Università degli studi di Padova. Facoltà di Scienze Statistiche Corso di Laurea in Statistica e Gestione delle Imprese.

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1 Universià degli sudi di Padova Facolà di Scienze Saisiche Corso di Laurea in Saisica e Gesione delle Imprese Tesi di Laurea Modellazione e previsione di serie soriche delle vendie: Il caso DAB PUMPS S.p.a. Relaore: Prof.ssa Luisa Bisaglia Laureanda: Daschevici Silvia Maricola: GEI Anno Accademico

2 Un sincero ringraziameno a ui coloro che mi sono sai vicini in quesa appa imporane della mia via.

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4 INDICE Sommario 1 Capiolo 1. Mercao ialiano delle eleropompe Mondo delle eleropompe L indusria ialiana delle eleropompe Tendenze a medio ermine Breve soria dell azienda DAB PUMPS S.p.a Le sraegie di produzione dell azienda Ruolo delle previsione nella pianificazione della produzione...14 Capiolo 2. Meodologie uilizzae Inroduzione Analisi delle serie soriche Lisciameno esponenziale I meodi di Hol-Winers sagionali L approccio di Box-Jenkins Valuazione delle previsioni...26 Capiolo 3. Il caso DAB PUMPS S.p.a Dai Modellazione delle serie soriche Risulai finali Valuazione economica delle previsioni Bibliografia 53 Pacchei saisici 53 i

5 Elenco delle figure Figura 1.1. Sabilimeno di Mesrino (Pd)...8 Elenco delle abelle Tabella 1.1. Esporazioni ialiani di pompe (milioni di euro)...6 Tabella 1.2. Produzione ialiana di pompe (milioni di euro)...6 Tabella 1.3. Mercao indusriale ialiano delle pompe (milioni di euro)...6 Tabella 3.1. Confrono ra modello addiivo e quello moliplicaivo...32 Tabella 3.2. Previsioni con il modello moliplicaivo...32 Tabella 3.3. Indici di bonà di adaameno dei modelli simai...44 Tabella 3.4. Confrono ra il modello moliplicaivo e SARIMAX(2,0,0)(0,0,0) con la variabile prezzi e le dummy periodiche Tabella 3.5. Previsioni elaborae con il modello SARIMAX(2,0,0)(0,0,0) con la variabile prezzi e le dummy periodiche...45 Tabella 3.6. Previsioni del modello SARIMAX(2,0,0)(0,0,0) con la variabile prezzi e le dummy periodiche aggiornae per ogni mese...46 Tabella 3.7. Modelli sceli per le caegorie di prodoi e gli idici di bonà di adaameno delle previsioni...47 Tabella 3.8. Modelli sceli per i codici della caegoria CP e gli indici di bonà di adaameno delle previsioni...48 Tabella 3.9. Modelli sceli per i codici della caegoria FE e gli indici di bonà di adaameno delle previsioni...49 Tabella Valuazione economica delle previsioni elaborae per le caegorie di prodoi modellai...50 Tabella Valuazione economica delle previsioni elaborae per i codici della caegoria CP...50 Tabella 3.12 Valuazione economica delle previsioni elaborae per i codici della caegoria FE...51 ii

6 Elenco dei grafici Grafico 1.1. Faurao oale (milioni di euro)...11 Grafico 1.2 Invesimeni oali (milla euro)...12 Grafico 1.3 Toale delle risorse umane...12 Grafico 3.1. Serie sorica FD e serie lisciaa. Modello addiivo...30 Grafico 3.2. Previsioni-in-sample. Modello addiivo...30 Grafico 3.3. Serie sorica FD e serie lisciaa. Modello moliplicaivo...31 Grafico 3.4. Previsioni-in-sample. Modello moliplicaivo...31 Grafico 3.5. Previsioni-in-sample del modello addiivo e quello moliplicaivo...32 Grafico 3.6. Serie sorica delle vendie per la caegoria FD...33 Grafico 3.7. Funzioni di auocorrelazione globale (ACF) e parziale (PACF) della serie FD...34 Grafico 3.8. Correlogramma dei residui del modello SARIMA (1,0,1)(1,1,0)...35 Grafico 3.9. Previsioni-in sample del modello SARIMA(1,0,1)(1,1,0)...37 Grafico Correlogramma dei residui del modello SARIMAX (2,0,0)(0,0,0) con variabili dummy...38 Grafico Previsioni-in-sample del modello SARIMAX (2,0,0)(0,0,0) con variabili dummy...39 Grafico Correlogramma dei residui del modello SARIMAX (1,0,1)(1,1,0) con la variabile prezzi...41 Grafico Previsioni-in sample del modello SARIMAX(1,0,1)(1,1,0) con la variabile prezzi...41 Grafico Correlogramma dei residui del modello SARIMAX (2,0,0)(0,0,0) con la variabile prezzi e le dummy periodiche...43 Grafico Previsioni-in sample del modello SARIMAX(2,0,0)(0,0,0) con la variabile prezzi e le dummy periodiche...43 Grafico Previsioni-in sample dei modelli simai...44 iii

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8 SOMMARIO Il presene lavoro prende il via da uno sage della duraa di re mesi, svolo all inerno dell ufficio di pianificazione della produzione presso la DAB PUMPS S.p.a, azienda mulinazionale leader nella produzione di eleropompe idrauliche e circolaori. L obieivo principale dello sage è sao quello di elaborare previsioni delle vendie, araverso srumeni e ecniche saisiche ai ad oenere delle previsioni più accurae, allo scopo di pianificare (possibilmene diminuendo) le score nei magazzini manenendo, comunque, cosane il livello di servizio. Con queso fine sono sae analizzae le serie soriche mensili delle vendie per caegorie di prodoi e singoli codici. I meodi uilizzai per la modellazione delle serie soriche considerae, sono l approccio Box-Jenkins (modelli SARIMA e SARIMAX ) e i meodi di HOLT-WINTERS sagionali. Le ulime dodici osservazioni sono sae uilizzae allo scopo di quanificare l accuraezza delle previsioni dei modelli selezionai. In base a vari indici di bonà delle previsioni (EQM, EMA, indice di Theil), è sao scelo il modello finale per produrre le previsioni ou-of-sample. Nel capiolo 1 di queso lavoro viene faa una breve presenazione del mercao ialiano delle eleropompe, con paricolare riferimeno all azienda DAB PUMPS S.p.a. Nell ulimo sooparagrafo di queso capiolo viene esposo il ruolo delle previsioni per l area di pianificazione della produzione. Nel capiolo 2 vengono brevemene descrii i meodi sopra menzionai per l analisi delle serie soriche. Nel capiolo 3 viene presenaa l analisi delle serie soriche considerae ed i risulai relaivi ad esse. Il capiolo si conclude con la valuazione economica delle previsioni. 1

