STUDIO DELL ASIMMETRIA DELLE

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1 Universià degli Sudi di Padova FACOLTÀ DI SCIENZE STATISTICHE CORSO DI LAUREA SPECIALISTICA IN SCIENZE STATISTICHE, ECONOMICHE, FINANZIARIE E AZIENDALI TESI DI LAUREA STUDIO DELL ASIMMETRIA DELLE DISTRIBUZIONI DEI RENDIMENTI FINANZIARI RELATORE: LISI FRANCESCO CORRELATORE: AZZALINI ADELCHI LAUREANDO: BERTAZZO ANDREA MATRICOLA SEA ANNO ACCADEMICO

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3 INDICE INTRODUZIONE 3 Capiolo 1 ASIMMETRIA NELLA DISTRIBUZIONE DEI RENDIMENTI DI MERCATO 1.1 Regolarià empiriche nelle serie soriche dei rendimeni Aspei criici sulla disribuzione dei rendimeni Misure di asimmeria Misure robuse di asimmeria Tes di simmeria per dai non gaussiani serialmene correlai Un esempio del legame ra rischio e asimmeria 18 Capiolo 2 MODELLI AD ETEROSCHEDASTICITÀ CONDIZIONALE CON DISTRIBUZIONE ASIMMETRICA DEGLI ERRORI 2.1 Un esensione al modello GARCH Sul conceo di volailià Le quanià d ineresse Modelli ad eeroschedasicià condizionale Eccesso di curosi in modelli GARCH Disribuzione Skew-Normal Disribuzione Skew- e suoi momeni Modelli GARCH con disribuzioni asimmeriche 37 Capiolo 3 L APPROCCIO VALUE-AT-RISK 3.1 Inroduzione Cos è il Value a Risk Modelli di calcolo del VaR Ambio di applicazione VaR e il calcolo del requisio parimoniale 48

4 Capiolo 4 SIMULAZIONI 4.1 Inroduzione Verifica delle procedure di sima Sudio dell asimmeria mediane simulazioni L impao dell asimmeria sul rischio 58 Capiolo 5 APPLICAZIONI SU DATI REALI 5.1 Inroduzione all analisi delle serie reali uilizzae Analisi degli indici di mercao Analisi dei ioli del Mib30 69 CONCLUSIONI 75 Appendice A TABELLE 77 Appendice B FIGURE 101 4

5 INTRODUZIONE L analisi quaniaiva dei mercai finanziari ha riscosso in empi receni un crescene grado di aenzione da pare della ricerca accademica e delle isiuzioni finanziarie, in paricolare per quano riguarda la gesione del rischio. Gli srumeni di gesione del porafoglio si basano ampiamene sulla moderna eoria finanziaria (Markowiz 1952; Sharpe 1964) che idenifica nella deviazione sandard dei rendimeni del porafoglio una buona misura del rischio. Tradizionalmene gli srumeni uilizzai per valuare e oimizzare il rischio si basano sull assunzione di normalià della disribuzione dei rendimeni-perdie del porafoglio. Coerenemene con quesa assunzione, le due misure saisiche, media e deviazione sandard, vengono uilizzae per bilanciare rischio e rendimeno. Il porafoglio oimo è selezionao sulla froniera efficiene, ossia l insieme dei porafogli che presenano il miglior profilo media-varianza. Queso approccio radizionale risula inadeguao per la valuazione del rischio: supponiamo, infai, che ci si rovi nella siuazione in cui si risconra un ampia probabilià di piccoli guadagni accompagnaa ad una piccola probabilià di ampie perdie, in queso caso si osserva un asimmeria negaiva per la disribuzione dei rendimeni. L evidenza empirica ci mosra che ale disribuzione risula spesso asimmerica e con code spesse, soolineando l inadeguaezza dei radizionali srumeni di oimizzazione del rischio di mercao. La possibilià che i rendimeni finanziari possano effeivamene avere un comporameno asimmerico, avrebbe conseguenze rilevani sulla deerminazione del rischio. La più diffusa misura per il rischio di mercao, il Value a Risk, è calcolao sulla base di due quanià: la deviazione sandard e il quanile della disribuzione ipoizzaa per i rendimeni. Per quano riguarda il primo faore, è noo che la dipendenza emporale che si osserva per la varianza condizionaa delle serie soriche finanziarie è fondamenale per prezzare i ioli derivai, per calcolare le misure di rischio e per abbaere il rischio di porafoglio. A parire dal modello ARCH inrodoo da Engle nel 1982, buona pare dei ricercaori e professionisi che si sono ineressai dell argomeno, hanno uilizzao ale risulao per la modellazione della varianza condizionaa. 3

6 Una sima correa della varianza condizionaa non è, uavia, sufficiene al calcolo del VaR correo. Occorre individuare il quanile della disribuzione di probabilià che meglio si adaa ai dai, anche nel caso in cui quesi mosrino caraerisiche di asimmeria e in generale di non normalià. L oica con cui si è affronao l argomeno dell asimmeria della disribuzione dei rendimeni finanziari, si riassume in due aspei. Da un lao occorre quanificare le evidenze che vorrebbero rifiuare l ipoesi di simmeria per i rendimeni, e di conseguenza l ipoesi di normalià. D alra pare occorre individuare un modello per l analisi dei rendimeni finanziari in grado di considerare i fai silizzai, come la varianza condizionaa, ma che possa inolre ener cono delle caraerisiche di asimmeria ed evenualmene di curosi. Per affronare il primo aspeo si sono ricercai in leeraura quei es di simmeria che risulino aendibili per dai non normali e serialmene correlai. Sono dunque sai individuai due es proposi da Bai e Ng, uno per la verifica dell ipoesi di simmeria della disribuzione non condizionaa, l alro riferio invece all asimmeria condizionaa. Si propone, quindi nel primo capiolo un essenziale rassegna riguardane lo sudio dell asimmeria nelle serie finanziarie e le possibilià d uilizzo di es di simmeria su queso genere di dai. Nell oica di individuare sruure parameriche in grado di migliorare la modellazione di quelle regolarià empiriche ipiche delle serie soriche finanziarie, si è voluo riproporre il modello GARCH, già ampiamene uilizzao e sviluppao in leeraura, rivedendone una delle sue caraerisiche principali. La specificazione inrodoa da Bollerslev (1986), ha alla base una disribuzione di probabilià normale, incapace di cogliere evidenze di asimmeria nelle serie dei rendimeni e di prevedere valori esremi dovui ad elevaa volailià sulle code (eccesso di curosi). Per superare ali limiazioni, si è proposo un nuovo modello basao su quelli ad eeroschedasicià condizionale e nel quale si sosiuisce l ipoesi di normalià delle innovazioni, con una classe di disribuzioni asimmeriche, sudiae da Azzalini (a parire dal 1985), che permeono di modellare caraerisiche di asimmeria e di curosi nei dai, araverso l inroduzione di due apposii parameri, includendo come casi paricolare la disribuzione normale. 4

7 Per dare modo a chi legge di aver ben chiare le specificazioni uilizzae, nel Capiolo 2 si inroducono i modelli ad eeroschedasicià condizionale, specificandone, pregi e limii, e le disribuzioni di probabilià normale asimmerica e asimmerica. Si spiega, quindi, come si è oenuo l esensione al modello GARCH in cui si considerano errori con disruzione asimmerica. Si è dunque voluo verificare, mediane l uilizzo di simulazioni nel Capiolo 4, il comporameno di ali modelli rispeo a scenari in cui si sono fai variare per le serie replicae le caraerisiche di asimmeria e curosi, nonché la loro relazione con i es sceli per lo sudio dell asimmeria. Sulla base delle osservazioni raccole, si sono uilizzai i es di simmeria per analizzare serie di dai reali, successivamene impiegae per il confrono fra modelli GARCH simmerici e asimmerici, valuandone le performance di sima e la capacià di migliorare la misura del rischio. 5

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9 Capiolo 1 ASIMMETRIA DELLA DISTRIBUZIONE DEI RENDIMENTI DI MERCATO 1.1 Regolarià empiriche nelle serie soriche dei rendimeni In quesa sezione ci occuperemo di definire alcune peculiarià relaive all evoluzione dei rendimeni di mercao, mediane lo sudio delle corrispondeni serie soriche, vale a dire sequenze di dai relaivi ad osservazioni misurae a diversi isani emporali. L ampia leeraura, che sudia ali variabili casuali, idenifica un insieme di fai saisici silizzai che risulano comuni per la maggior pare degli asse finanziari. Le auocorrelazioni dei rendimeni sono spesso non significaive, ranne che per inervalli emporali giornalieri molo cori. L assenza di correlazione emporale rappresena la specificazione più debole di un processo random walk, che lascia spazio alla presenza di forme di dipendenza ra osservazioni, che uavia preservano l ipoesi di efficienza dei mercai: se i mercai sono efficieni e il prezzo odierno coniene ua l informazione rilevane, evidenemene l innovazione non porà essere correlaa con l innovazione del giorno precedene. Dal puno di visa applicaivo, ale caraerisica presena la possibilià di coesisere con alri fai silizzai osservai per le serie finanziarie, primo fra ui la presenza di volailià variabile nel empo. Sebbene non sia possibile individuare una qualche forma di auocorrelazione nella serie dei rendimeni, si noa come l ampiezza delle fluuazioni ha una qualche forma di regolarià, alernando periodi persiseni di fluuazioni più elevae a periodi in cui l ampiezza è minore. Tale fenomeno è maggiormene visibile se si considera il grafico del valore assoluo o del quadrao della serie dei rendimeni, che mosra un andameno sinusoidale, inerpreabile come un inerdipendenza emporale ra le osservazioni rispeivamene rasformae: le corrispondeni funzioni di auocorrelazione risulano, soliamene, significaive nei primi riardi. 7

10 Quesa dipendenza emporale fra rendimeni, che viene idenificaa con il nome di volailiy clusering, dovrebbe corrispondere in qualche modo ad un comporameno economico degli ageni che deermina l alernanza ra periodi di ala e di bassa volailià. In effei, i prezzi si muovono sulla base delle reazioni degli ageni ai flussi di informazione e le informazioni di dominio pubblico a livello macroeconomico arrivano esse sesse a grappoli, deerminando un raggruppameno di innovazioni più imporani di alre, che hanno cioè un maggiore impao. Saisicamene parlando, siamo nell ipoesi di eeroschedasicià condizionale, ovvero la varianza dei rendimeni cambia nel empo, condizionaamene all informazione passaa. Tra i modelli che cercano di caurare ale caraerisica, il più uilizzao è probabilmene il modello GARCH, che mee in relazione la varianza condizionaa con quella osservaa negli isani precedeni e con i quadrai dei rendimeni a media nulla passai. Parleremo più approfondiamene di queso modello e delle sue esensioni nel Capiolo 2. I modelli sviluppai per enere cono del fenomeno di eeroschedasicià condizionale, soliamene raano in maniera simmerica sia gli shock posiivi che quelli negaivi, poiché si considera la varianza condizionaa funzione delle innovazioni al quadrao, quindi senza ener cono del corrispondene segno. Gli shock in caso di perdia risulano soliamene più ampi rispeo a quelli di segno opposo: nel più dei casi, infai, le misure di volailià di un aivià sono correlae negaivamene con la corrispondene serie dei rendimeni (effeo leverage). Ricorrendo ad un esempio, noizie negaive sulla profiabilià fuura di una socieà hanno un effeo depressivo sui prezzi, e queso compora un aumeno del rapporo ra indebiameno della socieà e suo valore di mercao. Ciò fa si che la rischiosià percepia della socieà cresca: di conseguenza anche la volailià connessa al rischio, enderà ad aumenare. Di qui l effeo leva che nel modellare la varianza condizionaa richiede un raameno differenziao delle innovazioni a seconda del segno. Una possibile esensione al modello GARCH, che enga cono di ques aspeo, è di adaare la sruura paramerica del modello sesso, modificando l espressione della varianza condizionaa, come avviene per modellazioni già noe in leeraura quali Threshold GARCH (Zakoian, 1994) e Exponenial GARCH (Nelson, 1991). 8

11 Un uleriore caraerisica osservabile sulle serie dei rendimeni, è che il volume di scambio dell aivià è correlao con le misure di volailià. La ricerca e l analisi di relazioni ra la volailià dei prezzi ed i volumi degli scambi nei mercai finanziari è saa ed è u oggi al cenro di grande aenzione da pare degli sudiosi di economeria, finanza e saisica (Andersen, 1996; Brooks, 1998). La vasa leeraura sul ema si caraerizza da un lao per il enaivo più o meno esplicio di spiegare e prevedere la volailià sfruando le informazioni sui volumi, dall alro per il fao di dedurre i modelli parendo da eorie economico finanziarie relaive ai comporameni di mercao (Clark, 1973; Tauchen-Pis, 1983; Hsu, 1998). Esisono, uavia, caraerisiche osservabili che si pongono in conraddizione con le ipoesi comunemene acceae in leeraura. Basi pensare che, ad esempio, la disribuzione marginale dei rendimeni è caraerizzaa da eccesso di curosi, meendo in discussione l esaezza dell ipoesi di disribuzione normale. Anche dopo la correzione sui rendimeni degli effei di volailiy clusering, le serie dei residui mosrano code pesani, anche se quese sono meno spesse rispeo a quelle osservae sulla disribuzione marginale dei rendimeni. Nel paragrafo seguene si presena una criica all assunzione di normalià disribuiva dei rendimeni, in paricolare per quano riguarda l ipoesi di simmeria della loro disribuzione. 1.2 Aspei criici sulla disribuzione dei rendimeni Come si è già discusso in precedenza, la presenza di asimmeria nei rendimeni finanziari ha influenza sul rischio, in ermini di volailià, mediane l'effeo leva. Tuavia, si risconrano evidenze empiriche, maggiormene legae alla forma della disribuzione dei rendimeni, che giusificano una maggiore aenzione in leeraura ai momeni di ordine superiore al secondo, in quano le misure radizionali di rischio, basae sulla sima dei primi due momeni, non sono risulae efficaci nel caurare compleamene il rischio reale nella disribuzione dei rendimeni del mercao azionario. La caraerisica essenziale, che rende difficile la diversificazione del rischio, è l asimmeria nella disribuzione dei rendimeni che ale rischio deermina. In paricolare, la disribuzione dei rendimeni per un porafoglio è connoaa da una 9

12 coda lunga sul lao sinisro, il che sa a indicare una bassa probabilià di perdie ingeni. Dal puno di visa saisico, l'assunzione di normalià per la disribuzione condizionaa dei rendimeni, così come quella che considera le innovazioni disribuie normalmene con media nulla e varianza uniaria, si sconra con evidenze diffuse di skewness negaiva e lepocurosi rilevae sulle serie dei rendimeni finanziari. La conraddizione deriva dal fao evidene che la disribuzione normale è per definizione simmerica e mesocurica, rendendola inadaa ad inerpreare i dai che manifesano caraerisiche conrarie a quese ipoesi. Quali sono le ragioni economiche che giusificano ali evidenze empiriche? L'inuizione che vorrebbe spiegare la presenza di asimmeria nelle serie dei rendimeni, si sviluppa sulla diversa percezione degli ageni nei confroni di aspeaive di perdia rispeo a quelle di guadagno mancao: le variazioni più ampie sono soliamene quelle decresceni piuoso che quelle cresceni, ovvero il mercao azionario è più propenso al ribasso che alla crescia. Queso perché, se gli invesiori preferiscono i porafogli sulla coda di desra, allora verrà assegnao un maggiore premio per il rischio agli invesiori che vogliono invesire in porafogli sulla coda di sinisra anche se enrambi i porafogli hanno lo sesso scaro quadraico medio. Le diverse sfacceaure con cui si può discuere di asimmeria in riferimeno alle serie soriche finanziarie, hanno alimenao negli ulimi anni una ricca leeraura in proposio, porando diversi auori ad occuparsi di verificare evidenze empiriche di asimmeria e curosi ramie es e modellazioni che hanno l obieivo di consolidare o smenire ali caraerisiche. In un aricolo di Peiró (1999), mediane l analisi delle serie dei rendimeni giornalieri di oo diversi mercai e delle serie di re assi di cambio, si evidenzia come i es di asimmeria basai sulla skewness campionaria non siano così affidabili a causa della non normalià dei dai. Considerando disribuzioni non normali, ed in paricolare misure di due normali e la disribuzione di Suden, per diversi dei mercai rappresenai dalle serie sudiae l ipoesi di simmeria non viene rifiuaa. La medesima conclusione si ricava uilizzando procedure libere da ipoesi disribuive. In un lavoro di Chen e al. (2000) si sviluppano una serie di regressioni con lo scopo di oenere previsioni per il grado di asimmeria nella disribuzione dei 10

13 rendimeni giornalieri di singoli ioli. Per i ioli da più empo sul mercao la skewness negaiva è più accenuaa: si regisra un aumeno degli scambi dovuo al rend nei sei mesi precedeni, e rendimeni posiivi nei 36 mesi precedeni. Hong e Sein (1999) suggeriscono un modello che mosra come quese asimmerie negaive siano più frequeni quando ci sono fori differenze d opinione ra gli invesiori. Risulai analoghi si possono oenere provando a prevedere la skewness del mercao aggregao dei ioli, benché dal puno di visa saisico sia complesso rovarvi risconro. Kim e Whie (2004) pongono aenzione sulle radizionali misure di skewness e curosi: dao che quese sono calcolae come una media e che le medie non sono misure robuse, ci si chiede quano possano essere rilevani ali misure così diffusamene uilizzae nei precedeni sudi. Si sono quindi ricercae in leeraura misure robuse di skewness e curosi, confronandole poi ramie simulazioni Mone Carlo con le misure convenzionali. Tramie un applicazione di quese misure robuse sull indice giornaliero S&P500, si verifica come i già discussi fai silizzai (i.e. asimmeria negaiva ed eccesso di curosi) porebbero essere messi in discussione. Si conclude quindi che uilizzando misure diverse per asimmeria e curosi si possa avere un idea più precisa del comporameno dei rendimeni del mercao finanziario. A parire dal paragrafo 1.3 vengono presenae alcune delle espressioni più comunemene usae per la skewness ed in paricolare vengono discussi i corrispeivi limii legai alla naura dei dai che si considerano. 1.3 Misure di asimmeria Nella varieà di misure di asimmeria, sia empiriche che eoriche, la maggior pare di esse sono legae alla radizionale espressione dell indice di asimmeria (skewness) daa dal momeno erzo cenrao e sandardizzao. Si consideri un processo { Y } = 1 T µ r = E y µ con media µ e varianza σ 2. Essendo ( ) r l r-esimo momeno cenrao di Y con µ σ 2 2 =, allora l indice di asimmeria è definio come: E µ S = = E ( y µ ) µ 2 2 µ ( y ) (1.1) 11

14 La sima campionaria di S può essere oenua sosiuendo i momeni eorici µ r con i 1 T corrispondeni momeni campionari ˆ µ r = T ( Y Y ) normalmene, allora: = 1 ( ) r. Se Y è i.i.d. e disribuio ˆ d T S N 0,6. I (1.2) Le evidenze empiriche, già esaminae in precedenza, che porano in diversi casi ad escludere l ipoesi di normalià e/o d indipendenza per la disribuzione di serie finanziarie, mee in discussione la validià della disribuzione asinoica della skewness simaa. L indice di curosi, la saisica q (Sudenized range saisic), il es di Kolmogorov-Smirnov e il es di Jarque-Bera, nel più dei casi, rifiuano chiaramene la normalià delle serie di rendimeni giornalieri e mosrano una skewness negaiva. Tali valuazioni implicano una delle due segueni alernaive: il rifiuo dell ipoesi di simmeria della disribuzione e, quindi, il rifiuo dell ipoesi di normalià; il rifiuo della normalià, ma non necessariamene il rifiuo dell ipoesi di simmeria nella disribuzione dei dai. Un es di simmeria basao sulla skewness campionaria, non può dunque ener cono dell ipoesi di normalià della disribuzione asinoica di ques ulimo, soo l ipoesi nulla di simmeria. Nel prosieguo si mosrano alcuni es alernaivi che parono dall osservazione appena faa per correggere il comporameno non normale di Ŝ se si considerano dai finanziari. I Si veda Kendall e Suar (1969). 12

15 Si è già discusso come le serie finanziarie siano serialmene correlae, ovvero le osservazioni non siano indipendeni, ma legae all informazione passaa. Per rispondere a quesa caraerisica, Lomnicki (1961) propone una variane al es di asimmeria viso in (1.1), per quei processi gaussiani descrivibili come una media mobile del ipo y θ ( L) ( ) ( 2 q L 1 1L 2L... ql ) = ε, dove L è l operaore riardo e θ = + θ + θ + + θ, q indica quani valori passai di disurbo abbiano impao su 2 Y, con ε N ( 0, σ ε ), ale che: 1 2 T S N j= dove ρ j è il coefficiene di auocorrelazione al riardo j. 3 ˆ d ρ j ( 0,6 ), (1.3) Uno dei limii più evideni per i es in (1.2) e (1.3) resa comunque l assunzione di normalià dei dai, che risula erraa, in paricolar modo se quesi presenano caraerisiche anomale di curosi. Nel caso si individui una disribuzione lepocurica, la varianza della saisica es è soosimaa e pora a rifiuare l ipoesi nulla di simmeria anche quando essa è vera. Premarane e Bera (1999) derivano la disribuzione di Ŝ soo l ipoesi di simmeria per dai i.i.d. ma non necessariamene gaussiani. In paricolare, assumendo l esisenza dei momeni cenrai fino al seso, asinoicamene vale con V ( µ 6µ 2 µ 4µ 2 ) ( ˆ) d ( 0,1) V S N (1.4) 1 = e µ j il j-esimo momeno cenrao. In queso caso, T quindi, la varianza della disribuzione di seso. Ŝ dipende dai momeni secondo, quaro e In queso aricolo, viene mosrao come, mediane simulazioni Mone Carlo, ale es dia risulai coereni nel caso di dai indipendeni, uavia non viene daa conferma della sua validià anche per dai serialmene correlai. 13

