Capitolo 1 - Introduzione ai segnali

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1 Appuni di eoria dei egnali Capiolo - Inroduzione ai segnali egnali coninui... Definizioni inroduive... Esempio: segnale esponenziale...3 Esempio: coseno...3 Osservazione: poenza di un segnale periodico...5 Esempio: segnale esponenziale...5 Esempio: gradino uniario e gradino raslao...6 Esempio: reangolo...6 Osservazione: uilià della funzione rec...7 Esempio: seno cardinale...7 rodoo di convoluzione ra due segnali...8 Definizione...8 roprieà commuaiva...9 roprieà associaiva...9 roprieà disribuiva...9 Meodo grafico...9 Esempio... Esempio... 4 rodoo di convoluzione ra segnali periodici... 7 egnali discrei... 8 Inroduzione e principali definizioni... 8 Esempio: gradino uniario discreo... 9 Esempio: esponenziale discreo... 9 rodoo di convoluzione per segnali discrei...

2 Appuni di eoria dei segnali - Capiolo egnali coninui DEFINIZIONI INRODUIVE Un segnale è, per definizione una funzione del ipo s : R C s() ossia una funzione di variabile reale a valori complessi. i definisce energia di un segnale la quanià E s ( ) d E chiaro che quell inegrale può convergere o meno a seconda delle caraerisiche della funzione s(). ussise allora la seguene definizione: s() è un segnale ad energia finia o semplicemene un segnale di energia se quell inegrale converge, ossia se E risula essere un numero reale (ovviamene posiivo). i definisce invece poenza di un segnale la quanià s lim d ( ) Anche in queso caso, la convergenza dell inegrale dipende dalle caraerisiche della funzione s(). Allora diremo che s() è un segnale a poenza finia o semplicemene un segnale di poenza se quell inegrale converge e se il limie del suo valore risula essere un valore reale non nullo Dalle due definizioni maemaiche appena dae si noa come esse siano sreamene legae; in paricolare, sussisono i segueni due eoremi, facili da verificare: se s() è un segnale di energia, ossia se E ],[, ossia s() non è un segnale di poenza se s() è un segnale di poenza, ossia se ],[ E, ossia s() non è un segnale di energia Auore: andro erizzelli

3 Inroduzione ai segnali EEMIO: EGNALE EONENZIALE Consideriamo il seguene segnale: s( ) > a > e a Verifichiamo, applicando la semplice definizione, se si raa di un segnale di energia : applicando la definizione abbiamo che a E e d raandosi di un segnale reale, il modulo quadro del segnale equivale semplicemene al quadrao, per cui a E e d Il segnale è per ipoesi nullo per <, per cui possiamo resringere l inervallo di inegrazione e poi proseguire con i calcoli: [ ] a a E e d a e d a a e a ( ) a a e a Avendo rovao un valore finio, deduciamo che il segnale esponenziale è un segnale ad energia finia e, di conseguenza, a poenza nulla. EEMIO: COENO Consideriamo ora ques alro segnale: ( π θ) s( ) A cos f + Verifichiamo che queso NON è un segnale ad energia finia; per farlo, anziché valuare l energia, conrolliamo quano vale la sua poenza (che deve risulare finia): per definizione, abbiamo inano che lim A ( f + ) d cos π θ Il coseno è una funzione reale, per cui il modulo quadro equivale al semplice quadrao: lim A ( f + ) d cos π θ 3 Auore: andro erizzelli

4 Appuni di eoria dei segnali - Capiolo La funzione inegranda può essere semplificaa enendo cono che sussise la relazione che è oenibile applicando le formule di duplicazione del coseno. Nel nosro caso, abbiamo perciò che cos α + cos( α ) lim A + f + d cos ( 4 π θ ) componendo i due inegrali, oeniamo A A A A lim d + lim cos θ+π 4 4 ( f4 ) d + lim cos( f4 θ+π ) d Risolviamo subio l inegrale: cos 4 ( πf4 θ+ ) d D[ sinf4 ( π θ+ ) ] d [ sin( πf4 θ+ ) ] 4 f π π [ sin( πf4cos( ) )cos +θ ( π f4sin( ) ) ] θ sin 4 cos( θ )cos + 4 π sin( θ) πf 4πf 4πf Andando dunque a sosiuire nell espressione della poenza, abbiamo A In conclusione, quindi, è A finio, per cui l energia del segnale sesso risula essere infinia.. Avendo A un valore finio, anche la poenza del segnale ha un valore Auore: andro erizzelli 4

