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1 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis Inroduzione Desiderando inrodurre inuiivamene il conceo di serie sorica basa fare riferimeno a qualsiasi fenomeno misurabile ce varia nel empo e la cui regisrazione cosiuisce, appuno, la serie sorica. Tale successione di dai rappresena una informazione saisica sulla quale poremmo avere ineresse, olre ce nel descrivere, ance nell inferire (ovvero all applicare gli srumeni propri dell analisi saisica con scopi di previsione). Più precisamene, per serie sorica o serie emporale inendiamo una successione di osservazioni ordinae logicamene secondo una variabile, la quale nella maggior pare dei casi rappresena il empo. Risula quindi di ineresse lo sudio della dinamica emporale di ale serie (analisi univariaa) e delle evenuali connessioni con alre serie sorice ad essa collegae (analisi mulivariaa). Confluiscono in quesa analisi gli srumeni e i conribui della saisica, del calcolo della probabilià, dell economeria e dell analisi maemaica. Per quesa raazione le nozioni riciese in quesi campi sono quelle di base di normali corsi universiari di analisi maemaica, saisica descriiva e inferenziale e qualce conoscenza di calcolo delle probabilià, principalmene con riguardo alle variabili casuali. Volendo fare un primo banale esempio di serie sorica si può considerare la successione { X } dei prezzi di un iolo quoao in borsa nel periodo,,...,0 ; queso risulerà dall osservazione e dalla regisrazione di un oale di n 0 quoazioni, e ne porà seguire un opporuna rappresenazione grafica. x ( x, x,..., x ) (8.5, 0.3, 9.6, 8.7,., 9.9, 7.9, 0, 9,.) 0 Passiamo ora a definire la serie sorica da una angolazione differene. Per fare queso ci serviremo della nozione di processo socasico, uno srumeno probabilisico ampiamene impiegao in moleplici ambii, dalla fisica alla finanza, dall economia al conrollo saisico della qualià, e in moli alri campi. Definizione: Un processo socasico X (deo ance processo aleaorio e alvola indicao con X ()) è una famiglia di variabili casuali descrie da un paramero apparenene ad un insieme paramerico T.

2 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis Cosa significa uo queso? Significa ce un processo socasico è una successione di variabili aleaorie ordinae secondo un paramero T, soliamene idenificao con il empo. La conoscenza di un processo socasico equivale alla conoscenza della disribuzione di probabilià mulipla (mulivariaa) per qualsiasi sooinsieme di T e per qualsiasi valore delle variabili casuali. Occorre caraerizzare però uleriormene quesa nozione di processo socasico; per fare queso inroduciamo delle disinzioni. Parleremo di processo socasico coninuo qualora le variabili casuali ce lo compongono siano di naura coninua, di processo socasico discreo in caso conrario; disingueremo inolre fra processi socasici a empo coninuo e a empo discreo, nei casi, rispeivamene, ce il paramero T abbia supporo coninuo o discreo. Esempio: sia X un processo socasico ce descrive le rilevazioni negli isani emporali T {,,3,...} di una qualce grandezza fisica e le cui realizzazioni siano caraerizzae da leggi di disribuzione gaussiane. Allora il processo in esame sarà da definirsi come processo socasico coninuo a empo discreo. Un ale processo è quindi la famiglia di variabili casuali { X, X,...}, per la cui conoscenza occorre specificare le funzioni di densià congiune di ciascuna combinazione di esse. Formalmene un processo X è noo se è noa la funzione di densià ( X, X,..., ) X k per ogni k e per ogni k-pla di valori (,,..., k ) di variabili casuali (d ora in poi v.c.). Da queso si può già inuire l esrema complicazione dello sudio di un processo socasico nella sua generalià, e in paricolare la praica impossibilià di inferire direamene su di esso. Volendo descrivere meglio la sruura probabilisica di X possiamo osservare ce, per esempio, fissando 3, si oiene la v.c. 3 X, ce possiede una sua propria funzione di densià di probabilià (nel caso coninuo, di massa di probabilià nel caso discreo) ce sarà correlaa oppure no alle alre, e così via. Su X 3 possiamo effeuare un esperimeno e rilevare dei valori appareneni al suo campo di variazione. Esendendo a uo il processo, se fissiamo una prova da effeuare su X (ovvero ) oerremo una successione di valori, osserviamo la successione dei risulai campionari x, x,... funzione della variabile, ciamaa realizzazione o raieoria del processo. Risula evidene ce, dao un processo X, esisono infinie possibili realizzazioni ce sono precisamene ue quelle osservabili ripeendo indefiniamene l esperimeno. Segue un esempio grafico di due realizzazioni campionarie dal medesimo processo.

3 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis Infine, se in X fissiamo e conemporaneamene fissiamo la prova sperimenale (per esempio fissiamo 3 ed osserviamo il valore risulane per X 3 ) oeniamo, ovviamene, un numero reale: cioè il valore realizzao per la v.c. fissaa, ovvero il valore della realizzazione al empo fissao. Possiamo quindi inrodurre a queso puno l inendimeno di serie sorica { x,,,..., N} come una pare finia di una realizzazione di un processo socasico X. Tale definizione concorda con quella fornia nell inroduzione di serie sorica come successione di osservazioni ordinae logicamene secondo una variabile e qualifica inolre in senso probabilisico la naura dei problemi ce ci proponiamo di affronare. Per esempio la previsione di un valore del fenomeno in esame al empo N noe ce siano le osservazioni fino a N divena uno specifico problema di Calcolo delle Probabilià. Cioè: qual è la probabilià ce la v.c. X N assuma un deerminao valore (e qui enra, ad esempio, la eoria dei es saisici) se su ale variabile si anno informazioni derivae dall insieme di v.c. ( X, X,..., X N ) ce anno generao la realizzazione finia ( x, x,..., x N ). Si noi d alro cano ce una simile definizione mee in luce ance la limiazione delle informazioni sul processo le quali sono, in generale, desumibili dalla conoscenza della serie sorica. Difai essa non è alro ce una pare finia di una singola realizzazione del processo; ci roviamo quindi a lavorare non solo con un campione unico della famiglia delle v.c. ce caraerizzano il processo, ma si raa ance di un campione roncao, poicé si osserva solo per,,..., N. Tuo queso impone quindi una limiazione della classe dei processi socasici, percé solo per una pare più risrea di essi sarà possibile dedurre informazioni consiseni dalle realizzazioni finie di cui disponiamo nelle applicazioni reali. Passiamo ora ad analizzare in modo più formale i processi socasici e le loro caraerizzazioni fondamenali.