16 1.4 Misure robuse di asimmeria A causa dell uilizzo della poenza erza nell espressione campionaria dell indice si asimmeria in (1.1), i valori corrispondeni possono risulare arbirariamene elevai, in paricolare quando ci sono uno o più valori esremi nei dai. Per ale ragione, a vole può essere difficile oenere una misura correa di skewness, poiché non si sa se i valori esremi osservai siano ouliers non rappresenaivi. Una soluzione apparenemene semplice porebbe essere quella di eliminare i valori esremi dai dai, con la possibilià però d incappare nell errore dao dalla decisione arbiraria su quali osservazioni eliminare. Dao che l eliminazione manuale dei valori esremi può risulare meno semplice di come sembra, è opporuno considerare misure robuse dell indice di asimmeria, che siano quindi non soggeive e non compromesse dagli ouliers. Le misure robuse di posizione e di dispersione, già ampiamene diffuse in leeraura, si basano soliamene sui quanili della disribuzione empirica. Considerando ale caraerisica, Bowley (1920) ha proposo un indice di asimmeria basao sui quanili: dove Q i è l i-esimo quarile di S Q + Q 2Q R1 = Q3 Q1 disribuzione simmerica, ale quanià sia nulla. [ 1,1], (1.5) Y, ed è semplice verificare come, nel caso di La misura in (1.5) è saa generalizzaa da Hinkley (1975), S ( 1 α ) + ( α ) 2 ( 1 α ) F ( α ) 1 1 F F Q2 R2 ( α ) 1 1 [ ] = α 0,0.5. (1.6) F Tale misura, uavia, dipende dal valore scelo di α e anche quesa risulerebbe una scela arbiraria. Una soluzione è saa suggeria in Groeneveld e Meeden (1984), in cui si inegra per α : S ( 1 α ) + ( α ) 2 2 α µ 1 1 ( 1 α ) ( α ) α E[ Y Q2 ] F F Q d Q2 R3 = = F F d. (1.7) Osservando che il denominaore nella (1.7) è una misura di dispersione, sosiuendolo con la deviazione sandard si oiene l indice di asimmeria di Pearson: 14

17 S µ Q σ 2 R4 = (1.8) Nel loro lavoro, Groeneveld e Meeden hanno proposo un elenco di proprieà di cui dovrebbe godere una misura di simmeria: 1. per ogni 0 2. se a > e b, γ ( Y ) γ ( ay b) = +, Y ha disribuzione simmerica, allora ( ) 0 3. γ ( Y ) γ ( Y ) =, γ =, Y 4. se F e G sono le funzioni di riparizione di Y e F < c G II, allora γ ( Y ) γ ( X ). X rispeivamene, e Si osserva che le misure di simmeria S R1, S R2 e S R3 soddisfano ue quese proprieà, menre per S R4 non vale la proprieà Tes di simmeria per dai non gaussiani serialmene correlai Tes per la simmeria condizionaa In un recene aricolo, Bai e Ng (2001) propongono un es libero da ipoesi disribuive per la simmeria condizionaa nelle serie emporali. Essi verificano la simmeria condizionaa nei dai considerando il modello generale: dove h(, β ) (, β ) σ (, λ) Y = h Ω + Ω e, (1.9) Ω è la media condizionaa di 2 rappresena l informazione passaa, σ (, λ ) Y, Ω = { Y, Y,..., X, X,...} Ω è la varianza condizionaa di lo shock a media nulla e varianza uniaria, indipendene dagli elemeni di Ω. Y e e è La disribuzione di Y è simmerica se lo è anche la disribuzione di e, ovvero, se f ( e) = f ( e) per ogni e, dove f è la funzione di densià di e. Per verificare la simmeria condizionaa, Bai e Ng confronano la funzione di disribuzione empirica di e e quella di quella dei residui sandardizzai: e. A ale scopo, anziuo occorre sosiuire la serie degli e con II F < G indica che la disribuzione con funzione di riparizione F è meno simmerica di quella con c funzione di riparizione G. Si veda Zwe (1964). 15

18 dove eˆ Y = σ h( Ω%, ˆ β ) ( Ω%, ˆ λ ) Ω % è il se informaivo realizzabile. Successivamene, vengono calcolae le segueni espressioni: 1 S T T ( x) 0 ˆ ( ) ˆ WT x WT ( 0) + ht ( y) dy per x 0 x = x Wˆ ( ) ˆ T x WT ( 0) + + h ( ) per 0 0 T y dy x > dove Wˆ ( ) ( ˆ ) ( ˆ T x = I e x I e x) e ( ) T = 1 vale 1 quando l argomeno è verificao e 0 alrimeni. Inolre,, (1.10) I è una funzione indicarice, che 1 T = T T T T T T y 2 y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ( ) h g y f y g z f z dz g z dw z 1 + T = T T y T T y T T 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ( ) h g y f y g z f z dz g z dw z e, g è la sima di g = f f e f è la derivaa di dove f è la densià simaa di T f. Parendo dall espressioni in (1.10), i es saisici proposi sono: T x 0 x 0 ( ) + CS = max S x ( ) CS = max S x ( ) CS = max S x. x T T T (1.11) e, in Bai e Ng (2001), viene mosrao come ali espressioni convergano in disribuzione ad un moo browniano su [ 0,1 ]. I valori criici ai livelli di significaivià del 1%, 5% e 10% sono rispeivamene 2.78, 2.21 e Tes per la simmeria non condizionaa In un alro aricolo del 2001, Bai e Ng ricavano la disribuzione asinoica dell indice di asimmeria campionaria quando i dai mosrano debole dipendenza. Il primo eorema presenao in Bai e Ng (2001) afferma che se Y è sazionario fino al seso ordine, allora ( ) ˆ d αγα T S S N 0, σ 6 (1.12) 16

19 dove Ŝ è il valore campionario di S, α = 1 3 σ 3 σ S 2 densià sperale con frequenza 0 del veore 3 ( Y ) ( Y µ ) 2 ( Y ) µ µ 3 Z =. 2 µ σ Soo l ipoesi nulla di simmeria ( H : S = 0), 0 2 e Γ è la marice di dove ˆ d α2γ22α 2 T S N 0, 6 σ, (1.13) 2 α2 = 1 3σ e Γ 22 è il primo blocco 2 2 della marice Γ. Il corrispondene es saisico è: T Sˆ ˆ π 3 = (1.14) s S ( ˆ) dove s( S ˆ ) corrisponde alla deviazione sandard campionaria di Ŝ. Il es in (1.14) ha il fore inconveniene di richiedere l esisenza del momeno seso: ciò non è sempre sconao se, ad esempio, si suppone per i dai una disribuzione di Suden con meno di 6 gradi di liberà. In verià, è abbasanza comune nelle applicazioni reali simare modelli che non ammeono il momeno seso finio, rendendo il es appena considerao non aendibile. Successivamene nello sesso aricolo, Bai e Ng cosruiscono un es congiuno dei due momeni dispari, r 1 e r 2, dove 1 d 2 ˆ µ r ( ) 1, r = Y 2 T αγα YT χ2 (1.15) r1 ( Y µ ) r ( Y ) ( Y µ ) 1 0 r1 µ r1 1 2 α =, Z = µ. 0 1 r2 µ r2 1 Il es in (1.15) risula più poene rispeo a quello in (1.14), sebbene µ richieda l esisenza finia del 2 2r -esimo momeno ( r r ) <. 1 2 ˆr 1, r 2 17

20 1.6 Un esempio del legame ra rischio e asimmeria La valuazione e il conrollo del rischio di mercao, sia da pare degli Isiui bancari, sia da pare delle Auorià di vigilanza, hanno assuno negli ulimi anni un imporanza sempre crescene, causa anche i casi di perdie clamorose realizzae da imporani socieà finanziarie e bancarie e impuabili a carenze dei sisemi di conrollo dei rischi delle posizioni. La ricerca di uno srumeno che poesse dare risulai più efficieni nella valuazione del rischio di mercao ha porao la comunià scienifica e finanziaria ad incenrarsi sul modello del Value a Risk (VaR). III Tale srumeno, nella sua versione sandard, ha ra i suoi pregi la facilià di comprensione, anche per i non specialisi, che probabilmene ne ha decreao da subio il successo all inerno del sisema finanziario. Il VaR nella sua più semplice espressione, è calcolao come il quanile sulla coda di sinisra della disribuzione dei rendimeni, quella relaiva alle perdie, per la loro deviazione sandard: ( ) 1 VaR = F α σ + µ. Il VaR, e di conseguenza il valore a rischio che si propone di calcolare, sono funzione della deviazione sandard σ e della media dei rendimeni µ come suggerio dalla eoria finanziaria, ma anche funzione del quanile di probabilià α della legge 1 ipoizzaa per le innovazioni F ( α ). Abbiamo dunque condoo un semplice esperimeno per verificare come ale misura di rischio si compori in corrispondenza di dai che manifesano asimmeria e/o eccesso di curosi. Si sono quindi generai campioni i.i.d. di media nulla e varianza uniaria, da quaro diverse disribuzioni di probabilià: la normale, la normale asimmerica, la di Suden e la asimmerica IV. Per ciascuna disribuzione si sono effeuae 500 replicazioni di 2000 osservazioni ognuna, con le segueni caraerisiche eoriche: i dai generai da disribuzione normale sono simmerici e mesocurici; i dai generai da normale asimmerica hanno asimmeria eorica pari a ed eccesso di curosi eorica pari a ; III Si raerà più approfondiamene l approccio Value a Risk nel Capiolo 3. IV Le disribuzioni asimmeriche qui uilizzae verranno presenae in deaglio nel Capiolo 2. 18

21 i dai generai da di Suden sono simmerici e con eccesso di curosi eorica pari a 3; i dai generai da asimmerica hanno asimmeria eorica pari a ed eccesso di curosi eorica pari a Si sono quindi oenui su ogni campione i quanili per ciascuna disribuzione, simandone i parameri dai dai, considerando i segueni livelli di significaivià: 0.005, 0.01 e 0.05, posizionai sulla coda di sinisra della disribuzione. Poiché i campioni sono idenicamene disribuii e hanno varianza uniaria, i quanili oenui per ogni campione coincidono con i VaR a ciascun livello di confidenza. A scopo esploraivo, si sono ricavai gli sessi quanili delle disribuzioni nel caso in cui, ceeris paribus, considerassimo dai con asimmeria posiiva. In base ai VaR oenui, per ogni campione si è calcolao il numero di scosameni, ovvero si sono conae quane osservazioni nel campione sanno olre il VaR. Per ciascun p-value si è quindi faa la media degli scosameni nei 500 campioni incrociando disribuzioni in generazione e quelle in sima. Dai risulai riporai in Tabella 1.01, si possono ricavare le segueni osservazioni: Ragionevolmene, generando da una normale, il numero degli scosameni su enrambe le code coincide a grandi linee con quelli previsi, a seconda del p- value considerao. Solo nel caso di e di Skew-, le code sono leggermene più pesani del normale: ale effeo risula ano più accenuao, ano più piccolo è il livello di significaivià preso in considerazione. Per i campioni generai da una Skew-Normal, gli scosameni calcolai con la disribuzione normale sulla coda di sinisra sono in eccesso rispeo a quelli previsi, anche se complessivamene vengono compensai da quelli in difeo sulla coda di desra. La percenuale media di scosameni oenua con la di Suden è più precisa di quella oenua con la normale, ma risene anch essa dell asimmeria generaa. Per le disribuzioni che, invece, simano l asimmeria gli scosameni sono calcolai correamene. Nel caso di dai generai da di Suden, il numero medio di scosameni oenuo simando con la normale e la normale asimmerica è noevolmene superiore a quello previso, menre è correamene calcolao dalle disribuzioni che engono cono dell eccesso di curosi. 19

22 Infine, per i campioni generai da una Skew-, la presenza di curosi accenua quano deo in precedenza sugli scosameni da sinisra nel caso normale, ed in queso caso ale osservazione si può esendere anche per le sime Skew-Normal e di Suden. Gli scosameni oenui con la skew- risulano, invece, ancora una vola simmerici. Per i modelli che non prevedono curosi, sulla coda di desra il numero di scosameni è noevolmene in difeo (sovrasima del rischio), an è che facendo la somma degli scosameni, quesa risula inferiore a quella oenibile per la disribuzione skew-. La conclusione generalizzaa che si può rarre da queso rapido esperimeno è la conferma di quano osservao in 1.2, ovvero che nel caso di erraa specificazione per la disribuzione dei dai analizzai, si oengono risulai inesai che, nel caso del VaR ad esempio, porebbero indurre gli ageni a mal simare il rischio, con ue le conseguenze che queso errore compora. Più in generale, si evince che quano più una legge di probabilià è complea nella sua specificazione, ano meglio essa inerprea le caraerisiche dei dai analizzai. È il caso della Skew-, che permee, mediane i suoi parameri, di quanificare le evidenze di asimmeria e di eccesso di curosi nei dai. Nel Capiolo 2, ci occuperemo quindi di specificare un modello che ci permea di caurare dai rendimeni finanziari le principali caraerisiche, per oenere una misura più precisa del rischio di mercao. 20

23 Capiolo 2 MODELLI AD ETEROSCHEDASTICITÀ CONDIZIONALE CON DISTRIBUZIONE ASIMMETRICA DEGLI ERRORI 2.1 Un esensione al modello GARCH La eoria economica ha sancio lo sreo legame ra il rischio e la volailià osservabile sulle serie soriche finanziarie. Tale realzione ha incenivao lo sviluppo ed il consolidameno di modelli di analisi media-varianza dei dai finanziari, e, ra ui, forse il più noo modello paramerico è quello inrodoo da Engle e poi successivamene generalizzao da Bollerslev, Generalised ARCH, in grado di caurare la caraerisica eeroschedasicià condizionale sulle serie dei rendimeni di mercao. La specificazione e le ipoesi alla base dell originario modello GARCH non sono però risulae sufficieni per spiegare alcune evidenze comunemene osservabili sulle serie finanziarie, in paricolare quelle legae a momeni superiore al secondo della disribuzione (marginale e condizionaa) dei dai. Gli sessi es che dovrebbero valuare l ipoesi di simmeria sono sviluppai soo l assunzione di normalià dei dai, anche se, come discusso nel Capiolo 1, spesso i dai finanziari presenano disribuzioni con code pesani. Di conseguenza, i es di simmeria comunemene usai (quelli basai sull espressione (1.1)) non sono adai per verificare la simmeria su dai caraerizzai da lepocurosi; in paricolare, come già osservao in 1.4, ali misure non risulano robuse in presenza di osservazioni esreme. Per rispondere alla necessià di avere un modello che cauri le evidenze di skewness e curosi nella disribuzione dei rendimeni, una possibilià è quella di esendere la definizione del modello GARCH cambiando le ipoesi saisiche alla base dello sesso, in paricolar modo considerando una legge differene per la disribuzione marginale delle innovazioni, che dia la possibilià, a differenza del caso gaussiano, di quanificare evidenze empiriche di asimmeria ed eccesso di curosi. 21

24 Un recene aricolo di Premarane e Bera (2005) sviluppa un approccio paramerico flessibile per caurare asimmeria ed eccesso di curosi assieme all eeroschedasicià condizionale nelle serie dei rendimeni, parendo da una famiglia di disribuzioni che includa una densià asimmerica, facilmene simabile e con code più pesani rispeo ad una disribuzione di Suden. Sulla base di quese caraerisiche si è scela la disribuzione del IV ipo di Pearson, che prevede re parameri in funzione dei quali si può scrivere varianza, skewness e curosi. La possibilià di modellare simulaneamene i primi quaro momeni condizionai permee di dare un inerpreazione del rischio più precisa rispeo ai comuni modelli media-varianza. La disribuzione del IV ipo di Pearson ha funzione di densià: f ( ε ) i 2 ε i 1 εi = c 1+ exp δ an 2 a a (2.1) 1 cos m δ = π 2 π con ( ) c a e d. Un valore non nullo per δ indica la presenza di asimmeria, come un valore basso per il paramero m indica elevaa curosi, menre l ampiezza della disribuzione è regolaa dal paramero di scala a. È possibile esprimere l indice di asimmeria in funzione dei parameri della disribuzione rappresenaa in (2.1): S = 4δ 2m 3 ( m ) ( m ) δ 2 (2.2) Quindi, quando δ = 0, la skewness nella popolazione è nulla per ogni m > 2. Si può dunque formulare un es di simmeria verificando l ipoesi H : 0 δ = 0. Soo l ipoesi nulla, la disribuzione del IV ipo si riduce alla disribuzione simmerica del VII ipo di Pearson, che ha densià: 2 m 1 Γ( m) ε i f ( εi ) = , a π Γ( m 2 ) a che, sosiuendo a e m, rispeivamene, con ν e ( ν +1 ) 2, divena una di Suden con ν gradi di liberà. Com è noo, inolre, quando ν la di Suden si riconduce alla disribuzione normale. Perciò di Suden e normale, le due disribuzioni più comunemene uilizzae nella modellazione di dai finanziari, sono 22

25 casi paricolari della disribuzione di IV ipo di Pearson, soo l ipoesi di simmeria dei dai. Muovendoci parallelamene a quano proposo da Premarane e Bera, si è valuaa una famiglia di disribuzioni che dia la possibilià di conrollare (paramericamene) le possibili evidenze di asimmeria e curosi, includendo come casi paricolari la disribuzione gaussiana e la disribuzione di Suden. In queso lavoro si è sfruaa la famiglia di disribuzioni sudiaa da Azzalini (a parire dal 1985), ed in paricolare le disribuzioni Skew-Normal e Skew-, per formulare un esensione del modello GARCH, che prevede una disribuzione condizionaa per i rendimeni diversa dalla normale se non come caso paricolare, in assenza di asimmeria e con curosi uguale a 3. L aenzione è saa rivola, in paricolar modo, alla skewness delle serie dei rendimeni, meendo a confrono i risulai che si possono oenere applicando misure classiche di asimmeria, gli ulimi es presenai in leeraura e le modellazioni da noi implemenae sulla base delle disribuzioni asimmeriche sopracciae. 2.2 Sul conceo di volailià L obieivo di quesa sezione è di fornire una rassegna sineica ma il più possibile complea, delle misure di volailià uilizzae in leeraura, per giusificare come, a parire da regolarià empiriche, si debbano proporre dei processi socasici che siano in grado di riprodurre ali regolarià. La volailià è un imporane faore nel rading delle azioni, in quano essa rappresena la varianza condizionaa dei rendimeni del iolo soosane. Ma è alreano essenziale nel risk managemen, in quano la modellazione della volailià fornisce un semplice meodo per calcolare il valore a rischio di un aivià finanziaria. Inolre, riconoscere una sruura paramerica per la variabilià di una serie sorica soliamene migliora l efficienza nella sima dei parameri e la precisione nelle previsioni. In generale, al conceo di volailià si fa corrispondere una misura saisica di variabilià: quella più immediaa è lo scaro quadraico medio (o la varianza) dei rendimeni su un periodo sorico. Tuavia, l osservazione che la variabilià dei 23

26 rendimeni non sia cosane nel empo è saa più vole riporaa in ambio finanziario (Mandelbro (1963), Klein (1977)). Una caraerisica essenziale della volailià dei ioli è quindi che essa non è direamene osservabile in modo dinamico. Ad esempio, se si considerano i rendimeni giornalieri di un aivià finanziaria, la volailià giornaliera non può essere calcolaa dall unica osservazione disponibile. Se si ha a disposizione la serie dei rendimeni inra-giornalieri per queso iolo, allora è possibile oenere una sima della volailià giornaliera, la cui precisione va comunque osservaa con cauela: la volailià di un iolo infai si può suddividere in volailià inragiornaliera ed in variazione ra i giorni di conraazione. La non osservabilià crea dunque difficolà nella valuazione di previsioni fornie dai modelli ad eeroschedasicià condizionale, mancando spesso un reale ermine di confrono. Alcune caraerisiche della volailià di un iolo sono uavia direamene osservabili sulla serie dei rendimeni. Quese caraerisiche rappresenano puni di riferimeno imporani nello sviluppo di modelli ad eeroschedasicià condizionale ed alcuni di essi sono sai inrodoi proprio per correggere, sulla base di quese osservazioni, le debolezze presenae in alcune soluzioni precedeni. Ad esempio, il modello EGARCH è sao sviluppao per caurare l asimmeria nella volailià. La nosra aenzione è principalmene rivola alla derivazione della classe di modelli GARCH, come si sono sviluppai, e come vengono simai, considerandone le esensioni per caurare quelle regolarià empiriche di cui si è parlao nel Capiolo Le quanià d ineresse Lo scopo che ci proponiamo è di modellare la disribuzione di una variabile socasica, r, condizionaamene all insieme informaivo a nosra disposizione, I 1. Formalmene, I 1 rappresena la σ-algebra indoa da ue le variabili osservabili all isane -1 e coniene i valori riardai di r e di alre variabili d ineresse, che nelle nosre analisi coincidono con i rendimeni definii dai prezzi giornalieri dei ioli ( p ) e definii come segue: ( ) ( ) r = log p log p, = R + 1,..., n (2.3) 1 24

