumenti: X(X X) 1 X Z 1 0 W = Ẑ = 0 X(X X) 1 X Z 2 0 X(X X) 1 X Z g Ẑ Ẑ 2 0 Ẑ g dove Ẑ1 = [Ŷ 1 X 1 ] e Z 1 = [Y 1 X 1 ] = Eduardo Rossi - Macroeconometria 18

19 Full Information Estimation Method: 3SLS Lo stimatore delle variabili strumentali é dato da: ˆδ IV = [Ẑ Z] 1 Ẑ Y che altro non è che lo stimatore 2SLS fatto equazione per equazione: ˆδ 2SLS = [Ẑ Ẑ] 1 Ẑ Y Poichè questo stimatore è meno efficiente di uno stimatore GLS, ad esso sostituiamo lo stimatore di Aitken-Zellner: ˆδ 3SLS = [Ẑ (Σ 1 I T )Ẑ] 1 Ẑ (Σ 1 I T )Y Zellner e Theil suggeriscono, come stimatore consistente di Σ, di partire dai residui stimati con 2SLS: ˆǫ i = y i Z iˆδi,2sls Eduardo Rossi - Macroeconometria 19

20 Full Information Estimation Method: 3SLS Quindi per ogni equazione si puó calcolare: ˆσ ij = (y i Z iˆδi,2sls ) (y j Z jˆδj,2sls ) T Lo stimatore 3SLS è quindi calcolato secondo i seguenti passi: 1 Stimo Π con OLS e calcolo Ŷ i per ogni equazione 2 Calcolo ˆδ i per ogni equazione: ˆδ i = [Ẑ iẑi] 1 Ẑ iy i dove Ẑi = [Ŷ i X] e calcolo: ˆσ ij = (y i Z iˆδi,2sls ) (y j Z jˆδj,2sls ) T Eduardo Rossi - Macroeconometria 20

21 Full Information Estimation Method: 3SLS 3 Calcolo lo stimatore GLS secondo la: ˆδ 3SLS = [Ẑ (ˆΣ 1 I T )Ẑ] 1 Ẑ (ˆΣ 1 I T )Y Eduardo Rossi - Macroeconometria 21