4 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis Processi Socasici Rifacendoci alla definizione presenaa nell inroduzione di processo socasico, andiamo a fornirne ora una sora di classificazione, sulla base delle v.c. componeni un processo e dei loro legami. Una prima disinzione può essere faa con riguardo all indipendenza o meno delle v.c. componeni il processo. Tale sao difficilmene si risconra nella realà, l unico processo a componeni incorrelae ce raeremo sarà il processo definio Wie Noise (rumore bianco) di valor medio nullo e varianza cosane (cioè non dipendene da ). In seguio verrà indicao con A e siglao con (0, A) A A WN. Un processo socasico WN è quindi caraerizzao come segue: EA ( ) 0 E( A ) Var( A ) A 0 Cov( A, As ) E( A, As ) A s s Non vengono fae a priori ipoesi sulla disribuzione di A, A,..., ma qualora si supponga ce, per ogni, A sia ance una v.c. Normale, allora si parla di Processo Wie Noise Gaussiano. Poicé l incorrelazione di v.c. Normali implica l indipendenza, un processo WN Gaussiano è a componeni indipendeni. Una seconda disinzione riguarda la legge di probabilià delle v.c. componeni. Possiamo infai ipoizzare una prefissaa funzione di densià (nel caso coninuo) per ali variabili e definire di conseguenza il processo risulane (un risulao eorico noo come Teorema di Kolmogorov ci garanisce ce, per ogni n inero, noe ce siano le densià di probabilià n-variae f ( x, x,..., x ;,,..., ), il processo socasico è compleamene caraerizzao). L ipoesi più n n comune è quella di suppore ce le v.c. ( X, X,..., ) X k cosiuiscano una variabile aleaoria Mulinormale per ogni (,,..., k ) e per ogni k. In al caso il processo socasico X si definisce processo Gaussiano e possiede funzione di densià mulivariaa f ( x, x,..., x ) ( ) exp ( x ) ( x ) k N x dove ( EX ( )) è il veore dei valori medi e [ Cov( X, X )] la marice delle varianze e i covarianze del processo. E ineressane soffermarsi sul fao ce un processo Gaussiano è caraerizzao solo da e e quindi, per esempio, un processo Gaussiano di valore medio 0 per ogni è caraerizzao esclusivamene dalla marice delle varianze e covarianze delle v.c. X, X componeni il processo. Quesa osservazione è di paricolare rilievo percé ci dice ce in una classe paricolare e limiaa di processi socasici (quella Gaussiana ad esempio) la conoscenza del processo socasico (e quindi di ue le funzioni del processo) può essere ricondoa alla conoscenza di una paricolare caegoria di funzioni (quali possono essere i momeni misi ad esempio), a loro vola simabili dalle realizzazioni finie (e quindi dalle serie sorice). Alre disinzioni possono essere fae con riguardo al comporameno della successione di v.c. rispeo al paramero. Si raa dunque di andare a vedere se le variabili risulino o meno in un i j i j

5 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis qualce equilibrio dinamico rispeo al empo, in ermini di valore aeso, di varianza, di enrambi o di alre misure ancora. Se un processo socasico X presena una disribuzione di equilibrio quando, ovvero sul piano delle realizzazioni è presene una cera omogeneià emporale di naura socasica, allora poremo parlare di processo socasico sazionario. Più precisamene parleremo di processo socasico sazionario in senso sreo o fore qualora la disribuzione mulivariaa delle v.c. ( X, X,..., ) X k non sia funzione di (,,..., k ) per ogni k. Formalmene: ( X, X,..., X ) ( X, X,..., X ) (,,..., ) e j k j j k j k Ne consegue, per k, ce X X j, e quindi ue le marginali del processo sono idenicamene disribuie, da cui avranno uguale media e varianza EX ( ), Var( X ),. Analogamene, per k, ( X, X ) (, ) X j X j. La disribuzione congiuna dipende solamene da e non dalla raslazione j. E così via crescendo in dimensione. Ne consegue ce se si considerano le componeni ( X, X ), ed esisono i momeni fino al secondo ordine, la covarianza dipende solo da : Cov( X, X ) E[( X E( X ))][( X E( X ))] E[( X )( X )] Per 0 la covarianza coincide con la varianza di X 0 Cov( X, X ) Var( X ) Le covarianze di un processo socasico sazionario in senso sreo sono funzioni di 0,,,.... La funzione appena inrodoa viene denominaa funzione di auocovarianza del processo ed è una funzione simmerica, infai Cov( X, X ) Cov( X, X ) Cov( X s, X s) (poso s ) Si definisce analogamene ance una funzione di auocorrelazione come segue: { : 0,,,...} Cov( X, X )/[ Var( X ) Var( X )] ( ) Ed essendo inolre 0 ed ancora.

6 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis La verifica dell ipoesi di sazionarieà in senso sreo è nella maggior pare dei casi reali quasi impossibile, ci si limia dunque spesso a conrollare ce siano verificae delle condizioni meno fori e riguardani solo i momeni fino al secondo ordine (media, varianza, covarianza). Un processo ce rispei ali proprieà è definio processo socasico sazionario in senso lao o debole. Generalmene si considera solo ques ulimo ipo di sazionarieà nelle applicazioni, riconducendo la verifica alle proprieà di media, varianza e auocovarianza. In paricolare diremo ce un processo è sazionario in senso lao se verifica le segueni condizioni:. EX ( )., per ogni EX ( ), per ogni 3. E[( X )( X s )] s, per ogni coppia ( s, ) La prima condizione riciede ce il valor medio del processo sia cosane e pari a al variare di ; la seconda impone ce il processo abbia varianza finia e cosane al variare di ; l ulima condizione infine implica ce per ogni e s esisa la funzione di auocovarianza fra le variabili X e X s. Tuo queso implica l esisenza dei momeni fino al secondo ordine, ma non viene imposa alcuna condizione necessaria sulle funzioni di densià mulivariae ce caraerizzano il processo X. Da queso discende ce menre la sazionarieà in senso sreo implica, quando esisano i momeni fino al secondo ordine, quella in senso lao, non vale il conrario. Per quale moivo nella praica risulano soliamene sufficieni le condizioni deboli di sazionarieà del processo? Queso è giusificao dal ruolo fondamenale giocao dalla disribuzione Normale nello sudio di moli fenomeni fisici e naurali, per i quali è valido il Teorema del Limie Cenrale: dal momeno ce, soo ipoesi di gaussianià, le condizioni di sazionarieà debole sono sufficieni per avere ance la sazionarieà in senso fore, queso garanisce di poere eviare la complicaa (quando non impossibile) verifica in moleplici siuazioni. Un alra proprieà ce, come le precedeni, un processo può possedere o meno, è l inveribilià. Si raa della possibilià di esprimere un processo X ramie le v.c. precedeni secondo l ordine logico imposo dal paramero (e quindi ad esempio precedeni emporalmene); formalmene significa ce esisono una funzione lineare () ed un processo WN A ali ce, per ogni, sia possibile scrivere X ( X, X,...) A Quindi la funzione () collega X con le variabili X s ( s ), e a ale relazione si aggiunge il processo A per rendere la socasicià il processo (in assenza si raerebbe né più né meno ce di una funzione deerminisica di ). L inveribilià divena paricolarmene rilevane nello sudio di alcuni modelli ce preseneremo in seguio, ma già da qui si può inuire come possa risulare imporane in un oica di previsione, in effei si raa della possibilià di regredire il nosro processo socasico sui suoi valori passai. Esise ance un alra classificazione ce disingue i cosiddei processi periodici. Formalmene diremo ce X è un processo periodico se esise un valore s ale ce, per ogni Pr{ X } X s