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10 Capiolo 1 Mercao ialiano delle eleropompe. L azienda DAB PUMPS S.p.a 1.1 Mondo delle eleropompe. Si inende normalmene per pompa, il disposiivo usao per sposare fluidi. La pompa è una delle "macchine" più diffuse ed essenziali, olre che ra le più aniche soricamene (la prima descrizione di una pompa si deve ad Archimede nel III sec a.c, La vie di Archimede) ma in genere non è mai visibile perchè siuaa all'inerno dell'impiano idraulico. L indusria delle eleropompe rappresena il baricenro viale dell economia mondiale, essendo, le pompe, il nocciolo di ogni aivià indusriale. Esse vengono uilizzae ogni qualvola il fluido deve essere sollevao, rasporao o rimosso. Ovunque, in ambieni domesici o indusriali, ci sono eleropompe, siano esse per acqua calda (sisemi di riscaldameno) o per l'acqua fredda (movimenazione dell'acqua, irrigazione, sisemi di raffreddameno /condizionameno). Le pompe sono disponibili in varie forme con caraerisiche diverse. Quese possono essere classificae sosanzialmene in re gruppi: pompe cenrifughe, pompe alernaive a pisone e pompe roaive. Esse sono disponibili in ue le forme e dimensioni: da pompe che riesci a enere in una mano a pompe molo grosse. Le pompe cenrifughe funzionano rasferendo l'energia cineica di una roazione della girane al fluido pompao dall azione acceleraa della girane sul fluido. In generale, esse offrono elevai assi di flusso e funzionano meglio con fluidi pulii a bassa viscosià. Le pompe cenrifughe sono le più ampiamene uilizzae e sono disponibili in ue le forme e dimensioni, a seconda del loro uso. 3

11 Le pompe sommergibili hanno moori elerici sigillai all'inerno di un disposiivo a enua d'acqua, permeendo l uilizzo delle pompe nei pozzi o nei serbaoi delle acque di fognaura. Le pompe per drenaggio consenono di pompare liquidi coneneni paricelle abrasive. Esse sono provvise di rivesimeni speciali (di gomma o di maeriali molo resiseni) per prevenire danni erosivi ai componeni. Le pompe igieniche sono realizzae in acciaio inossidabile e sono progeae per essere facilmene pulie senza smonaggio. Le pompe alernaive a pisone sposano i fluidi araverso la reciprocià di un pisone. Il pisone può essere messo in funzione meccanicamene dall azione idraulica oppure pneumaica. Esso può agire direamene sul liquido o araverso una membrana flessibile. La quanià di fluido pompao è pari a quello dello sposameno del pisone. Quese pompe sono in grado di effeuare pompaggi ad ala pressione, ma le porae sono generalmene inferiori a quelle di pompe cenrifughe. Con ogni corsa del pisone viene pompao un volume preciso e ripeiivo; per queso moivo, quese pompe sono ideali per l'uilizzo in applicazioni di misurazione in cui quanià precise di un fluido sono aggiune a un processo. Le pompe roaive funzionano araverso lo sposameno dei fluidi da una cavià. La cavià è creaa dall inerazione di un roore e il corpo della pompa. Il fluido viene sposao con il movimeno della cavià da pare del roore verso l'uscia. Le pompe roaive sono uile per il pompaggio di fluidi viscosi, ossia fluidi con alo conenuo di solidi e maeriali delicai. 4

12 1.2 L indusria ialiana delle eleropompe L indusria globale delle pompe è dominaa da poche aziende di grande dimensione. I leader di queso seore sono ITT Corporaion, Ebara, Grundfos, Wilo, KSB e Penair. Tue le aziende nominae (con l eccezione di Wilo) possiedono degli sabilimeni produivi sul erriorio nazionale ialiano ramie filiali o aziende acquisie, come nel caso DAB S.p.a, che è saa acquisia da Grundfos. Negli ulimi ven'anni, in uo il mondo, si sono verificae imporani fusioni ra i produori di pompe. Per froneggiare la concorrenza dei prodoi a basso prezzo provenieni dall'asia, infai, moli piccoli produori sono enrai a far pare di gruppi più grandi, con lo scopo di conseguire le massime economie di scala. L Ialia ha cercao di resisere a quesa endenza, coninuando a compeere sul prezzo, anche se mole aziende operano su piccola scala. L Ialia è un produore ed esporaore imporane nel mercao mondiale delle eleropompe (vedi abella 1.1). La maggior pare delle aziende produrici è concenraa nel Nord-Ialia, in paricolare 47 sabilimeni si rovano in Lombardia, 42 in Emilia Romagna e 34 in Veneo. La produzione indusriale oale di pompe e componeni nel 2007, in ermini moneari, raggiunge 1,63 miliardi di euro (vedi abella 1.2). Queso risulao è oenuo dalle circa 160 aziende auonome di piccola e media dimensione e dalle aziende che apparengono alle grandi mulinazionali ciae in precedenza. Il seore ialiano delle pompe è specializzao in piccole e medie pompe cenrifughe per acque pulie, eleropompe sommerse 1 ed eleropompe ad uso domesico. 1 Eleropompe sommerse dee anche pompe sommergibili descrii nel paragrafo 1.1 5

13 Di seguio nelle abelle 1.1, 1.2 e 1.3 vengono presenai alcuni dai sulla produzione ialiana delle eleropompe Roaive 47,4 39,4 35,6 Alernaive a pisone 173,0 198,3 222,7 Cenrifughe 310,1 357,8 398,3 Componeni 488,2 524,2 586,3 TOTALE 1018,7 1119,7 1242,6 Tabella 1.1. Esporazioni ialiani di pompe (milioni di euro) Fone: Eurosa Roaive 197,2 203,5 214,1 Alernaive a pisone 217,8 232,8 272,2 Cenrifughe 722,8 793,7 922,5 Componeni 203,8 219,9 223,6 TOTALE 1341,6 1449,9 1632,4 Tabella 1.2. Produzione ialiana di pompe (milioni di euro) Fone: Eurosa Roaive 179,5 193,8 209,7 Alernaive a pisone 66,9 66,0 78,2 Cenrifughe 592,7 632,8 725,7 Componeni 59,6 49,1 15,6 TOTALE 898,7 941,7 1029,2 Tabella 1.3. Mercao indusriale ialiano delle pompe (milioni di euro) Fone: Eurosa 6

14 1.2.1 Tendenze a medio ermine Le previsioni di sviluppo a medio ermine sono posiive (la gesione dell acqua calda e la produzione di energia saranno emi rilevani nei prossimi anni), anche se condizionae dai muameni in ao nell asseo compeiivo del seore, ovvero: la crescia, anche ecnologica, dei produori dei Paesi asiaici (Cina, India); l aumeno delle iniziaive imprendioriali all esero degli operaori nazionali; la crescia della concenrazione nel seore, con l acquisizione di piccole e medie imprese specializzae, da pare degli operaori maggiori, nazionali e inernazionali; le incognie relaive alle scele sraegiche di localizzazione produiva dei gruppi eseri leader di seore aualmene preseni in Ialia con propri sabilimeni. Le soriche peculiarià delle imprese nazionali, ra cui flessibilià, velocià d innovazione e ampiezza di gamma, caraerisiche vinceni nel recene passao, porebbero rivelarsi insufficieni per operare nel quadro compeiivo che si sa delineando, nel quale l innovazione ecnologica e la dimensione finanziaria e organizzaiva, necessarie per reggere sruure commerciali e di servizio adeguae al mercao globale, saranno requisii indispensabili. Inolre, il rend della domanda è condizionao dal quadro legislaivo e, in paricolare, dall emanazione di incenivi specifici a sosegno delle ecnologie per la riduzione dei consumi energeici e per il conrollo dell ecosisema (raameno acque). 7

