Facoltà di Economia - Università di Sassari Anno Accademico Dispense Corso di Econometria Docente: Luciano Gutierrez

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1 Facolà di Economia - Universià di Sassari Anno Accademico Dispense Corso di Economeria Docene: Luciano Guierrez La Regressione Lineare Programma: Inroduzione.. Il modello di regressione lineare.. Le ipoesi del meodo dei minimi quadrai ordinari..3 Sima dei coefficieni del modello di regressione lineare..4 Disribuzione campionaria degli simaori minimi quadrai..5 I es di ipoesi sui coefficieni di regressione..6 Inervalli di confidenza...7 La regressione quando la variabile dipendene è binaria..8 Il coefficiene di deerminazione..9 Eeroschedasicià e omoschedasicià Luciano Guierrez Deparimeno di Economia e Sisemi Arborei el.: Universià of Sassari Fa: Via E. De icola, Sassari lguierr@uniss.i web: hp://

2 5 Inroduzione Diverse decisioni in economia, nel governo del paese, nell aivià imprendioriale, si fondano su relazioni ra variabili e spesso impongono rispose di ipo quaniaivo a domande di ipo quaniaivo. Ecco solo alcune di quese domande. Domanda : Di quano aumeneranno i consumi delle famiglie ialiane a seguio della recene riduzione delle impose diree sul reddio? Se si osservano i dai del Cono Economico delle Risorse e degli Impieghi (disponibili nel sio dell Isa hp:// si noa che nel periodo 980- e 00- il Prodoo Inerno Lordo (PIL) a prezzi cosani è aumenao del.0%. el periodo , il PIL è aumenao mediamene dello 0.7%. L incremeno dei Consumi Finali Inerni della Famiglie, la componene più imporane della domanda inerna del paese (mediamene nel periodo cosiuisce il 60% del PIL), sempre nel periodo è risulao del.0%, conro lo 0.6% del periodo ell ineno di simolare l economia, il Governo ha ridoo le impose sul reddio delle famiglie con l obbieivo di aumenare il reddio disponibile e simolare in queso modo i consumi della famiglie (ricorda la funzione di domanda sudiaa nel corso di Macroeconomia). uavia non è mancao l aumenao di una serie di ariffe che, chiaramene, hanno un effeo opposo a quello relaivo alla riduzione delle impose sul reddio. Quale sarà l effeo neo della manovra sui consumi delle famiglie? Aumeneranno e se si (o no), di quano? Domanda. Se si aumena l imposa sulla benzina dell %, di quano si ridurrà il consumo di benzina? La eoria economica consene di affermare che se il prezzo della benzina aumena, il suo consumo deve diminuire (la benzina è un bene normale). Come è noo, pare dei problemi di inquinameno nelle nosre cià sono legai al consumo di benzina. Uno dei modi di ridurre il consumo di benzina porebbe essere quello di aumenarne il livello di assazione. Quale è la percenuale di riduzione del consumo di benzina nel caso in cui il prezzo della benzina aumeni ad esempio dell %? La eoria economica ci dice che per risolvere queso problema dobbiamo calcolare l elasicià della domanda del bene Alri dai: imporazioni +5% 980-/00-, /004-3, invesimeni fissi lordi +.8%980- /00-, +0.4% 00-3/004-3, esporazioni +5.3%980-/00-, /004-3.

3 6 rispeo al suo prezzo, uavia non ci dice quale è il valore dell elasicià. Un modo di calcolarla è quello di uilizzare gli srumeni economerici per simare un funzione di domanda di benzina, funzione in cui compariranno (almeno) il consumo di benzina, il suo prezzo, le impose di fabbricazione sugli olii minerali che incidono sul prezzo della benzina e, nauralmene, il reddio. Domanda 3. Quano crescerà il PIL ialiano nel 005? L Unione Monearia Europea richiede, ai paesi che vi aderiscono, che il rapporo defici/pil non superi il 3%. Al fine di rispeare l obieivo è chiaramene imporane per ciascun Governo olre a prevede le enrae e le spese per l anno successivo, prevedere anche l incremeno del PIL. Soliamene la previsione del PIL è faa mediane l uso di modelli economerici. In Ialia esisono diversi eni pubblici, Banca d Ialia, l Isiuo di Sudi e Analisi Economiche (ISAE), e privai, Promeeia e REF, che uilizzano modelli economerici per la previsione delle più imporani variabili macroeconomiche (PIL, prezzi, impor/epor ). Ciascuna delle domande propose sono di ipo quaniaivo e richiedono, quindi, delle rispose di ipo quaniaivo. el corso preseneremo alcuni srumeni economerici, principalmene basai sul modello di regressione mulipla che consenono di rispondere alle domande prima espose. Il modello di regressione consene di analizzare l effeo su una variabile, ad esempio il consumo di benzina, dell incremeno di un alra variabile, l imposa di fabbricazione sulla benzina, manenendo cosani le alre variabili che possono influenzare il consumo di benzina quali, ad esempio, il prezzo della benzina ed il reddio dei consumaori. Al fine di inrodurre il modello di regressione mulipla gradualmene, inizieremo con l analizzare il modello di regressione semplice. Prima di inrodurre i modelli, è uile una breve rassegna dei dai soliamene uilizzai in economeria. Sono principalmene di re ipi: a) Dai cross-secion: si raa di dai raccoli per diverse unià rilevae ue nello sesso periodo emporale