27 ovvero è il rendimeno oenuo possedendo l aivià dal empo -1 al empo, considerando un campione in cui si uilizzano per la sima R osservazioni, = R + 1,...,0, ed n osservazioni per la procedura di back-esing. Per raggiungere il nosro obieivo, modellare la densià condizionaa di r, possiamo scomporre il problema nell individuazione di re quanià: la media 2 condizionaa, µ E ( r I 1 ), la varianza condizionaa, σ Var ( r 1 ) I (assuno che esisa finia), e la funzione di densià dei corrispondeni residui sandardizzai, ( ) e = r µ σ. Nella nosra modellazione, scegliamo una forma paramerica della densià condizionaa ( ( θ )) dove θ è un veore di parameri finio, e ψ ψ ( θ ) f r ψ I ;, 1 (2.4) = I 1; è un veore di parameri variabile nel empo, ali da fornire una specificazione complea per la disribuzione condizionaa di r. Come descrio sopra, possiamo dividere il veore 2 (,, ) ψ in re componeni, ψ = µ σ η, dove µ è la media condizionaa (il paramero di posizione), σ è la deviazione sandard condizionaa (il paramero di scala) e η raccoglie i resani parameri della disribuzione condizionaa che ne esprimono la disorsione in ermini di asimmeria e curosi. In paricolare la nosra aenzione è dedicaa alla modellazione della componene che si riferisce alla volailià condizionale, σ, menre per quano concerne la media campionaria, si pone per semplicià µ = µ cosane. Nella seconda pare del capiolo ci occuperemo inolre della pare di modello riferia alla densià dei residui sandardizzai, quella che abbiamo idenificao con η, applicando la sruura dei modelli ad eeroschedasicià condizionale a disribuzioni che includono parameri per l asimmeria e per la curosi. 25

28 2.4 Modelli ad eeroschedasicià condizionale Come si è viso, lo sudio della volailià nelle serie soriche finanziarie è da diversi anni al cenro dell analisi eorica ed empirica, essendo la volailià inerpreabile come misura del rischio di un aivià. Le analisi condoe sulle serie finanziarie mosrano come quese siano caraerizzae da eeroschedasicià condizionale, nonlinearià e disribuzioni che hanno code più spesse della disribuzione Normale (lepocurosi). Uno dei possibili modi per modellare ali comporameni delle serie finanziarie è il processo AuoRegressive Condiional Heeroskedasiciy (ARCH) inrodoo da Engle (1982), osservando che l andameno della varianza del processo generaore dei dai sia di ipo condizionaamene auoregressivo. Il modello ARCH è un processo socasico { ε } con le segueni caraerisiche: ε = σ ν ( ) Var ( ) ν i.i.d. E ν = 0 ν = 1 (2.5) Per definizioneε, è serialmene non correlao con media zero, ma la varianza 2 condizionaa di ε, uguale a σ può variare nel empo, ( 1) = Var I (2.6) 2 σ ε dove I 1 rappresena l'insieme informaivo al empo -1. La varianza condizionaa di ε, è una funzione variabile nel empo, posiiva e funzione dell'insieme informaivo al empo -1. Al variare di 2 σ si oerranno delle disribuzioni di probabilià di ipo normale diverse ra loro, più o meno disperse aorno al cenro di simmeria. La disribuzione non condizionaa può essere visa come valore aeso (media ponderaa) delle disribuzioni condizionae. Il risulao è compaibile con l osservazione empirica, di una disribuzione con code più spesse rispeo ad una normale con varianza cosane. Nella generalià delle applicazioni ε corrisponde all'innovazione nella media di un alro processo socasico { y }: ( ) y = g x 1; b + ε (2.7) 26

29 dove g ( x b) 1; denoa una funzione di x 1 e del veore dei parameri b, x 1 appariene all'insieme informaivo al empo -1. La funzione g ( ) coincide con quella che nella sezione 2.3 abbiamo denominao con considerare, ai nosri fini, cosane nel empo V. 2 Una possibile specificazione di σ è µ e che abbiamo deciso di q = + i i = + i= 1 ( B) (2.8) σ γ α ε γ α ε cioè come funzione lineare dei valori passai del processo al quadrao dove ω>0 e α i >0, e B indica l'operaore di riardo. Queso modello è noo come modello ARCH(q) lineare. Il modello caura la endenza ai cluser di volailià presene nelle serie finanziarie. Un grosso limie all uilizzo del modello ARCH è che nelle applicazioni praiche spesso ci si può imbaere in serie soriche che manifesano effei auoregressivi sui quadrai dei rendimeni per un numero elevao di riardi, complicando noevolmene le procedure di sima dei corrispondeni parameri, principalmene per difficolà compuazionali. La prima esensione del modello ARCH(q) è saa il modello GARCH (Generalised ARCH) inrodoo da Bollerslev (1986), la cui idea è saa quella di riprodurre la parsimonia del modello ARMA rispeo alle rappresenazioni AR o MA in ermini del numero di parameri uilizzai, inroducendo nel modello di Engle i valori riardai della varianza condizionaa. Il processo GARCH è una sruura più parsimoniosa e flessibile del modello ARCH, infai permee di esprimere un ARCH di ordine molo elevao usando un numero limiao di parameri e, di conseguenza, un numero ridoo di vincoli di non-negaivià: q p = + i i + j j = + + i= 1 j= 1 ( B) ( B) (2.9) σ γ α ε β σ γ α ε β σ V Nel caso y idenifichi la serie dei rendimeni a media nulla, µ = µ = 0. 27

30 0 = 0 = 0. VI Si pongono i vincoli di non negaivià sui parameri (srea dove α ( ) β ( ) per γ ), per garanire la definia posiivià della varianza condizionaa. Il processo GARCH(p,q) è sazionario in senso debole se e solo se q p α + β j < 1. VII (2.10) i i= 1 j= 1 Dao il modello: ( ; ) y = g x b + ε 1 ( ) ε = σ ν ν ~ i. i. d. D 0,1 q p = + i i + j j i= 1 j= 1 σ γ α ε β σ (2.11) D indica la disribuzione dei disurbi ν. La disribuzione non condizionaa di ε è caraerizzaa da lepocurosi, cioè da un eccesso di curosi rispeo alla disribuzione normale, di cui si parlerà nella sezione 2.5. Considerando per la (2.9) il caso GARCH(1,1), si può oenere l espressione: nella quale si riconosce con ( ) 1 ( ) ( 1 1 ) ε = γ + α + β ε + ε σ β ε σ, ε il ruolo della variabile osservabile nel modello ARMA, e il ruolo dell innovazione per il processo della varianza è svolo dalla differenza ε σ. Come nel caso ARMA, il profilo delle previsioni fuure 2 2 (conzionaamene all insieme informaivo) è dominao dal coefficiene auoregressivo α + β. VI Al fine di assicurare l'esisenza di un processo ben definio ui i parameri nella rappresenazione AR di ordine infinio ( ( )) 1 1 B γ ( 1 ( B) ) 1 ( B) 2 2 σ = β + β α ε devono essere non-negaivi (Nelson, Cao, Dros, Nijman, 1993), dove si assume che le radici del polinomio β(λ) = 1 si rovino al di fuori del cerchio di raggio uniario. VII Quando q p i i= 1 j = 1 α + β = 1 si ha il processo IGARCH(p,q) (Inegraed GARCH) ovvero esise inegrazione nella varianza 2 condizionaa. In ale modello la previsione, condizionaa a I, della varianza dipende da σ 1 +. Il 1 modello IGARCH, con o senza rend, fa pare di una più ampia classe di modelli, caraerizzai da persisenza nella varianza, nei quali l'informazione correne rimane imporane per le previsioni delle varianze condizionae fuure, per ui gli orizzoni di previsione (Engle, Bollerslev, 1986; Lamoureux, Lasrapes, 1990; Nelson 1990). j 28

31 Nel modello GARCH, il valore passao della varianza condizionaa riassume in sé le informazioni passae, e quindi spea al valore dell innovazione osservaa il periodo precedene il compio di alerare la previsione correne della varianza condizionaa. In alri ermini, le informazioni passae sono sineizzae dai riardi della varianza, menre le novià, e la capacià di variazione nel empo delle sime 2 della varianza condizionaa sono racchiuse nel emine ε. Come per il modello ARCH, anche per la forma generalizzaa individuiamo la relazione fra varianza condizionaa e varianza non condizionaa, parendo dal caso più semplice di un GARCH(1,1): da cui γ σ 2 ( 1 α β ) ( σ ) = σ = γ + α ( ε 1) + β ( σ 1 ) E E E 2 2 = γ + ασ + βσ = con α + β < 1. Sosiuendo nell espressione della varianza condizionaa abbiamo: ( 1 ) σ = σ α β + αε + βσ ( 1 ) ( 1 ) = σ + α ε σ + β σ σ. (2.12) Considerando, ad esempio, un valore di β 0.9 e α 0.1 (nel rispeo del vincolo di sazionarieà), a frone di σ σ > 0, sarà più facile che la varianza 2 2 condizionaa σ + coninui ad essere maggiore della varianza non condizionaa 2 1 (persisenza nella volailià). 2.5 Eccesso di curosi in modelli GARCH Per valuare la variabilià della volailià simaa, occorre considerare la curosi del relaivo modello. In quesa sezione ricaveremo l eccesso di curosi per un modello GARCH(1,1), parendo dalla formulazione del modello già consideraa nella sezione precedene: ε = σ ν dove α, β 0, γ > 0, α β 1 σ = γ + αε + βσ <, e { } ν è una successione indipendene e idenicamene disribuia con media nulla, varianza uniaria e momeno quaro pari a 29

32 4 E ν = K ν + 3 dove K ν è l eccesso di curosi dell innovazione ν. Sulla base delle assunzioni fae si ha ammesso che 4 V E σ esisa. 2 [ ε ] = E σ = γ 1 ( α + β ) ( 3) 4 4 E ε = Kν + E σ Prendendo il quadrao dell espressione della varianza condizionaa, si ha σ = γ + α ε + β σ + 2αγε + 2βγσ + 2αβε σ, il cui valore aeso, enendo cono delle due proprieà menzionae sopra, è enendo cono che 0 α β 1 nei rendimeni, se esise, è allora 2 γ ( 1+ α + β ) 2 ( α β ) α ( ) ( α β ) 4 E σ = K ν K ε 2 + < e α ( ) ( α β ) 2 2 { E ε } > 0. L eccesso di curosi K ν ( K + 3) 1 ( α + β ) 2 4 E ε ν = 3 = 3. ( ) α α + β Kνα Se si considera l innovazione come normalmene disribuia, il corrispondene quaniaivo di curosi K ν = 0 e araverso alcuni passaggi algebrici risula che ( g) K ε 2 6α =, α α + β ( ) dove l apige (g) indica che si raa del caso gaussiano. Tale risulao pora a due imporani considerazioni: la curosi nei rendimeni si manifesa se α 2 ( α β ) > 0, nel caso in cui α = 0, l espressione dell indice di curosi è nulla indicando che il modello GARCH(1,1) simao non ha code pesani in disribuzione. Si consideri ora il caso in cui non si conosca la disribuzione degli errori. Uilizzando i risulai precedeni si ha 30

33 K ε ( ) ( ) 2 2 ( g) 5 ( g) ν ν α + β + 6α + 3 να ν + ε + 6 ν ε. VIII ( g) 1 2α α + β K 1 6 Kν K να ε K K K K K K K = = Tale risulao permee di ricavare per ogni modello GARCH una misura di curosi nei dai. K ε Se ipoizziamo nuovamene che α = 0, si è viso che ( g) K ε risula nullo e quindi = K. In queso caso, il comporameno sulle code dei rendimeni è lo sesso di ν quello dell innovazione. Nel caso in cui α > 0, allora anche ( g) K ε è posiivo sreamene e i rendimeni risuleranno avere code pesani. = per τ > 4, 4 Per una di suden con τ gradi di liberà, si ha E ν ( τ ) con 6 ( τ 4) K ν =. Quesa è in pare la ragione per la quale in mole applicazioni si uilizza una di suden con un numero prefissao di gradi di liberà. L eccesso di curosi nei rendimeni divena ( τ ) ( ) ( ) ( ) α τ 1 τ 4 α β 0 + >. ( g) ( g) ε = ε τ 4 ε K K K considerando 2.6 Disribuzione Skew-Normal Lo sviluppo di famiglie parameriche e lo sudio delle loro proprieà sono sempre sai un ema ricorrene della leeraura saisica. Pare di quesa recene leeraura è spesso legaa alla disribuzione normale asimmerica, in cui si può riconoscere la disribuzione normale come un caso paricolare. La necessià di rirovare in una famiglia di disribuzioni alcune imporani caraerisiche, come: un adeguaa raabilià maemaica ed alcune proprieà formali proprie delle classi parameriche sandard, la possibilià di modellare dai in enrambi i casi, univariao e mulivariao, un meccanismo semplice di generazione di variabili socasiche, VIII Bai, Russell, Tiao (2001) 31

34 l opporunià, ramie pochi parameri, di regolare le disribuzioni con elevaa flessibilià per la disorsione e per le relaive caraerisiche principali, ra cui asimmeria, curosi e, nel caso mulivariao, la sruura di dipendenza, spiega perché fare uleriori sforzi nello sviluppo delle famiglie parameriche di disribuzioni, e cosa di sosanzialmene nuovo ed ineressane possa essere approfondio in ques ambio. Il seguene lemma, e la sua esensione al caso mulivariao, è fondamenale per quano si va a mosrare successivamene Lemma 1 Si supponga che f 0 e G siano funzioni di densià su simmeriche aorno a 0, e { } ( ) 2 ( ) ( ) è una densià per ogni funzione dispari w( ). f z = f z G w z (2.13) Dimosrazione. Se Y ~ f 0 e X ~ G sono variabili indipendeni, allora 0 1 = P{ X w( Y ) 0} = EY { P{ X w( Y ) 0 Y = z} } G ( w( z) ) f0 ( z) dz 2 =. allora Rappresenazione socasica. Se Y ~ f 0 e X ~ G sono variabili indipendeni, ( ) Y se X w Y, Z = < Y alrimeni (2.14) ha funzione di densià (2.13). Quesa espressione fornisce un semplice srumeno per la generazione di numeri casuali Definizione e alcune proprieà Si uilizza il lemma precedene con f0 = φ e G = Φ, rispeivamene la funzione di densià e la funzione di riparizione di una variabile N ( 0,1), e con w( x) = λx, per oenere la densià: ( ) ( ) ( ) f z; λ = 2 φ z Φ λz, z e λ, (2.15) 32

35 chiamaa disribuzione normale asimmerica con paramero di asimmeria λ, e si scrive Z ~ ( ) SN λ. L espressione (2.15) idenifica la forma canonica della disribuzione normale asimmerica, per la quale il paramero di posizione è nullo e il paramero di scala uniario. ξ Consideriamo la v.c. Y = ξ + ωz, dove Z ha funzione di densià descria sopra, + e ω, allora si può scrivere Y SN ( ξ, ω, λ ). Ci si riferisce a ξ, ω e λ come ai parameri di posizione, di scala e di forma (o asimmeria), rispeivamene. Le segueni proprieà caraerizzano la densià (2.15): Se 0 λ =, si oiene la densià di una variabile ( 0,1) N. Se λ cresce (in valore assoluo) l asimmeria della disribuzione aumena. Quando λ, la densià (2.15) converge alla cosiddea half-normal densiy, ovvero ( z) 2 φ per z 0. Se Z ~ SN ( λ ), allora Z ~ SN ( λ ) Se Z ~ ( ) SN λ, allora. Z ~ χ, indipendenemene da λ Per λ fissao, la densià (2.15) è foremene unimodale, perciò log f ( ; ) una funzione concava di z. z λ è La corrispondene funzione di riparizione è daa da { Z z} ( z) ( z λ) P < = Φ 2T,, dove T è la funzione di Owen (1956), e viene soddisfaa la relazione 1 ( z; λ ) ( z; λ) Φ = Φ. Se U N ( 0,1) v.c. indipendene da Z ~ ( ) SN λ, allora per ogni a, b. au + bz bλ SN (2.16) a + b a ( 1+ a ) + b 33

36 2.6.3 Momeni Tui i momeni della disribuzione SN esisono finii ed hanno una forma analiica semplice. Tuavia, differiscono soo diversi aspei da quelli della disribuzione Normale: Il paramero di posizione ξ e il quadrao del paramero di scala ω corrispondono a media e varianza, come nel caso normale, solo se il paramero di forma λ è nullo. Le code della disribuzione SN sono sempre più pesani rispeo a quelle della Normale, quando λ è diverso da 0. I momeni sono esprimibili più convenienemene araverso il paramero λ δ = 2 1+ λ (-1,1) come µ = 2 πδ. Z, si può infai scrivere l espressione per la media di Z È possibile quindi esprimere media e varianza di Y in funzione di µ Z, e conseguenemene in funzione di λ, nonché dei parameri di posizione ξ e di scala ω: [ Y ] µ = E = ξ + ωµ [ Y ] ω 2 ( µ 2 ) V = 1 Z. Inolre, le espressioni degli indici di asimmeria e di curosi sono: S K ( λ ) 3 4 π µ Ζ = 2 2 ( 1 µ Ζ ) Ζ ( λ) = 2( π 3) ( 2 1 µ Ζ ) con S ( λ ) apparenene all inervallo approssimao ( , ) Z µ Aspei saisici Se dal puno di visa probabilisico la disribuzione SN mosra diverse proprieà ineressani, i relaivi processi inferenziali risulano inusuali, soprauo se ci si concenra su un puno λ = 0, coincidene con la disribuzione normale. 34

37 =,, 1 K n da Si consideri anziuo il caso di un campione casuale semplice y ( y y ) T una SN ( ξ, ω, λ ) con funzione di log-verosimiglianza: l ( ) dove ( x) ( x) ( y ξ ) yi ξ + ω n ξ, ω, λ 2 i nlogω i= 1 ω i ζ 0 λ { } ζ 0 = log 2Φ., (2.17) Sulla base della (2.17) vanno fae alcune considerazioni. Anziuo, si presena il comune problema di massimizzare l equazione di verosimiglianza solo per via numerica. Inolre, si osserva un puno di flesso con λ = 0 per la funzione di logverosimiglianza profilo, in corrispondenza del quale l informazione aesa di Fisher diviene singolare. Per ovviare a ale difficolà, si consideri la riparamerizzazione da ( ξ, ω, λ ) a ( µ, σ, S ) che si oiene riscrivendo Y = ξ + ω Z = µ + σ Z, Z = 0 0 ( Z µ ). (2.18) µ 2 1 Z Poiché Z 0 è una variabile sandardizzaa, con media nulla e varianza uniaria, µ e σ rappresenano rispeivamene la media e la deviazione sandard di Y, menre S indica l indice di asimmeria. Con quesa paramerizzazione, la funzione di logverosimiglianza e la marice d informazione di Fisher hanno un comporameno regolare. Tale scriura risulerà necessaria successivamene per poer cosruire una sruura di ipo GARCH su una variabile da SN (vedi sezione 2.8). 2.7 Disribuzione Skew- e suoi momeni Dal puno di visa applicaivo è uile a livello applicaivo poer considerare disribuzioni per cui è possibile regolare sia il livello di asimmeria sia la pesanezza delle code. Una ra le diverse alernaive è offera da una versione asimmerica della densià, daa la sua maneggevolezza dal puno di visa algebrico e poiché essa è saa usaa con quesi scopi già nella sua forma simmerica. 35

38 2.7.1 Lemma 2, allora ogni a, b Se V Gamma ( ψ, η ) ( ) E Φ a V + b = P T a ψ η dove T è una variabile non-cenrale con 2ψ gradi di liberà e paramero di noncenralià b. Ora, si può definire la disribuzione Skew- ramie la rasformazione dove Z ~ SN( ) λ e V ~ χ lemma precedene ad una ( 1, 1 ) 2 τ Z Y = ξ + ω (2.19) V τ, variabili casuali ra loro indipendeni. Applicando il Gamma τ τ e ramie alcuni semplici passaggi 2 2 algebrici è possibile ricavare la funzione di densià per Y. Si dice che una variabile casuale coninua Y ha disribuzione Skew- se la sua densià è del ipo 2 τ + 1 ft ( y) = 1 ( z; τ ) T1 λz ; τ 1 2 ω + z + τ, (2.20) 1 dove ( ξ, ω, λ ) sono gli sessi visi nella sezione precedene, z ω ( y ξ ) ( z; τ ) = 1 ( 2 ( τ 1) ) Γ ( ) ( )( ) ( τ +1 1 πτ Γ τ 1+ z τ ) 2, =, è la funzione di densià di una variabile di Suden con τ gradi di liberà, e T1 ( x; τ + 1) indica la funzione di riparizione scalare con τ + 1 gradi di liberà. In. queso caso si scrive Y S ( ξ, ω, λ, τ ) La famiglia caraerizzaa dalla (2.20) gode di varie proprieà ineressani, alcune delle quali ne indicano il legame con la disribuzione SN: se τ, (2.20) converge alla densià di una SN, come è chiaro dalla rappresenazione (2.19); la classe delle densià è chiusa per rasformazioni affini, con λ e ν invariani; la (2.20) permee la scela ra una gamma illimiaa per gli indici di asimmeria e di curosi per le componeni individuali. 36

39 2.7.2 Momeni Si assuma, per semplicià, ξ = 0 e quindi =. Se 1 2 Y ωv Z ( m) E Y indica un momeno di ordine m, si può scrivere ( m) m m / 2 ( m) E Y = ω E V E Z dove Z ha funzione di densià di una skew-normal con ξ = 0 e ω =1. È noo che menre, per l espressione Azzalini & Capianio 1999). E V = Γ m 2 1 ( τ 2) ( 2 ( τ m) ) 1 ( τ ) Γ m / 2 ( m) E Z Si consideri anziuo il caso scalare. Definendo dove δ = λ 2 1+ λ ( ) 2, si veda la sezione precedene (per deagli cfr. 1 ( ( τ )) 1 Γ( τ ) 1 2 Γ 2 1 µ = δ τ π, τ > 1, è riferio a Z ~ SN( ) 2 ( ) λ e per esso si fanno le sesse osservazioni fae nella sezione dedicaa alla disribuzione SN. Si oiene quindi, per ξ = 0, E[ Y ] = ωµ, τ E Y = ω τ Inolre, le espressioni degli indici di asimmeria e di curosi sono: S K ( ) ( ) 2 ( ) -3 2 τ 3 δ 3τ 2 τ 2 λ = µ + 2 µ µ ( if τ > 3), τ 3 τ 2 τ 2 ( ) τ 4µ τ 3 δ 2 6µ τ 4 τ 2 λ = + 3µ µ -3 ( if τ > 4 ). ( τ 2)( τ 4) ( τ 3) τ 2 τ Modelli GARCH con disribuzioni asimmeriche Si consideri un modello GARCH(p,q): 37