15 L inasprimeno della concorrenza giocaa sui prezzi deerminerà una conrazione della reddiivià delle imprese in un coneso compeiivo che richiede sempre maggiore risorse da dedicare all aivià commerciale, in paricolare sui mercai eseri. Fone : Daabank. Pompe (giugno 2007). 1.3 Breve soria dell azienda DAB PUMPS S.p.a DAB PUMPS S.p.a è un azienda che dal 1975 progea e cosruisce eleropompe per rispondere alle sempre più esigeni richiese del mercao non solo con prodoi che si aesano ai più elevai livelli di qualià, ma anche con un servizio di assisenza efficiene e versaile. Dal primo sabilimeno produivo a Mesrino (vedi fig. 1.1), oggi sede cenrale, agli alri due sabilimeni produivi a Brendola (VI) ed a Casello di Godego (TV), DAB, dalla nascia ad oggi, si è evolua fino ad avere più di 500 dipendeni e mq di superficie. Il numero di eleropompe vendue ogni anno supera i pezzi, con 800 modelli a caalogo. Fig. 1.1: Sabilimeno di Mesrino (Padova) 8

16 I prodoi DAB si possono suddividere in quaro ipi: Domesici In quesa ipologia enrano a far pare i prodoi ad uilizzo domesico che rispondono alle esigenze legae al giardinaggio, alla circolazione dell acqua, alla cucina e al bagno. Civili Sono prodoi disegnai per l uilizzo civile con lo scopo di rispondere alle esigenze legae alle abiazioni (porare l acqua ai diversi piani di un condominio), riscaldameno e condizionameno. Indusriali Sono prodoi progeai per l ambio indusriale che si adaano alle esigenze legae a insallazioni di dimensioni considerevoli, che comporano elevai quaniaivi di acqua da movimenare. Moori ed eleronica A quesa caegoria apparengono i conrolli eleronici e moori elerici di sisemi di pompaggio e moori elerici. 9

17 Nel 1996 DAB PUMPS viene acquisaa da pare della mulinazionale danese GRUNDFOS, azienda noa come leader mondiale nella produzione e vendia di eleropompe, la quale, con una produzione annuale di circa 10 milioni di unià, assorbe circa il 50% del mercao mondiale. Poco empo dopo inizia a far pare del gruppo anche un alra giovane azienda ialiana, naa a Bienina (Pisa) nel 1991: la LEADERS PUMPS S.p.a. Tale azienda produce una vasa gamma di eleropompe domesiche, ed è specializzaa nella produzione di pompe da giardino, pompe sommerse e booser se 2 per il seore DIY ( fai da e ). IL GRUPPO DWT Nel 2008 enrano a far pare del gruppo le aziende WaCS, TESLA e ALMA. WaCS è l azienda specializzaa nella produzione di sisemi eleronici con ecnologie avanzae per il conrollo idraulico (quadri eleronici 3, inverer 4, sisemi on/off 5 ec.); TESLA si occupa della produzione di pompe sommerse e moori sommersi incapsulai; ALMA produce pompe per drenaggio di acque non chiare. Nel 2009 con l enraa nel gruppo di BRISAN (Sud-Africa), specializzaa in pompe per il seore agricolo, nasce il gruppo DWT. All inerno del gruppo DWT inizia una proficua collaborazione, che pora le aziende non solo a lavorare insieme per il migliorameno reciproco e l oimizzazione, ma anche a dividersi le nuove realà e filiali che nascono nel mondo. 2 I booser se sono delle pompe già associae ad un serbaoio per il liquido e/o ad un quadro di comando. 3 Le pompe infai, recenemene, vengono spesso comandae da un quadro che può essere meccanico o eleronico. 4 Inverer è un apparao eleronico in grado di converire correne coninua in correne alernaa con noevoli vanaggi a livello di consumi. 5 I conrolli possono essere di ipo on/off, quindi un sisema di auospegnimeno che blocca la pompa quando non è più richiesa pressione nell'impiano. 10

18 Dopo la coninua crescia degli ulimi anni, DAB viene oggi riconosciua come sinonimo di azienda capace di essere ai massimi verici nel proprio seore, in ambio nazionale e inernazionale. Aualmene DAB cona oo filiali: sei nel erriorio Europeo (Belgio, Olanda, Germania, Inghilerra, Spagna e Russia), una nel coninene americano (Carolina del Sud) e una in Cina (Qingdao). Ques ulima rivese anche un ruolo di produzione, essendo naa per soddisfare la sempre crescene domanda di mercao araverso una maggiore capacià produiva del gruppo. Le vendie oali, gli invesimeni e le risorse umane del gruppo dal 1998 fino al 2009 vengono rappresenae nei segueni diagrammi a barre (grafici 1.1, 1.2 e 1.3). Grafico 1.1 Faurao oale (milioni di euro) Fone: Azienda DAB PUMPS S.p.a. * 11

19 * Grafico 1.2 Invesimeni oali (milla euro) Fone: Azienda DAB PUMPS S.p.a. * Grafico 1.3 Toale delle risorse umane Fone: Azienda DAB PUMPS S.p.a. 2009* - valori simai 12

20 1.3.1 Le sraegie di produzione dell azienda La DAB PUMPS S.p.a rova risposa alle proprie esigenze organizzaive e di efficienza adoando le segueni sraegie di produzione : Produzione su ordine (Make-o-order sraegy) Produzione per il magazzino (Make-o-sock sraegy) Progeazione su ordine (Engineer-o-order sraegy) Secondo la sraegia make-o-order i prodoi finii e i semilavorai vengono realizzai in base agli ordini cliene acquisii, menre gli acquisi dei maeriali vengono realizzai per il magazzino. Quesa sraegia viene applicaa per bassi volumi di produzione e per prodoi personalizzai che richiedono un processo di produzione flessibile. La sraegia make-o-sock presuppone la produzione in sock in base a previsioni di vendia. Gli ordini di vendia devono essere coperi o dalla quanià prodoa secondo le previsioni o dagli sock auali. Ciò significa che è imporane elaborare previsioni accurae, in quano l obieivo principale è quello di rispondere empesivamene ai fabbisogni dei clieni, gesendo nel modo più efficiene le score dei magazzini e dei deposii; è ben noo, infai, che lo soccaggio dei prodoi compora dei cosi per l azienda. Quesa sraegia viene adoaa per prodoi sandard con ali volumi di produzione. Secondo la sraegia engineer-o-order la produzione viene realizzaa a frone di uno specifico ordine, includendo variani e personalizzazioni che richiedono la riprogeazione complea o parziale di un deerminao prodoo. 13