4 7 Figura. Reddio medio pro-capie in 40 regioni UE anno 00 - (dai in Euro pps) Reddio procapie Regioni ella figura sono presenai i dai relaivi al reddio medi pro-capie rilevao in 40 regioni europee nel 00 (fone: Eurosa). Il reddio maggiore, poco più di euro nel 00, è del Lussemburgo, menre il reddio minore è della regione di Diki in Grecia con poco più di 000 euro annui. Uilizzando i dai cross-secion è possibile sudiare le differenze ra le variabili in un singolo periodo. Ad esempio possiamo dire che il reddio medio dei lussemburghesi nel 00 è sao circa 3,6 vole il reddio degli abiani di Diki. b) Serie soriche: la serie sorica è invece un dao raccolo per una singola unià in diversi isani emporali. Figura. Reddio procapie Sardegna euro pps Reddio procapie Anni ella figura è osservabile la serie sorica del reddio medio pro-capie della regione Sardegna nel periodo E possibile noare come il reddio sia aumenao, passando da poco meno di 6000 euro del 980 ai 74 euro del 00.

5 8 c) Dai Panel: i dai panel, dei anche longiudinali, sono dai relaivi ad almeno due o più unià e ciascuna unià è osservaa in almeno due o più periodi (nel caso fosse un solo periodo ci roveremo nel caso di dai cross.secion, menre nel caso avessimo una solo unià avremo una serie sorica). Figura 3. Reddio procapie regioni UE euro pps Reddio procapie Anni ella figura 3 possiamo osservare l andameno del reddio pro-capie in 40 regioni europee durane il periodo Prima di inrodurre il modello di regressione è bene rivedere alcuni concei molo imporani.. Valore Aeso : Il valore aeso di una variabile casuale, che denoeremo con E( ), è il valore medio che assumerà la variabile casuale dopo una lunga serie di esrazioni. Il valore aeso è quindi calcolao come una media ponderaa degli eveni associai alla variabile casuale osservaa e i pesi sono dai dalla probabilià associaa a ciascun eveno. Ad esempio, immaginiamo che presiamo ad un amico 00 euro ad un asso del %. L amico (se vuol rimanere un amico) dovrà rimborsare 0 euro. Immaginiamo che la probabilià che ci rimborsi sia del 99% (dopo uo è un amico!!). Allora la probabilià che non rimborsi è dell %. Il valore aeso sarà dao da 0,99*0+0,0*0=00,98 euro. Il valore aeso della variabile casuale viene spesso scrio come µ.

6 9. Varianza ed errore sandard La varianza e la deviazione sandard misurano la dispersione della disribuzione di probabilià. La varianza di una variabile casuale, di solio indicaa con ( ) VAR o σ, viene calcolaa, per eveni discrei, come media ponderaa del quadrao degli scari di ui i singoli degli eveni dal valore aeso della variabile casuale. Anche in queso caso i pesi sono dai dalle probabilià associae a ciascun eveno. La deviazione sandard è invece la radice quadraa dell errore sandard. Possiamo misurare la varianza e l errore sandard dell esempio precedene. La varianza sarà calcolaa come ( ) ( ) σ = 0 00,98 0, ,98 *0,0= 0,9996 menre la deviazione sandard sarà uguale a σ = σ = 0, Media e varianza di funzioni lineari. Se la variabile casuale e la variabile casuale sono legae dalla seguene relazione lineare = a + b, in cui a e b sono due cosani, avremo che ( ) = + ( ) ( ) = bvar( ) E a be VAR (.) 4. Disribuzioni di probabilià congiune e marginali, e disribuzioni condizionae La disribuzione di probabilià congiuna di due variabili casuali discree, ad esempio e, è pari alla probabilià che le due variabili assumano simulaneamene deerminai valori, diciamo i e i sommerà chiaramene a uno.. Le probabilià di ui i possibili eveni (, ) La disribuzione di probabilià marginale è un alro modo di definire la disribuzione di una singola variabile casuale a parire dalla disribuzione di probabilià congiuna. Un esempio può essere uile. Le condizioni meeorologiche influenzano i emi di percorrenza di uno sudene che si reca ogni giorno a lezione. Possiamo definire due variabili casuali che assumono valore 0 o, cioè binarie. La prima variabile assume valore 0 se piove e valore se non piove. La seconda variabile assume i i

