La funzione di produzione e l isoquanto di produzione

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1 Corso di Economia Agraria Case Study La funzione di produzione e l isoquanto di produzione Articolo di riferimento: Moore M., Gollehon. egri D.H., Alternative Forms of Production Functions of Irrigated Crops, The Journal of Agricultural Economics Research, vol.44, n.3 pg Scopo del case study è quello di mostrare come politiche manageriali tese al risparmio del fattore produttivo acqua possano incidere sulle rese delle produzioni agricole. A tal fine, nel case study si presenta una metodologia connessa all uso della funzione di produzione e agli isoquanti di produzione. In particolare, si analizza, tramite la stima di una funzione di produzione e l analisi degli isoquanti di produzione, la possibilità di sostituire l uso dell irrigazione con l impiego di altri fattori produttivi. La conoscenza di tali connessioni consente, sia un migliore uso della risorsa acqua, sia un più corretto uso delle altre risorse produttive. el lavoro originario di Moore et al. (MG), lo scopo è quello di analizzare quattro diverse alternative nell uso della risorsa acqua: una minore irrigazione, una modifica delle tecnologie utilizzate nell irrigazione, la sostituzione nell uso del fattore produttivo acqua con un maggior utilizzo del fattore produttivo terra. Dato che oggetto del case study è l analisi della funzione di produzione e dell isoquanto di produzione, ci si soffermerà esclusivamente su quest ultimo punto, cioè il grado di sostituibilità dell uso del fattore produttivo acqua con il fattore produttivo terra.. 1. La funzione di produzione Cobb-Douglas MG presentano la stima di una funzione di produzione Cobb-Douglas per 13 diverse produzioni 1. La stima è effettuata su dati concernenti le rese, cioè il rapporto tra il volume di output e la superficie agricola utilizzata, mentre la funzione di produzione classica è espressa, come è noto, in termini del solo volume di output. 1 el lavoro è inclusa la stima di una funzione di produzione quadratica non analizzata nel presente case study. 1

2 Il primo compito è allora quello di riscrivere la funzione di produzione in termini di rese. Sia data, quindi, la seguente funzione di produzione Cobb-Douglas α β γ φ Q= B R C, (1) in cui : Q è la quantità di output del prodotto specifico prodotta. B è una costante. è la quantità di acqua distribuita tramite irrigazione. R è la quantità di pioggia. C è la temperatura media giornaliera. è la quantità di terra. La somma degli esponenti α+ β+ γ+ φ offre un indicazione dei rendimenti di scala. I coefficienti αβγφ,,, sono parametri e possono essere interpretati come elasticità dell output agli input inseriti nella (1). Quest ultimo punto può essere facilmente analizzato. Utilizzando l operatore logaritmo, è possibile riscrivere la (1) come: lnq= ln B+ αln+ β ln R+ γ lnc+ φln, e le derivati parziali del logaritmo dell output rispetto a logaritmo dell input saranno uguali a: δ lnq δ lnq δ lnq δ lnq = α; = β; = γ; = φ. δ ln δ lnr δ lnc δ ln Come è noto il rapporto tra variazioni percentuali, cioè l elasticità, può essere approssimato nel continuo dalle derivate parziali in cui l argomento è costituito dal logaritmo delle variabili oggetto di studio δ ln y y/ y δ ln x x/ x 2 Avremo quindi che il parametro α indica, ad esempio, che un aumento nella distribuzione di acqua dell 1% genererà un incremento di output pari ad α punti percentuali. Allo stesso modo possono essere interpretati i coefficienti, cioè le leasticità, relativi agli altri input. Al fine di convertire la funzione di produzione in una relazione tra rese e quantità di input per superficie agricola utilizzata occorre dividere entrambi i membri della (1) per Q B R C α β γ φ α β γ φ = = B R C 1, (2) A sinistra dell espressione abbiamo ora la resa, cioè la quantità di output prodotta per unità di superficie. Le variabili a destra sono invece ancora espresse in livelli. Possiamo esprimere anche queste variabili in termini di quantità prodotta per unità di superficie agricola utilizzata. A tal fine, dividiamo e moltiplichiamo ciascun fattore a destra dell equazione (2) per i seguenti rapporti: 2 L approssimazione è valida per variazioni percentuali no superiori al 2-3%. 2