21 1.3.2 Ruolo delle previsioni nella pianificazione della produzione La pianificazione è la funzione aziendale che ha il ruolo di produrre un piano delle azioni fuure. Nel caso DAB, l ufficio pianificazione elabora il budge annuale e semesrale di produzione parendo dal budge commerciale, conciliandolo con le capacià produive e il livello di sock desiderao. Ogni mese viene sviluppao il piano previsionale per i successivi re mesi dei prodoi make-o-sock e successivamene il maser producion plan 6 mensile. Il piano previsionale coniene i dai sui prodoi e le quanià necessarie da produrre. Aualmene viene sviluppao parendo dalle previsioni di vendia, in gran pare fondae su informazioni qualiaive derivane dai dai sorici unie alle informazioni provenieni dall ufficio commerciale sugli ordini ricevui e sulle offere in corso per i mesi successivi. Le previsioni così oenue vengono incrociae con la disponibilià di prodoi finii presene a sock e con la disponibilià desideraa per i periodi successivi, il uo adaao alle reali capacià produive dei diversi sabilimeni. Una vola elaborao il piano, i dai vengono comunicai agli uffici acquisi, procuremen 7 e programmazione dove vengono acquisie e programmae le risorse necessarie per la produzione. 6 Maser producion plan è un piano di produzione che indica quando e quano di ciascun prodoo sarà richieso. 7 Il procuremen è l aiviа di acquiso da pare degli addei di un azienda di beni non legai al ciclo produivo dell azienda sessa (che vengono raai dall'ufficio Approvigionameni). 14

22 Capiolo 2 Meodologie uilizzae 2.1 Inroduzione L aumeno della dimensione e complessià delle organizzazioni pubbliche e privae, l ampliameno dei mercai e della compeizione, sono alcuni faori alla base della crescene domanda di previsione di grandezze economiche. Con ale ermine ci si riferisce comunemene alla prefigurazione di una realà fuura ma, più in generale, prevedere significa indurre un fao (ignoo) da un alro fao (noo) araverso l inermediazione di una legge. Quano noo è cosiuio sia da misure della realà osservaa sia da informazioni qualiaive e conoscenze eoriche; l ignoo può essere indifferenemene rappresenaao da fai fuuri, da grandezze già realizzae ma non misurae, o persino da un passao incognio (Guizzardi, A. 2001) Al giorno d oggi, per un azienda che produce e commercializza prodoi è imporane avere a disposizione previsioni affidabili sulle vendie, in quano l informazione sull andameno delle sesse viene impiegaa direamene o indereamene nelle aree di produzione, pianificazione, vendie, amminisrazione. Per queso moivo l azienda DAB PUMPS S.p.a ha deciso di effeuare un analisi deagliaa sulle serie di vendie delle varie caegorie e dei singoli codici dei prodoi avvalendosi di srumeni e ecniche saisiche di previsione. 15

23 2.1 Analisi delle serie soriche Si definisce serie sorica una successione di dai numerici nella quale ogni dao è associao ad un paricolare isane o inervallo di empo (Vianelli, 1983). L ordine emporale è essenziale, poiché si presume che vi sia una sruura di dipendenza emporale ra le osservazioni della serie. Lo scopo dell analisi saisica di una serie sorica è proprio quello di modellare ale dipendenza e cercare di spiegare il meccanismo casuale che l ha generaa. Le realizzazioni di un fenomeno economico Y possono essere espresse mediane la somma di una pare prevedibile ( rappresena la pare socasica della serie : f ) e di una casuale ( ε ) che Y = f + ε L analisi saisica delle serie soriche economiche scompone f in re componeni : il rend (T), il ciclo (C) e la sagionalià (S). Il rend rappresena la endenza di fondo del fenomeno considerao, deerminaa dall evoluzione sruurale del sisema economico. Con il ermine ciclo si inendono invece fluuazioni pluriennali a periodicià non casuale legae alle fasi di espansione e conrazione del sisema economico. A un periodo di espansione segue sempre un periodo di conrazione e viceversa, in modo che la dinamica descria da quesa componene è di ipo oscilaorio aorno ad un valore medio. Nel caso si uilizzino dai a frequenza sub-annuale (mensili, rimesri ec.), se i movimeni oscillaori si ripeono con una cera regolarià all inerno di un anno si parla di sagionalià. I vari modelli di combinazione delle re componeni della pare sisemaica ( sono (vedi Di Fonzo T., Lisi F., 2005): f ) 16

24 1. Modello addiivo: Y = T + C + S + ε In queso modello le quaro componeni sono ue espresse nella sessa unià di misura di Y. 2. Modello moliplicaivo: Y = T * C * S * ε Il modello moliplicaivo può essere ricondoo a quello addiivo mediane rasformazione logarimica. In queso modello di solio la componene T è espressa nella sessa unià di misura di Y e le alre due sono espresse mediane coefficieni. 3. Modello miso : Y = T * C * S + ε In queso modello le componeni T e ε sono espresse nella sessa merica di Y. L approccio decomposiivo ha il pregio di essere conceualmene molo semplice ma soprauo può essere un uile guida nella specificazione di un modello di riferimeno per la previsione anche quando si dispone di serie di lunghezza limiaa. Ques approccio viene chiamao classico, perchè l analisi si concenra sulla pare deerminisica ( f ), invece si ipoizza che la pare socaica ( ε ) sia saa generaa da un processo whie noise, ossia da una successione di variabili casuali indipendeni di media nulla e varianza cosane. A vole queso approccio non pora a risulai soddisfaceni, perchè non è sempre possibile individuare le re componeni dall andameno della serie. Per 17

25 queso moivo si preferisce l approccio moderno. Esso si focalizza sulla modellazione della pare socasica, ippoizzando che l andameno della serie si basi su una cera disribuzione di probabilià. Lo sudio di ale successione rova la propria ragion d'essere nel fao che la conoscenza di quano è avvenuo deermina ciò che avverrà secondo cere regole probalisiche. Queso accade per il presuno fao che vi sia una sruura di dipendenza emporale ra le osservazioni della serie. Perciò ε viene considerao come un processo a componeni correlae. Inolre si può ipoizzare che nel campione considerao vi siano unià più informaive di alre come, ad esempio, le ulime realizzazioni campionarie della serie. Infai i dai della serie sono quelli che guidano l analisa; il modello si deve adaare ai dai e non viceversa, come accade nell approccio deerminisico. Si definisce processo socasico una collezione di variabili casuali indicizzae dal empo {Y, = 1, 2,... } (vedi Di Fonzo T., Lisi F., 2005). In alre parole, si può affermare che una daa serie emporale è una paricolare realizzazione di un processo socasico. 2.1 Il lisciameno esponenziale Il lisciameno esponenziale (l Exponenial Smoohing) rappresena un uile srumeno di previsione punuale, soprauo quando si hanno a disposizione pochi dai. Tale procedura si basa sull idea che una ragionevole previsione del valore di una serie X al empo possa essere cosiuia da una combinazione lineare della previsione faa sulla sessa serie nell isane precedene. Tale combinazione lineare deve però ener cono della variazione regisraa nell unià emporale precedene ra l effeivo valore della serie e la previsione realizzaa. 18