7 0 valore 0 se il empo di percorrenza è maggiore di veni minui e assume un valore uguale a se invece si impiegano meno di veni minui. Possiamo associare ai possibili eveni le probabilià congiune abella Probabilià congiuna empo di percorrenza e condizioni meeo. Piove (=0) on Piove (=) oale Percorrenza lunga (=0) 0,5 0,07 0, Percorrenza cora (=) 0,5 0,63 0,78 oale 0,30 0,70,00 La disribuzione marginale di è inseria nell ulima colonna. A prescindere dal fao se piova o non piova, la probabilià che occorrano più di veni minui per percorrere il percorso è molo bassa e pari al %. Molo più ala è la probabilià di impiegare meno diveni minui. In queso caso la probabilià è pari al 78%. auralmene possiamo definire una disribuzione di probabilià per le condizioni meeo. In media nella cià le probabilià di pioggia sono del 30% e di non pioggia del 70%. In economeria è molo imporane la definizione di disribuzione condizionaa. La disribuzione di una variabile casuale condizionaa ad un'alra variabile casuale che assume valori specifici è denominaa disribuzione condizionaa. Ad esempio, quale è la probabilià di un lungo empo di percorrenza se sappiamo che piove? Dalla abella vediamo che la probabilià di un lungo empo di percorrenza e la probabilià di breve empo di percorrenza quando piove è idenica, e pari al 5%. Allora la probabilià condizionaa al fao che si abbia un lungo empo di percorrenza quando piove è del 50%, uguale al caso di breve percorrenza quando piove. I due valori sono oenui dividendo le due probabilià congiune per la marginale 0,30. Dal corso di saisica è noo che P( ) ( ) ( ) P, 0,5 = =. Si P 0,30 calcoli per esercizio la probabilià condizionaa di avere un lungo empo di percorrenza quando non piove. E maggiore o minore di quella di avere un lungo empo di percorrenza?

8 5. Valore aeso condizionao e varianza condizionaa Il valore aeso di condizionao a è la media della disribuzione condizionaa di dao. ell esempio precedene il valore aeso condizionao del empo di percorrenza condizionao al fao che piova è uguale a 0 ( 0,5 0,30) + ( 0,5 0,30) = 0,5, noa che rispeo al valore aeso precedenemene definio, qui dobbiamo uilizzare le probabilià condizionae. el caso che invece non piova il valore aeso condizionao è dao da 0 ( 0,07 0,70) + ( 0,63 0,70) = 0,9. Una vola calcolao il valore aeso condizionao è possibile calcolare la varianza condizionaa come somma ponderaa degli scari elevai al quadrao dell eveno dal valore aeso condizionao. Gli scari, nauralmene, devono essere ponderai per le probabilià condizionae. Una vola definio il valore aeso condizionao è possibile scrivere la seguene relazione che è noa come legge delle aspeaive ierae, cioè ( ) EE ( ( ) ) E = (.) Abbiamo quindi che se calcoliamo il valore aeso dei valori aesi condizionai a ui i valori che può assumere la variabile, oeniamo il valore aeso di. Dall ulima colonna della abella è facile osservare che E( ) = 0,78. Il valore può essere oenuo anche come ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E = E = 0 P = 0 + E = P = = 0,5 0,3 + 0,9 0,7 = 0,78 6. Correlazione e valore aeso condizionao Se non dipende (linearmene) da, allora la correlazione ra le due variabili casuali è uguale a zero. Possiamo anche affermare che se ( ) µ ( ) ( ) E = cov, = corr, = Media e varianza dello simaore media della disribuzione campionaria el corso uilizzeremo sempre medie o medie ponderae di dai campionari. Capire bene le disribuzioni delle medie campionarie è quindi imporane per capire bene le meodologie economeriche. Dall analisi saisica sappiamo che daa un popolazione è possibile esrarre dei valori casualmene mediane una procedura di esrazione campionaria. Definiamo