5 Inroduzione ai segnali Osservazione: poenza di un segnale periodico Nell esempio precedene abbiamo calcolao la poenza di un segnale evidenemene periodico applicando la semplice definizione. uavia, si può dimosrare che, per i segnali periodici, la formula da uilizzare si può semplificare: infai, essa divena semplicemene s( ) d dove è un isane arbirario (per esempio ). Nel seguio saranno sudiai a fondo i segnali periodici. ossiamo però già anicipare una osservazione confermaa dall esempio precedene: ui i segnali periodici sono ad energia infinia, come è ovvio considerando la definizione sessa di energia associaa ad un segnale. EEMIO: EGNALE EONENZIALE Consideriamo nuovamene il segnale esponenziale s( ) e a, ma, quesa vola, facciamo l ipoesi che R. La sua rappresenazione grafica è allora la seguene: a > ossia il segnale non è più limiao al semipiano delle posiive. Verifichiamo che si raa di un segnale a poenza infinia, calcolando appuno : e a d e a lim d a a e lim lim lim a 4 e e lim lim a a 4 e a a e a E chiaro che il primo limie ende a, menre, dall analisi, sappiamo che il secondo ende ad. Quindi si raa effeivamene di un segnale a poenza infinia. 5 Auore: andro erizzelli

6 Appuni di eoria dei segnali - Capiolo EEMIO: GRADINO UNIARIO E GRADINO RALAO Il cosiddeo gradino uniario è un segnale fao nel modo seguene: u () > < Esso presena evidenemene una disconinuià nel puno, in quano per - vale e per + vale. er convenzione, si pone allora u ( ), con l accorezza, però, di ricordare che comunque c è la disconinuià. Queso segnale è chiaramene ad energia infinia. Vediamo in paricolare quano vale la sua poenza: applicando la definizione abbiamo che lim s d d () lim lim EEMIO: REANGOLO La composizione di due gradini uniari raslai dà un segnale paricolare, che prende il nome di rec, che sa per reangolo : si raa del segnale rec() u + u -/ +/ In forma analiica, possiamo dare la seguene rappresenazione di queso segnale: rec() - < < alrimeni Evidenemene, si raa di un segnale ad energia finia (e quindi a poenza nulla) pari all area da esso soesa. Auore: andro erizzelli 6

7 Inroduzione ai segnali Non è deo che il segnale debba però avere alezza uniaria (quando non vale ), come non è deo che la base debba essere uniaria oppure che debba essere cenrao in. Il caso più generale che noi possiamo avere è dunque il seguene: A Arec D -D/ +D/ I parameri A e D devono soddisfare la condizione per cui l area del reangolo deve essere uniaria. L espressione analiica del segnale è la seguene: Arec D A - D < < + D alrimeni Osservazione: uilià della funzione rec La funzione rec risula paricolarmene imporane quando, dao un segnale s() di andameno qualsiasi, se ne vuole conservare solo il rao relaivo ad un cero inervallo [α,β] di. E possibile far queso, ossia azzerare il segnale in quesione al di fuori dell inervallo prescelo, effeuando il prodoo ra s() ed il segnale rec, dove D e D vanno sceli in modo che il reangolo delimii proprio l inervallo [α,β]: deve cioè essere D α D β + EEMIO: ENO CARDINALE La funzione seno cardinale di una variabile è la funzione sinc( ) sin( π) π L andameno qualiaivo di queso segnale è il seguene: 7 Auore: andro erizzelli

8 Appuni di eoria dei segnali - Capiolo I puni di inersezione con l asse delle ascisse (cioè l asse ) sono..-3,-,-,+,+,+3,... Una evidene proprieà di queso segnale è che sin lim ( ) lim ( π sinc ) π Anche queso segnale può essere raslao a proprio piacimeno e non è deo che abbia valore massimo, come nel caso precedene: per esempio, a seguio di una raslazione di un rao posiivo, la sua espressione divena s A sinc ( ) A sin π π Il grafico è ovviamene analogo a prima, ranne la diversa posizione rispeo all asse delle ordinae: i puni di inersezione con l asse x sono quesa vola.., -3, -, -, +, +, +3,... i può dimosrare che queso segnale ha energia finia E A. rodoo di convoluzione ra due segnali DEFINIZIONE Consideriamo due segnali qualsiasi x() e y(). i definisce prodoo di convoluzione ra di essi il nuovo segnale z() così definio: z( ) x( ) * y( ) x( τ) y( τ) dτ L inegrale che compare in quesa definizione può convergere o meno: nel seguio, noi ci meeremo sempre nelle ipoesi che esso converga, soolineando, in alcuni casi, quali sono le condizioni che garaniscono la convergenza. Auore: andro erizzelli 8

9 Inroduzione ai segnali Queso prodoo di convoluzione gode di una serie di proprieà che spesso sono essenziali per risparmiare calcoli alrimeni complessi. RORIEÀ COMMUAIVA Quesa proprieà dice che scambiando le funzioni all inerno dell inegrale, il risula non cambia: in ermini analiici, possiamo cioè scrivere che z( ) x( ) * y( ) x( τ) y( τ) dτ y( τ) x( τ) dτ y( ) * x( ) La dimosrazione di quesa proprieà consise semplicemene nel fare un cambio di variabile nel primo o nel secondo inegrale, al fine di oenere l alro: per esempio, se nel primo inegrale poniamo -τs, oeniamo x( ) * y( ) x( τ) y( τ) dτ x( s) y( s) ds y( ) * x( ) RORIEÀ AOCIAIVA Quesa proprieà afferma che [ ] [ ] x( ) * y( ) * h( ) x( ) * y( ) * h( ) RORIEÀ DIRIBUIVA Quesa proprieà afferma che [ + ] [ ] + [ ] x( ) * y( ) h( ) x( ) * y( ) x( ) * h( ) MEODO GRAFICO Adesso vediamo come, in alcuni casi paricolari, è possibile calcolare il prodoo di convoluzione ra due segnali sfruando il loro andameno grafico. upponiamo che i nosri segnali siano i segueni: A x ( ) Arec 4 D B y( ) Brec D -D +D -D +D 9 Auore: andro erizzelli

