Esercizi di microeconomia

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Adelina Franchini
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1 Esercizi di microeconomia La produzione e i costi della produzione Esercizio 1 Dei fattori della produzione dell impresa IronFactory il capitale (K) e il lavoro (L) solo il secondo può variare nel breve periodo. La tabella sottostante riporta il prodotto totale associato alle diverse quantità di lavoro, mantenendo costante la quantità di capitale: quantità di lavoro (L) quantità di capitale (K) prodotto totale (q) ) Calcolare e rappresentare graficamente il prodotto medio (Pm) e il prodotto marginale (P ) del lavoro. 1) Si ricorda che il prodotto medio si calcola come: Pm = q/l mentre il prodotto marginale vale: P L = dq/dl ovvero, per rapporti incrementali non infinitesimi: P L = Δq/ΔL Seguono i dati riportati nella tabella e nella figura sottostanti. quantità di lavoro (L) quantità di capitale (K) prodotto totale (q) prodotto medio (Pm) prodotto marginale (P L ) , , , , , , , , , ,1 1

2 Esercizio 2 L Antica Trattoria del Corso dispone di una sala attrezzata con dei tavoli per gli avventori del ristorante. Nel breve periodo, il prodotto totale è funzione soltanto del numero di camerieri. Completare la seguente tabella: Fattore variabile ( camerieri ) Prodotto totale Prodotto marginale del fattore camerieri Prodotto medio del fattore camerieri In base alle relazioni che sussistono fra prodotto totale, prodotto marginale e prodotto medio rispetto al fattore lavoro, la tabella si completa come segue: Fattore della produzione lavoro ( camerieri ) Prodotto totale Prodotto marginale del fattore camerieri Prodotto medio del fattore camerieri Esercizio 3 La Clockwork Orange produce succhi di frutta impiegando due soli fattori della produzione, il capitale K e il lavoro L, ambedue variabili nel lungo periodo. La tabella sotto riporta l ammontare della produzione della Clockwork Orange associato a diversi valori per K e L. Fattore capitale (K) Fattore lavoro (L) ) Rappresentare graficamente in un diagramma L-K la mappa degli isoquanti per la Clockwork Orange. 2) Per L = 2 e K = 3 calcolare il saggio marginale di sostituzione tecnica tra lavoro e capitale. 1) La mappa degli isoquanti si ottiene rappresentando su un diagramma cartesiano L-K i punti corrispondenti alle diverse combinazioni dei fattori produttivi e congiungendo i punti aventi medesimo livello di produzione (q). Si noti che le congiungenti possono essere ottenute mediante curve decrescenti, continue e derivabili ( isoquanto continuo ) oppure spezzate 2

3 ( isoquanto angoloso ), purché si abbia cura di non intersecare gli isoquanti tra loro. Si noti che i dati a disposizione consentono di tracciare isoquanti che non sono equiripartiti. 2) Il saggio marginale di sostituzione tecnica tra lavoro e capitale per una certa combinazione di fattori produttivi esprime l ammontare di aumento (o diminuzione) del fattore capitale necessario per compensare una diminuzione infinitesima (o viceversa un aumento infinitesimo) del fattore lavoro e si calcola come: SMST = dk /dl = P L /P K. Nel caso finito, il valore assunto da SMST nel punto (L 0, K 0 ) è esprimibile come: SMST = P L /P K ΔK /ΔL. dove: P L (L 0, K 0 ) q(l 0 +1, K 0 ) q(l 0, K 0 ) P K (L 0, K 0 ) q(l 0, K 0 +1) q(l 0, K 0 ) Poiché per L = 2 e K = 3 si calcola: P L (2, 3) q(3, 3) q(2, 3) = = 10 P K (2, 3) q(2, 4) q(2, 3) = = 10 segue: SMST(2, 3) = 10/10 = 1. Esercizio 4 Per ciascuna delle seguenti funzioni di produzione si determini se i rendimenti di scala sono crescenti, costanti o decrescenti: 1) q = LK 2) q = 2 LK 3) q = 2 L 0,3 K 0,6 4) q = 2 L 0,3 K 0,7 5) q = 2 L 0,3 K 0,8 Nota la definizione di rendimenti di scala e assegnata la generica funzione q = f(l, K, ), essa ha: rendimenti di scala crescenti se per ogni c > 1, si ottiene: f(cl, ck, ) > c f(l, K, ) rendimenti di scala costanti se per ogni c > 1, si ottiene: f(cl, ck, ) = c f(l, K, ) rendimenti di scala decrescenti se per ogni c > 1, si ottiene: f(cl, ck, ) < c f(l, K, ) Si osserva dunque quanto segue. 1) Per la prima funzione di produzione si ha: F(cL, ck) = c 2 LK > clk = c F(L, K) cosicché essa ha economie di scala crescenti. 2) Lo stesso vale per la seconda, che differisce dalla prima solo di un fattore 2. Anche per le funzioni 4, 5 e 6, si può procedure come già visto. In alternativa si osserva che esse sono del tipo Cobb-Douglas, ossia sono generalizzabili come: q = cl α K β Per tali funzioni si dimostra facilmente che: se α + β > 1, i rendimenti di scala sono crescenti; se α + β = 1, i rendimenti di scala sono costanti; se α + β < 1, i rendimenti di scala sono decrescenti. Pertanto: 3) Per la quarta funzione di produzione, essendo α + β = 0,9 i rendimenti di scala sono decrescenti. 4) Per la quinta funzione di produzione, essendo α + β = 1,0 i rendimenti di scala sono costanti. 3