9 con,,..., gli eveni esrai dalla popolazione. Se ripeiamo l esercizio esraendo una seconda -upla, oerremo generalmene dei valori diversi. Allora la -upla esraa,,..., è una variabile casuale. Dao che l esrazione è casuale ed è effeuaa sulla sessa popolazione per ciascun i i =,,...,, la disribuzione marginale di ciascun i sarà idenica. Se ui gli i hanno una sessa disribuzione si dice che,,..., sono disribuii idenicamene. Se la l esrazione di non dipende dal fao che abbiamo esrao, ossia la disribuzione condizionaa di a è uguale alla disribuzione marginale di, allora sappiamo che è indipendene da. Se ciò vale per qualsiasi,,..., allora diciamo che il campione è disribuio indipendenemene. In conclusione, se,,..., hanno la sessa disribuzione e sono disribuii indipendenemene sono dei indipendenemene e idenicamene disribuii o i.i.d. 8. La disribuzione campionaria della media semplice. Come è noo la media semplice dei valori,,..., è daa da i i = = (.3) Dao che una media di valori casuali anche la media sarà un variabile casuale. E possibile infai che se si esrae una seconda -upla di valori e si calcola la media, quesa non coinciderà con la media calcolaa con i valori inserii nella (.3). Allora anche la media campionaria avrà una disribuzione e possiamo calcolarne ad esempio i due primi momeni, la media e la varianza. Se ui gli,,..., sono i.i.d. avranno la sessa media µ e la sessa varianza σ. Allora la media della media semplice (campionaria) sarà uguale a E( ) = µ = E( ) = µ = µ (.4) cioè idenica alla media dei singoli i. i i= Possiamo definire la varianza della media campionaria σ VAR( ) = σ = VAR i VAR ( i) = = σ = i= i= (.5)

10 3 oa che queso risulao è valido qualsiasi sia il ipo di disribuzione degli i. Se gli i sono disribuii normalmene, daa che la somma di variabili normali è ancora una variabile normale, anche la media campionaria avrà una disribuzione normale (, ) µ σ. Ma in quale modo possiamo affermare che, ad esempio, la disribuzione della media campionaria è normale? Purroppo la disribuzione esaa, cioè la disribuzione di che vale qualsiasi sia il numero di eveni i non sempre è assegnabile, anzi quasi mai è possibile assegnarla. Si procede soliamene per approssimazioni successive o come più correo dire si deefinisce la disribuzione asinoica. In queso caso avremo che la disribuzione asinoica sarà uguale a quella esaa solo per. uavia, come vedremo, sarà possibile a vole avere che anche per non così vicini all infinio, la disribuzione sia abbasanza simile a quella esaa. Esisono due srumeni chiave uilizzai per approssimare le disribuzioni campionarie quando il campione è grande: la legge dei grandi numeri e il eorema del limie cenrale. La legge dei grandi numeri dice che al crescere di, µ con una probabilià molo ala. In paricolare la legge afferma che se, i,,..., i = sono i.i.d. con E( ) = µ e VAR( ) i i = σ allora p µ in cui o in alri ermini P( µ c) < = quando aumena per qualsiasi cosane c > 0. Il eorema del limie cenrale afferma invece che la disribuzione della media campionaria sandardizzaa, cioè dell espressione ( µ ) σ (.6) è asinoicamene uguale a una normale sandardizzaa, ossia ( 0,), qualsiasi sia la disribuzione degli,,...,. Queso eorema semplifica enormemene la eoria della regressione, in quano almeno asinoicamene poremo affermare, ad esempio, che lo simaore ha uno disribuzione normale, anche non conoscendo la disribuzione degli i. Dao che la disribuzione di ende ad una normale per che aumena, è deo asinoicamene normalmene disribuio. auralmene sono escluse dalla (.5) le covarianze in quano abbiamo l ipoesi di indipendenza.

11 4.. Il modello di regressione lineare Possiamo ora inrodurre il modello lineare di regressione semplice. Come abbiamo viso nell inroduzione, un obieivo della ricerca economia è la specificazione di una relazione funzionale ra due variabili ale che = f ( ). La variabile è noa come variabile dipendene, menre la variabile è la variabile indipendene o regressore. on possiamo aendere che la variabile indipendene spieghi perfeamene il comporameno della variabile dipendene, per cui scriviamo la relazione come = f ( ) + ε, in cui ε è una variabile casuale chiamaa residuo o errore. La relazione = f ( ) + ε è noa come equazione di regressione di su. Il ermine di errore è connesso a ) errori di misurazione della variabile ) imperfezioni nella specificazione della funzione f ( ), ad esempio, la funzione non iene cono di alre variabili non incluse nella funzione che, olre alla variabile, influenzano la variabile. Ipoizziamo di disporre di osservazioni della variabile e della variabile. Possiamo scrivere la relazione come : = α+ β + ε =,,..., (.7) L obieivo è quello di simare i parameri α, la cosane, e β, la pendenza, della rea di regressione espressa nell equazione (.7). Uilizzeremo il meodo dei minimi quadrai ordinari, cioè scegliere gli simaori α ˆ e ˆβ di α e β ali per cui è un minimo. ( α β ) ( ε ) (.8) Q= = i= = Figura 4 Regressione Lineare 3,5 3,0,5,0,5,0 0,5 0,0 0,0,0,0 3,0 4,0