7 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis Dunque un processo periodico si ripee idenicamene dopo s unià emporali. Se queso s è esaamene pari all anno solare ( s per dai annuali, s per dai semesrali, s 4 per dai rimesrali, e così via) allora diremo ce il processo periodico è sagionale. Esisono alri ipi di classificazione di cui non raeremo, ad eccezione della proprieà di ergodicià ce verrà presenaa in seguio. Tue quese definizioni fanno riferimeno ai processi socasici e non alle serie sorice, ce ne cosiuiscono solo una realizzazione finia. Si consideri però ce serie sorice sazionarie sono quelle generae da processi sazionari e ce processi gaussiani producono realizzazioni finie ce, saisicamene, possono essere ben approssimae da disribuzioni Normali, e così via. Tranne l inveribilià (ce è soprauo una caraerisica eorica ce viene resa operaiva dal problema della previsione) le condizioni di sazionarieà e Normalià del processo sono in genere agevolmene deducibili dalle serie sorice osservae. Verifica di Sazionarieà (debole) di un Processo La funzione di auocovarianza inrodoa precedenemene ci fornisce uno srumeno eorico per verificare se un processo socasico X sia sazionario o meno. Tale procedura può essere applicaa ai dai della serie sorica ce noi supponiamo essere la realizzazione finia del processo. La verifica si aricola nei segueni re passi:. Verificare ce il valor medio di X non dipenda da. Calcolare 0, ovvero Var( X ) e verificare ce sia finia 3. Verificare ce, per,,... sia una funzione solo di e non di L auocovarianza misura il segno e l inensià del legame lineare ce inercorre fra X e X al variare di ; dunque esprime le connessioni fra le v.c. ce compongo il processo socasico al variare della disanza ra di esse. D ora in avani considereremo soddisfaa l ipoesi di sazionarieà, la quale verrà soinesa e non più ovunque specificaa. Nell oica di poer effeuare dei confroni fra più processi socasici risula più comodo affidarsi alla funzione di auocorrelazione la quale a un campo di variazione ben definio, a differenza di quella di auocovarianza ce a come dominio uo il campo reale. Riciamiamo quindi ale funzione già definia in precedenza come { : 0,,,...} Cov( X, X ) Var( X ) Var( X ) 0 0 0

8 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis Quesa funzione possiede proprieà noevoli, le più imporani delle quali sono:. 0 Si raa infai di fare il rapporo ra 0 e sé sesso, inolre 0 è il coefficiene di correlazione di. X con sé sesso., per ogni 0,,,... Difai, come dimosrao in precedenza, per la simmeria della covarianza. 3., per ogni 0,,,... Da un puno di visa saisico, sappiamo ce la correlazione è definia nel dominio [,]. 4. ( ax b) ( X ), per ogni 0,,,... e per qualsiasi coppia reale ( ab, ) Queso poicé essendo proprieà della covarianza, e dal momeno ce proprieà di cui sopra. Cov ax b ax b a Cov X X a X per le (, ) (, ) ( ) Var( ax b) a Var( X ) a 0( X ) segue la 5. La marice di Toepliz di ordine m associaa alla funzione di auocorrelazione di un processo sazionario è definia posiiva. Ricordiamo brevemene ce la marice di Toepliz di ordine m, associaa a, è definia per ogni m,,3,... come... m... m... m3 P( m) [ ], ( i, j),,..., m i j m m m3... Si raa quindi di una marice simmerica conenene i valori della funzione di auocorrelazione fino all ordine m. Commeniamo brevemene quese proprieà: la. e la 3. affermano ce la funzione di auocorrelazione è normalizzaa ad e ce queso massimo è raggiuno per 0. La. mosra ce è simmerica, per cui la sua analisi viene sempre inrapresa per valori di posiivi. La proprieà 4. esplicia ce l auocorrelazione è invariane per raslazione e cambiameno di scala, per cui un processo X può essere sudiao soo l unià di misura di vola in vola più