3 α β γ α β γ α β γ φ 1 α+ β+ γ+ φ 1, α β γ Q R C R C = B = B (3) Possiamo ora definire la funzione di produzione in termini di unità per superficie agricola utilizzata: q α β γ δ = Bw rc (4) in cui ora le variabili, q, w, r sono espresse in termini di volume di input per quantità di superficie coltivata, eccetto la variabile che è data dal totale della superficie utilizzata. E importante notare, che l esponente δ della variabile nella (4) è un indicatore dei rendimenti di scala. Abbiamo infatti che : 1) se δ = α + β+ γ + φ 1> 0 i rendimenti di scala sono crescenti. 2) se δ = α + β+ γ + φ 1= 0 i rendimenti di scala sono costanti. 3) se δ = α + β+ γ + φ 1< 0 i rendimenti di scala sono decrescenti. 2. Il data set L analisi di MG è basata su un indagine campionaria denominata Farm and Ranch Irrigation Survey effettuata negli USA nel 1984 in 17 stati situati prevalentemente nell ovest. Le produzioni analizzate sono: fieno alfalfa orzo grano insilato cotone fagioli mais sorgo altri tipi di fieno riso barbabietola da zucchero frumento patate soia 3

4 I dati di base si riferiscono ad osservazioni cross-section (cioè per azienda) per un totale di 8000 casi. Dall analisi dei questionari è possibile estrarre le seguenti informazioni per ciascuna azienda: le rese (rapporto output su numero di ettari coltivati) relative alle specifiche produzioni agricole elencate precedentemente. La quantità di acqua per irrigazione distribuita misurata in pollici-acro coltivato. 3 La quantità di superficie agricola utilizzata (in acri). Temperatura media in gradi centigradi Tecnologia utilizzata nell irrigazione. Purtroppo non sono disponibili i dati relativi ad altri fattori produttivi quali quantità di macchinari utilizzati e quantità di lavoro impiegata in azienda. 3. Le stime. elle tabelle seguenti sono riportati i valori dei coefficienti della (4) stimati con il metodo dei minimi quadrati e tra parentesi le statistiche t-di Student. 4 Inoltre nelle tabelle è evidenziato il numero di osservazioni, cioè il numero di aziende, utilizzate per la stima dei parametri per ciascuna tipologia di prodotto. Tab.1 Stime coefficienti Cobb-Douglas. Prodotti Parametri Fieno alfalfa Orzo Grano insilato Cotone α (9.66) (1.13) (4.20) (5.23) β (-5.40) (-1.36) (1.02) (-1.24) γ (0.91) (-1.15) (0.92) (7.26) δ (4.73) (1.49) (2.84) (1.38) φ = 1 α β γ + δ osservazioni Un acro equivale a 0,405 ettari. 4 E possibile sottoporre a test l ipotesi nulla H 0 che il parametro stimato sia uguale a zero. In questo caso è noto che il test di ipotesi ha una distribuzione di probabilità t-di-student, sempre che valgano le ipotesi del modello di regressione classico. Per campioni molto grandi, come nel caso delle stime sopra presentate, la distribuzione t-di-student converge verso una distribuzione normale. Avremo allora che, l ipotesi nulla, cioè che il parametro stimato sia uguale a zero, sarà rifiutata al livello di significatività del 5% se la statistica (cioè il valore presentato tra parentesi nelle tabelle) è maggiore in valore assoluto a

5 Tab.2 Stime coefficienti Cobb-Douglas. Prodotti Parametri Fagioli Mais Sorgo Altri tipi fieno α (0.92) (4.72) (4.50) (4.49) β (1.61) (2.15) (2.49) (-3.34) γ (3.24) (4.20) (0.87) (2.30) δ (-0.22) (2.97) (2.97) (-3.72) φ = 1 α β γ + δ osservazioni Tab.3 Stime coefficienti Cobb-Douglas. Prodotti Parametri Patate Riso Soia Barbietola Frumento α (3.92) (2.25) (2.48) (1.96) (6.66) β (-5.24) (1.60) (1.82) (-2.24) (-3.97) γ (-1.52) (-.84) (1.78) (1.78) (-2.83) δ (2.63) (-0.85) (-.86) (-1.91) (4.13) φ = 1 α β γ + δ osservazioni Analisi dei risultati Diverse considerazioni possono essere svolte analizzando le tabelle Le diverse produzioni presentano differenze piuttosto sensili dei valori delle elasticità.. L elasticità dell output a modifiche nell impiego di acqua a scopi irrigui varia dal livello massimo per il fieno alfalfa al valore minimo di dell orzo. I valori dell elasticità del fattore produttivo terra sono maggiori di quelle del fattore produttivo irrigazione. Essi sono compresi entro un range di 1.19 e La quantità di pioggia ha, a volte e contrariamente a quanto atteso, un effetto negativo sull output. Ciò può essere indotto da discontinuità nell apporto pluviometrico e/o 5