26 Quindi si ha: F n, 1 = δ Fn 1,1 + (1 δ ) y n ossia la nuova previsione (al empo n+1) può essere pensaa come la media pesaa fra l osservazione al empo n (ulima osservazione disponibile) e la vecchia previsione (relaiva al empo n formulaa al empo n-1). Il valore assegnao al paramero δ è la chiave dell analisi. Se si desidera che la previsione sia sabile e che le variazioni casuali della serie siano smussae, allora si sceglie un valore per δ vicino ad uno e viceversa se si vuole dare maggior peso alle osservazioni più receni, si opa per un valore vicino a zero I meodi di Hol-Winers sagionali Una ecnica di previsione, uile quando si devono modellare le serie soriche compose da una componene di rend ed evenualmene da un faore sagionale, è la ecnica Hol-Winers. Quesa cosiuisce la naurale generalizzazione della ecnica del lisciameno esponenziale presenao nel paragrafo 2.3. In queso soo paragrafo sarrano presi in considerazione i meodi sagionali. Secondo ale approccio la serie sorica è il risulao di re componeni: il livello al empo n ( y n ), il rend ( T n ) e la sagionalià ( S n ). Ci sono due meodi sagionali proposi da Hol-Winers: addiivo e moliplicaivo. Meodo sagionale addiivo. L ipoesi di base è che in prossimià di n la previsione con orizzone di previsione k può essere fornia dalla rea : F = y + T k + S n, k n n n, con n S faore sagionale di periodo pari a s. 19

27 Le sime di ŷ n, Tˆ n, Ŝ n sono dae dalle formule di aggiormameno : yˆ = α ( yˆ ˆ ) (1 ) ( ˆ n 1 + Tn 1 + α yn Sn s), 0 < α < 1 Tˆ ˆ (1 ) ( ˆ ˆ n = β Tn 1 + β y yn 1), 0 < β < 1 Sˆ = γ Sˆ + (1 ) ( y yˆ γ ), 0 < γ < 1 n n s Previsione k periodi in avani : F F n = yˆ ˆ ˆ n + k Tn + S n + k, 1 k s n, k s n = yˆ ˆ ˆ n + k Tn + S n + k 2, s + 1 k 2s n, k s Meodo sagionale moliplicaivo. L ipoesi di base è che in prossimià di n la previsione con orizzone di previsione k può essere fornia dalla rea : F n, k = ( y + T k) S n Le sime di n n ŷ n, Tˆ n, Ŝ n sono dae dalle formule di aggiormameno : ˆ ( ˆ ˆ yn y = α yn 1 + Tn 1) + (1 α), Sˆ 0 < α < 1 n s Tˆ β Tˆ + (1 β) ( yˆ yˆ ), 0 < β < 1 Sˆ n = n 1 n 1 n ˆ yn = γ Sn s + (1 γ), yˆ 0 < γ < 1 Previsione k periodi in avani : F F n = ( yˆ ˆ ) ˆ n + k Tn S n + k, 1 k s n, k s = ( yˆ ˆ ) ˆ n + k Tn S n + k 2, s + 1 k 2s n, k s I parameri α, β, γ possono essere fissai arbirariamene sulla base delle caraerisiche della serie (per serie molo lisce si scelgono valori dei parameri prossimi a zero, per serie con osservazioni imprevedibili molo rilevani, valori 20

28 dei parameri prossimi a uno) o seguendo il crierio oggeivo della minimizzazione di qualche funzione di coso sul periodo di osservazione. Per le serie analizzae è sao usao il crierio di minimizzazione dell errore quadraico medio enro il campione di sima. 2.4 L approccio di Box-Jenkins Quando si analizzano fenomeni economici (non conrollabili sperimenalmene) come il consumo, la produzione, il reddio ec., il modello per il processo generaore dei dai, uilizzao per inferire l incognio, deve comprendere neccessariamene una pare probabilisica ε per generalizzare la pare deerminisica. Come è sao accennao nel paragrafo 2.2, la componene ε è la pare di maggior ineresse nell approccio moderno. I modelli più uilizzai nell analisi moderna delle serie soriche univariae sono quelli inrodoi da Box e Jenkins (Box G. E., Jenkins G. M, 1976). I due modelli fondamenali sono: il modello auoregressivo (AR) che consise in una somma pesaa di valori passai e di uno shock casuale conemporaneo ed il modello a media mobile (MA) che è il risulao di una serie di impulsi casuali. Dalla combinazione di quesi due modelli discende il modello ARMA (p,q) (AuoRegressive Moving Average). Esso assume che la variabile Y dipenda linearmene sia da p empi precedeni della variavile sessa (pare auoregressiva), sia dai q valori passai del ermine di errore ε (pare a media mobile). Quindi il modello cosi descrio può essere formalizzao nell espressione: 21

29 φ( B) Y = θ( B) ε, dove - B è l operaore riardo.c. B y = y 1 ; - φ( B) = 1 φ B... φ 1, è l operaore auoregressivo non sagionale di B p p ordine p; - θ ( B) = 1+ θ B θ 1, è l operaore a media mobile non sagionale di B q q ordine q; - 2 ε è un processo whie noise ( ε ~ WN (0, σ ) ). Per la sazionarià e l inveribilià, le radici delle equazioni caraerisiche associae ai polinomi φ ( B ) e θ (B) devono essere in modulo maggiori di 1. L ineresse di unire un modello AR(p) e un modello MA(q) in un modello ARMA(p,q) è nao dall esigenza di descrivere mediane un esiguo numero di parameri una serie sorica, cosa non molo semplice uilizzando solamene un processo auoregressivo oppure a medie mobili. La classe dei modelli ARMA viene ampliaa dai modelli ARIMA(p,d,q) (Auoregressive Inegraed Moving Average) che consenono di modellare i processi non sazionari, ovvero i processi che non manengono la media o la variabilià cosane. Una serie non sazionaria può essere resa sazionaria ramie d differenziazioni oppure ramie rasformazione, per esempio quella logarimica, nel caso la serie non sia sazionaria in varianza. 22