12 5 ella figura 4 sono inserii ui i puni (, ) con =,,...,4. ella figura è inolre inseria la rea che passa il più vicino possibile ra ui i puni inserii nella figura.. ali valori sono sai oenui minimizzando la somma dei quadrai delle disanze vericali dei puni dalla rea, cioè scegliendo quei valori di α e β che minimizzano Q. auralmene possono essere sceli alri meodi. Ad esempio anziché rovare gli simaori ˆα e ˆβ di α e β che minimizzano la somma quadraica degli errori, possiamo rovare gli simaori che minimizzano la somma dei valori assolui degli errori. La scela del meodo da uilizzare dipende dalle ipoesi sui residui della (.8)... Le ipoesi del meodo dei minimi quadrai ordinari Possiamo dire che gli simaori minimi quadrai saranno gli simaori lineari migliori o, nella erminologia saisica più efficieni, se valgono le segueni ipoesi. E( ε ) = 0 e VAR( ε,,..., ) = σ. Ciascuna coppia ( ) disribuia, cioè è i.i.d.,, =,,..., è indipendenemene e idenicamene 3. Esise il momeno quaro sia della variabile sia dell errore ε. Esaminiamo il significao delle re ipoesi: Ipoesi : L ipoesi prevede che la disribuzione condizionaa di ε rispeo al regressore abbia media uguale a zero e la varianza condizionaa sia uguale a varianza condizionaa sia uguale a σ. Ipoizzare che la σ vuol dire ipoizzare che gli errori siano omoschedasici, cioè che la varianza degli errori non dipende dal valore assuno dal regressore. L ipoesi che E( ) 0 ε = consene di escludere che, se ad esempio il ermine di errore ε racchiude l effeo di alre variabili non inserie nella regressione, quese ulime variabili siano correlae a o, in alri ermini, dao un valore di, la media della disribuzione delle variabili omesse è uguale a zero. Come è noo dal corso di saisica

13 6 avremo che se E( ) 0 corr ( ) ε, = 0. ε = ciò implica che ε e sono non correlae, ossia Ipoesi : L ipoesi richiede che le due variabili e siano esrae casualmene da una sessa popolazione. Per fare un esempio, immaginiamo che la popolazione sia daa dalla popolazione di occupai ialiani. Immaginiamo di definire con il salario e con l eà dell occupao. Esraiamo casualmene un occupao, rileviamo un valore per il salario e un valore per l eà. Se ripeiamo l operazione vole avremo coppie di valori che avranno la sessa disribuzione e le due variabili saranno indipendenemene disribuie ra una esrazione e la successiva. 3 Ipoesi 3 : 4 4 L ipoesi 3 richiede che 0 E( ) e 0 E ( ε ) consene di escludere il caso in cui il regressore < < < <. In praica quesa ipoesi e l errore ε possano assumere valori esremamene elevai. Valori molo elevai, rispeo ai normali range di valori assuni dalla, avrebbero un peso molo rilevane sulle sime a minimi quadrai rendendo i valori simai dei parameri alquano fuorviani. Ma perché l ipoesi sul momeno quaro? Come abbiamo già viso, daa una variabile casuale possiamo calcolare gli simaori media e la varianza campionaria. Al fine di esaminare le proprieà dei due simaori, ad esempio la loro consisenza, dovremo calcolare la loro media e la varianza. el caso della varianza campionaria, il calcolo della varianza dello simaore varianza campionaria implica il calcolo del momeno quaro. Allora, inrodurre l ipoesi 3 equivale a dire che la varianza della varianza campionaria non possa assumere valori molo elevai. L ipoesi è quella più imporane. Se è valida, si può mosrare che per grandi campioni la disribuzione degli errori è normale. L ipoesi è imporane per le applicazioni. 3 E uile osservare che ciò che diremo di seguio vale anche nel caso in cui la variabile sia una variabile predeerminaa, ossia la variabile non sia casuale. uavia, viso che quasi mai le variabili che uilizzeremo sono predeerminae, coninueremo ad uilizzare quano definio nell ipoesi 3.