9 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis conveniene. La 5. enuncia una serie di condizioni necessarie e sufficieni affincé una successione {,,,..., m,...} sia effeivamene la funzione di auocorrelazione di un processo sazionario. In alri ermini, menre è necessario ce sia verificaa la 3. per ogni affincé sia una funzione di auocorrelazione, solo la condizione ce la marice di Toepliz sia definia posiiva per ogni m garanisce ce esisa un processo sazionario X ce possegga {, 0,,,...} come propria funzione di auocorrelazione. Come è noo una marice è definia posiiva se e solo se ui i minori principali di qualsiasi ordine sono posiivi; svolgendo i calcoli sulla generica marice P ( m) definia sopra si noa per m, non risulano paricolari limiazioni sulla funzione, menre invece per m 3 discendono condizioni paricolarmene resriive. In effei P () 0 0 () P (3) P ( )( ) 0 E così via per P( ) 0, m 4,5,.... Si noa quindi subio come, menre per i primi due m ordini le condizioni sono banali o ricalcano alre proprieà, già da m 3 la quesione si fa più complicaa. La soluzione della disuguaglianza pora ad un vincolo ben preciso, ce resringe in modo consisene lo spazio di definizione della funzione (per essere precisi lo resringe esaamene da un area di definizione pari a 4 ad una di 0/3, riducendolo quindi di /6; per rendersene cono basi disegnare negli assi caresiani ( xy, ) (, ) le condizioni per m e m 3, ne risulerà un quadrao di lao avene baricenro nell origine ed una parabola di verice (0, ) ce pora l area di definizione a coincidere con la sua inersezione con il quadrao. Per fare un esempio numerico ed inuiivo, se 0,707, allora 0 (poicé dalle condizioni per 3 m risula ce dovrà aversi 0). Queso è senz alro noevole ma risula comunque ragionevole con riguardo all aspeaiva ce se la correlazione fra X e X (a disanza di una unià emporale l una dall alra, o lag) è così elevaa (circa 70,7%) risula ragionevole pensare ce la correlazione fra X e X (disani lags) non può essere negaiva; queso percé il processo in esame possiede quella omogeneià emporale ce abbiamo idenificao come la sazionarieà. Poriamo ora un semplice esercizio ce serva ad applicare le nozioni finora acquisie. Sarà dao un processo socasico e dovremo verificarne la sazionarieà e cosruirne la marice di Toepliz.

10 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis Esempio e Siano e due v.c. Normali, indipendeni, di media zero e varianze, rispeivamene,. Definiamo il processo socasico X cos sin,,,... In cui 0 è un numero reale fissao. Traandosi di una combinazione lineare di due v.c. Normali e indipendeni, il processo X è ben definio e si porebbe calcolarne la generale funzione di densià mulivariaa. Calcoliamone però i primi momeni ce, dalla definizione del processo, risuleranno funzione dei momeni di e. Ricordiamo ce, per ipoesi, vale E( ) E( ) 0 ; Var( ) ; Cov(, ) E(, ) 0 Var( ) Avremo quindi per il processo ce E( X ) cos E( ) sin E( ) 0 Var( X ) cos sin Cov( X, X ) E[( cos sin )( cos ( ) sin ( ))] cos cos ( ) E( ) sin sin ( ) E( ) cos cos ( ) sin sin ( ) Come si vede il valor medio è nullo e quindi cosane ma varianza e auocovarianza variano al variare di, perano, in generale, il processo X è non sazionario. Se uavia supponessimo ce divenerebbero allora le espressioni precedeni Var( ) Var( ) Var( X ) (cos sin ) Cov X X (, ) [cos cos ( ) sin sin ( )] cos[ ( )] cos k In definiiva, se Var( ) Var( ) il nosro processo risula essere sazionario, dal momeno ce valgono la condizione. di cosanza della media, la. di cosanza e finiezza della varianza quale ce sia ed infine la 3., ovvero l auocovarianza ra e dipende solamene dal lag e non dall isane emporale. Sempre soo le ipoesi suddee la funzione di auocorrelazione del processo risulerà essere definia da

11 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis cos cos, 0,,,3,... cos 0 La funzione è esaamene periodica e risula evidene come non sia funzione di ma solo del lag. A conferma della proprieà 5. riguardane la marice di Toepliz si osservi ce P P P () () (3) 0 cos cos sin 0 cos cos cos cos cos ( cos )( cos cos ) 0 cos cos cos 0 cos cos 0 Dal momeno ce cos cos l ulimo sisema è verificao per ogni apparenene all insieme di definizione ce abbiamo fornio, ovvero 0. Sima della Funzione di Auocorrelazione e Conceo di Ergodicià Dal momeno ce la funzione di auocorrelazione è una misura della sruura inerna del processo sazionario X assume paricolare imporanza la sua sima saisica a parire da una realizzazione finia, ovvero la nosra serie sorica { x,,,..., N}. Una considerazione va faa prima di considerare i meodi di sima: i dai di cui disponiamo cosiuiscono una informazione congiuna sulle v.c. ( X, X,..., X N ) e non sulla generica X ce definisce, al variare di, il processo. La serie sorica è quindi una successione ordinaa di N campioni di dimensione uniaria su N disine v.c. le quali, generalmene, fra loro non sono indipendeni né somigliani. La complicazione di sima dei parameri di un processo si presena quindi già nello sudio dei primi momeni; si immagini cosa può succedere passando a inere funzioni dei parameri (quali ad esempio, appuno, l auocorrelazione). Le procedure classice di sima da un campione non sono quindi generalmene uilizzabili, ma risula d alra pare inuiivo supporre ce, una vola verificaa la sazionarieà del processo in esame, sia ragionevole aspearsi ce si possa pervenire ad uili informazioni sui parameri delle v.c. componeni il processo ramie le informazioni conenue nella serie sorica, e queso in virù della omogeneià emporale ce idenificiamo con la sazionarieà, ce garanisce una cera qual sabilià nei legami emporali fra le variabili. L esigenza di poer giungere a risulai uili disponendo di un insieme limiao di informazioni (la nosra serie sorica) a porao alla definizione dell imporanissimo conceo di ergodicià, ermine originario delle scienze fisice ce nello sudio dei processi socasici assume il seguene significao:

12 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis Definizione: Un processo socasico X è ergodico rispeo ad un paramero se la sima emporale del paramero, oenua da una serie sorica, converge in media quadraica a quel paramero. Formalmene, dao ˆ( X T ) T,,..., N simaore del vero paramero e funzione dei dai della serie sorica, diremo ce la condizione di ergodicià è verificaa qualora ˆ lim E[ ( XT ) ] 0 T Cos è dunque l ergodicià? Può essere inesa come una condizione ce limia la memoria del processo: un processo non ergodico è ale da avere caraerisice di persisenza così accenuae da far sì ce un segmeno del processo (nel nosro caso la serie sorica) per quano lungo, sia insufficiene a dire alcuncé sulle sue caraerisice disribuive. In un processo ergodico, al conrario, la memoria del processo può essere inesa debole su lungi orizzoni e all aumenare dell ampiezza del campione aumena in modo significaivo ance l informazione in nosro possesso. La considerazione ce possiamo fare è quella di repuare virualmene indipendeni eveni disani ra di loro sull asse emporale in caso di ergodicià: soo una simile ipoesi possiamo supporre possibile l osservazione di una pare consisene delle raieorie ce il processo può generare posa una evidenza campionaria sufficienemene grande. Formalmene la considerazione enunciaa poco fa sull incorrelazione di eveni disani nel empo si raduce nella seguene condizione necessaria e sufficiene affincé il processo sia ergodico rispeo al valor medio è ce la sua funzione di auocorrelazione enda a zero al crescere del lag. Esise inolre un eorema (deo appuno ergodico) ce garanisce ce se un processo è ergodico l osservazione di una sua realizzazione abbasanza lunga è equivalene, per i fini inferenziali, all osservazione di un grande numero di osservazioni. In linea generale possiamo dire ce solo per processi ergodici e sazionari (noa: la sazionarieà non implica l ergodicià! ne è una prova l esempio di prima, in cui il processo era sì sazionario, ma la sua funzione di auocorrelazione era periodica e non endeva a zero al divergere del lag) può porsi correamene il problema dell inferenza saisica sulle serie sorice. L ergodicià garanisce ce dall unica informazione disponibile, appuno le osservazioni ce compongono la nosra serie sorica, sarà possibile risalire a sime consiseni in senso saisico del processo sazionario X. D ora in avani supporremo ce i processi con cui lavoreremo siano sazionari ed erodici fino almeno ai momeni del secondo ordine, di modo da dare un senso all approccio inferenziale. Passiamo dunque alla sima vera a propria della funzione di auocorrelazione 0. Si raa semplicemene di rovare uno simaore soddisfacene per, 0,,,... e di lì ricavare. Premeiamo ce per simare il valor medio del processo EX ( ) impiegeremo la media campionaria N x X N, il quale, come è noo, è non disorno, consisene ed asinoicamene normale. Si noi però ce la varianza di ale simaore, ce soliamene vale N, viene ad essere aleraa da un faore moliplicaivo a causa della correlazione esisene fra le X. Per comodià di noazione considereremo il processo scaro Z X, il quale possiede media nulla e la sessa varianza, auocovarianza e auocorrelazione di X ( raandosi di una

13 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis semplice raslazione). In leeraura sono sai proposi diversi simaori dell auocovarianza, fra i quali ciiamo ˆ ˆ ˆ N () ZZ N N () ZZ N N (3) ZZ N Lo simaore per l auocorrelazione sarà in ogni caso i ˆ i, i,,3 ˆ i 0 () Lo simaore ˆ è doao di noevoli proprieà eorice, ma implica una condizione molo resriiva per il suo uilizzo, ovvero il processo deve ripeersi esaamene dopo N unià emporali, cioè deve essere del ipo ZN Z, ZN Z,..., ZN i Zi,.... Per quano riguarda gli alri due simaori si osservi ce per N elevao rispeo a k vale (3) () ˆ ˆ, dunque la differenza risula evidene solo nei piccoli campioni. E sao dimosrao inolre ce () ˆ è simaore correo per ma quadraico medio inferiore a quello di ˆ m (3) ˆ, pur essendo disoro, garanisce un errore () ˆ, risulando dunque più efficiene e, soprauo, verifica la condizione per la quale P ( ), ovvero la marice di Toepliz simaa, è definia posiiva, proprio come P ( m) ; queso non avviene necessariamene cosruendo P ( ) con lo () ˆ. Per quesi moivi di norma la preferenza cade su simaore funzione di auocorrelazione nel modo seguene: N N Z Z ( X x)( X x) ˆ ˆ, 0,,,... (3) (3) N N ˆ 0 Z ( X x) Lo simaore è simmerico ( ˆ ˆ ˆ m (3) ˆ e dunque si sima la ) e perano la sima viene effeuaa solo per posiivo. In praica come si procede? Noa la serie sorica ( x, x,..., x N ) si cosruisce la serie degli scari z x x, z x x,..., zn xn x (dove x è la usuale media campionaria) quindi si calcola N ˆ z z, 0,,,... N

14 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis fino ad un lag massimo ce l esperienza pone pari a N 4 o al suo inero successivo. Fao queso si cosruiscono i rappori ˆ ˆ ˆ 0 per 0,,,..., N 4 e si riporano su di un grafico denominao correlogramma, soliamene a barre vericali per ciascun per soolineare ce si raa di sime in puni discrei; alvola si uniscono i puni della funzione di auocorrelazione per evidenziarne l andameno complessivo. Esempio Sia x (8.5, 0.3, 9.6, 8.7,., 9.9, 7.9, 0.9,., 0.4) la nosra serie sorica il cui grafico è illusrao di qui di seguio e la quale media campionaria vale x 9.79 (raeggiaa nel grafico). La serie degli scari è z (.35, 0.45, 0.5,.5,.35, 0.05, -.95,.05,.5, 0.55). Dal momeno ce N=0 N 4.5 dunque avrà senso calcolare ˆ solo per 0,,,3. Dunque ˆ 0 N N 0 zi zi i N 9 ˆ z z z z N i

15 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis ˆ N 8 z z z z N i N 3 7 ˆ z z z z N i Dunque le sime della funzione di auocorrelazione saranno: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Il correlogramma sarà quindi, per i lags 0,,,3, il seguene: Le linee raeggiae delimiano la regione di confidenza approssimaa per l ipoesi H : 0 X WN e si oengono da N In ambiene R, ovvero il sofware impiegao per racciare quesi grafici, ale precisazione viene eseguia in auomaico nel momeno del calcolo della funzione di auocorrelazione; le bande così ampie, ce porerebbero a non poer rifiuare l ipoesi di cui sopra, sono dovue ad un N così piccolo.

16 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis Passiamo ora a parlare di un alro imporanissimo srumeno dell analisi dei processi sazionari, ovvero la funzione di auocorrelazione parziale, il cui ruolo fondamenale risulerà più ciaro nel seguio, quando raeremo dei cosiddei modelli auoregressivi. Definiamo quindi la funzione di auocorrelazione parziale al lag, per 0,,,..., come la correlazione esisene fra inermedie ra X e X. X e X al neo della correlazione esisene fra le v.c. Se la definizione può risulare di non semplicissima comprensione, la forma analiica della funzione è esremamene semplice: la funzione di auocorrelazione parziale è daa dal rapporo fra due deerminani * P( ), 0,,,... P ( ) Con P ( ) P * ( ) ; * Dove P ( ) è la marice di Toepliz di ordine, menre P ( ) è la sessa marice alla cui ulima colonna è sao sosiuio il veore composo dai valori della funzione di auocorrelazione fino al lag. Dalla proprieà di simmeria di discende ance quella di, difai vale, quindi ance in queso caso i calcoli verranno effeuai esclusivamene per valori posiivi di. E ovviamene vero ce 0, menre applicando la definizione per,,3 oeniamo:

17 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis Risulano inolre univocamene deerminabili i valori della funzione di auocorrelazione in funzione delle auocorrelazioni parziali fino allo sesso lag : E possibile (per quano non immediao) ricavare una forma analiica generale in modo da espliciare in funzione di,,..., e viceversa; ale problema è sempre risolubile, per quano non molo semplice. Come si può vedere dalla eoria esposa sino a qui e sono l una funzione dell alra: non aggiunge nulla sulla conoscenza del processo ce non sia già eoricamene deducibile da ; come già accennao l imporanza della funzione di auocorrelazione parziale risulerà evidene più avani, nell ambio della sima dei modelli auoregressivi. Per quano riguarda la sima della funzione di auocorrelazione parziale il meodo più immediao consise nel ricavare le sime di, ad esempio ramie lo simaore inrodoo prima, ed andarle a sosiuire all inerno delle marici definie sopra, di modo da oenere * Pˆ ( ) ˆ, 0,,,... Pˆ ( ) ˆ * P ( ) e P ˆ ( ) sono, rispeivamene, la marice di Toepliz e la sessa modificaa di cui già si è parlao, nelle quali sono sai inserii i valori simai della funzione di auocorrelazione. Analogamene al caso della funzione di auocorrelazione si rappresena graficamene ance ˆ per lo sesso numero di lags per cui è saa simaa. Tale grafico viene denominao alvola come correlogramma parziale. Esempio Riprendiamo i dai derivai dalla serie sorica dell esempio precedene, per la quale avevamo già simao i valori della funzione di auocorrelazione fino al lag 3.

18 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Procedendo con i calcoli e sfruando i risulai presenai in precedenza oeniamo le sime dell auocorrelazione parziale: ˆ ˆ ˆ 0.8 ˆ ˆ ˆ ˆ 0.4 ( 0.8) ˆ ˆ ˆ ( 0.8) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( 0.8) ( 0.4) ( 0.8) 0.40 ( 0.8) 0.8 ( 0.8) ( 0.4) ( 0.4) Come si può noare le sime delle due funzioni sono praicamene coincideni, a meno di approssimazioni minime. Nel grafico ce segue è riporao il correlogramma parziale del processo sulla base della serie sorica daa.

19 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis Ance in queso caso sono preseni i limii approssimai della regione di confidenza al 95% per l ipoesi H : 0 X WN. La cosruzione è analoga a quella relaiva alla funzione di auocorrelazione, le bande di confidenza sono pose a N inorno allo zero; ciaramene nel nosro caso ale specificazione è superflua, dal momeno ce la serie sorica ce è saa impiegaa per l esercizio è arificiale. La Classe dei Modelli ARMA Come si è già viso in precedenza lo scopo dell analisi delle serie sorice è quella di risalire ai processi socasici ce si suppone le abbiano generae; operaivamene queso si raduce nell idenificazione e nella sima di modelli saisici ce garaniscano un acceabile grado di approssimazione della realà in esame. Dunque dai dai non si perviene al processo bensì se ne cosruisce una descrizione valida sino a prova conraria: una sinesi cioè oimale solo fino a ce nuovi dai non poreranno a cosruire modelli più convinceni. In generale la conoscenza di un processo a parire dai dai è proibiiva, dunque si ripiega su di un paricolare modello: il processo socasico genera la serie sorica quale sua realizzazione finia, il modello saisico si adegua alla serie sorica secondo crieri di oimalià e genera dai ce sono simulazioni oenue dal modello. Nel seguio preseneremo una classe di modelli saisici ce rova il suo impiego nella descrizione dei processi socasici, i modelli ARMA. Il passo seguene all idenificazione è ciaramene cosiuio dalla validazione del modello scelo ramie opporune verifice di ipoesi; una vola assicuraa la bonà del modello si può infine passare alla previsione. Il Processo a Media Mobile Sia A un processo wie noise come già definio in precedenza e si consideri il seguene processo socasico Y A A dove,. Quesa serie sorica è definia processo a media mobile del primo ordine, e si indica con MA (). Il ermine media mobile deriva dal fao ce Y è cosruio da una somma pesaa, simile ad una media, dei due più receni valori di A. Il valore aeso di Y è dao da E Y E A A E A E A dal momeno ce abbiamo definio A come un wie noise, e quindi a media nulla per ogni. La varianza di Y, ce coincide ciaramene con la funzione auocovarianza calcolaa per un lag nullo, vale E Y E A A E A A A A 0 0

20 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis La prima auocovarianza è E Y Y E A A A A E A A A A A A A Le auocovarianze di ordine superiore sono ue idenicamene nulle. Dal momeno ce la media e le auocovarianze non sono funzioni del empo, un processo MA () à sazionario quale ce sia il valore di. Inolre è ciaramene soddisfaa la seguene condizione di ergodicià rispeo alla media, difai 0 0 supponendo finio (ed è una assunzione quasi sconaa, alrimeni non avrebbe senso la cosruzione di un modello) e sapendo ce è finio poicé siamo considerando un disurbo di ipo wie noise (analogo è il discorso sulla condizione di asinoicià verso lo zero: dal momeno ce 0, è verificaa ance ques ulima). Inolre se supponiamo ce il processo di rumore bianco sia ance gaussiano, allora l ergodicià è valida con rispeo a ui i momeni. La funzione di auocorrelazione è pari all unià per 0, menre per vale 0 le auocorrelazioni di ordine superiore sono ue idenicamene nulle ed è possibile rappresenare in un correlogramma. E ineressane noare come esisano sempre due disini valori di ali da resiuire il medesimo valore della funzione di auocorrelazione. Difai se andiamo a sosiuire a il valore noiamo ce Per esempio, i processsi Y A 0.5A e Y A A anno la medesima funzione di auocorrelazione daa da

21 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis Il grafico di è il seguene: Sono sai simulai quaro processi a media mobile del primo ordine soo ipoesi di media nulla e con rumore bianco gaussiano (la sazionarieà non è riciesa in quano sempre verificaa); di seguio le rappresenazioni grafice delle serie sorice per un oale di 300 realizzazioni, con i rispeivi correlogrammi (ACF) e correlogrammi parziali (Parial ACF). Le funzioni di auocorrelazione (ACF) mosrano come, dopo il primo lag, i valori possano rienersi ragionevolmene nulli (dal momeno ce non superano le bande di confidenza; è acceabile inolre un valore anomalo ogni 0 lag, purcé superi in modo non significaivo i valori limie). Queso significa ce abbiamo a ce fare con modelli a media mobile di ordine (come in effei sono per cosruzione); la vera uilià di queso genere di considerazioni grafice risiede nel fao ce nella cosiddea fase di idenificazione dei modelli possiamo essere in grado, semplicemene cosruendo i correlogrammi campionari dalla nosra serie sorica, di orienarci verso un ipo di modello o verso un alro a seconda della forma della funzione di auocorrelazione. Le funzioni di auocorrelazione parziale (Parial ACF), invece, mosrano un andameno decrescene e convergene verso lo zero: queso è ipico dei modelli a media mobile.