30 Dao quindi un inero non negaivo d, il processo ARIMA(p,d,q) può essere espresso come: φ( B) B Y θ B d (1 ) = ( ) ε Se d è uguale a zero la serie non neccessia di essere differenziaa e si riorna alla classe ARMA(p,q). Per le serie soriche sagionali un noevole apporo è rappresenao dai modelli SARIMA o ARIMA sagionali che permeono di modellare la naura socasica anche della sagionalià. I modelli ARIMA sagionali sono sai inrodoi da Box e Jenkins (1976) e sono dei modelli ARIMA (p,d,q) che, a loro vola, possiedono dei residui ε modellabili ramie una sruura ARIMA (P,D,Q)s. Nella sua forma più generale un processo SARIMA(p,d,q)*(P,D,Q)s può essere scrio come: S d S D S φ ( B) Φ ( B )( 1 B) (1 B ) Y = θ( B) Θ( B ) ε, dove S S 2S PS - Φ ( B ) = (1 Φ B Φ B... Φ B ) è l operaore auoregressivo sagionale di ordine P; 1 2 P S S 2S QS - Θ ( B ) = (1 +Θ B +Θ B Θ B ) è l operaore a media mobile sagionale di ordine Q; 1 2 Q S D - ( 1 B ) è l operaore differenza di ordine D sagionale. 23

31 Con uso dell operaore auoregressivo non sagionale di ordine p e con l operaore a media mobile non sagionale di ordine q, si sima la correlazione ra i mesi conigui; invece con gli operaori auoregressivo sagionale di ordine P e con l operaore a media mobile sagionale di ordine Q si riesce a modellare la correlazione ra gli sessi mesi di anni diversi. Per le serie soriche di naura economica è uile considerare i modelli ARMAX (AuoRegressive Moving Average wih exogenous variable). Il modello ARMAX è un raffinameno di un ARMA in quano riduce la varianza dell ARMA con l inroduzione nel modello di una o più variabili esogene. Queso accade per il moivo che le variabili eserne conengono informazioni aggiunive rispeo al passao della serie in grado di conribuire nella spiegazione della variabilià del modello. La sruura del modello ARMAX in un forma compaa può essere espressa come: φ ( B) Y = θ( B) + ε, u dove u è la variabile esogena e ε un processo whie noise. Invece per le serie soriche che presenano la sagionalià si possono applicare i modelli della classe SARMAX. Quesi modelli non sono alro che un esensione dei modelli ARMA per includere la sagionalià e l informazione delle variabili esogene. Invece se le serie soriche non sono sazionarie si uilizzano i modelli ARIMAX e SARIMAX, nel caso in cui le serie soriche presenino sagionalià. La procedura di Box-Jenkins per cosruire, a parire dai dai, un modello ao ad approssimare il processo generaore della serie sorica consise nelle segueni fasi: 24

32 1. Analisi preliminare 2. Idenificazione 3. Sima dei parameri 4. Conrollo diagnosico Analisi preliminare Si analizza l andameno della serie ramie il grafico e si verifica se sono preseni dei valori anomali. Idenificazione Si specificano gli ordini (p,d,q)*(p,d,q) del modello. Ciò viene effeuao principalmene mediane analisi successive dei grafici delle funzioni auocorrelazione globale e parziale. Se le auocorrelazioni endono ad annullarsi molo lenamene (o non si annullano affao) è probabile che il processo generaore sia non sazionario. In queso caso la serie deve essere resa sazionaria. Se la serie presena non sazionarieà in media si applica la differenziazione di ordine d (per i modelli ARIMA) oppure D (per i modelli SARIMA). Invece se la serie presena non sazionarieà in varianza si effeua un opporuna rasformazione della serie (la rasformazione deve avvenire prima della differenziazione). Sima dei parameri Una vola fissao l ordine dei parameri, si procede con la sima degli sessi, mediane la massimizzazione della funzione di verosimiglianza, nell ipoesi che ε sia un processo whie noise. 25

33 Conrollo diagnosico Quesa fase consise nella verifica dell adeguaezza del modello simao ramie l analisi dei residui. Il diagramma di dispersione dei residui al empo conro i residui al empo +1 non dovrebbe mosrare nessun andameno paricolare. Dal correlogramma si verifica se c e correlazione ra i residui; se i residui sono incorrelai, i valori delle funzioni di auocorrelazione si rovano enro le bande di confidenza al 5%. Per una verifica complessiva di assenza di correlazione si può uilizzare la saiica sviluppaa da Ljung e Box (Ljung G. M., Box G. E., 1978 ). 2.1 Valuazione della bonà di adaameno delle previsioni. La misura della qualià della previsione è generalmene daa dal confrono con la realà. Nella praica, il campione viene suddiviso in due insiemi: l insieme di sima e l insieme di previsione. L insieme di sima viene impiegao nella specificazione e sima del modello e l insieme di previsione viene uilizzao nella valuazione della capacià previsiva in sample 8 del modello. Se viene assuna l universalià nel empo delle relazioni specificae nel modello, si può considerare che le performances delle previsioni-ou-of-sample 9 dipenderanno da quelli delle previsioni-in-sample. Di seguio verranno presenai vari indici che quanificano la capacià previsiva del modello specificao. 8 Le previsioni-in-sample sono le previsioni simulae per il campione di previsione 9 Si definiscono previsioni-ou-of-sample le previsioni oenue al di fuori del campione considerao per la sima. 26

34 In primo luogo si definisce l errore di previsione al empo come: e = r p, dove r è il valore realizzao (osservao) al empo e empo. p è il valore previso per il EQM = 1 n n 2 e i= 1 è l errore quadraico medio, EMA = 1 n n i= 1 e è l errore medio assoluo, U = EQM 1 n n i= 1 2 r, è l indice di Theil (Theil H. 1965). L indice di Theil varia ra 0 e infinio. Esso risula nullo nel caso in cui le previsioni coincidono perfeamene con i valori osservai. Se i valori di U sono prossimi o maggiore di 1 significa che il modello specificao non si adaa affao bene ai dai. Inolre, araverso queso indice si può fare il confrono ra modelli diversi Un alro indice è l errore medio percenuale: n 1 e EMP = 100. n r i= 1 Esso indica la percenuale di sovrasima (se il valore è negaivo) oppure di soosima (se il valore è posiivo) dei valori veri. 27

35 28

36 Capiolo 3 Caso aziendale DAB PUMPS S.p.a 3.1 Dai L analisi delle serie soriche è saa condoa sulle serie soriche mensili delle vendie per caegoria di prodoi e i singoli codici. I dai presi in considerazione riguardano il periodo gennaio 1996 febbraio Per i modelli SARIMAX, olre alle serie soriche delle vendie, sono sae uilizzae le serie soriche dei prezzi; all inizio si inuiva, poi si è anche verificao, che la variabile prezzi coniene informazione significaiva nella spiegazione della variabilià del modello. L insieme di previsione è sao cosiuio dalle ulime dodici osservazioni. Di seguio verrano analizzae le serie soriche per caegoria di prodoi con i modelli di Hol-Winers e SARIMA/SARIMAX. 3.2 Modellazione delle serie soriche Durane lo sage sono sae analizzae in oale una quaranina di serie soriche delle vendie per varie caegorie di prodoi (circolaori, linea d acqua fredda, domesic booser) e per singoli codici. In queso paragrafo verrà elaboraa la modellazione solo della serie sorica delle vendie della caegoria FD descria nel seguio. Nel paragrafo 3.3 verrano presenai i risulai di ue le alre serie soriche modellae. La caegoria FD coniene dei prodoi che fanno pare della classe denominaa Je (linea d acqua fredda). Meodo Hol-Winers sagionale Nelle serie soriche delle vendie analizzae è presene la componene sagionale. Come è sao accennao nel paragrafo 2.3.1, il meodo Hol-Winers sagionale 29