4 5) Per la sesta funzione di produzione, essendo α + β = 0,9 i rendimenti di scala sono decrescenti. Esercizio 5 Nel breve periodo i costi dell impresa manifatturiera Quadrifoglio presentano la seguente funzione: CT = 122 q q Si determinino le seguenti espressioni dei costi: 1) costo fisso; 2) costo fisso medio; 3) costo variabile; 4) costo variabile medio; 5) costo totale medio; 6) costo marginale; e se ne calcoli il valore per q = 5. 1) costo fisso CF (q) = 70 CF (5) = 70 2) costo fisso medio CFM (q) = CF/q = 70/q CFM (5) = 14 3) costo variabile CV (q) = 122 q q CV (5) = ) costo variabile medio CVM (q) = CV/q = 122 q + 23 CVM (5) = 633 5) costo totale medio CTM (q) = CT/q = 122 q + 23 q + 7/q = CFM + CVM CTM (5) = 647 6) costo marginale C (q) = dct/dq = 244 q + 23 C (5) = 1243 Esercizio 6 La funzione di produzione dell impresa Accademia srl è: q = 10 L 2 K 0,5 L impresa dispone di K = 25 unità di capitale e paga ciascuna di esse r = 20. Noto il costo unitario del personale w = 100, determinare: 1) la funzione rappresentativa delle rette isocosto per l impresa; 2) l ammontare di unità di personale di cui l impresa si deve dotare per essere efficiente; 3) la quantità di output prodotta in condizioni di efficienza; 4) il costo sostenuto. Nel breve periodo, si consideri fisso il capitale impiegato da Accademia srl. Determinare: 5) l ammontare di personale necessario per raddoppiare la produzione; 6) il costo sostenuto dall impresa in tali condizioni; 7) il costo che l impresa sopporterebbe se potesse far variare anche il capitale impiegato, a parità di costi unitari. 4

5 1) I costi dell impresa sono regolati dalla funzione: C = wl + rk che può essere scritta anche come: K = C/r (w/r)l. Il fascio improprio di rette ottenuto dall espressione precedente facendo variare il valore di C individua le curve isocosto per l impresa 2) Una combinazione di fattori della produzione è efficiente quando: P L /w = P K /r ossia quando: P L /P K = w/r (1) I prodotti marginali del lavoro e del capitale si ottengono derivando rispettivamente rispetto al lavoro e al capitale la funzione di produzione (assegnata in forma analitica): P L = dq/dl = 20 L K 0,5 P K = dq/dk = 5 L 2 K -0,5 Poiché: w/r = 100/20 = 5 la condizione (1) implica: 4K/L = 5 L = 0,8 K (2) che per K = 25 dà L = 20. 3) Per K = 25 e L = 20 si ha: q = 10 L 2 K 0,5 = ) I costi sono pari a: C = wl + rk = = = ) Poiché il capitale è fisso, si deve mantenere il valore K = 25, facendo variare la quantità di lavoro impiegata. Dalla funzione di produzione (che nel breve periodo non muta) discende pertanto la condizione: = 10 L ,5 L 2 = 800 L = 28,28. 6) I costi sono pari a: C = wl + rk = , = ) Si supponga ora che i costi unitari dei fattori della produzione restino immutati e che l impresa possa far variare anche il capitale impiegato. In tal caso, l impresa sceglierebbe la combinazione di fattori produttivi efficiente che, come si è detto, è quella per cui è verificata la condizione (1), che per la funzione di produzione assegnata e i valori di r = 20 e w = 100 è equivalente alla condizione (2). Basta sostituire tale espressione nella funzione di produzione e porre q = (che è il doppio del livello di produzione precedentemente calcolato), per ottenere: = 10 (0,8 K) 2 K 0,5 = 6,4 K 2,5 K 2,5 = 6250 K = 32,99 L = 26,39 Sostituendo tali valori nella funzione di costo, si ha: C = wl + rk = , ,99 = 3298,8 Come atteso, tale costo risulta inferiore rispetto a quello computato per il medesimo livello di produzione tenendo fisso al valore K = 25 l ammontare di capitale impiegato. 5

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