14 7 Generalmene può essere consideraa valida nelle analisi cross-secion menre è generalmene violaa nelle analisi sulle serie soriche. La erza ipoesi, anche se imporane per definire le proprieà degli simaori minimi quadrai, non è quasi mai violaa nelle applicazioni economiche, per cui è spesso rascuraa...3 Sima dei coefficieni del modello di regressione lineare Sappiamo dalle nozioni di saisica sul calcolo della varianza e covarianza che valgono le segueni relazioni in cui, come già viso, e sono rispeivamene la media della variabile e la media della variabile (.9) ( ) S = = = σ = = (.0) ( ) S = = = σ = = (.) ( ) ( ) S = = = σ = = Le espressioni (.9) - (.) saranno uilissime nel calcolo degli simaori minimi quadrai. Come abbiamo viso il problema consise nel minimizzare Q rispeo ai coefficieni ˆα e ˆβ αβ ˆ, ˆ i= ( αˆ ) minq = (.) per risolvere il problema di minimo occorre eguagliare le derive (parziali) prime rispeo ad ˆα e ˆβ a zero. Iniziamo con la derivaa rispeo a ˆα e oeniamo α = ( αˆ )( ) Q = = 0 ˆ (.3) = αˆ + (.4) = = e dividendo enrambi i membri per = αˆ+ αˆ = (.5) Allo sesso modo

15 8 o ( ˆ ˆ α β) ( ) Q = 0 β ˆ = (.6) = ˆ ˆ = α + β = = = Sosiuendo la (.5) nella (.7) abbiamo (.7) ( ) ( ) = + = + = = = = L espressione sopra può essere scria come: e uilizzando la (.0) e la (.) = ˆ β = = (.8) S σ σ β = = = (.9) ˆ S σ σ e αˆ = (.0) Uilizzando i valori di ˆα e ˆβ possiamo derivare una sima dei residui di regressione εˆ = αˆ (.) E possibile mosrare che i residui così calcolai soddisfano: ε = 0 e = = ε = 0 (provalo!)...4 Disribuzione campionaria degli simaori minimi quadrai Gli simaori minimi quadrai di α e β sono sai oenui senza alcuna assunzione sulla disribuzione probabilisica dei residui ε. uavia sappiamo che, per l ipoesi., gli simaori α e β sono oenui come combinazioni lineari di variabili casuali, per cui saranno essi sessi delle variabili casuali. Come abbiamo già avuo modo di noare, per piccoli campioni non possiamo affermare quale sarà la loro disribuzione probabilisica, uavia per grandi campioni possiamo applicare il eorema del limie cenrale e affermare che la loro disribuzione è asinoicamene normale. Allora per abbasanza

16 9 grandi e se sono rispeae le ipoesi elencae del modello di regressione, possiamo dire che varranno le segueni relazioni () αˆ ασ, ˆ + S () ˆ σˆ β β, S (3) ˆ = σ = εˆ La (3) definisce lo simaore della varianza degli errori di regressione. La divisione è ( ) e non in modo da correggere per il numero dei parameri, due, nella regressione. In praica quesi cosiuiscono due vincoli, in quano per due puni riusciamo sempre a far passare una rea. Analizziamo più in deaglio ora la () e la (). E imporane mosrare che gli simaori α e β minimi quadrai sono simaori correi ossia E( ˆ ) ; E( ˆ ) Esaminiamo lo simaore β. Dalla (.9) sappiamo che α = α β = β. ˆ = β = ( ) ( ) = e dao che ( ) β ( ) ( ε εˆ ) ( ) = + possiamo riscrivere la (.) come (.) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) β + ε ε ε ε = = + = = β ( ) ( ) = = ancora dalla (.3), moliplicando le espressioni ra parenesi oeniamo 4 ( ) ( ) ( ) ε ε ε = β + = β + = = = ( ) ( ) ( ) = = = (.3) (.4) Calcoliamo ora il valore aeso in enrambi i membri della (.4) 4 Dal corso di Saisica sappiamo che ( ) = = 0

17 30 E ( ) ε β β β ( ) = ( ) ˆ = = + E =, (.5) daa l ipoesi. del modello di regressione in cui abbiamo ipoizzao che E( ) 0 Dalla (.5) possiamo derivare la correezza dello simaore, cioè E ( ) ε =. = β. Uilizzando una procedura analoga si può mosrare che anche lo simaore ˆα è correo. E anche possibile mosrare facilmene che i due simaori sono consiseni ossia che al crescere della numerosià campionaria, gli simaori endono al valore della popolazione. Esercizio : Uilizzando il semplice modello di regressione lineare possiamo analizzare una relazione imporane: quella ra gli invesimeni fissi lordi ialiani e il livello dell oupu ialiano. Come è noo, l ipoesi dell acceleraore prevede che gli invesimeni dipendano posiivamene dal livello di oupu I = I Y +. Assumiamo che la relazione sia di ipo lineare, possiamo scrivere allora I = α+ βy. Uilizzando i dai della conabilià nazionale, disponibili nel sio del nosro Isiuo Cenrale di Saisica sugli invesimeni fissi lordi nel periodo 980 rimesre 004 rimesre (in oale =99 osservazioni) e sul prodoo inerno lordo nello sesso periodo emporale e le formule (.9) e (.0), oeniamo I = 43344,38 Y = 884, S = S = = 0,973 σ = 0, αˆ = 75,49 σ = R = 0,88 αˆ ˆ IY ˆ Y Ε = = β = 0,9936 IY, Y I I