6 all eccessiva somministrazione che incidono negativamente sul livello di produzione. Simili considerazioni possono essere svolte riguardo alla temperatura. I rendimenti di scala (evidenziati dai valori del parametro δ ) sono diversi a seconda delle produzioni. In particolare, i valori del parametro indicano per il fieno alfalfa, l orzo, il grano insilato, il cotone, il mais, il sorgo, le patate e il frumento la presenza di rendimenti di scala crescenti, mentre per gli altri prodotti si riscontrano rendimenti di scala decrescenti. Occorre tuttavia notare che i valori per alcune produzioni, vedi riso, sono talmente vicini allo zero 5 che non si può escludere la presenza di rendimenti di scala costanti. E possibile ora calcolare il saggio marginale di sostituzione (SMS), cioè l inclinazione dell isoquanto di produzione, tra i fattori produttivi utilizzando i valori dei parametri stimati nelle tabelle Concentriamo l attenzione sulla sostituibilità tra irrigazione e quantità di superficie utilizzata. In questo caso il saggio marginale di sostituzione è dato da in cui SMS d d Pm Pm Pm è la produttività marginale del fattore produttivo terra e del irrigazione. Calcoliamo quindi le produttività marginali utilizzando l espressione (1) Pm e sostituendo nell espressione (5) otteniamo: = = (5) δ Q α β γ φ 1 Q = = φb R C = φ δ δ Q Q = = = α, δ α 1 β γ φ Pm αb RC Pm è la produttività marginale d φq/ φ SMS = = = (6) d αq/ α I parametri φα, sono stati stimati e presentati nelle tabelle Al fine di calcolare il SMS dobbiamo introdurre i valori dalle superfici e dell acqua per irrigazione somministrata. Possiamo, in questo caso, utilizzare i valori medi riscontrati nel lavoro di MG dalle aziende del campione. La tabella seguente consente di calcolare il SMS. 5 Si noti che il test t-di-student porta in questo caso a non rifiutare l ipotesi nulla, cioè di stima del parametro uguale a zero. 6

7 Tabella 4. Calcolo saggio marginale di sostituzione (SMS) Prodotti φ α (b) (a) SMS Fieno alfalfa Sorgo Grano insilato Cotone Fagioli Mais Sorgo Altri fieni Patate Riso Soia Barbabietola Frumento (a) acri (b) pollici-acro Il SMS è compreso tra il valore minimo di del sorgo e quello massimo di del cotone. el primo caso il SMS ci dice che coltivando un acro di superficie in più possiamo distribuire in meno pollici-acro di acqua mantenendo lo stesso livello di produzione. La sostibuilità è inferiore per gli altri prodotti e, nel caso del cotone, incrementando la superficie coltivata di cotone di un acro risparmiamo pollici-acro di acqua. Dato che il SMS assume valori elevati gli isoquanti devono essere piuttosto inclinati. el loro lavoro MG presentano un grafico degli isoquanti relativi al sorgo. La figura è riprodotta di seguito. 7

8 ell asse delle ascisse è indicata la quantità di terra coltivata mentre nelle ordinate è presentata la quantità di acqua per irrigazione. L inclinazione degli isoquanti consente di apprezzare visivamente come per la produzione di sorgo sia possibile, incrementando la superficie coltivata, ridurre in misura apprezzabile la quantità di acqua. aturalmente, la definizione della quantità ottima impiegabile di acqua e la quantità ottima di terra coltivata dipendono dal livello dei prezzi dei due fattori. L ottimizzazione del loro impiego richiede il soddisfacimento della condizione SMS d Pm p d Pm p = = = in cui p e p sono rispettivamente il prezzo del fattore terra e il prezzo del fattore acqua. Purtroppo, nel lavoro non sono presentate queste ultime grandezze per cui non è possibile proseguire nell analisi e confrontare le quantità dei fattori produttivi effettivamente utilizzate e quelle deducibili dal processo di minimizzazione dei costi nell uso dei fattori produttivi. 8