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24 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis Definiamo ora il processo a media mobile di ordine q, ce indiceremo con MA( q ), nel seguene modo: Y A A A A... q q Ovvero esendiamo ad un numero di q ermini la somma pesaa dei wie noise ce rieniamo descrivano la nosra Y. In praica viene aumenao il peso delle informazioni fornie dai disurbi più lonani nel empo, fino ad un lag, appuno, pari a q. MA () è ciaramene un caso paricolare di processo a media mobile di ordine q nel quale i pesi j risulino pari a zero per j. Calcoliamo il valore aeso del processo La varianza sarà... q q E A E A... qe A q E Y E A A A A 0 E Y E A A A... q A q dal momeno ce, per ipoesi, i rumori bianci sono incorrelai ra di loro la varianza della somma sarà semplicemene pari alla somma delle varianze, ovvero q q Si ricava inolre (non lo dimosriamo ma è semplice oenerlo) ce q q...,,..., q 0 q Per esempio in un processo MA (3) avremo ce: La funzione di auocorrelazione segue auomaicamene rapporando i valori di alla varianza, ed è idenicamene nulla per q, dunque ance il processo MA( q ) risula essere sazionario, quali ce siano i valori dei parameri j ; inolre, come già per il processo di ordine

25 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis, se il disurbo è di ipo wie noise gaussiano è rispeaa ance l ergodicià rispeo a ui i momeni. Di seguio quaro esempi di processo MA () ; le considerazioni sono le medesime già fae per il caso del modello a media mobile di primo ordine e ancora una vola supponiamo valor medio nullo e disurbi di ipo wie noise gaussiano.

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27 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis Il processo MA( q ) può essere scrio come j j j0 q Y A, 0 Si consideri cosa succede quando q : Y A A A A... j j 0 j0 Queso può essere considerao un processo MA( ), ce risula essere sazionario se è verificaa la seguene condizione: j0 j Spesso si considera la condizione leggermene più resriiva j0 j Una sequenza di coefficieni j j 0 ce rispei le condizioni sopraelencae viene definia, rispeivamene, di quadrao sommabile e assoluamene sommabile. Queso garanisce ance ce sia rispeaa la condizione di ergodicià rispeo alla media ( 0 ), in effei ance le covarianze sono assoluamene sommabili. Il valor medio del processo MA( ) rimane comunque, menre i momeni di ordine superiore basa far endere ad infinio l ordine q nelle espressioni già ricavae e calcolare il limie. Il Processo Auoregressivo Un processo auoregressivo del primo ordine, indicao con AR (), soddisfa la seguene equazione: Y c Y A Ancora una vola A è il rumore bianco ce soddisfa ue le proprieà già discusse e c,. Come si può vedere si raa di una equazione alle differenze finie di ordine, ed è noo dalla eoria ce se la conseguenza degli A sulla Y enderanno ad accumularsi nel empo piuoso ce endere a zero. Dovrebbe risulare dunque sufficienemene inuiivo comprendere la seguene affermazione: qualora, allora non esise un processo sazionario Y ce soddisfi l equazione Y Y A. In caso invece sia, allora esise un processo sazionario Y ce soddisfi l equazione e ce sarà dao dalla soluzione sabile

28 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis c A A A A... Y c A c A c A c A... 3 Tale soluzione può essere visa come un processo MA( ) con sia soddisfaa, allora avremo j j. Qualora la condizione j j j0 j0 La convergenza di quesa serie garanisce l esisenza della rappresenazione MA( ) e l ergodicià rispeo alla media del processo AR (). Calcolando il valore aeso della soluzione oeniamo ce Dunque la media di un processo () La varianza invece è menre la -esima auocovarianza vale E Y c AR sazionario vale c E Y E A A A A A A A... E Y Y E A A A A A A Segue immediaamene l espressione della funzione di auocorrelazione, pari a 0

29 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis la quale rispea la condizione di convergenza a 0, soo ipoesi di sazionarieà, dal momeno ce si è supposo. Sono sai simulai quaro processi auoregressivi del primo ordine soo ipoesi di sazionarieà, media nulla e con rumore bianco gaussiano; di seguio le rappresenazioni grafice delle serie sorice per un oale di 300 realizzazioni, con i rispeivi correlogrammi (ACF) e correlogrammi parziali (Parial ACF). Si noi come le funzioni di auocorrelazione decrescono progressivamene e lenamene verso lo zero (l alernanza dei segni dipende unicamene dal segno del paramero ), quesa è una caraerisica ipica dei processi di ipo AR ; le funzioni di auocorrelazione parziale invece presenano un solo valore significaivamene al di fuori delle bande di confidenza, il primo, queso ci fornisce l indicazione ce si rai di processi del primo ordine. Nelle Parial ACF i valori successivi al primo non sono nulli come vorrebbe la eoria, ma queso è impuabile al caso, possiamo acceare l ipoesi di in correlazione emporale per lag superiori a dal momeno ce, appuno, i valori della funzione non superano le bande di confidenza (è acceabile inolre un valore anomalo ogni 0 lag, purcé superi in modo non significaivo i valori limie)

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31 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis Cosa succede però se la condizione di sazionarieà non è rispeaa (ovvero se il paramero è ale ce )? Il processo esplode. Nel grafico ce segue sono sae rappresenae le simulazioni di due processi auoregressivi con parameri superiori in modulo a, seppure di pocissimo.