40 Se Z N ( 0,1) ( ) Y = µ + σ Z, Z i. i. d. 0,1 q p = + i i + j j i= 1 j= 1 σ γ α ε β σ 2 allora Y 1 N ( µ, σ ) I, ovvero se la disribuzione degli errori è normale, è noo che i parameri di posizione e di scala per la disribuzione condizionaa di Y coincidono rispeivamene con la media e la deviazione sandard condizionae. Nei paragrafi precedeni sono sae presenae le disribuzioni Skew-Normal e Skew- nella paramerizzazione più comunemene conosciua, in cui si disinguono i parameri di posizione, di scala e di forma ( ξ, ω, λ ). È sao mosrao anche come quesi primi due valori non coincidano con la media e la deviazione sandard rispeivamene come nel caso della normale. Com è possibile dunque riprodurre una sruura GARCH parendo da errori generai da quese disribuzioni? Riporiamo due differeni soluzioni per rispondere a ale quesio Sruura GARCH sul paramero di scala Poiché nel caso normale il modello GARCH viene applicao al quadrao del paramero di scala (dao che esso coincide con la varianza), anche nel caso delle disribuzioni asimmeriche considerae si è daa una sruura auoregressiva proprio a ale quanià. Parendo da Z SN ( λ ) si consideri la sua rasformazione lineare: Y = µ + ω Z q p = + iy i + j j i= 1 j= 1 ω γ α β ω. (2.21) In al caso Y avrà disribuzione condizionaa: ( ) Y I 1 SN µ, ω, λ. Nel modello originario di Engle, uavia, così come per le sue generalizzazioni ed esensioni, viene sempre manenua l ipoesi in cui le innovazioni siano indipendeni ed idenicamene disribuie, con media nulla e varianza uniaria. 38

41 2.8.2 Parameri cenrai (Si considera il caso skew-normal) Un modo plausibile di affronare il problema è quello di riparamerizzare l espressione di una v.c. Y ξ ωz ~ SN ( ξ, ω, λ ) = + come già viso nella sezione 2.6.2, in modo ale da avere Y = µ + σ Z 0, dove e Z SN ( λ ) ( ) 2 Z0 = Z µ z σ z, σ z = 1 µ z. In al caso Z 0 avrà anch essa disribuzione normale asimmerica con paramero di posizione µ Z σ Z e di scala 1 σ Z, nonché ovviamene media nulla e varianza uniaria, proprieà desiderae. Sandardizzai gli errori, è possibile uilizzarne la rasformazione Y con i consuei parameri cenrai ( µ, σ ) per creare il modello GARCH relaivo. Formalmene, il modello che ne deriva è Ovviamene, vale la corrispondenza Y = µ + σ Z 0,, q p = + i i + j j i= 1 j= 1 σ γ α ε β σ ξ = µ σ σ µ, ω = σ σ e Y avrà disribuzione condizionaa pari a 1 1 z z z ( ) Y I 1 SN ξ, ω, λ. (2.22) Nelle applicazioni che si vedranno nei capioli 3 e 4, si è uilizzaa quesa soluzione per sudiare, via simulazione, un modello paramerico che enga cono di una sruura del ipo Skew-Normal o Skew- per le innovazioni nei rendimeni finanziari. Prima di addenrarci nello sudio empirico di quesi modelli con disribuzione asimmerica, è opporuno farsi un idea di come i parameri λ e τ regolino skewness ed eccesso di curosi. A ale scopo, si anicipano a quesa sezione, a iolo esplicaivo, i risulai di alcune simulazioni in cui si sono generae serie di dai dai modelli GARCH(1,1) Skew-Normal e GARCH(1,1) Skew-, uilizzando diversi valori per i 39

42 parameri λ e τ. Per ogni simulazione si sono effeuae 500 replicazioni di lunghezza 2000 e calcolai, per ciascuna di esse, l indice di asimmeria campionaria e l eccesso di curosi campionaria (si veda (4.1)). IX In Tabella 2.01 sono riporai, per ogni simulazione, i valori uilizzai per i parameri d ineresse, i corrispondeni livelli eorici di skewness condizionaa ed eccesso di curosi condizionaa, e la media sulle 500 replicazioni degli indici campionari di asimmeria e curosi. Al crescere (in valore assoluo) di λ, aumenano asimmeria condizionaa e asimmeria campionaria. Anche l eccesso di curosi aumena all aumenare del paramero di forma: si osservi come l eccesso di curosi condizionaa sia neamene inferiore rispeo al valore medio campionario marginale (cfr. 2.5). Nelle simulazioni relaive al modello GARCH(1,1) Skew-, si osserva invece una relazione inversa ra il numero di gradi di liberà uilizzao in generazione e i corrispondeni valori delle saisiche. IX Si suppone µ = µ = 0. I valori uilizzai per i parameri relaivi all espressione della varianza condizionaa sono ( α, β, γ ) = ( 0.1, 0.85, 0.015). 40

43 Capiolo 3 L APPROCCIO VALUE-AT-RISK 3.1 Inroduzione Il compio del risk manager è quello di misurare il rischio per manenerlo soo conrollo espleando quella che è la sua funzione principale di srumeno gesionale. Il rischio può manifesarsi soo diverse forme e in diverse ipologie di realà finanziarie, presso le banche, le isiuzioni finanziarie in genere e presso imprese indusriali e commerciali.. Secondo la classificazione che si evince dalla normaiva Basilea II, possiamo suddividere il rischio in re grandi caegorie: Rischio di mercao Rischio di credio Rischio operaivo Il rischio di mercao è sreamene collegao all aivià di inermediazione ipica della banca, nonché alla negoziazione delle aivià finanziarie. Si manifesa in seguio a variazioni inaese dei faori di mercao (assi di ineresse, assi di cambio, prezzi azionari...) che deerminano una variazione al rialzo o al ribasso del valore di una posizione o di un porafoglio finanziario. Il rischio di credio si idenifica con il rischio di defaul in cui incorre il iolare di un'aivià d'impresa (finanziaria e non) per l' evenuale incapacià parziale o oale della conropare ad assolvere l'impegno assuno. Rischio operaivo, mole banche lo inendono come qualsiasi rischio non classificabile come rischio di mercao o di credio; alre lo definiscono come il rischio di perdie derivani da vari ipi di errore umano o ecnico. In numerosi casi il rischio operaivo viene associao al rischio di regolameno o pagameno, nonché al rischio di inerruzione dell aivià, al rischio amminisraivo e al rischio legale. Al crescere della necessià di misurare il rischio al fine di gesirlo sono emerse mole inuizioni che vanno soo il nome di risk measuremen. In un primo momeno venne preso in considerazione solamene il rischio di mercao, dopodiché le ecniche 41

44 sono sae muuae a riadaae alla gesione di alri ipi di rischio. Esisono ane misure del rischio, ma l aenzione in queso aricolo è rivola al Value a Risk (VaR). Il VaR è una misura del poenziale rischio che può subire un porafoglio di aivià finanziarie, l idea che sa alla base del modello di calcolo è un conceo molo semplice che ha dao spazio a mole rielaborazioni da pare degli sudiosi, ano da arrivare a delle esreme sofisicazioni maemaiche. Daa la sua versailià, oggi sono disponibili numerose variani del modello base che sono il risulao di diverse combinazioni di ecniche numeriche e ipoesi sul comporameno delle variabili finanziarie. Oggi disponiamo, quindi, di un ampio venaglio di modelli che meglio si adaano alle diverse siuazioni che si vogliono moniorare sul frone del rischio. 3.2 Cos è il Value a Risk Dao un cero porafoglio di aivià finanziarie il VaR è la misura della massima perdia poenziale nella quale può incorrere il porafoglio, scauria dall'evoluzione dei prezzi di mercao (nel caso di rischio di mercao), in un deerminao periodo di empo ad un cero livello di confidenza. Indicando : il periodo di deenzione (Holding Period); V il valore della perdia in. Il VaR, ovvero la massima perdia poenziale, per il livello di probabilià sabilio è quel valore che soddisfa la relazione: [ ] P V VaR = α essendo α il livello di significaivià. Nell esempio mosrao in Figura 3.01 di seguio si può vedere che, daa una cera disribuzione dei rendimeni, il Valore a Rischio di un cero porafoglio su un periodo di deenzione, con probabilià del 95%, è di 473 Euro. Alla base della cosruzione del modello VaR si pone la Teoria del Porafoglio, che usa sime della volailià e correlazioni ra i rendimeni dei differeni srumeni raai. L uilià del VaR risiede nella possibilià di applicarlo ai rischi di mercao associai a diverse ipologie di srumeni finanziari: il rischio su azioni, il rischio di asso di ineresse, il rischio di cambio e il basis risk. 42

45 I parameri deerminani per il calcolo del VaR sono la sima della volailià fuura e delle correlazioni ra gli srumeni finanziari che cosiuisco il porafoglio. Saisicamene la misura impiegaa per rappresenare la volailià è la deviazione sandard, che misura la dispersione delle realizzazioni inorno al loro valore aeso. Generalmene, se per i calcoli si usano dai ad ala frequenza e si suppone un holding period breve (massimo 10 giorni), è ragionevole supporre che il valore medio del rendimeno di porafoglio sia uguale a 0. Il meodo indubbiamene più diffuso per oenere una previsione della volailià relaiva ad un cero empo fuuro è quello che si basa sulla sima della volailià passaa. Quesa misura si rivela, a vole, inadeguaa per cogliere le peculiarià proprie delle serie soriche delle aivià finanziarie. Infai, l ipoesi implicia nel calcolo della volailià sorica, come sima di quella fuura, è che la variabile della quale si inende misurare la volailià sia caraerizzaa da una disribuzione normale sazionaria, con media e varianza cosani, ipoesi spesso smenia dal comporameno reale delle variabili finanziarie. Allo scopo di simare la volailià cercando di recepire le evidenze empiriche si sono sviluppae alre ecniche che descriverò di seguio molo brevemene: ARCH-GARCH. Sono modelli di sima della volailià basai sugli assuni che la varianza mua nel empo con fenomeni di volailiy clusering (eeroschedasicià), i livelli passai della volailià influenzano i livelli fuuri (auoregressivo) e le previsioni oenue sono subordinae alle informazioni disponibili nel periodo precedene (condizionale). Sono modelli che consenono di prevedere la volailià fuura uilizzando una regressione basaa sui valori passai della sessa volailià Volailià implicia: uilizzando la formula di pricing e le informazioni disponibili è possibile ricavare la volailià implicia dal prezzo di mercao delle opzioni La correlazione misura, invece, il co-movimeno di due variabili, ossia la endenza di due variabili a muoversi simulaneamene nella sessa direzione. Si esprime come: 43

46 σ X, Y ρ = X, Y σ σ X Y E un indice compreso ra -1 e 1, ed è oenuo dalla marice varianza e covarianza degli asse o faori di rischio (oenui con un mapping sugli asse) del porafoglio. Volailià e correlazioni sono i due parameri fondamenali per il calcolo del VaR e rappresenano i parameri di inpu del modello. Esisono diversi modelli di calcolo, ognuno con suoi vanaggi e svanaggi che si possono riassumere sosanzialmene in semplicià/complessià di implemenazione, ipoesi implicie del modello che si adaano o non si adaano alle peculiarià del porafoglio. 3.3 Modelli di calcolo del VaR I meodi di calcolo del VaR si possono raggruppare in: Modelli paramerici Modelli non paramerici Modelli paramerici Sono quella famiglia di modelli che si espleano in un algorimo chiuso che richiede dei parameri precisi di inpu. Vengono anche definii secondo l approccio Varianza-Covarianza: Quesa è la meodologia sandard per la misurazione dei rischi finanziari, diffusa araverso l applicazione Risk Merics proposa da J.P. Morgan. E' quello che si avvicina di più alle definizioni ed ai concei derivai dalla moderna eoria del porafoglio, in quano esprime il VaR araverso la marice di varianza e covarianza. Tale meodo è sineizzabile nei segueni passi: a) la deerminazione dei faori di rischio b) il mapping, scomposizione del porafoglio in un porafoglio "equipollene" di ioli zero coupon con scadenze coincidene con quelle dei faori di rischio (o di mercao) c) la sima della marice delle correlazioni di ali faori 44

47 d) la sima delle volailià dei faori di rischio evidenziaa Il vanaggio di poer disporre di una sima della massima perdia possibile uilizzando solamene i parameri di variabilià e sensibilià deriva dalle paricolari ipoesi eoriche assune dal modello: anziuo si ipoizza che la disribuzione dei rendimeni dei faori di rischio sia di ipo normale; inolre, la relazione ra posizione i-esima e il relaivo faore di rischio è lineare. Le maggiori criiche avanzae ai modelli paramerici riguardano proprio le ipoesi probabilisiche delle variabili in oggeo, in paricolare, l assunzione di disribuzione dei rendimeni degli asse/faori di mercao di ipo normale e quindi simmerica, e le approssimazioni con relazioni lineari ra aivià finanziarie e faori di mercao. Assumere che i faori di rischio seguano una disribuzione normale da un lao soosima ineviabilmene le probabilià di movimeni esremi del mercao, dall alro assume che i movimeni del mercao siano simmerici. Le disribuzioni empiriche in genere mosrano code più spesse (Figura 3.02) e asimmeria negaiva (Figura 3.03). Inolre, approssimare con relazioni lineari il rapporo fra aivià finanziare e faori di rischio può risulare del uo inadeguao a rappresenare il reale rischio di mercao della posizione. L adozione di modelli dela-gamma risolve in pare il problema, ma genera alre difficolà di sima Modelli non paramerici Gli approcci non paramerici enano di superare quese problemaiche, mediane l uilizzo di simulazioni soriche e simulazioni Monecarlo. Nel primo caso, le variazioni del valore del porafoglio sono oenue applicando allo sesso le variazioni soriche dei faori di rischio/prezzi ioli. I valori così oenui opporunamene ordinai cosiuiscono la disribuzione dei rendimeni di porafoglio in un oica wha if. L obieivo è simulare la perdia poenziale del porafoglio deenuo in base alle condizioni di rischio passae. Il meodo della simulazione Monecarlo è una ecnica numerica per la raazione di problemi caraerizzai da una sosanziale inraabilià analiica. Inolre, ha paricolare successo per risolvere il problema della rappresenazione dei porafogli 45

48 composi da srumeni finanziari ad alo conenuo opzionale o non lineare e la disribuzione dei rendimeni del porafoglio sesso. Il meodo Monecarlo è una valida alernaiva agli approcci paramerici nel caso in cui il porafoglio comprenda posizioni con andameno di prezzo non lineare. La seconda caraerisica araene riguarda la possibilià di adaare per la generazione degli scenari random, disribuzioni di probabilià dei faori di rischio non normali. Rimane fondamenale, comunque, la scela delle funzioni di valuazioni appropriae, il rischio di scegliere un modello di valuazione errao è chiamao model risk. 3.4 Ambio di applicazione Essendo il VaR una misura di rischio naa in ambio bancario, la maggior pare dei modelli riguardano un uso preamene bancario, per porafogli con finalià di rading. Le assunzioni ipiche del mondo bancario sono: 1. Orizzone emporale breve (1-10 giorni) 2. Rendimeni degli asse/faori di rischio disribuii normalmene 3. Rendimeno aeso pari a 0 4. Marice varianza-covarianza cosane 5. Assenza di benchmark Nella gesione di un porafoglio di invesimeno, aivià ipica degli socieà di gesione del risparmio, quese assunzioni non sono assoluamene acceabili proprio per le diverse peculiarià dell aivià di invesimeno rispeo a quella di rading. Nell ambio di gesione delle aivià finanziarie è più ragionevole assumere che: 1. L orizzone emporale è relaivamene lungo, almeno un mese, spesso più mesi ma anche 1 anno 2. Rendimeni degli asse/faori di rischio sono disribuii non normalmene 3. Rendimeno aeso non è pari a 0 4. Volailià e correlazioni variano nel empo 5. Il porafoglio è rapporao ad un benchmark 46

49 Un acive asse manager aggiunge valore al rendimeno di porafoglio con aivià di securiy picking e asse allocaion sraegica/aica, quindi in genere il urnover del porafoglio è più leno se confronao con un porafoglio si rading bancario. In caso di gesione passiva, il urnover è ancora più leno proprio perché la gesione passiva si limia a replicare fedelmene la composizione del benchmark. Per quesi moivi è chiaro che il periodo di deenzione deve essere considerao di medio/lungo ermine, in quano rappresena il periodo di deenzione di porafoglio. Con uno scenario di medio/lungo ermine è imprudene considerare che i rendimeni del porafoglio siano disribuii normalmene con media dei rendimeni aesa pari a 0. Da evidenze empiriche, la disribuzione dei rendimeni su un medio/lungo periodo mosra caraerisiche di asimmeria negaiva e lepocurosi (disribuzione eccessivamene ala, con code roppo lunghe), è chiaro che ipoizzare una disribuzione normale in condizioni come quese si rischia di soosimare il rischio e quindi di fare un errore di valuazione. Inolre, sempre da evidenze empiriche, per i periodi di medio/lungo periodo la volailià e la correlazione ra le aivià finanziarie non rimane cosane nel empo. Nella gesione del risparmio è la norma uilizzare un benchmark con il quale confronare l allocazione dell asse, nonché il rendimeno e il rischio. Il conceo di rischio del porafoglio non è più in valore assoluo come avviene in ambio bancario, ma il rischio deve essere considerao come l alro lao del rendimeno. Lo scopo del gesore è assumere il minimo rischio con il massimo rendimeno e non minimizzare il rischio in assoluo. Queso conceo si può esprimere anche dicendo che la Performace aribuion e la Risk aribuion sono vise come le due facce della sessa medaglia. Il gesore non è libero di assumere il livello di rischio che rienga opporuno, infai, nel prospeo di ogni fondo è indicao un paramero oggeivo di riferimeno o benchmark, il quale individua il profilo di rischio e le opporunià del mercao in cui ipicamene il fondo invese (Assogesioni, Benchmark e fondi comuni, 1999), e cui il gesore si deve aenere. È chiaro che in queso mondo il VaR, pur avendo lo sesso significao di perdia massima poenziale, è calcolao enendo cono delle peculiarià della siuazione che si deve moniorare. Allora si parlerà di Relaive Var o Benchmark Var (R-VaR o B- 47

50 VaR) dove la massima perdia poenziale è rapporaa al Benchmark di riferimeno. La differenza nel meodo rispeo al VaR Assoluo sa nella ridefinizione del porafoglio che è calcolao sommando una posizione lunga del porafoglio reale a una posizione cora del porafoglio benchmark. 3.5 VaR e il calcolo del requisio parimoniale X Le banche possono uilizzare i modelli inerni riconosciui dalla Banca d Ialia per il calcolo dei requisii parimoniali a frone dei rischi di posizione, generico e specifico, su ioli di debio e di capiale, di cambio e di posizione su merci. È possibile uilizzare il modello inerno per il calcolo di ui i requisii parimoniali di cui sopra ovvero solo per alcuni di essi; in ques ulimo caso i requisii parimoniali saranno una combinazione ra quelli calcolai con il modello e quelli calcolai secondo la meodologia sandardizzaa per i rischi non valuai dal modello. Le banche che uilizzano il modello inerno devono soddisfare un requisio parimoniale corrispondene al maggiore ra i due impori segueni: la misura del "valore a rischio" (VaR) del giorno precedene; la media delle misure del VaR giornaliero nei 60 giorni operaivi precedeni, moliplicaa per un faore non inferiore a 3, evenualmene maggioraa sulla base dei risulai dei es rerospeivi. Per poer calcolare, ramie il modello, il requisio parimoniale a frone del rischio specifico su ioli di debio le banche devono dimosrare che il modello sia in grado di: spiegare la variazione sorica dei prezzi nel porafoglio; rifleere la concenrazione del porafoglio; resisere a una siuazione sfavorevole; essere convalidao da es rerospeivi voli a verificare che il rischio specifico sia valuao in modo adeguao. Inolre, le banche devono dimosrare di essere in possesso di meodologie idonee a valuare adeguaamene il rischio di eveno e il rischio di inadempimeno per le X Si riporano, per la pare d ineresse, le isruzioni di vigilanza per le banche fornie dalla Banca d Ialia con la cicolare 229 del