37 sima araverso il modello addiivo e il modello moliplicaivo anche la componene sagionale. Sima del modello addiivo. La sima del livello al empo n ( sono sae calcolae come indicao nel paragrafo ŷ n ), del rend ( Tˆ n ) e della sagionalià ( Ŝ n ) In queso caso sono sai usai i segueni valori iniziali : per ŷ11 e ŷ 12 sono sae applicae le medie mobili semplici cenrae di ordine 13; Tˆ ˆ ˆ 12 = y12 y11; Sˆ y yˆ i = i 12, i=1,...12 invece α, β, γ sono sai sceli in modo da minimizare l EQM serie originaria serie lisciaa Grafico 3.1. Serie sorica FD e serie lisciaa. Modello addiivo serie originaria previsioni Grafico 3.2. Previsioni-in-sample. Modello addiivo. 30

38 Sima del modello moliplicaivo Per il modello moliplicaivo i valori iniziali delle sime del livello e rend sono gli sessi usai nel modello addiivo, cambia solo la sima della sagionalià, che ˆ y i divena S i =, ˆ i=1,...,12. y serie originaria serie lisciaa Grafico 3.3. Serie sorica FD e serie lisciaa. Modello moliplicaivo serie originaria previsioni Grafico 3.4. Previsioni-in-sample. Modello moliplicaivo. Si confronano i due modelli uilizzando gli indici di bonà di adaameno descrii nel paragrafo

39 25000 previsioni in sample serie originaria hw addiivo hw moliplicaivo Grafico 3.5. Previsioni-in-sample del modello addiivo e quello moliplicaivo. Modello addiivo Modello moliplicaivo Insieme di sima Insieme di previsione Insieme di sima Insieme di previsione EQM 8997, , , ,94 EMA 2312, , , ,9 Indice di Theil 0,26 0,24 Tabella 3.1. Confrono ra modello addiivo e quello moliplicaivo. Dalla abella 3.1 si osserva che il modello moliplicaivo presena gli indici di bonà di adaameno minori e quindi, da un puno di visa previsivo, risula essere il modello migliore fra i due. Previsioni Le previsioni sono sae elaborae per i successivi re mesi. Anno Mese Previsione 2009 Marzo Aprile Maggio Tabella 3.2. Previsioni con il modello moliplicaivo. 32

40 L approccio Box-Jenkins. La modellazione delle serie soriche ramie i modelli SARIMA/SARIMAX è saa eseguia mediane il sofware di libero dominio Grel. Analisi preliminare. La modellazione di una serie sorica viene generalmene iniziaa con l analisi del suo andameno. Grafico 3.6. Serie sorica delle vendie per la caegoria FD. Dal grafico 3.6 si osserva che la serie sorica presena un rend leggermene crescene. La serie sorica sembra essere non sazionaria in media. Idenificazione In quesa fase viene analizzaa il correlogramma della serie sorica. 33

41 Grafico 3.7. Funzioni di auocorrelazione globale (ACF) e parziale (PACF) della serie FD. La funzione di auocorrelazione globale (ACF) conferma che la serie sorica non è sazionaria (l ACF ai riardi sagionali ende molo lenamene a zero); quindi la serie sorica verrà resa sazionaria ramie una differenziazione sagionale. Dall analisi delle funzioni di auocorrelazione e dopo aver provao diversi modelli, si è giuno alla conclusione che un buon modello porebbe essere il modello SARIMA (1,0,1)(1,1,0) di cui si riporano i risulai relaivi alla sima dei parameri. Sima dei parameri coefficiene errore sd. rapporo p-value cons 752, ,805 2,134 0,0329 ** phi_1 0, , ,951 2,50E-23 *** Phi_1-0, , ,198 2,02E-07 *** hea_1-0, , ,496 3,88E-08 *** Reale Immaginario Modulo AR Radice 1 1,1101 0,0000 1,1101 AR (sagionale) Radice 1-2,2341 0,0000 2,2341 MA Radice 1 1,3789 0,0000 1,

42 Conrollo diagnosico Si può noare che ui i parameri sono significaivi al 5% e le radici delle equazioni caraerisiche associae ai polinomi φ ( B ), Φ(B) e Θ(B) sono in modulo maggiori di 1, quindi le condizioni di sazionarieà e inveribilià sono soddisfae. Per quano riguarda l analisi dei residui sono sae considerae le funzioni di auocorrelazione dei residui e il es di Ljung-Box. Grafico 3.8. Correlogramma dei residui del modello SARIMA (1,0,1)(1,1,0). Nonosane i valori della funzione di auocorrelazione ai riardi 15 e 24 (riardo sagionale) siano eserni alle fasce di Barle (bande di confidenza al 5%) si può acceare l ipoesi che i residui siano incorrelai ad un livello di significaivià del 5%. I valori della saisica di Ljung-Box: LAG ACF PACF Q-sa. [p-value] 1 0,0334 0,0334 0,153 [0,696] 2-0,0422-0,0434 0,3991 [0,819] 35

43 3-0,0353-0,0325 0,5723 [0,903] 4 0,1076 0,1085 2,1962 [0,700] 5-0,1021-0,1144 3,6688 [0,598] 6 0,0149 0,0325 3,7002 [0,717] 7-0,0138-0,0175 3,7277 [0,811] 8-0,0364-0,0547 3,919 [0,864] 9 0,0983 0,1319 5,3281 [0,805] 10 0,1381 0,1083 8,1292 [0,616] 11 0,095 0,1028 9,4666 [0,579] 12-0,1298-0, ,9833 [0,447] 13 0,0153 0,008 12,0185 [0,526] 14-0,0197-0, ,0776 [0,600] 15-0,1857 ** -0,2117 ** 17,361 [0,298] 16-0,0276 0, ,4784 [0,355] 17 0,1116 0, ,4194 [0,305] 18 0,0731 0, ,2588 [0,318] 19 0,0268 0, ,3723 [0,372] 20 0,086 0, ,5557 [0,365] 21 0,0486 0,049 21,9371 [0,403] 22 0,0041 0, ,9399 [0,463] 23-0,013 0,002 21,9678 [0,522] 24-0,2922 *** -0,3091 *** 36,1173 [0,053] 25-0,1597 * -0, ,3808 [0,027] 26-0,0087 0,009 40,3935 [0,036] 27 0,0658-0, ,1305 [0,040] 28-0,0129 0, ,1593 [0,052] ,0629 0, ,2033 [0,194] 38-0,0107-0, ,2251 [0,225] 39 0,1332-0, ,6279 [0,162] 40 0,0173-0,026 47,6861 [0,189] I p-value della saisica di Ljung-Box sono quasi ui maggiori del 5%, quindi l ipoesi nulla di incorrelazione ra i residui non viene rifiuaa. Adesso si può passare alla fase di previsione. Le previsioni-in sample risulano: 36