32 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis Ciaramene la sazionarieà non è più rispeaa, e sebbene le funzioni di auocorrelazione ed auocorrelazione parziale conservino un andameno ce poremmo definire ideale, risula evidene come l esplosione dei valori renda il modello assoluamene insabile. Analogamene al caso del processo a media mobile, possiamo esendere il conceo di auoregressione ad ordini superiori; rendiamo, cioè, significaive informazioni sul processo più lonane nel empo, fornendo loro pesi non nulli. Si definisce processo auoregressivo di ordine p e si indica con AR( p ) il seguene: Y c Y Y Y A... p p Ovvero esendiamo ad un numero di p ermini la somma pesaa dei valori passai della nosra Y, con l aggiuna di un ermine di disurbo wie noise A. Risula evidene come il processo AR () presenao in precedenza alro non sia ce un caso paricolare di ques ulimo, con 0 per j. A differenza del processo a media mobile, come si è già deo, la sazionarieà non è necessariamene rispeaa; dobbiamo dunque imporre delle condizioni sui parameri del j

33 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis modello. In paricolare riciederemo ce i coefficieni j associai alle radici dell equazione omogenea associaa p... p 0 siano ali da garanire ce j. In queso caso il processo non esplode e si maniene j sazionario. Nel caso di un processo AR () quesa condizione è graficamene rappresenabile in modo comprensibile; si raa infai della condizione ce i due parameri e si rovino all inerno del riangolo raeggiao nella figura soosanane. Soo l ipoesi di sazionarieà il valore aeso del processo è: EY c... p e sfruando quesa espressione l equazione ce descrive il processo può essere riscria nel modo seguene: Y Y Y Y A... p p Le auocovarianze si possono quindi oenere semplicemene moliplicando ambo i membri dell ulima equazione per Y e prendendone i valori aesi; ne risula ce:... p p,, p p 0 Sfruando la noa proprieà di simmeria della funzione di auocovarianza ( ) queso sisema di equazioni può essere risolo per 0,,..., p in funzione di,,,..., p. Per ricavare la funzione di auocorrelazione baserà dividere per 0, quindi:

34 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis... p p ciaramene 0. L espressione precedene, espliciaa per,,..., dà origine al cosiddeo sisema di equazioni di Yule-Walker, ce cosiuisce lo srumeno fondamenale per la sima dei parameri del modello auoregressivo. Come già deo è possibile, noi ce siano i parameri e la varianza del disurbo, simare i valori della funzione di auocovarianza (e quindi di auocorrelazione); ciò ce risula invece di effeivo ineresse operaivo è proprio l operazione inversa, in effei noi disponiamo della serie sorica dei dai dalla quale, come si è già mosrao negli esempi, si possono simare i valori della funzione di auocorrelazione. Tramie il sisema di equazioni di Yule-Walker abbiamo quindi la possibilià di simare i parameri (ignoi) del modello auoregressivo ce meglio approssimi il processo socasico (a ui gli effei inconoscibile nella sua compleezza) di cui la serie sorica rappresena una realizzazione finia. Il sisema di equazioni di Yule-Walker si presena in forma lineare per il processo auoregressivo, e può essere espliciao come segue: Dunque poremo sosiuire ai valori 3... p p 3... p p p p p 3 p3... p j le loro sime ˆ j oenue dalla serie sorica, ed oenere quindi le sime ˆj dei parameri del modello. Si noi inolri ce la soluzione è unica, dal momeno ce la marice del sisema alro non è ce la marice di Toepliz di ordine p, P ( p), la quale è definia posiiva per ogni p quando il processo è sazionario. L approccio di Yule-Walker per la sima dei parameri è applicabile ance ai processi a media mobile, si ricava però un sisema non lineare di equazioni, ce riciede una procedura di calcolo ieraiva paricolare. Risula così più laborioso deerminare le sime ˆ j, j,,..., q in base a sime delle auocorrelazioni ˆ j, j,,..., q deerminae dall evidenza campionaria (la nosra serie sorica). Seguono alcuni esempi di processi auoregressivi del secondo ordine; le considerazioni sono esaamene le sesse già presenae per quelli del primo ordine (sazionarieà, media nulla, disurbo wie noise gaussiano). Le quaro simulazioni sono sae effeuae con alernanza di segni dei parameri, per rendere evideni le differeni forme delle funzioni di auocorrelazione.

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36 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis Abbiamo presenao in precedenza la condizione affincé un processo auoregressivo del secondo ordine sia sazionario, ovvero ce il puno di coordinae, si rovi all inerno del riangolo raeggiao in figura. Analogamene al caso dei processi di ipo AR ance quelli di ordine superiore esplodono qualora non siano rispeae le condizioni sui parameri, ne vediamo di seguio qualce esempio grafico:

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38 Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis Volendo riassumere brevemene quano deo finora possiamo soolineare il caraere di dualià ra i processi AR e MA. I processi di ipo AR rispondono al enaivo di spiegare il presene in funzione del passao, fino ad una cera disanza p, per conro i modelli di ipo MA rappresenano un enaivo di spiegare il presene come risulane da una successione inconrollaa di impulsi casuali, saisicamene riassuni nel wie noise A. In un processo AR( p ) non sono impose condizioni per i parameri in modo da assicurare l inveribilià, menre si riciedono per la sazionarieà. In un processo MA q non sono impose condizioni sui parameri per quano riguarda la sazionarieà, menre le si impongono per l inveribilià. Per ogni processo AR( p ) sazionario esise una rappresenazione unica del ipo MA, e per ogni processo MAq inveribile ne esise una del ipo AR. Nei processi MAq eorici il correlogramma si annulla bruscamene per q, il correlogramma parziale invece decresce lenamene con andameno dipendene dal segno dei parameri j. Nei processi AR( p ) eorici il correlogramma parziale si annulla bruscamene per q menre il correlogramma decresce lenamene con andameno dipendene dal segno dei parameri j. All ao praico si considerano come nulle, al fine dell idenificazione del modello a parire dai dai, quelle auocorrelazioni ce resino comprese fra le due bande raeggiae nei correlogrammi, con un livello di confidenza del 95%. I Modelli Auoregressivi a Media Mobile Un modello del ipo auoregressivo a media mobile di ordini p e q, indicao con ARMA( p, q ), è un cosruo saisico ce comprende sia ermini auoregressivi ce a media mobile e può essere espresso come segue: Y c Y Y... Y A A A... A p p q q Per comodià di rappresenazione inroduciamo ora l operaore rerocessore o backward B secondo la seguene definizione: 0 B X BX B X... k B X Y Y Y Y Traandosi di un operaore lineare vale la seguene: 0 B X 0X X. Se consideriamo il processo MA( q ) sfruando l operaore B come k Y con media supposa nulla possiamo scriverlo

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