51 posizioni in ioli di debio e in ioli di capiale. Qualora la banca non sia in grado di fornire ale dimosrazione, il requisio parimoniale dovrà includere una maggiorazione. Per la deerminazione di ale maggiorazione viene effeuao un calcolo analogo a quello uilizzao per il modello per il rischio generale di mercao nel caso in cui ques'ulimo non abbia superao i es rerospeivi. In paricolare, alla misura del rischio specifico calcolaa dalla banca sulla base del proprio modello viene applicao un faore moliplicaivo di 4. Analiicamene il requisio parimoniale calcolao con il modello inerno è dao dalla seguene formula: dove: C = max VaR + β RSM, δ VaR + β RSM (3.1) 1 1 i i 60 i= 1 60 i= 1 C è il requisio parimoniale al giorno ; VaR i è il valore a rischio calcolao secondo il modello per il porafoglio deenuo al giorno -i; δ è il faore moliplicaivo, non inferiore a 3; β rappresena il faore moliplicaivo, che varia in relazione all'adeguaezza del modello inerno a calcolare il rischio di eveno e di inadempimeno. Tale faore assume valore 0 oppure 1 a seconda che la banca dimosri o meno di essere in grado di valuare adeguaamene il rischio di eveno e di inadempimeno. Complessivamene, quindi, il faore moliplicaivo ( δ β ) valore pari al massimo a 4. + può assumere un RSM i è l'ammonare di capiale desinao alla coperura dei rischi specifici degli srumeni finanziari sul porafoglio deenuo il giorno -i, calcolao secondo il modello inerno. Il calcolo del VaR deve essere effeuao su base giornaliera e deve prevedere un inervallo di confidenza unilaerale del 99 per ceno e un periodo di deenzione pari a 10 giorni. Inolre, il periodo sorico di osservazione deve riferirsi ad almeno un anno precedene, ranne nel caso in cui un aumeno improvviso e significaivo delle 49

52 volailià dei prezzi giusifichi un periodo di osservazione più breve. Per il calcolo del VaR, le banche possono uilizzare correlazioni empiriche nell'ambio della sessa caegoria di rischio e fra caegorie di rischio disine. La Banca d'ialia accera che il meodo di misurazione delle correlazioni della banca sia correo e applicao in maniera esausiva. L uilizzo di un modello correo per il VaR viene accerao mediane una procedura rerospeiva (Backesing). Il es rerospeivo mee a confrono il VaR, calcolao secondo il modello inerno, con la variazione effeiva del valore del porafoglio al fine di verificare se le misure di rischio elaborae dalla banca al 99 percenile coprono effeivamene il 99% dei risulai di negoziazione. Tale capacià si riiene raggiuna da un modello che, su un campione di 250 giorni lavoraivi, produca al massimo 4 casi in cui i risulai effeivi di negoziazione non sono coperi dalla misura del rischio ("scosameni"). Il es rerospeivo deve essere svolo quoidianamene. La banca deve essere in grado, ove richieso, di effeuare es rerospeivi sulla base di variazioni ipoeiche del valore del porafoglio, calcolae manenendo invariae le posizioni di fine giornaa. Se la variazione effeiva del valore del porafoglio supera il VaR calcolao secondo il modello, si ha uno scosameno. In funzione del numero di scosameni si applica il faore di maggiorazione descrio in Tabella La banca noifica pronamene alla Banca d'ialia gli scosameni rilevai dal programma di es rerospeivi e che hanno deerminao l'aumeno del faore di maggiorazione, conformemene alla Tabella La banca può chiedere alla Banca d'ialia l'esonero dall'applicazione del faore di maggiorazione qualora lo scosameno sia da impuare a faori eccezionali. La Banca d'ialia auorizza la banca a non enere cono della maggiorazione enro un ermine di 30 giorni dalla richiesa. Ove gli scosameni risulino numerosi, la Banca d'ialia può imporre le misure necessarie per assicurare il empesivo migliorameno del modello. Nel caso in cui, nonosane ali misure, gli scosameni persisano la Banca d'ialia può revocare il riconoscimeno del modello inerno. 50

53 Capiolo 4 SIMULAZIONI 4.1 Inroduzione La possibilià di risconrare evidenze di asimmeria della disribuzione delle serie soriche finanziarie, ed in paricolar modo ci riferiamo alle serie dei rendimeni finanziari, ci pone di frone a due differeni problemi di naura empirica: anziuo occorre individuare gli srumeni che possano correamene verificare la presenza di asimmeria nei dai, enendo cono delle alre caraerisiche che li conraddisinguono, fra ue la dipendenza emporale e la scarsa rispondenza all ipoesi di normalià per la disribuzione condizionaa; è inolre necessario quanificare l impao che l asimmeria rilevaa ha su srumeni ampiamene uilizzai in ambio finanziario, quali il VaR e, ramie queso, il capiale di coperura per il rischio di mercao, evidenziando come quei modelli che si basano sull ipoesi di simmeria diano una sima non correa del rischio. Nei primi due capioli si sono presenai, a livello eorico, alcuni srumeni uili alla verifica dell asimmeria nella disribuzione dei rendimeni finanziari: da un lao, i es di simmeria ci possono aiuare a raggiungere il nosro primo obieivo di verifica; dall alro, invece, l impiego di un modello GARCH con disribuzioni asimmeriche permee di uilizzare il VaR, basao sui quanili della disribuzione condizionaa eorica, per sudiare la relazione esisene ra rischio e asimmeria. Per quano concerne i es di simmeria, si è già discusso come, spesso in leeraura, si uilizzi l indice di asimmeria campionario ( Ŝ, si veda 1.3) anche per dai che non presenano le caraerisiche desiderabili perché ale es sia effeivamene efficiene, ed, in al caso, i rendimeni finanziari sono caraerizzai da dipendenza emporale, al momeno secondo, e da una disribuzione, sia marginale che condizionaa, lepocurica. Ciò nonosane, Ŝ può rappresenare un uile ermine di confrono per le alre misure di asimmeria che si è scelo di considerare, ra ue, nella nosra analisi: i es proposi da Bai e Ng (cfr. 1.5), sia quello di skewness 51

54 condizionaa (CS ) che quello per la non condizionaa ( ˆ π 3 ), sembrano rispondere alle nosre esigenze, anche se, per ques ulimo, occorre porre paricolare aenzione all eccesso di curosi nei dai, perché ale caraerisica porebbe precludere l esisenza del momeno seso finio, su cui si basa queso es per l asimmeria non condizionaa. Per ale ragione si è presa in considerazione anche una misura campionaria per l eccesso di curosi: ˆ ˆ µ 4 K = 3 (4.1) 4 ˆ σ basao sul momeno quaro cenrao sandardizzao olre il livello di curosi di una disribuzione normale. Indipendenemene dalla correezza di ˆK nel caso di dai serialmene correlai e con disribuzione non normale, esso ci è uile, ancora una vola, come ermine di confrono. Per verificare la presenza dell asimmeria mediane l uilizzo di modelli ad eeroschedasicià condizionale con disribuzioni asimmeriche, come discusso nel Capiolo 2, si sono prese in considerazione quaro diverse leggi di probabilià, per alreani modelli GARCH: il modello GARCH(1,1) Normale (2.11), che considera la sruura GARCH con errori i.i.d. gaussiani, con media nulla e varianza uniaria, e che è funzione dei parameri ( α, β, γ ), uilizzai nell espressione della varianza condizionaa ( y ) 2 σ = γ + α µ + βσ ; il modello GARCH(1,1) Skew-Normal (2.22), in cui invece gli errori sono una sandardizzazione di un campione Z SN ( λ ), che considera olre ai parameri ciai sopra anche λ, paramero di forma, che regola l asimmeria della disribuzione; il modello GARCH(1,1) con errori disribuii come una di Suden con τ gradi di liberà XI, che viene frequenemene uilizzao in leeraura per ener cono dell evidenza di curosi nei rendimeni finanziari; XI Un campione generao da una di Suden con τ gradi di liberà, ha media nulla e varianza pari a ν. Per l uilizzo con il modello GARCH se ne considera quindi la versione sandardizzaa. ν 2 52

55 ed, infine, quello in cui gli errori sono una sandardizzazione di un campione (, ) Z S λ τ, il modello GARCH(1,1) Skew- per il quale i parameri d ineresse sono ( α, β, γ, λ, τ ), dove τ idenifica i gradi di liberà nella disribuzione Skew-. Sia per i es che per i modelli presi in esame, sono sae creae ed uilizzae delle procedure apposiamene sviluppae in R XII. Prima di uilizzare ali procedure per analizzare serie reali di dai, si è voluo verificare, mediane simulazioni, il loro correo funzionameno e si è sudiao il loro comporameno in diversi scenari, in cui si sono fae variare le condizioni di asimmeria e curosi, considerando anche come ali variazioni abbiano implicazioni sulle misure di rischio finanziario. Nei paragrafi successivi, con l ausilio delle abelle e delle figure riporae rispeivamene nelle Appendici A e B, vengono mosrai i risulai delle suddee simulazioni. 4.2 Verifica delle procedure di sima Il primo obieivo delle simulazioni è quello di verificare la correezza delle procedure di sima: mediane replicazioni monecarlo si sono generai campioni di lunghezza differene dai diversi modelli presi in considerazione, prendendo in esame diverse combinazioni dei parameri d ineresse. Per ragioni praiche, vengono mosrae solo alcune delle simulazioni effeuae a ale scopo, in paricolare quelle in cui si considerano i valori per i parameri che, araverso un indagine esploraiva, sono risulai più adai ad approssimare il comporameno delle serie reali. Va precisao che, in ue le simulazioni qui presenae, si è ipoizzao per il modello GARCH(1,1) media nulla ( µ = µ = 0 ) e i valori uilizzai per i parameri relaivi all espressione della varianza condizionaa sono ( α, β, γ ) = ( 0.1, 0.85, 0.015). Da Tabella 4.01 a Tabella 4.05, si osservano per ciascun modello le sime oenue su 500 replicazioni di lunghezza 500. Da queso primo risconro, si possono ricavare le prime osservazioni: XII Piuoso che definire R come un sofware saisico, esso è un ambiene che raccoglie librerie ed oggei uilizzabili per la gesione e l analisi di dai e la creazione di grafici. R è basao sul linguaggio S a cui è sreamene collegao un alro sofware commerciale, S-plus. R è invece un GNU-sofware, disponibile grauiamene secondo le regole della GPL. 53

56 le medie delle sime per i parameri α e β siano vicine ai veri valori, con ridoe deviazioni sandard e sempre significaive. Più imprecisa è la sima della cosane γ, che in diversi casi risula non significaiva, a causa del valore ridoo assegnao in generazione ( γ = ). (Tabella 4.01) Nelle simulazioni riferie al modello GARCH(1,1) Skew-Normal, le sime di λ mosrano una maggiore deviazione sandard rispeo alle precedeni, uavia non preoccupane, menre la media è ancora prossima al vero valore. Per enrambi i casi mosrai in Tabella 4.02 e Tabella 4.03, si è scelo un valore per queso paramero che generi un asimmeria negaiva. Parleremo più avani della differenza di significaivià per le sime di λ nei due scenari, anche alla luce di alri risulai: per ora basi considerare che per λ = 1 si oiene una skewness condizionaa pari a , perciò molo bassa e difficilmene rilevabile, menre λ = 5 genera un asimmeria più marcaa per la disribuzione condizionaa, pari a , valore difficilmene risconrabile su dai reali. Le sime di τ per i modelli e Skew- sono ragionevolmene corree, dando valori medi leggermene più ali rispeo al numero di gradi di liberà uilizzao in generazione τ = 7 : nel caso del modello GARCH(1,1) Skew-, ad esempio, le differenze in ermini di curosi condizionaa, rispeo a quella ipoizzaa, non è infai così rilevane. Si considerino quindi i risulai oenui per ciascun modello effeuando 500 replicazioni di numerosià più elevaa, con 2000 osservazioni, e mosrai da Tabella 4.06 a Tabella Com è correo aendersi, la maggiore numerosià campionaria aumena la precisione delle sime per ui i parameri d ineresse nei diversi modelli, riducendo la differenza ra i veri valori uilizzai in generazione e i valori medi dei parameri simai, per i quali si osserva una deviazione sandard inferiore rispeo alle simulazioni precedeni. Per le sesse replicazioni di lunghezza 2000 si sono calcolae le sime anche per i modelli diversi da quello uilizzao in generazione: anziuo si noa come, indipendenemene dal modello uilizzao, le sime per i parameri della varianza condizionaa non siano paricolarmene influenzae dalla presenza di asimmeria e curosi nelle serie generae. 54

57 Per i campioni oenui generando da un modello GARCH(1,1) Normale (Tabella 4.06), ci si aende che i parameri riferii ad asimmeria e curosi, nei modelli che li prevedono, risulino non significaivi. Effeivamene, la media delle sime per i gradi di liberà di e Skew- è molo elevaa, escludendo eccesso di curosi. Per i modelli con disribuzione asimmerica, ˆλ risula mediamene basso (nel caso Skew- quasi nullo), anche se significaivo per olre il 20% delle replicazioni, indicando la capacià di ali sruure di caurare anche le minime evidenze di asimmeria condizionaa nei dai. La Tabella 4.07 mosra i risulai oenui per le replicazioni da un GARCH(1,1) Skew-Normal. Ancora una vola le medie di ˆ τ sono elevae, menre il paramero di asimmeria per la Skew- è mediamene soosimao, benché sempre significaivo. Generando da un GARCH(1,1) (Tabella 4.08), valgono per ˆλ le osservazioni fae nel caso Normale: mediamene si oengono sime prossime a zero e nel caso Skew- esse sono significaive solo per il 5% delle replicazioni. Per ques ulimo modello il numero medio di gradi di liberà simao corrisponde al vero valore. Nel caso di replicazioni da un GARCH(1,1) Skew- (Tabella 4.09), la sima dei gradi di liberà risula correa e con una deviazione sandard più bassa rispeo alla simulazione di lunghezza inferiore. Il modello con disribuzione Skew- Normal, soosima il livello di asimmeria, anche se ˆ λ SN = conro λ = 1 uilizzao in generazione. Chiaramene, le simulazioni qui presenae, mosrano solo alcuni dei possibili scenari oenibili variando i parameri uilizzai nei modelli per la generazione delle serie di dai. Tuavia possono già fornire informazioni imporani in merio al comporameno dell asimmeria rispeo a serie che presenano o meno eccesso di curosi. Se ne discuerà con più aenzione nel prossimo paragrafo, evidenziando anche i risulai oenui per i es di simmeria applicai sulle simulazioni già presenae. 55

58 4.3 Sudio dell asimmeria mediane simulazioni Sulla base delle simulazioni presenae in 4.2, vediamo ora come si comporano le misure di asimmeria da noi prese in considerazione relaivamene ai diversi modelli ipoizzai, cercando anche di inerpreare la srea relazione ra asimmeria e curosi già inuibile da alcune precedeni osservazioni. Consideriamo anziuo le simulazioni relaive al modello GARCH(1,1) Normale. La eoria suggerisce che serie così sruurae non dovrebbero presenare evidenze significaive di asimmeria. Per quano deo nel paragrafo 2.5, invece, è provao che si osserverà un livello di curosi non condizionaa olre 3 (eccesso di curosi). I valori per la skewness campionaria riporai in Tabella 4.01 e Tabella 4.06, risulano in moli casi significaivi XIII (33% su 500 replicazioni di lunghezza 500, 23% su 500 replicazioni di lunghezza 2000), provando l inefficienza di ale es nel valuare la simmeria per dai serialmene correlai. Quesa caraerisica di Ŝ è osservabile anche per le alre simulazioni: queso es ende a sovrasimare l asimmeria, in paricolare per quelle serie con elevaa curosi. I es di Bai-Ng XIV rispondono invece in maniera correa alle nosre aspeaive: ˆ π 3 rifiua l ipoesi nulla di simmeria solo il 5.8% delle vole per le serie di lunghezza 500 e il 4% delle vole per serie di lunghezza 2000; il es di Bai-Ng per la simmeria condizionaa accea l ipoesi nulla in enrambi i casi più del 95% delle vole. In linea con quesi risulai, le sime riporae in Tabella 4.06 per λ nei modelli GARCH(1,1) Skew-Normal e GARCH(1,1) Skew-, secondo quano già deo in merio nel paragrafo precedene. Per le simulazioni relaive a GARCH(1,1) Skew-Normal, i risulai oenui mosrano come i es di simmeria, in paricolar modo enrambi i es di Bai-Ng, non rilevino evidenze di asimmeria, nel caso di replicazioni in cui il paramero di forma λ non deermini un asimmeria marcaa. Considerando il caso mosrao in Tabella 4.02, per λ = 1, il livello eorico di skewness condizionaa è , uavia sia ˆ π 3 che CS rifiuano l ipoesi di simmeria per meno del 10% dei casi. Anche le sime XIII Si ricorda che T S ˆ va confronao con il quanile di una N ( 0, 6). XIV Il es di Bai-Ng ˆ π 3 va confronao con il quanile di una normale sandard (1.96), menre il es di Bai-Ng CS ha valore criico

59 oenue per λ non risulano, uavia, sempre significaive (lo sono nel 63% dei casi), confermando che l asimmeria sulle serie generae non è così evidene. Nel caso invece di asimmeria marcaa, con λ = 5 (Tabella 4.03), sia i es di simmeria, sia le sime di λ, sono significaivi olre il 90% delle vole ( ˆ π 3 è al 93.4%, menre gli alri sono prossimi al 100%), rifiuando evidenemene l ipoesi di simmeria. Analogamene a quano capia per il modello con disribuzione normale, per le simulazioni relaive a GARCH(1,1), i es di Bai-Ng rifiuano la presenza di asimmeria nelle serie nel più dei casi: per le replicazioni di lunghezza 500 (Tabella 4.04) CS è significaivo il 7% delle vole, ˆ π 3 solo il 2%, e ancora, per la simulazione mosraa in Tabella 4.08, enrambi i es acceano l ipoesi di simmeria per olre il 95% dei casi. Le sime di λ oenue in ques ulima simulazione per i modelli con disribuzione asimmerica, sono mediamene prossime allo zero e, nel caso Skew-, quasi sempre non significaive. Infine, nel caso di replicazioni oenue da GARCH(1,1) Skew-, fissai i parameri λ = 1 e τ = 7, si ipoizza un indice di asimmeria condizionaa pari a , neamene più alo rispeo a quello oenuo con lo sesso valore di λ nel caso di disribuzione Skew-Normal: i valori medi per i es di simmeria riporai in Tabella 4.05 e Tabella 4.09 sono più ali rispeo a quelli considerai in precedenza per lo sesso valore del paramero di asimmeria. Da ques ulima osservazione, si può iniziare a spiegare la relazione che lega asimmeria e curosi. Considerando la simulazione riassuna in Tabella 4.09, noiamo come le sime oenue per λ con il modello GARCH(1,1) Skew-Normal siano mediamene , che in ermini di asimmeria condizionaa è pari a , un valore più vicino a quello ipoizzao. In alre parole, un eccesso di curosi, olre a quello già previso dal modello GARCH, amplifica ogni evidenza di asimmeria. Vale, inolre, anche il viceversa: la presenza di asimmeria aumena il livello di curosi. Se si confronano le simulazioni relaive a GARCH(1,1) Normale conro quelle relaive a GARCH(1,1) Skew-Normal, si osserva infai come, per le prime, a parià di lunghezza delle serie replicae, l eccesso di curosi sia mediamene più basso rispeo a quello oenuo per le seconde. Tale relazione è ancora più evidene se si considerano le replicazioni oenue con disribuzione conro quelle oenue con disribuzione Skew-: prendendo in considerazione le simulazioni con lunghezza 57

60 2000, il primo mosra un livello medio di eccesso di curosi pari a 3.930, menre l alro un valore pari a L impao dell asimmeria sul rischio Come già inrodoo nel paragrafo 1.6, e poi approfondio nel Capiolo 3, lo srumeno più diffuso per la valuazione del rischio è il VaR, ineso come massima perdia poenziale su un porafoglio di aivià finanziarie. Tale misura del rischio di mercao, è funzione della deviazione sandard e del quanile della disribuzione ipoizzaa per la serie dei rendimeni del porafoglio. La possibilià di risconrare asimmeria ed eccesso di curosi per la disribuzione dei rendimeni, giusifica l uilizzo dei modelli ad eeroschedasicià condizionale con disribuzione asimmerica per il calcolo del VaR. Si pone quindi a confrono i modelli già noi ed ampiamene uilizzai in leeraura, GARCH(1,1) Normale e GARCH(1,1), con quelli da noi inrodoi, GARCH(1,1) Skew-Normal e GARCH(1,1) Skew-. Sulla base delle simulazioni di 500 replicazioni Monecarlo di lunghezza 2000, già esaminae in precedenza in queso capiolo, si sono calcolai per ogni modello generaore e per ogni replicazione, le serie dei VaR per i quaro diversi modelli uilizzai per analizzare le serie simulae, secondo l espressione 1 dove ˆF ( α ) VaR ( α ) ˆ ( α ) ˆ 1 = F σ (4.2) indica il quanile di probabilià α della disribuzione simaa e ˆ σ è la deviazione sandard simaa. Si sono successivamene conai il numero di scosameni di ciascuna serie rispeo alle corrispondeni serie dei VaR, ovvero si sono conae quane osservazioni nel campione sanno olre il VaR. Le medie degli scosameni percenuali per le diverse simulazioni e per ciascun modello uilizzao per la sima, sono riporae in Tabella Si sono considerai i livelli di significaivià 0.5% e 1%, per la coda di sinisra della disribuzione simaa, nonché 99.5% e 99%, per la coda desra. Soliamene il VaR viene calcolao solo per i quanili riferii alle perdie (sulla pare negaiva della disribuzione), uavia è ineressane porre l aenzione anche sulla coda di segno opposo all asimmeria ipoizzaa. 58