18 3 La sima del paramero ˆβ è posiiva. Queso valore ci consene di calcolare una misura imporane, ossia l elasicià degli invesimeni rispeo all oupu Ε ˆ IY,. Come è noo, l elasicià ci offre una misura della variazione percenuale degli invesimeni a seguio di una variazione percenuale del prodoo inerno lordo. In queso caso abbiamo che, uilizzando la sima ˆβ e i valori medi degli invesimeni e del prodoo inerno lordo (per cui siamo calcolando l elasicià media nel periodo), oeniamo una elasicià praicamene uniaria. Ossia un incremeno, ad esempio dell %, del prodoo inerno lordo genera una variazione molo simile, 0,9936%, degli invesimeni. ella figura 5 sono rappresenai ui i 99 puni relaivi alle osservazioni in ciascun rimesre del PIL (in ascissa) e degli invesimeni fissi lordi (ordinaa). E inseria inolre la rea di regressione simaa con il meodo dei minimi quadrai ordinari Figura 5. Regressione I = 75,49 + 0,973Y Invesimeni PIL..5 I es di ipoesi sui coefficieni di regressione Quano ci possiamo fidare che il coefficiene β simao sia effeivamene diverso zero? Come è noo dal corso di saisica, uno dei problemi più imporani una vola oenua la sima di un paramero è quello di cosruire delle saisiche che consenano di decidere con un ragionevole livello di confidenza se, uilizzando il nosro caso, l ipoesi che β = 0 (ipoesi nulla) possa essere rifiuaa e invece venga acceaa l ipoesi che β 0 (ipoesi alernaiva). La saisica uilizzaa in queso caso è daa β =. (.6) σ

19 3 Dao che al numeraore della saisica abbiamo una variabile casuale e al denominaore abbiamo l errore sandard di ˆβ, anch essa una variabile casuale, anche la saisica è una variabile casuale. Abbiamo già viso precedenemene che, grazie al eorema del limie cenrale e per campioni con una ala numerosià, l espressione ende ad una variabile che ha una disribuzione normale sandardizzaa ( 0,). Se le ipoesi del modello lineare sono valide, di solio non occorrono mole osservazioni affinché la (.6) sia disribuia normalmene. Circa rena, quarana osservazioni sono sufficieni, un numero di osservazioni abbasanza consueo nell analisi economerica. Definiamo ora precisamene l ipoesi nulla e quella alernaiva. Un caso spesso analizzao in economeria è quello in cui si soopone a es l ipoesi che β = 0, il che equivarrebbe a dire nel nosro esempio che il prodoo inerno lordo non influenza la dinamica degli invesimeni. Definiamo allora le ipoesi ) Ipoesi nulla : H : β = 0 0 ) Ipoesi alernaiva H : 0 β. L ipoesi alernaiva prevede che β < 0 o β > 0. Sosiuiamo nella (.6) i valori calcolai e l ipoesi nulla β = 0. Avremo: β 0,973 0 = = = 6,757 (.7) σ 0, el caso il livello di significaivià del es sia fissao al 5%, cioè la probabilià di rifiuare un valore di β = 0 menre invece effeivamene β = 0 (errore del I ipo), i valori criici della disribuzione normale sandardizzaa al livello di probabilià 0,05 e 0,975 sono uguali a -,96 e,96. Dao che il valore della saisica è uguale a 6,757>,96 il es pora a rifiuare l ipoesi nulla di β = 0per il valore di β = 0,973. auralmene possiamo uilizzare gli sessi argomeni per sooporre a es l ipoesi che α = Inervalli di confidenza. L inervallo di confidenza al livello del 95% conerrà ui i valori di β che non possono essere rifiuai uilizzando un es di ipoesi a due code ad un livello di significaivià del 5%. In alri ermini, l inervallo di confidenza è l inervallo di valori che hanno una probabilià del 95% di conenere i valori correi di β. Se si noa che la saisica rifiuerà l ipoesi nulla ogni vola che β sarà al di fuori dell inervallo ±,96σ β ˆ, cioè