44 Oss FD Previsione Grafico 3.9. Previsioni-in sample del modello SARIMA(1,0,1)(1,1,0). Dal grafico 3.9 si osserva che il modello è in grado di prevedere l andameno della serie originaria abbasanza bene; ue le osservazioni con l eccezione delle ulime due sono inerne all inervallo di confidenza al 95%. In aggiuna ai modelli SARIMA vengono uilizzai i modelli SARIMAX. Come variabili eserne sono sae impiegae le variabili dummy mensili (per cogliere la sagionalià) e la variabile prezzo medio uniario per caegoria. Sima dei parameri del modello SARIMAX (2,0,0)(0,0,0). In queso modello sono sae usae le variabili dummy mensili per modellare la pare sagionale. 37

45 coefficiene errore sd. rapporo. p-value phi_1 0, ,0796 5,689 1,28E-08 *** phi_2 0, ,0832 3,932 8,44E-05 *** dm1 8777,88 832,663 10,54 5,53E-26 *** dm2 9725,17 829,196 11,73 9,11E-32 *** dm ,8 851,121 12,61 1,91E-36 *** dm ,5 855,104 13,32 1,87E-40 *** dm ,8 859,745 14,7 6,72E-49 *** dm ,3 860,129 12,58 2,65E-36 *** dm ,6 858,978 12,31 7,94E-35 *** dm8 4561,01 856,622 5,324 1,01E-07 *** dm9 7467,47 853,42 8,75 2,13E-18 *** dm ,48 849,972 8,3 1,04E-16 *** dm ,25 845,135 6,211 5,26E-10 *** dm ,69 841,694 5,468 4,54E-08 *** Reale Immaginario Modulo AR Radice 1 1,1881 0,0000 1,1881 Radice 2-2,5732 0,0000 2,5732 Conrollo diagnosico. Si osserva che ui parameri simai sono significaivi all 1 %. Tramie i correlogrammi i residui si verifica che quesi non siano correlai. Grafico Correlogramma dei residui del modello SARIMAX (2,0,0)(0,0,0) con variabili dummy. 38

46 Sebbene i valori della funzione di auocorrelazione al riardo 2 e 4 siano eserni alle fasce di Barle ad un livello di significaivià del 5%, si può acceare l ipoesi nulla di incorrelazione dei residui. Le previsioni-in-sample: Oss FD Previsione Grafico Previsioni-in-sample del modello SARIMAX (2,0,0)(0,0,0) con variabili dummy. Si può noare che il modello pora a soosimare i valori reali, inolre un osservazione non appariene all inervallo di confidenza della previsione e un alra si rova al limie dell inervallo. 39

47 Sima dei parameri del modello SARIMAX (1,0,1)(1,1,0) con la variabile prezzi. coefficiene errore sd. rapporo. p-value cons 4030,7 2870,38 1,404 0,1602 phi_1 0, , ,9 4,23E-38 *** Phi_1-0, , ,072 3,94E-07 *** hea_1-0, , ,729 1,71E-11 *** prezzi_fd -52, ,3762-1,159 0,2463 Reale Immaginario Modulo AR Radice 1 1,0851 0,0000 1,0851 AR (sagionale) Radice 1-2,2633 0,0000 2,2633 MA Radice 1 1,3534 0,0000 1,3534 La cosane e la variabile prezzi non sono significaive. Si prova di simare il modello senza la cosane. coefficiene errore sd. rapporo. p-value phi_1 0, , ,279 1,71E-20 *** Phi_1-0, , ,208 1,91E-07 *** hea_1-0, , ,164 2,41E-07 *** prezzi_fd 11,2202 5, ,178 0,0294 ** Reale Immaginario Modulo AR Radice 1 1,1208 0,0000 1,1208 AR (sagionale) Radice 1-2,2311 0,0000 2,2311 MA Radice 1 1,3939 0,0000 1,3939 In queso modello ui i parameri risulano significaivi al 5%. Conrollo diagnosico. 40

48 Grafico Correlogramma dei residui del modello SARIMAX (1,0,1)(1,1,0) con la variabile prezzi. I valori della funzione di auocorrelazione sono inerni all inervallo di confidenza, con l eccezione dei valori al riardo 15 e 24, ma con un livello di fiducia al 5% si può acceare l ipoesi nulla di incorrelazione dei residui. Grafico Previsioni-in sample del modello SARIMAX(1,0,1)(1,1,0) con la variabile prezzi. L andameno delle previsioni assomiglia con quelle fornie dal modello SARIMA(1,0,1)(1,1,0). 41

49 Si prova di modellare la serie sorica con un modello SARIMAX che include sia la variabile prezzi che le variabili dummy mensili. Sima dei parameri del modello SARIMAX (2,0,0)(0,0,0) con le variabili dummy per la modellazione della sagionalià e la variabile prezzi. coefficiene errore sd. rapporo. p-value phi_1 0, , ,266 3,71E-10 *** phi_2 0, , ,03 4,91E-07 *** prezzi_fd -175,052 42,1044-4,158 3,22E-05 *** dm ,4 2832,18 6,762 1,36E-11 *** dm ,6 2846,21 7,086 1,38E-12 *** dm ,4 2898,55 7,373 1,67E-13 *** dm ,7 2854,47 7,651 2,00E-14 *** dm ,5 2847,59 8,098 5,61E-16 *** dm ,5 2892,77 7,417 1,20E-13 *** dm ,3 2872,07 7,349 2,00E-13 *** dm ,3 2848,88 5,258 1,46E-07 *** dm ,6 2899,71 6,243 4,30E-10 *** dm ,9 2831,64 6,136 8,48E-10 *** dm ,8 2962,24 5,454 4,92E-08 *** dm ,1 2840,99 5,264 1,41E-07 *** Reale Immaginario Modulo AR Radice 1 1,0926 0,0000 1,0926 Radice 2-2,2749 0,0000 2,2749 Tui parameri sono alamene significaivi. In queso modello il segno della variabile prezzi è negaivo. Conrollo diagnosico. 42

50 Grafico Correlogramma dei residui del modello SARIMAX (2,0,0)(0,0,0) con la variabile prezzi e le dummy periodiche. L ipoesi di incorrelazione dei residui non viene rifiuaa; i valori della funzione di auocorrelazione sono compresi all inerno delle bande di confidenza al 5%. Grafico Previsioni-in sample del modello SARIMAX(2,0,0)(0,0,0) con la variabile prezzi e le dummy periodiche. Il modello soosima leggermene i valori veri, ma in generale è in grado di simare l andameno della serie di parenza. 43