61 Com è evidene, il numero degli scosameni oenuo, uilizzando per la sima il medesimo modello da cui si sono oenue le replicazioni, coincide con i livelli di confidenza considerai. Ineressani sono invece i risulai oenui quando modello generaore e modello di sima non coincidono: per le serie generae da un GARCH(1,1) Normale, le percenuali di scosameni oenue uilizzando un modello GARCH(1,1) Skew-Normal sono grosso modo coincideni a quelle ipoizzae. Nel caso dei modelli con disribuzione e Skew, invece, si osserva la endenza a sovrasimare il rischio, oenendo un numero inferiore di scosameni rispeo a quello previso. Nel caso di replicazioni da un GARCH(1,1) Skew-Normal con asimmeria negaiva ( λ = 1.2 ), il numero di scosameni per i modelli con disribuzione normale e disribuzione eccede i livelli di confidenza sulla coda negaiva della disribuzione, menre sovrasimano il rischio per i quanili calcolai sulla pare posiiva. Il modello GARCH(1,1) Skew-, come per il caso viso in precedenza, ende a sovrasimare il rischio su enrambe le code, però in maniera simmerica, dando l idea di aver correamene enuo cono del livello di asimmeria nelle serie replicae. GARCH(1,1) Normale e GARCH(1,1) Skew-Normal, simando le serie replicae da un GARCH(1,1) con 7 gradi di liberà, oengono un numero di scosameni olre il 0.9% considerando α = 0.5% e olre l 1.4% per α = 1% (e per la simmeria anche sui quanili opposi, sulla coda di desra). Per il modello GARCH(1,1) Skew-, il numero di scosameni coincide con i livelli di confidenza. Infine, per serie replicae da un modello GARCH(1,1) Skew- con λ = 1 e τ = 7, gli alri modelli oengono un numero di scosameni sulla coda sinisra della disribuzione superiore a quello previso. Al conrario, dal lao opposo della disribuzione, i modelli simmerici sovrasimano il rischio e oengono una percenuale di scosameni inferiore ai livelli di confidenza considerai. In sinesi, nel caso di serie di rendimeni che presenano asimmeria e/o eccesso di curosi, le sime oenue con i modelli basai su disribuzioni asimmeriche poreranno a soosimare il rischio sul lao della disribuzione in cui si verifica 59

62 l asimmeria, e sovrasimarlo nel caso di posizioni di segno opposo: nel caso di asimmeria negaiva infai, la sima della perdia aesa sarà inferiore a quella reale, aumenando il rischio di perdie inaese. Per quei modelli che invece engono cono dell asimmeria, nonché dell eccesso di curosi, si ha la possibilià di oenere sime più precise del livello di perdia aesa, ma non uavia un valore inferiore per essa. Infai, lo scopo dell uilizzo di ali modelli è una misurazione maggiormene correa del rischio e, di conseguenza, la uela da perdie ingeni Impao dell asimmeria sul requisio parimoniale Una possibile applicazione per quano appena illusrao, è il calcolo del requisio parimoniale relaivo al rischio di mercao, per quelle banche che uilizzano modelli inerni di valuazione del rischio. Nel paragrafo 3.5, si è spiegao come il parimonio poso a garanzia per il rischio dell aivià bancaria, per la quoa relaiva al rischio di mercao, sia funzione del massimo ra il VaR calcolao al giorno precedene e una media dei VaR dei 60 giorni precedeni per un faore moliplicaivo δ, deciso sulla base degli scosameni verificaisi nei 250 giorni precedeni, per i livelli mosrai in Tabella Sulla base dei risulai oenui sulle medesime simulazioni precedenemene considerae, si sono oenui il numero medio di giorni XV per ogni livello previso di δ, considerando il livello di significaivià unilaerale dell 1%, come previso dalla normaiva, e il suo corrispeivo sulla coda opposa. Tali valori sono presenai, per ciascun modello uilizzao in generazione, da Tabella 4.11 a Tabella 4.14, e mosrai mediane isogrammi da Figura 4.01 a Figura 4.04 (per α = 1% ). Nelle simulazioni oenue da GARCH(1,1) asimmerici, le frequenze osservae per i valori di δ superiori a 3, sono maggiori nel caso di modelli che non prevedono la componene di asimmeria. In presenza di eccesso di curosi, ma non di asimmeria, i modelli con disribuzione normale e Skew-Normal si eguagliano, così come per i modelli GARCH(1,1) e Skew-. Per le replicazioni oenue da un GARCH(1,1) Normale, le piccole evidenze di asimmeria ed eccesso di curosi, XV Se si considerano le serie replicae come serie di rendimeni giornalieri. 60

63 rilevae nelle serie generae casualmene, sono sufficieni per far scendere le frequenze in cui si oiene δ > 3 per i modelli con disribuzione non normale. Avere quindi a disposizione un modello di valuazione del rischio, che enga cono delle diverse caraerisiche delle serie finanziarie, può deerminare un vanaggio per la banca in ermini di un più basso parimonio a garanzia del rischio di mercao. 61

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65 Capiolo 5 APPLICAZIONI SU DATI REALI 5.1 Inroduzione all analisi delle serie reali uilizzae Nel presene capiolo, uilizzeremo i modelli e i es di simmeria fin qui sudiai, per analizzare delle serie reali di rendimeni finanziari. Si sono presi in considerazione due gruppi di serie finanziarie di prezzi, oenendone le corrispondeni serie dei rendimeni logarimici: si sono considerai un gruppo di dieci indici di mercao (cac40, dax, dowjones, fse100, hangseng, mib30, nasdaq, nikkey225, sp500 e swiss) con serie soriche dei prezzi giornalieri di lunghezza differene (vedi Tabella 5.01). Calcolando le serie dei rendimeni, si sono posi a zero i valori anomali per alcune delle serie, per non compromeere la correezza delle analisi. Inolre, si sono analizzai le serie giornaliere dei prezzi dei ioli del Mib30, osservae in un periodo che va dal 1985 al 2004, anch esse di lunghezza campionaria differene: per alcuni ioli si hanno meno di 1000 osservazioni, e proprio per la bassa numerosià campionaria si è scarao dal paniere il iolo Terna (23/06/ /10/2004). (Tabella 5.02) Anche per le serie dei rendimeni giornalieri oenue da quesi campioni si sono scarae le anomalie (i rendimeni in valore assoluo olre il 20%). I ioli considerai sono quindi Alleanza assicurazioni (al), Auosrade (AUTO), Banca FIdeuram (BFI), Banca inesa (BIN), Banca MPS (bmps), BNL (bnl), Banche popolari unie (bpu), Banca popolare di Verona e Novara (bpvn), Capialia (cap), Edison (edn), Enel (enel), Eni (eni), Fia (f), Finmeccanica (fnc), Generali (g), Luxoica (lux), Mediobanca (mb), Mediolanum (Med), Mediase (ms), Banca Anonvenea (nv), Sea Pagine gialle (pg), RAS (R), SanPaolo IMI (SPI), Saipem (spm), Snam ree gas (srg), ST Microeleronics (sm), Tim (Tim), Telecom Ialia (i), Unicredi (uc). E d ora in avani verranno idenificai mediane le loro sigle. 63

66 Lo sudio delle serie dei rendimeni prese in considerazione, vuole anziuo verificare la presenza di asimmeria nei mercai finanziari. A ale scopo, si sono uilizzai in fase preliminare i es di simmeria: l indice di asimmeria campionario, i es di Bai-Ng per la asimmeria non condizionaa e quello per la condizionaa. Inolre si è oenuo il valore campionario per l eccesso di curosi. Fori delle considerazioni fae nel Capiolo 4, sappiamo che, in genere: Ŝ è una misura non aendibile, nel caso di dai serialmene correlai, per deerminare la significaivià dell asimmeria nel campione. Tuavia risula uile per deerminare il segno di un evenuale asimmeria. ˆ π 3 non coglie nella serie evidenze poco marcae di asimmeria, in quano es basao sulla disribuzione marginale. Inolre, per definizione, non risponde correamene nel caso si risconri un fore eccesso di curosi. dalle simulazioni svole in precedenza, si è viso che il es CS subisce, come l asimmeria condizionaa, l influenza dell eccesso di curosi. Per quesa ragione, è opporuno enerne cono assieme all indice campionario di curosi, in paricolar modo nei casi in cui il valore del es è al limie della significaivià. Per ogni serie dei rendimeni a media nulla XVI si sono poi simai i parameri del modello GARCH(1,1) considerando le diverse disribuzioni, sia simmeriche che asimmeriche. A differenza delle simulazioni vise nel Capiolo 4, in cui si conosceva a priori il modello generaore dei dai, risula più difficile, nel caso di dai reali, sabilire quale modello inerprei meglio ciascuna serie analizzaa. I risulai oenui dai es proposi sono un primo puno di riferimeno, ricordando che: il segno del paramero di forma λ concorda, generalmene, con quello ricavao dai es sull asimmeria non condizionaa, in paricolar modo se risula significaivo. il valore di λ per il modello GARCH(1,1) Skew-Normal non coincide con quello di un GARCH(1,1) Skew-. Essi sono ano diversi quano più elevaa è la curosi nei dai. XVI Ogni serie dei rendimeni è simaa dai modelli come serie degli scari dalla media campionaria. 64

67 Sulla base delle sime oenue dai diversi modelli si sono poi calcolae le serie dei VaR e i corrispondeni scosameni. Anche quesi risulai possono aiuare ad evidenziare la bonà d adaameno dei modelli ai dai: quano più la disribuzione sulle code degli scosameni risulerà prossima a quella ipoizzaa, meglio il modello avrà simao i dai. Infine, volendo dare una giusificazione praica alla scela di modelli più complessi di quelli già ampiamene uilizzai, si sono valuai gli effei sul moliplicaore uilizzao nel calcolo del requisio parimoniale: nel caso di dai con asimmeria negaiva, si vorrebbe osservare, sulla base degli scosameni dal VaR osservai sulla coda relaiva alle perdie nell ulimo anno, una concenrazione della disribuzione empirica di δ in corrispondenza dei suoi livelli più bassi. È evidene come, sulla coda di segno opposo all asimmeria rilevaa, i modelli simmerici sovrasimeranno il rischio e, di conseguenza, oerranno una disribuzione empirica per il moliplicaore concenraa sui livelli inferiori. 5.2 Analisi degli indici di mercao Risulai dei es di simmeria In Tabella 5.01 sono riporai, per le serie dei rendimeni di ogni indice di mercao, la numerosià campionaria, gli indici campionari di asimmeria e di curosi e i es sulla simmeria non condizionaa e condizionaa di Bai-Ng. Osservando il segno di Ŝ e ˆ π 3, si evince come ui gli indici, hanno una skewness negaiva, indipendenemene dalla sua significaivià, meno che per l indice della borsa giapponese (nikkey225). A livello esploraivo, si osserva per fse e per hangseng i valori più elevai in ermini assolui per Ŝ, menre nikkey225 e sp500 sono gli indici di mercao per i quali queso es ripora meno evidenza di asimmeria. Anche il es di Bai-Ng per l asimmeria non condizionaa conferma quano individuao dall indice campionario di asimmeria. Tuavia, per nessun indice, XVII ˆ π 3 risula significaivo ad un livello di significaivià del 5%, e queso può spiegare la concordanza ra le due misure di asimmeria: enrambe le misure XVII Il valore del es di Bai-Ng ˆ π 3 va confronao con il quanile di una normale sandard (1.96). 65

68 reagiscono allo sesso modo rispeo ad evidenze di asimmeria sulla disribuzione marginale dei dai. Risulai in pare diversi si oengono valuando l asimmeria per la disribuzione condizionaa dei rendimeni, mediane il es di Bai-Ng CS XVIII. I segueni indici di mercao mosrano evidenza di asimmeria condizionaa significaiva: dax, fse, mib30, nasdaq, sp500 e swiss. Si noi come, i valori più ali oenui per queso es, per le serie di fse e nasdaq, corrispondono ai valori più elevai dell indice campionario di curosi: un ala asimmeria condizionaa porebbe, quindi, essere saa in pare provocaa da un marcao eccesso di curosi. Anche per CS, l indice di mercao nikkey225 è ra ui quello più prossimo all ipoesi nulla di simmeria, assieme alla serie hangseng, che in precedenza era invece valuaa come la serie con asimmeria della disribuzione marginale ra le più evideni, anche se non significaiva Confrono ra i modelli uilizzai per la sima Sulle serie dei rendimeni a media nulla degli indici di mercao, si sono oenue le sime dei parameri per i diversi modelli ad eeroschedasicià condizionale presi in considerazione in quesa esi. Si osservino i risulai in Tabella 5.03, che ripora, per ciascuna serie e per ciascun modello uilizzao, le sime dei parameri e le corrispondeni saisiche es di significaivià, confronabili, ad un livello di significaà del 5%, con il valore di una normale sandard in corrispondenza di ale livello di probabilià (1.96). Nelle simulazioni esaminae nel capiolo precedene, i diversi modelli davano mediamene le sesse sime per i parameri relaivi all espressione della varianza 2 condizionaa ( ) 2 2 σ = γ + α y µ + βσ, con ( y µ ) serie riardaa dei rendimeni giornalieri a media nulla. XIX Tali sime sono ora, invece, leggermene discordani ra i diversi modelli: generalmene, le sime per α risulano più ale per i modelli GARCH(1,1) Normale e GARCH(1,1) Skew-Normal; viceversa, invece, per β che oiene valori più elevai in corrispondenza dei modelli che simano il livello XVIII Il valore del es di Bai-Ng CS ha valore criico XIX Effeivamene, non sono sae riporae le sime per la cosane γ, in quano essa risula sisemaicamene prossima a zero e in genere non significaiva. 66

69 di curosi mediane il numero di gradi di liberà. Queso è naurale se si considera, come spiegao nel paragrafo 2.5, la relazione posiiva ra il paramero α e la curosi in modelli GARCH(1,1). Tue le sime relaive ai parameri α e β risulano significaive al 5%, premiando la scela di una sruura ad eeroschedasicià condizionale di queso ipo. Per quano l indice campionario di curosi risuli diverso per i vari indici di mercao, le sime del paramero τ (numero dei gradi di liberà) per i modelli GARCH(1,1) e GARCH(1,1) Skew- sono sempre significaive e in gran pare concenrae aorno al valore 7. Queso ci suggerisce la possibilià che le differenze per l eccesso di curosi rilevae ra le diverse serie, sia principalmene causaa dal livello di asimmeria nelle disribuzioni condizionae di ciascuna di esse. Una maggiore aenzione va daa, dunque, al paramero di asimmeria λ. Anziuo, il segno delle sime di ale paramero coincide con il segno che era sao suggerio dai es sull asimmeria marginale: per ui gli indici di mercao ˆ λ < 0 e l unico valore posiivo è simao sulla serie nikkey225 dal modello con disribuzione Skew-Normal. L alro modello asimmerico, dà invece una sima negaiva di λ in corrispondenza di ale indice di mercao, ma per enrambe le sruure le sime di queso paramero risulano non significaive, in accordo con quano osservao mediane i es di simmeria. È queso l unico caso in cui ˆλ risula non significaivo per enrambi i modelli: le sime del paramero di asimmeria, uilizzando il modello GARCH(1,1) Skew- Normal, sono infai significaive per ue le alre serie considerae; menre, per un GARCH(1,1) Skew-, la significaivià di ˆλ è per 8 casi su 10 in accordo con il es CS (non è così per cac40 e dax). Ancora una vola, la ragione di ale evidenza è da ricondursi al enaivo del modello con disribuzione normale asimmerica, di caurare l eccesso di curosi mediane la sima di un asimmeria in valore assoluo maggiore. La presenza di asimmeria ed eccesso di curosi sulle serie analizzae, sembrerebbe quindi favorire nella scela del modello che meglio si adaa ai dai, il GARCH(1,1) Skew-, che dà un inerpreazione sosanzialmene correa della curosi rilevaa e, soprauo, risula in accordo con i es di simmeria. 67

70 5.2.3 Valuazione del rischio per gli indici di mercao Sulla base delle sime oenue con ciascun modello applicao sulle serie degli indici di mercao, si sono ricavae le serie soriche del VaR per i livelli di confidenza 99% e 99.5% e i corrispeivi sulla coda opposa della disribuzione simaa. Le percenuali di scosameni, presenae in Tabella 5.04, calcolae sulla base dei VaR così oenui, non sembrano confermare i risulai discussi in Anziuo, è opporuno considerare solo i modelli con disribuzione e Skew-, viso che su ue le serie si è risconrao eccesso di curosi: l uilizzo, come ad esempio per cac40 fse100 e nasdaq, di un GARCH(1,1) Skew-Normal, porerebbe ad avere un numero di scosameni coerene con il livello di confidenza considerao sulla coda in cui si è risconraa asimmeria, ma soosimerebbe il rischio dal lao opposo della disribuzione. Nei casi in cui non sia saa simaa asimmeria significaiva con ˆSkew λ (dax, dowjones, hangseng, nikkey225), le percenuali degli scosameni per enrambi i modelli che simano il numero di gradi di liberà, coincidono grosso modo su ambedue le code. Quando invece il modello GARCH(1,1) Skew- rileva un asimmeria negaiva significaiva, esso ende a sovrasimare il rischio di perdia, maggiormene di quano sovrasimi il rischio di mancao guadagno. Un risconro più ineressane si oiene calcolando su ogni serie e per ciascun modello, le frequenze del moliplicaore δ : esso viene calcolao, secondo la normaiva, sulla base degli scosameni dal VaR oenui ad un livello di confidenza del 99%, sulla coda della disribuzione relaiva alle perdie. Viso che per le serie dei rendimeni degli indici di mercao si è simaa sempre asimmeria negaiva, dove essa è significaiva, si osserva che le frequenze per δ > 3 siano inferiori in corrispondenza dei modelli asimmerici, rispeo a quelli simmerici. I risulai che confronano i diversi modelli sono mosrai in Tabella 5.05 e nei grafici per ciascun indice da Figura 5.01 a Figura Considerando, a iolo d esempio, i risulai oenui per le serie quali dowjones, fse100 o sp500, in corrispondenza di modelli simmerici si osservano scosameni anche olre 7 ( δ = 3.65), evidenza che raramene si osserva nel caso di un GARCH(1,1) Skew-, che, nel più dei casi, non oiene valori di δ olre i 5 scosameni. L unica anomalia risconraa è in riferimeno all indice hangseng, sul 68

71 quale già in precedenza si erano espressi dubbi in merio al livello di asimmeria e di curosi della serie corrispondene. 5.3 Analisi dei ioli del Mib Risulai dei es di simmeria Come si è già proceduo in merio alle serie dei rendimeni degli indici di mercao sopra analizzai, anche per le 29 serie dei rendimeni dei ioli componeni il Mib30 si sono calcolai i consuei es di simmeria e l indice di curosi campionaria (si veda Tabella 5.02). È opporuno, ancora una vola, esaminare i risulai della skewness campionaria assieme a quelli oenui per il es di Bai-Ng relaivo all asimmeria non condizionaa, per deerminare, anziuo, il segno dell evenuale asimmeria su ciascuna serie: a differenza degli indici di mercao, per la maggior pare dei ioli analizzai S ˆ > 0, ad indicare asimmeria sulla coda di desra della disribuzione marginale. I ioli che danno invece evidenza di una possibile asimmeria marginale negaiva sono al, enel, eni, g, lux e srg, e per nessuno di quesi ˆ π 3 risula significaivo ad un livello di significaivià del 5%. Valori significaivi per il es sull asimmeria non condizionaa si oengono invece per BIN, fnc, pg, SPI, Tim e uc, e ra quesi è Tim che presena il valore più elevao per il es. Per alcuni ioli l asimmeria della disribuzione marginale delle serie risula essere prossima a zero: è il caso di bmps, f, g, nv, R e i. Risulai in pare diversi si oengono in merio al es di simmeria condizionaa CS: anch esso individua la presenza di asimmeria significaiva in corrispondenza dei ioli in cui già ˆ π 3 rifiuava l ipoesi di simmeria (ranne che per pg e uc). Anche per alri ioli queso es risconra asimmeria condizionaa significaiva, invece rifiuaa marginalmene: i casi più significaivi sono i già ciai f, g e nv. Per quano riguarda l indice di curosi campionaria, la maggior pare dei ioli oiene per ale es un valore compreso ra 2 e 5: oscillazioni all inerno di queso inervallo possono essere giusificae in pare dalla presenza di asimmeria nei dai. Il iolo AUTO presena un valore per la curosi olre 24, un risulao sorprendenemene anomalo, che dovrebbe compromeere la correezza dei valori oenui per i es di 69

72 simmeria. Negli alri casi in cui K ˆ > 5, si può disinguere ra i ioli che presenano evidenze di asimmeria (edn e R) e quelli per i quali si accea l ipoesi di simmeria (al e lux), osservando più avani, nel merio della valuazione dei modelli, se ali caraerisiche sono correamene considerae. Infine, per i ioli sm e Tim, si osserva un eccesso di curosi inferiore ad 1, menre i corrispeivi valori per i es di simmeria danno risulai diameralmene opposi Confrono ra i modelli uilizzai per la sima Si sono oenue, per le serie dei rendimeni di ogni iolo, le sime dei parameri corrispondeni ai vari modelli presi in considerazione: i valori oenui e le corrispondeni saisiche es, sono raccole in Tabella 5.06, Tabella 5.07 e Tabella È difficile fare osservazioni generalizzae per una così vasa mole di risulai, ne rarremmo conclusioni poco rilevani e probabilmene errae. Conviene invece considerare alcuni casi specifici, più uili alle nosre finalià, che meano in evidenza come si comporano i modelli in risposa alle caraerisiche osservae mediane i es. Per faciliare la comprensione dei risulai è possibile delineare quaro diversi scenari, in riferimeno alla significaivià o meno oenua per i es e per il paramero di asimmeria λ nei modelli che lo prevedono, e presenando per essi alcuni ioli ad esempio. Tioli per i quali i es rifiuano l ipoesi di simmeria e l asimmeria viene correamene simaa dai modelli che la prevedono. È il caso di ioli come BIN, edn e fnc: l asimmeria viene riconosciua dai es sia nel caso non condizionao, sia nel caso condizionao e si risconrano valori differeni per ˆK. Il modello GARCH(1,1) Skew-Normal, fornisce sime significaive per λ, e nel caso edn esso raggiunge il valore 1.315, più elevao rispeo agli alri, in risposa al livello di eccesso di curosi campionaria superiore a 5. Anche per il modello GARCH(1,1) Skew- la sima del paramero di asimmeria è significaiva. Inolre il numero di gradi di liberà simao è inferiore a quello oenuo dal modello con disribuzione simmerica, con valori di ˆ τ che, ad esempio per fnc, sono anche inferiori a 4, valore che deermina un fore eccesso di curosi. 70