20 33 ˆ,96 ˆ β σ ˆ, β +,96 σ β abbiamo rovao un modo molo semplice di calcolare l inervallo di confidenza. Se sosiuiamo, come prima, i valori calcolai nell esercizio abbiamo l inervallo [ 0,83 0, ]. Dao che il valore 0 non è conenuo nell inervallo di confidenza al 95%, queso valore è scarao. Si noi che minore è l errore sandard di ˆβ e minore sarà l ampiezza dell inervallo, cioè più i valori nell inervallo saranno concenrai sul valore simao. L imporanza dell inervallo di confidenza è quindi quella che ui i valori di β compresi nell inervallo non possono essere rifiuai. Possiamo anche in queso caso calcolare l inervallo di confidenza di α...7 La regressione quando la variabile dipendene è binaria La discussione sino ad ora si è focalizzaa sul caso di un regressore che può essere assumere valori in uo l asse reale. Il modello di regressione può essere uilizzao anche quando il regressore assume solo due valori, ad esempio 0 e. Un regressore di queso ipo è noo come variabile binaria o variabile dumm. Definiamo ad esempio la variabile dumm con D e diciamo che D se 00 secondo rimesre = (.8) 0 se < 00 secondo rimesre La regressione = α+ βd + ε =,,..., (.9) assume lo sesso significao precedenemene viso, ecceo che ora il regressore è una variabile binaria. uavia il coefficiene β non può essere ora inerpreao come la pendenza della rea di regressione. Ipoizziamo di aver simao i due coefficieni di regressione α e β Quando D = 0 Quando D = = αˆ + ε (.30) = αˆ + + ε (.3) Se calcoliamo il valore aeso nella (.30) e nella (.3) oeniamo nel caso D = 0 ( 0) αˆ E D = =, nel caso in cui D = E( D ) αˆ = = +.

21 34 Allora la variabile dumm consene di esaminare se il valore aeso della variabile si è modificao dal 00 secondo semesre. Quano prima esposo sui es e gli inervalli di confidenza delle sime di regressione può essere applicao anche al caso in cui il regressore sia una variabile dumm...8 Il coefficiene di deerminazione Definiamo con = αˆ + il fi della regressione, in praica nel caso dell esercizio la ˆ rea simaa e disegnaa nella figura 5, possiamo sempre scrivere = ˆ + εˆ (.3) Se calcoliamo la varianza in ambo i membri della (.3) oeniamo σ = σ + σ (.33) ˆ εˆ La varianza oale della variabile dipendene, σ, può essere scomposa nella somma della varianza σ ŷ che definiamo varianza spiegaa dal modello di regressione e della varianza non spiegaa σεˆ dal modello di regressione. Se dividiamo per σ enrambi i membri della (.33) oeniamo σ σ σ = = + ε, (.34) σ σ σ ˆ ˆ Si definisce coefficiene di deerminazione R R il seguene rapporo σ = (.35) σ ˆ Il rapporo definisce la percenuale di varianza spiegaa dal modello di regressione. E possibile noare che 0 R, con gli esremi dai dal valore 0, ossia il modello non spiega alcuna varianza di, menre il valore si ha quando il modello di regressione spiega ua la varianza di. In queso caso abbiamo che la rea di regressione passa esaamene per ui i puni sul piano di regressione. el caso dell esercizio la rea di regressione spiega l 88%, R = 0,88, della varianza degli invesimeni fissi lordi...9 Eeroschedasicià e omoschedasicià Abbiamo viso che gli simaori minimi quadrai sono correi, consiseni e asinoicamene normali. Possiamo dire inolre che, daa l ipoesi di omoschedasicià degli errori, gli simaori sono quelli più efficieni ra ui gli simaori lineari. Ciò

22 35 significa che ra ui gli simaori lineari sono quelli che hanno la varianza minima o come si dice nella erminologia anglosassone BLUE (bes linear unbiased esimaors). Se l ipoesi di omoschedasicià non è correa, gli simaori minimi quadrai non saranno più BLUE, inolre avremo che le formule riporae per il calcolo delle varianze di α e β non saranno corree e dovremo calcolare degli errori sandard che engano cono dell eeroschedasicià degli errori o, nella erminologia economeria, siano robusi. Quasi ui i programmi economerici consenono di calcolare gli errori sandard nel caso di omoschedasicià usando le formule ()-(3), ma offrono anche errorisandard robusi, cioè che engono cono della possibile eeroschedasicià degli errori. Il consiglio è di calcolarli enrambi e nel caso vi siano imporani differenze uilizzare gli errori sandard robusi. Come vedremo nel prossimo capiolo, l ipoesi di eeroschedasicià degli errori è un ipoesi non così implausibile, anzi è in moli casi foremene plausibile. E più prudene allora assumere che gli errori siano eeroschedasici, a meno che non si disponga di informazioni che consenano di escludere quesa ipoesi.