73 Tioli per i quali i es acceano l ipoesi di simmeria e ˆλ risula non significaiva. Si considerino, ad esempio, i ioli al, bmps e lux: per nessuno di quesi i es di simmeria hanno risconrao evidenze che rifiuino l ipoesi nulla. Tuavia, per al e lux, la sima di λ per il modello con disribuzione normale asimmerica risula significaiva, probabilmene a causa della presenza di una curosi elevaa, infai per enrambi i ioli K ˆ > 5. I risulai oenui per quesi ioli riornano in linea con quelli ricavai per bmps, nel caso di modelli che simino un paramero riferio alla curosi: per quesi, ˆλ è non significaiva, menre ˆ τ è ancora una vola più basso nel caso di disribuzione Skew-, con valori minori di 6. Tioli per i quali i es acceano l ipoesi di simmeria e ˆλ risula significaiva. Per i ioli che si rovano in quesa caegoria, come ad esempio AUTO, BFI e bnl, la discordanza d opinione ra es e modelli è più difficile da giusificare. Per i primi 2 ioli, si oiene un numero di gradi di liberà simao basso (per AUTO ˆ τ 2.7 ), riconoscendo un elevao eccesso di curosi nei dai, che porebbe spiegare perché ˆSkew λ N risula significaivo. Ad ogni modo, la sima per λ nel modello con disribuzione Skew- dovrebbe risulare non significaiva, viso che esso già prevede l eccesso di curosi, mediane la sima di τ. Tioli per i quali i es rifiuano l ipoesi di simmeria e ˆλ risula non significaiva. Solo un iolo ra quelli analizzai presena ali caraerisiche, nv. Effeivamene il valore oenuo per CS per quesa serie è significaivo, uavia gli alri es sull asimmeria della disribuzione marginale ci avevano fao includere ale iolo ra quelli con asimmeria praicamene nulla. Si consideri inolre la sima per i gradi di liberà: ˆ τ nel modello con simmerica è inferiore rispeo a quello oenuo con asimmerica, simando un maggiore eccesso di curosi. Tale evidenza è in conroendenza con quano osservao negli alri scenari. 71

74 5.3.3 Valuazione del rischio per gli indici di mercao Anche per i ioli del Mib30 si vuole osservare come le evidenze simae di asimmeria e curosi influenzino la misura del rischio. In Tabella 5.09, Tabella 5.10 e Tabella 5.11 sono riporai gli scosameni dalle serie dei VaR oenue per i diversi modelli simai, considerando i livelli di confidenza 99% e 99.5% (e quelli corrispondeni sulla coda opposa). Per semplificare la leura dei risulai, consideriamo per i ioli la medesima suddivisione faa sopra e le corrispondeni serie ad esempio: Tioli per i quali i es rifiuano l ipoesi di simmeria e l asimmeria viene correamene simaa dai modelli che la prevedono. Per quesi ioli, il modello GARCH(1,1) Skew- è quello che più precisamene oiene un numero di scosameni vicino alle quanià richiese dello 0.5% e dell 1%, su enrambe le code. Tioli per i quali i es acceano l ipoesi di simmeria e ˆλ risula non significaiva. Il rifiuo della presenza di asimmeria nei dai, giusifica come per quesi ioli il modello con disribuzione simmerica e quello con disribuzione Skew-, presenino grosso modo le sesse performance in ermini di percenuale di scosameni. Tioli per i quali i es acceano l ipoesi di simmeria e ˆλ risula significaiva. Nonosane le perplessià dovue alla discordanza ra es e modelli asimmerici nel verificare la skewness, il modello GARCH(1,1) Skew- dà comunque livelli sufficienemene precisi per gli scosameni su enrambe le code. Anche il corrispondene modello simmerico, uavia, presena risulai equiparabili Tioli per i quali i es rifiuano l ipoesi di simmeria e ˆλ risula non significaiva. Per il iolo nv, i risulai in ermini di scosameni per i modelli con disribuzione simmerica confermano l assenza di asimmeria nella disribuzione dei dai. Nel caso di modelli con disribuzioni asimmeriche, invece, il paramero di asimmeria simao, anche se non significaivo deermina lo sposameno a desra dei VaR oenui sulla disribuzione dei rendimeni provocando una soosima del rischio per una posizione lunga e una sovrasima per una posizione cora. Inolre, è evidene come la soosima 72

75 dei gradi di liberà nel modello con disribuzione Skew-, compromea uleriormene la deerminazione del numero di scosameni sulle code della disribuzione dei rendimeni. L errore nelle sime per queso iolo può essere giusificaa dalla bassa numerosià campionaria. In sinesi, quando i es di simmeria sulle serie dei rendimeni rifiuano l ipoesi nulla, i modelli basai su disribuzioni asimmeriche simano in modo più preciso la disribuzione dei rendimeni, come mosrao per l esempio degli scosameni. L evidenza opposa risconraa sul iolo nv non compromee la correezza degli alri risulai, ma richiede invece di porre paricolare aenzione alle sime oenue mediane le procedure che implemenano i modelli considerai. A queso puno, seguendo il percorso uilizzao per gli indici di mercao, dovremmo presenare i risulai in ermini del moliplicaore uilizzao nel compuo del requisio parimoniale. Tuavia, va ricordao che per la maggior pare dei ioli il segno dell asimmeria è posiivo, e per quei pochi ioli per i quali l asimmeria è di segno opposo essa risula non significaiva. Viso che la procedura di backesing è effeuaa sulla base degli scosameni oenui sulla coda delle perdie al quanile di probabilià 1%, i risulai oenui (riporai in Tabella 5.12, Tabella 5.13 e Tabella 5.14) mosrano chiaramene come i modelli basai su disribuzioni simmeriche simino, per quesi ioli, un rischio più elevao di quello effeivo, oenendo meno frequenemene valori elevai per δ di quano non accada per i modelli asimmerici. Non risulerebbe perano uile discuere olre ali risulai. 73

76

77 CONCLUSIONI L obieivo di queso elaborao è di idenificare le evidenze empiriche di asimmeria delle disribuzioni delle serie dei rendimeni finanziari, quanificarle e individuare una modellazione che ne enga cono per oenere misurazioni più precise del rischio nel momeno in cui si osservano ali caraerisiche di asimmeria. Nelle analisi presenae nel Capiolo 5, sia quelle relaive agli indici di mercao, sia ai ioli del Mib30, si sono oenue informazioni ineressani, anche se a vole conraddiorie, in merio alle caraerisiche delle serie finanziarie, alle capacià dei es di simmeria di rilevare correamene le evidenze di asimmeria su queso genere di dai, e alle possibilià di oenere, mediane l uilizzo dei modelli GARCH asimmerici, sime corree per i parameri relaivi a skewness e curosi. Come già argomenao, l indice di asimmeria campionaria, benché inadao a deerminare l effeivo livello di asimmeria per la disribuzione delle serie analizzae, si dimosra informaivo se non alro in merio al segno di ale evidenza. Anche il es ˆ π 3 concorda sisemaicamene con la scela di segno dell asimmeria suggeria da Ŝ. I es di Bai e Ng per la simmeria risulano fondamenali per capire se effeivamene sulle serie dei rendimeni finanziari si possa risconrare un asimmeria significaiva. Il es sulla simmeria non condizionaa risula significaivo raramene nelle serie analizzae, alcuni dei ioli del Mib30 che mosrano in queso caso asimmeria posiiva. Queso porerebbe a pensare che, le disribuzioni marginali delle serie dei rendimeni giornalieri di aivià finanziarie sono il più delle vole simmeriche. Il es di Bai e Ng per la simmeria condizionaa risula invece spesso significaivo, sia per gli indici che per i ioli: è quindi concrea la possibilià di rilevare evidenze di asimmeria per le disribuzioni condizionae delle serie dei rendimeni. Tali evidenze vanno però osservae alla luce del legame che si è risconrao ra skewness condizionaa e curosi: al neo dell effeo moliplicaivo della seconda sulla prima, l asimmeria può risulare effeivamene non più significaiva. 75

78 Tale conceo risula più chiaro se si confronano le sime di λ oenue per i due modelli GARCH asimmerici: in diversi casi infai un valore significaivo di ˆλ oenua con il modello con disribuzione Skew-Normal, non risula significaiva per il modello con disribuzione Skew- applicao alla sessa serie. In generale, comunque, i modelli GARCH con disribuzioni asimmeriche, rispondono enrambi correamene ad evidenze di asimmeria nei dai. Tuavia, a fini praici, l uilizzo di un modello con disribuzione Skew-Normal, è giusificabile solo se poso a confrono con un GARCH Normale. L eccesso di curosi che si individua soliamene per le serie finanziarie, quello dovuo alla curosi delle innovazioni, suggerisce l adozione di un modello basao sulla di Suden, ma ancor più sulla Skew-: ale disribuzione infai include la simmerica, nonché la normale e la normale asimmerica, come casi paricolari e solo in rari casi la sua performance risula inferiore rispeo a quelle dei modelli concorreni. La seppur bassa possibilià d errore per queso modello è probabilmene legaa alle difficolà di oimizzazione delle procedure implemenae con cui si oengono le corrispondeni sime. In ermini di misurazione del rischio, l adozione di modelli che prevedano skewness per le serie dei rendimeni finanziari, ha mosrao come sia possibile oenere una sima più precisa del rischio per una posizione lunga nel caso di asimmeria negaiva, e per una posizione cora nel caso di asimmeria posiiva, rischio soliamene soosimao dai modelli simmerici. 76

79 Appendice A TABELLE > Modello di sima > V Modello V V generaore V NORMALE SKEW-NORMAL Suden's SKEW- Tabella 1.01 NORMALE SKEW-NORMAL Suden's SKEW- α 0.5% 1% 5% 0.5% 1% 5% 0.5% 1% 5% 0.5% 1% 5% VaR(α ) 0.49% 1.00% 4.99% 0.49% 0.99% 5.00% 0.44% 0.92% 4.88% 0.42% 0.91% 5.00% VaR(1-α) 0.50% 0.98% 4.98% 0.49% 0.98% 5.00% 0.44% 0.90% 4.85% 0.43% 0.90% 5.00% VaR(α ) 0.80% 1.41% 5.55% 0.50% 1.00% 5.01% 0.69% 1.28% 5.38% 0.44% 0.93% 5.02% VaR(1-α) 0.28% 0.66% 4.34% 0.50% 0.98% 5.00% 0.23% 0.57% 4.16% 0.44% 0.92% 5.01% VaR(α ) 0.99% 1.46% 4.54% 0.99% 1.47% 4.58% 0.49% 1.01% 5.02% 0.49% 1.00% 5.01% VaR(1-α) 0.97% 1.45% 4.54% 0.97% 1.46% 4.58% 0.50% 0.98% 5.01% 0.51% 1.01% 4.98% VaR(α ) 1.54% 2.13% 5.44% 1.02% 1.51% 4.70% 0.94% 1.45% 4.61% 0.50% 1.01% 4.99% VaR(1-α) 0.43% 0.72% 3.22% 0.88% 1.34% 4.45% 0.20% 0.40% 2.49% 0.51% 1.01% 4.99% Percenuale media di scosameni per 500 replicazioni i.i.d. di 2000 osservazioni ognuno generai da diverse disribuzioni. MODELLO GENERATORE : GARCH(1,1) SKEW-NORMAL GARCH(1,1) SKEW- Parameri λ τ Skewness cond. Teorica Curosi cond. Teorica Skewness campionaria media Eccesso di curosi camp. media Tabella 2.01 Valori per l indice di asimmeria condizionaa ed eccesso di curosi condizionaa per i modelli indicai al variare dei parameri d ineresse. Si riporano anche le medie su 500 replicazioni di lunghezza 2000 per gli indici campionari di asimmeria e curosi. 77

80 Tabella 3.01 Faori di maggiorazione per il moliplicaore del VaR sulla base degli scosameni giornalieri. MODELLO GENERATORE : GARCH(1,1) NORMALE REPLICAZIONI MONTECARLO : 500 LUNGHEZZA SERIE : 500 PARAMETRI : alpha bea gamma lambda au TEST CAMPIONARI: Skewness Tes Bai-Ng (π3) Tes Bai-Ng (CS) Eccesso di curosi media (val. ass.) % sign. 33.0% 5.8% 3.4% MODELLO PER LA STIMA : GARCH(1,1) NORMALE alpha bea gamma lambda au media dev.s % sign. 100% 100% 54% XX Tabella replicazioni di lunghezza 500 dal modello GARCH(1,1) Normale di parameri α = 0.10, β = 0.85, γ = Sime oenue uilizzando il medesimo modello. XX Il livello di significaivià considerao è del 5%. Il es di Bai-Ng ˆ π 3 va confronao con il quanile di una normale sandard (1.96), menre il es di Bai-Ng CS ha valore criico

81 MODELLO GENERATORE : REPLICAZIONI MONTECARLO : 500 LUNGHEZZA SERIE : 500 GARCH(1,1) SKEW-NORMAL PARAMETRI : alpha bea gamma lambda au TEST CAMPIONARI: Skewness Tes Bai-Ng (π3) Skewness cond. Teorica Curosi cond. Teorica Tes Bai-Ng (CS) Eccesso di curosi media (val. ass.) % sign. 39.2% 9.1% 9.7% MODELLO PER LA STIMA : GARCH(1,1) SKEW-NORMAL alpha bea gamma lambda au media dev.s % sign. 100% 100% 54% 63% Tabella replicazioni di lunghezza 500 dal modello GARCH(1,1) Skew-Normal di parameri α = 0.10, β = 0.85, γ = 0.015, λ = 1. Sime oenue uilizzando il medesimo modello. MODELLO GENERATORE : REPLICAZIONI MONTECARLO : 500 LUNGHEZZA SERIE : 500 GARCH(1,1) SKEW-NORMAL PARAMETRI : alpha bea gamma lambda au TEST CAMPIONARI: Skewness Tes Bai-Ng (π3) Skewness cond. Teorica Curosi cond. Teorica Tes Bai-Ng (CS) Eccesso di curosi media (val. ass.) % sign % 93.4% 99.2% MODELLO PER LA STIMA : GARCH(1,1) NORMALE alpha bea gamma lambda au media dev.s % sign. 100% 100% 98% 100% Tabella replicazioni di lunghezza 500 dal modello GARCH(1,1) Skew-Normal di parameri α = 0.10, β = 0.85, γ = 0.015, λ = 5. Sime oenue uilizzando il medesimo modello. 79

82 MODELLO GENERATORE : GARCH(1,1) REPLICAZIONI MONTECARLO : 500 LUNGHEZZA SERIE : 500 PARAMETRI : alpha bea gamma lambda au TEST CAMPIONARI: Skewness Tes Bai-Ng (π3) Tes Bai-Ng (CS) Eccesso di curosi media (val. ass.) % sign. 61.0% 2.0% 7.0% 100.0% MODELLO PER LA STIMA : GARCH(1,1) alpha bea gamma lambda au media dev.s % sign. 100% 100% 61% 94% Tabella replicazioni di lunghezza 500 dal modello GARCH(1,1) di Suden di parameri α = 0.10, β = 0.85, γ = 0.015, τ = 7. Sime oenue uilizzando il medesimo modello. MODELLO GENERATORE : GARCH(1,1) SKEW- REPLICAZIONI MONTECARLO : 500 LUNGHEZZA SERIE : 500 PARAMETRI : alpha bea gamma lambda au TEST CAMPIONARI: Skewness Tes Bai-Ng (π3) Skewness cond. Teorica Curosi cond. Teorica Tes Bai-Ng (CS) Eccesso di curosi media (val. ass.) % sign. 91.0% 22.0% 35.0% MODELLO PER LA STIMA : GARCH(1,1) SKEW- alpha bea gamma lambda au media dev.s % sign. 99% 100% 59% 83% 99% XXI Tabella replicazioni di lunghezza 500 dal modello GARCH(1,1) Skew- di parameri α = 0.10, β = 0.85, γ = 0.015, λ = 1, τ = 7. Sime oenue uilizzando il medesimo modello. XXI Il livello di significaivià considerao è del 5%. Il es di Bai-Ng ˆ π 3 va confronao con il quanile di una normale sandard (1.96), menre il es di Bai-Ng CS ha valore criico

83 MODELLO GENERATORE : GARCH(1,1) NORMALE REPLICAZIONI MONTECARLO : 500 LUNGHEZZA SERIE : 2000 PARAMETRI : alpha bea gamma lambda au TEST CAMPIONARI: Skewness Tes Bai-Ng (π3) Tes Bai-Ng (CS) Eccesso di curosi media (val. ass.) % sign. 23.0% 4.0% 4.0% MODELLO PER LA STIMA : GARCH(1,1) NORMALE alpha bea gamma lambda au media dev.s % sign. 100% 100% 100% MODELLO PER LA STIMA : GARCH(1,1) SKEW-NORMAL alpha bea gamma lambda au media dev.s % sign. 100% 100% 100% 22% MODELLO PER LA STIMA : GARCH(1,1) alpha bea gamma lambda au media dev.s % sign. 100% 100% 100% 100% MODELLO PER LA STIMA : GARCH(1,1) SKEW- alpha bea gamma lambda au media dev.s % sign. 100% 100% 100% 20% 51% Tabella replicazioni di lunghezza 2000 dal modello GARCH(1,1) Normale di parameri α = 0.10, β = 0.85, γ = Sime oenue per ui e quaro i modelli presi in considerazione. 81

84 MODELLO GENERATORE : GARCH(1,1) SKEW-NORMAL REPLICAZIONI MONTECARLO : 500 LUNGHEZZA SERIE : 2000 PARAMETRI : alpha bea gamma lambda au Skewness cond. Teorica Curosi cond. Teorica TEST CAMPIONARI: Skewness Tes Bai-Ng (π3) Tes Bai-Ng (CS) Eccesso di curosi media (val. ass.) % sign. 88.0% 73.0% 31.0% MODELLO PER LA STIMA : GARCH(1,1) NORMALE alpha bea gamma lambda au media dev.s % sign. 100% 100% 100% MODELLO PER LA STIMA : GARCH(1,1) SKEW-NORMAL alpha bea gamma lambda au media dev.s % sign. 100% 100% 100% 100% MODELLO PER LA STIMA : GARCH(1,1) alpha bea gamma lambda au media dev.s % sign. 100% 100% 100% 100% MODELLO PER LA STIMA : GARCH(1,1) SKEW- alpha bea gamma lambda au media dev.s % sign. 100% 100% 100% 100% 72% XXII Tabella replicazioni di lunghezza 2000 dal modello GARCH(1,1) Skew-Normal di parameri α = 0.10, β = 0.85, γ = 0.015, λ = 1.2. Sime oenue per ui e quaro i modelli presi in considerazione. XXII Il livello di significaivià considerao è del 5%. Il es di Bai-Ng ˆ π 3 va confronao con il quanile di una normale sandard (1.96), menre il es di Bai-Ng CS ha valore criico

85 MODELLO GENERATORE : GARCH(1,1) REPLICAZIONI MONTECARLO : 500 LUNGHEZZA SERIE : 2000 PARAMETRI : alpha bea gamma lambda au TEST CAMPIONARI: Skewness Tes Bai-Ng (π3) Tes Bai-Ng (CS) Eccesso di curosi media (val. ass.) % sign. 55.0% 2.0% 3.0% 100.0% MODELLO PER LA STIMA : GARCH(1,1) NORMALE alpha bea gamma lambda au media dev.s % sign. 100% 100% 100% MODELLO PER LA STIMA : GARCH(1,1) SKEW-NORMAL alpha bea gamma lambda au media dev.s % sign. 100% 100% 100% 97% MODELLO PER LA STIMA : GARCH(1,1) alpha bea gamma lambda au media dev.s % sign. 100% 100% 100% 100% MODELLO PER LA STIMA : GARCH(1,1) SKEW- alpha bea gamma lambda au media dev.s % sign. 100% 100% 100% 5% 100% Tabella replicazioni di lunghezza 2000 dal modello GARCH(1,1) di Suden di parameri α = 0.10, β = 0.85, γ = 0.015, τ = 7. Sime oenue per ui e quaro i modelli presi in considerazione. 83

86 MODELLO GENERATORE : GARCH(1,1) SKEW- REPLICAZIONI MONTECARLO : 500 LUNGHEZZA SERIE : 2000 PARAMETRI : alpha bea gamma lambda au Skewness cond. Teorica Curosi cond. Teorica TEST CAMPIONARI: Skewness Tes Bai-Ng (π3) Tes Bai-Ng (CS) Eccesso di curosi media (val. ass.) % sign. 98.0% 74.0% 92.0% MODELLO PER LA STIMA : GARCH(1,1) NORMALE alpha bea gamma lambda au media dev.s % sign. 100% 100% 100% MODELLO PER LA STIMA : GARCH(1,1) SKEW-NORMAL alpha bea gamma lambda au media dev.s % sign. 100% 100% 100% 100% MODELLO PER LA STIMA : GARCH(1,1) alpha bea gamma lambda au media dev.s % sign. 100% 100% 100% 100% MODELLO PER LA STIMA : GARCH(1,1) SKEW- alpha bea gamma lambda au media dev.s % sign. 100% 100% 100% 100% 100% XXIII Tabella replicazioni di lunghezza 2000 dal modello GARCH(1,1) Skew- di parameri α = 0.10, β = 0.85, γ = 0.015, λ = 1, τ = 7. Sime oenue per ui e quaro i modelli presi in considerazione. XXIII Il livello di significaivià considerao è del 5%. Il es di Bai-Ng ˆ π 3 va confronao con il quanile di una normale sandard (1.96), menre il es di Bai-Ng CS ha valore criico

87 PERCENTUALE SCOSTAMENTI SULLE CODE Modello per la sima > V Modello V V generaore V GARCH(1,1) NORMALE GARCH(1,1) SKEW-NORMAL GARCH(1,1) GARCH(1,1) SKEW- Tabella 4.10 GARCH(1,1) NORMALE GARCH(1,1) SKEW-NORMAL GARCH(1,1) GARCH(1,1) SKEW- α 0.5% 1% 0.5% 1% 0.5% 1% 0.5% 1% VaR(α ) 0.50% 1.02% 0.47% 0.96% 0.34% 0.78% 0.40% 0.90% VaR(1-α) 0.50% 0.99% 0.52% 1.03% 0.35% 0.77% 0.40% 0.89% VaR(α ) 0.82% 1.45% 0.50% 1.02% 0.63% 1.27% 0.40% 0.91% VaR(1-α) 0.29% 0.67% 0.51% 0.99% 0.20% 0.55% 0.40% 0.89% VaR(α ) 0.96% 1.45% 0.94% 1.43% 0.52% 1.03% 0.52% 1.02% VaR(1-α) 0.90% 1.39% 0.91% 1.41% 0.51% 0.98% 0.50% 0.98% VaR(α ) 1.45% 2.09% 0.94% 1.46% 0.83% 1.54% 0.49% 0.98% VaR(1-α) 0.40% 0.72% 0.81% 1.28% 0.18% 0.44% 0.48% 0.99% Medie degli scosameni percenuali dai VaR simai per quaro diversi modelli. Per ogni modello si sono oenue 500 replicazioni di lunghezza 2000, poi simae con ciascuno dei modelli. VaR oenui ai livelli di significaivià 0.5% e 1%, per la coda di sinisra, 99.5% e 99%, per la coda di desra. MODELLO GENERATORE : MODELLO DI STIMA : GARCH(1,1) NORMALE GARCH(1,1) SKEW-NORMAL GARCH(1,1) GARCH(1,1) SKEW- Tabella 4.11 GARCH(1,1) NORMALE NUMERO DI SCOSTAMENTI ( MOLTIPLICATORE ) 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 > 9 p-value (δ = 3) (δ = 3.40)(δ = 3.50)(δ = 3.65)(δ = 3.75)(δ = 3.85) (δ = 4) Media dei giorni in cui il moliplicaore δ assume ciascun livello in base agli scosameni osservai nell ulimo anno. Sime di ciascun modello per 500 replicazioni di lunghezza 2000 da un GARCH(1,1) Normale. α = 1 % e 99% 85

88 MODELLO GENERATORE : MODELLO DI STIMA : GARCH(1,1) NORMALE GARCH(1,1) SKEW-NORMAL GARCH(1,1) GARCH(1,1) SKEW- Tabella 4.12 GARCH(1,1) SKEW-NORMAL NUMERO DI SCOSTAMENTI ( MOLTIPLICATORE ) 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 > 9 p-value (δ = 3) (δ = 3.40)(δ = 3.50)(δ = 3.65)(δ = 3.75)(δ = 3.85) (δ = 4) Media dei giorni in cui il moliplicaore δ assume ciascun livello in base agli scosameni osservai nell ulimo anno. Sime di ciascun modello per 500 replicazioni di lunghezza 2000 da un GARCH(1,1) Skew-Normal. α = 1 % e 99% MODELLO GENERATORE : MODELLO DI STIMA : GARCH(1,1) NORMALE GARCH(1,1) SKEW-NORMAL GARCH(1,1) GARCH(1,1) SKEW- Tabella 4.13 GARCH(1,1) NUMERO DI SCOSTAMENTI ( MOLTIPLICATORE ) 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 > 9 p-value (δ = 3) (δ = 3.40)(δ = 3.50)(δ = 3.65)(δ = 3.75)(δ = 3.85) (δ = 4) Media dei giorni in cui il moliplicaore δ assume ciascun livello in base agli scosameni osservai nell ulimo anno. Sime di ciascun modello per 500 replicazioni di lunghezza 2000 da un GARCH(1,1). α = 1 % e 99% 86

89 MODELLO GENERATORE : MODELLO DI STIMA : GARCH(1,1) NORMALE GARCH(1,1) SKEW-NORMAL GARCH(1,1) GARCH(1,1) SKEW- Tabella 4.14 GARCH(1,1) SKEW- NUMERO DI SCOSTAMENTI ( MOLTIPLICATORE ) 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 > 9 p-value (δ = 3) (δ = 3.40)(δ = 3.50)(δ = 3.65)(δ = 3.75)(δ = 3.85) (δ = 4) Media dei giorni in cui il moliplicaore δ assume ciascun livello in base agli scosameni osservai nell ulimo anno. Sime di ciascun modello per 500 replicazioni di lunghezza 2000 da un GARCH(1,1) Skew-. α = 1 % e 99% INDICI DI MERCATO numerosià campionaria Skewness TEST CAMPIONARI Tes Bai-Ng (π3) Tes Bai-Ng (CS) Eccesso di curosi cac dax dowjones fse hangseng mib nasdaq nikkey sp swiss XXIV Tabella 5.01 Serie dei rendimeni degli indici di mercao: numerosià campionaria, es di simmeria e indice di curosi. XXIV Il livello di significaivià considerao è del 5%. Il es di Bai-Ng ˆ π 3 va confronao con il quanile di una normale sandard (1.96), menre il es di Bai-Ng CS ha valore criico

90 Tabella 5.02 TITOLI MIB30 n. oss. Skewness STATISTICHE Tes Bai-Ng (π3) Tes Bai-Ng (CS) Eccesso di curosi al AUTO BFI BIN bmps bnl bpu bpvn cap edn enel eni f fnc g lux mb Med ms nv pg R SPI spm srg sm Tim i uc XXV Serie dei rendimeni dei ioli Mib30: numerosià campionaria, es di simmeria e indice di curosi. XXV Il livello di significaivià considerao è del 5%. Il es di Bai-Ng ˆ π 3 va confronao con il quanile di una normale sandard (1.96), menre il es di Bai-Ng CS ha valore criico

91 INDICI DI MERCATO cac40 dax dowjones fse100 hangseng mib30 nasdaq nikkey225 sp500 swiss Tabella 5.03 GARCH(1,1) sime dei parameri saiiche es dei parameri con disribuzione alpha bea lambda au alpha bea lambda au NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW Serie dei rendimeni degli indici di mercao: sime dei parameri per i modelli GARCH(1,1) con diverse disribuzioni. Le saisiche es vanno confronae con il quanile della normale sandard. 89

92 Tabella 5.04 INDICI DI MERCATO cac40 dax dowjones fse100 hangseng mib30 nasdaq nikkey225 sp500 swiss GARCH(1,1) % scosameni al livello di significaivià con disribuzione 0.50% 1.00% 99.50% 99.00% NORMALE 0.93% 1.38% 0.58% 0.96% SKEW-NORMAL 0.63% 1.08% 0.75% 1.33% S. 0.30% 0.91% 0.18% 0.63% SKEW- 0.25% 0.68% 0.33% 0.73% NORMALE 0.98% 1.64% 0.53% 0.98% SKEW-NORMAL 0.82% 1.21% 0.69% 0.95% S. 0.53% 1.00% 0.32% 0.58% SKEW- 0.50% 0.92% 0.24% 0.50% NORMALE 1.04% 1.57% 0.47% 0.85% SKEW-NORMAL 0.80% 1.14% 0.62% 1.24% S. 0.65% 1.04% 0.30% 0.55% SKEW- 0.60% 0.94% 0.27% 0.52% NORMALE 0.88% 1.51% 0.47% 0.82% SKEW-NORMAL 0.60% 1.06% 0.55% 0.84% S. 0.42% 0.84% 0.24% 0.47% SKEW- 0.22% 0.64% 0.35% 0.66% NORMALE 1.04% 1.52% 0.66% 1.09% SKEW-NORMAL 0.91% 1.34% 0.79% 1.34% S. 0.66% 1.16% 0.30% 0.73% SKEW- 0.61% 1.11% 0.30% 0.89% NORMALE 0.90% 1.62% 0.58% 0.65% SKEW-NORMAL 0.71% 1.03% 0.65% 1.23% S. 0.65% 1.16% 0.13% 0.45% SKEW- 0.32% 0.71% 0.45% 0.84% NORMALE 0.92% 1.47% 0.25% 0.72% SKEW-NORMAL 0.52% 0.99% 0.70% 1.29% S. 0.52% 0.97% 0.12% 0.32% SKEW- 0.22% 0.55% 0.32% 0.97% NORMALE 0.76% 1.35% 0.76% 1.15% SKEW-NORMAL 0.71% 1.32% 0.76% 1.12% S. 0.31% 0.79% 0.51% 0.87% SKEW- 0.36% 0.69% 0.56% 0.92% NORMALE 0.99% 1.42% 0.45% 0.82% SKEW-NORMAL 0.72% 1.12% 0.72% 1.14% S. 0.47% 1.02% 0.22% 0.55% SKEW- 0.37% 0.77% 0.30% 0.82% NORMALE 1.08% 1.82% 0.45% 0.71% SKEW-NORMAL 0.71% 1.42% 0.61% 1.05% S. 0.45% 1.05% 0.21% 0.32% SKEW- 0.24% 0.71% 0.32% 0.76% Serie dei rendimeni degli indici di mercao: % degli scosameni rispeo al VaR ai livelli di significaivià indicai calcolai per i diversi modelli. 90

93 INDICI DI MERCATO cac40 dax dowjones fse100 hangseng mib30 nasdaq nikkey225 sp500 swiss Tabella 5.05 numerosià GARCH(1,1) Numero di vole in cui si sono conai i segueni scosameni campionaria con disribuzione 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 > NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW Serie dei rendimeni degli indici di mercao: frequenza dei giorni in cui il moliplicaore δ assume ciascun livello previso, in base agli scosameni osservai nell ulimo anno, per le serie degli indici di mercao. α = 1% 91

94 TITOLI MIB30 al AUTO BFI BIN bmps bnl bpu bpvn cap edn Tabella 5.06 GARCH(1,1) sime dei parameri sign. Parameri con disribuzione alpha bea lambda au alpha bea lambda au NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW Serie dei rendimeni dei ioli Mib30 (da Alleanza a Edison): sime dei parameri per i modelli GARCH(1,1) con diverse disribuzioni. Le saisiche es vanno confronae con il quanile della normale sandard. 92

95 TITOLI MIB30 enel eni f fnc g lux mb Med ms nv Tabella 5.07 GARCH(1,1) sime dei parameri sign. Parameri con disribuzione alpha bea lambda au alpha bea lambda au NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW Serie dei rendimeni dei ioli Mib30 (da Enel a Anonvenea): sime dei parameri per i modelli GARCH(1,1) con diverse disribuzioni. Le saisiche es vanno confronae con il quanile della normale sandard. 93

96 TITOLI MIB30 pg R SPI spm srg sm Tim i uc Tabella 5.08 GARCH(1,1) sime dei parameri sign. Parameri con disribuzione alpha bea lambda au alpha bea lambda au NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW Serie dei rendimeni dei ioli Mib30 (da SeaPG a Unicredi): sime dei parameri per i modelli GARCH(1,1) con diverse disribuzioni. Le saisiche es vanno confronae con il quanile della normale sandard. 94

97 Tabella 5.09 TITOLI MIB30 al AUTO BFI BIN bmps bnl bpu bpvn cap edn GARCH(1,1) % scosameni al livello di significaivià con disribuzione 0.50% 1.00% 99.50% 99.00% NORMALE 0.80% 1.17% 0.90% 1.37% SKEW-NORMAL 0.82% 1.23% 1.09% 1.47% S. 0.54% 0.96% 0.52% 1.11% SKEW- 0.56% 1.07% 0.40% 0.94% NORMALE 1.05% 1.22% 1.57% 1.74% SKEW-NORMAL 1.22% 1.39% 1.22% 1.74% S. 0.35% 1.05% 0.87% 1.57% SKEW- 0.70% 1.22% 0.70% 1.05% NORMALE 1.01% 1.63% 1.05% 1.81% SKEW-NORMAL 1.14% 1.72% 0.99% 1.48% S. 0.47% 0.92% 0.56% 1.03% SKEW- 0.47% 1.19% 0.47% 0.94% NORMALE 0.86% 1.18% 1.27% 1.85% SKEW-NORMAL 0.96% 1.51% 1.16% 1.51% S. 0.50% 0.90% 0.86% 1.43% SKEW- 0.60% 0.98% 0.36% 0.98% NORMALE 0.97% 1.72% 1.12% 1.57% SKEW-NORMAL 1.12% 1.72% 1.12% 1.50% S. 0.67% 1.05% 0.90% 1.42% SKEW- 0.45% 1.05% 0.75% 1.27% NORMALE 0.79% 1.25% 0.92% 1.51% SKEW-NORMAL 0.79% 1.38% 0.92% 1.64% S. 0.46% 0.79% 0.39% 1.05% SKEW- 0.59% 1.12% 0.26% 0.72% NORMALE 1.25% 1.56% 0.63% 0.94% SKEW-NORMAL 1.25% 1.25% 0.63% 1.25% S. 0.63% 1.25% 0.31% 0.63% SKEW- 0.94% 1.25% 0.63% 0.63% NORMALE 1.13% 1.82% 1.19% 1.94% SKEW-NORMAL 1.13% 1.76% 1.13% 1.82% S. 0.31% 1.00% 0.63% 1.13% SKEW- 0.44% 1.19% 0.63% 1.00% NORMALE 0.74% 1.16% 1.33% 1.79% SKEW-NORMAL 0.88% 1.47% 1.23% 1.51% S. 0.32% 0.70% 0.82% 1.41% SKEW- 0.44% 0.88% 0.54% 1.14% NORMALE 0.81% 1.18% 1.51% 2.25% SKEW-NORMAL 1.11% 1.51% 1.11% 1.81% S. 0.44% 1.03% 1.14% 1.81% SKEW- 0.29% 0.92% 0.41% 0.70% Serie dei rendimeni dei ioli Mib30 (da Alleanza a Edison): % degli scosameni rispeo al VaR ai livelli di significaivià indicai calcolai per i diversi modelli. 95

98 Tabella 5.10 TITOLI MIB30 enel eni f fnc g lux mb Med ms nv GARCH(1,1) % scosameni al livello di significaivià con disribuzione 0.50% 1.00% 99.50% 99.00% NORMALE 1.13% 1.45% 0.64% 1.13% SKEW-NORMAL 0.56% 1.29% 0.96% 1.37% S. 0.56% 1.37% 0.24% 0.88% SKEW- 0.56% 1.37% 0.24% 0.96% NORMALE 0.90% 1.52% 0.67% 1.21% SKEW-NORMAL 0.72% 1.07% 0.81% 1.39% S. 0.58% 0.81% 0.22% 0.76% SKEW- 0.58% 0.76% 0.27% 0.81% NORMALE 0.74% 1.21% 1.12% 1.61% SKEW-NORMAL 0.94% 1.27% 0.92% 1.57% S. 0.52% 0.86% 0.58% 1.12% SKEW- 0.66% 0.94% 0.48% 1.00% NORMALE 0.82% 1.18% 1.25% 1.81% SKEW-NORMAL 0.92% 1.55% 1.10% 1.55% S. 0.70% 1.06% 0.90% 1.67% SKEW- 0.58% 0.94% 0.32% 0.82% NORMALE 0.78% 1.27% 0.82% 1.47% SKEW-NORMAL 0.54% 0.92% 1.06% 1.67% S. 0.38% 0.76% 0.44% 0.98% SKEW- 0.38% 0.64% 0.50% 1.02% NORMALE 1.24% 1.55% 1.04% 1.45% SKEW-NORMAL 0.93% 1.35% 1.35% 2.07% S. 0.83% 1.45% 0.83% 1.35% SKEW- 0.52% 1.14% 0.62% 1.35% NORMALE 0.58% 1.04% 1.08% 1.59% SKEW-NORMAL 0.72% 1.18% 0.82% 1.41% S. 0.36% 0.68% 0.44% 1.16% SKEW- 0.50% 0.90% 0.38% 0.92% NORMALE 0.52% 1.04% 0.95% 1.71% SKEW-NORMAL 0.52% 1.14% 1.09% 1.66% S. 0.19% 0.57% 0.52% 0.95% SKEW- 0.43% 0.85% 0.57% 1.09% NORMALE 0.53% 1.16% 1.11% 1.59% SKEW-NORMAL 0.82% 1.35% 0.91% 1.40% S. 0.24% 0.82% 0.58% 1.20% SKEW- 0.39% 0.82% 0.43% 0.96% NORMALE 1.28% 1.76% 1.28% 2.08% SKEW-NORMAL 1.28% 1.76% 1.12% 1.92% S. 0.64% 1.28% 0.48% 1.28% SKEW- 0.96% 1.76% 0.80% 1.28% Serie dei rendimeni dei ioli Mib30 (da Enel a Anonvenea): % degli scosameni rispeo al VaR ai livelli di significaivià indicai calcolai per i diversi modelli. 96

99 Tabella 5.11 TITOLI MIB30 pg R SPI spm srg sm Tim i uc GARCH(1,1) % scosameni al livello di significaivià con disribuzione 0.50% 1.00% 99.50% 99.00% NORMALE 0.72% 1.11% 1.31% 1.77% SKEW-NORMAL 0.92% 1.31% 0.85% 1.44% S. 0.52% 0.92% 0.52% 0.98% SKEW- 0.66% 1.05% 0.39% 0.66% NORMALE 0.86% 1.08% 0.94% 1.45% SKEW-NORMAL 0.90% 1.18% 0.82% 1.16% S. 0.44% 0.92% 0.54% 1.02% SKEW- 0.58% 1.00% 0.42% 0.82% NORMALE 0.79% 1.30% 0.98% 1.58% SKEW-NORMAL 1.01% 1.58% 0.82% 1.23% S. 0.38% 0.85% 0.60% 1.11% SKEW- 0.54% 1.08% 0.44% 0.89% NORMALE 1.19% 1.67% 1.23% 1.85% SKEW-NORMAL 1.35% 1.81% 1.02% 1.65% S. 0.72% 1.43% 0.64% 1.51% SKEW- 0.90% 1.67% 0.48% 1.06% NORMALE 0.99% 1.27% 0.56% 0.99% SKEW-NORMAL 0.85% 0.99% 0.85% 1.27% S. 0.85% 1.13% 0.14% 0.85% SKEW- 0.85% 1.13% 0.14% 0.85% NORMALE 0.63% 1.31% 0.75% 1.13% SKEW-NORMAL 0.69% 1.25% 0.75% 1.13% S. 0.25% 0.69% 0.38% 0.75% SKEW- 0.31% 0.81% 0.44% 0.75% NORMALE 0.55% 1.14% 1.02% 1.53% SKEW-NORMAL 0.64% 1.53% 0.76% 1.23% S. 0.30% 0.59% 0.51% 1.06% SKEW- 0.51% 0.89% 0.21% 0.81% NORMALE 0.74% 1.22% 1.10% 1.47% SKEW-NORMAL 0.74% 1.22% 0.99% 1.36% S. 0.41% 0.92% 0.74% 1.25% SKEW- 0.55% 0.92% 0.66% 1.22% NORMALE 0.72% 1.29% 1.33% 1.83% SKEW-NORMAL 1.07% 1.47% 1.13% 1.59% S. 0.34% 0.91% 0.66% 1.39% SKEW- 0.52% 1.09% 0.60% 1.21% Serie dei rendimeni dei ioli Mib30 (da SeaPG a Unicredi): % degli scosameni rispeo al VaR ai livelli di significaivià indicai calcolai per i diversi modelli. 97

100 TITOLI MIB30 al AUTO BFI BIN bmps bnl bpu bpvn cap edn numerosià GARCH(1,1) NUMERO DI SCOSTAMENTI ( MOLTIPLICATORE ) campionaria con disribuzione 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 > NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW Tabella 5.12 Serie dei rendimeni dei ioli Mib30 (da Alleanza a Edison): frequenza dei giorni in cui il moliplicaore δ assume ciascun livello previso, in base agli scosameni osservai nell ulimo anno, per le serie degli indici di mercao. α = 1% 98

101 TITOLI MIB30 enel eni f fnc g lux mb Med ms nv numerosià GARCH(1,1) NUMERO DI SCOSTAMENTI ( MOLTIPLICATORE ) campionaria con disribuzione 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 > NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW Tabella 5.13 Serie dei rendimeni dei ioli Mib30 (da Enel a Anonvenea): frequenza dei giorni in cui il moliplicaore δ assume ciascun livello previso, in base agli scosameni osservai nell ulimo anno, per le serie degli indici di mercao. α = 1% 99

102 TITOLI MIB30 pg R SPI spm srg sm Tim i uc numerosià GARCH(1,1) NUMERO DI SCOSTAMENTI ( MOLTIPLICATORE ) campionaria con disribuzione 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 > NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW NORMALE SKEW-NORMAL S SKEW Tabella 5.14 Serie dei rendimeni dei ioli Mib30 (da SeaPG a Unicredi): frequenza dei giorni in cui il moliplicaore δ assume ciascun livello previso, in base agli scosameni osservai nell ulimo anno, per le serie degli indici di mercao. α = 1% 100

103 Appendice B FIGURE Figura 3.01 Valore a Rischio di un cero porafoglio su un periodo di deenzione, con probabilià del 95%. Si ipoizza una disribuzione normale per i rendimeni di porafoglio. Figura 3.02 Esempio di disribuzione dei rendimeni con code pesani. (Fone: 101

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