10 Appuni di eoria dei segnali - Capiolo La definizione ci dice che il prodoo di convoluzione è z( ) x( ) * y( ) x( τ) y( τ) dτ ossia, in definiiva, è l area del segnale rappresenao dal prodoo ra x() e y(-τ). Il prodoo x( ) y( τ ), per fissao, non è alro che un segnale nella variabile τ. Allora, indicaolo con g(τ), ciò che noi vogliamo fare è vedere com è fao queso segnale per diversi valori di, in modo da calcolarne l area. Il primo valore di che consideriamo è evidenemene : per queso valore abbiamo che g( τ ) x( τ ) y( τ ) Essendo il segnale y(τ) un segnale evidenemene pari, abbiamo che y(τ)y(-τ) e quindi che g( τ ) x( τ ) y( τ ) Quindi, per, il segnale g(τ) è in ogni puno dao dal prodoo dei due segnali. Vediamo allora come è fao: per τ<-d e per τ>d esso è evidenemene nullo in quano lo è y(τ); invece, per -D<τ<D, abbiamo un reangolo di alezza pari al prodoo delle alezze, ossia AB. Il segnale g(τ), per, è dunque il seguene: AB g() -D +D L area di queso segnale è evidenemene ABD, per cui z( ) Adesso supponiamo che abbia un generico valore >. Vediamo a che cosa corrisponde g( τ ) x( ) y( τ ). Il segnale x(τ) è quello fornio dalla raccia; invece, il segnale y(-τ) non è alro che il segnale y(-τ), ossia sempre y(τ), raslao verso desra (se >) di un rao pari a : si raa cioè del segnale ABD Auore: andro erizzelli

11 Inroduzione ai segnali y( τ) B -D -D+ +D D+ τ er sabilire quano valga prodoo x(τ)y(-τ) dobbiamo sapere che relazione inercorre ra D e : infai, è chiaro che il risulao del prodoo cambia a seconda che il reangolo più piccolo sia uo conenuo in quello grande, solo parzialmene conenuo o del uo eserno. Consideriamo il primo caso, ossia A B -D -D+ D+ D -D +D τ In queso caso, il prodoo è nullo quando τ<-d+ e τ>d+, menre è un reangolo di alezza AB all inerno di ale inervallo: abbiamo quindi la rappresenazione AB -D+ D+ τ e l area vale ancora una vola ABD. Riepilogando quano oenuo, possiamo dunque affermare che il prodoo di convoluzione ra i due segnali considerai vale ABD quando ]-D,D[. Il secondo caso è quello in cui il reangolo più piccolo è solo parzialmene conenuo in quello più grande: è abbasanza evidene che, quano più esso è eserno, ano minore è il valore dell area, fino ad arrivare al valore quando è compleamene eserno; dao che ques ulima condizione si verifica quando è eserno all inervallo ]-3D,+3D[, possiamo dunque concludere che il segnale z() sia infine il seguene: Auore: andro erizzelli

12 Appuni di eoria dei segnali - Capiolo z() AB -3D -D +D +3D Da noare che gli esremi -3D e +3D enro i quali il segnale assume valore nullo sono pari alla somma dei rispeivi esremi dei segnali x() e y() di parenza. Osserviamo anche che, se i due reangoli avessero avuo la sessa base, il segnale z() oenuo dalla loro convoluzione sarebbe sao un riangolo anziché un rapezio, in quano l unico valore di per il quale il reangolo più piccolo risula uo conenuo in quello più grande è proprio, menre per ui gli alri valori si hanno dei puni non comuni. Esempio Vediamo un alro caso in cui è possibile valuare il prodoo di convoluzione ra due segnali mediane il meodo grafico appena esposo. Consideriamo la convoluzione dei segueni segnali: A x( ) Arec D y( ) u( ) -D +D Applicando la definizione, sappiamo che z( ) x( ) * y( ) x( τ) y( τ) dτ Vediamo anche qui come è fao il segnale x(τ)y(-τ) al variare di. Inano, menre il segnale x(τ) è quello fornio dalla raccia, il segnale y(-τ) è il segnale y(-τ) raslao di un rao pari a ; dao che il segnale y(-τ) è il gradino uniario ribalao rispeo all asse delle ordinae, deduciamo che il segnale y(-τ) è il seguene: Auore: andro erizzelli

13 Inroduzione ai segnali y( τ) τ Nauralmene, la figura si riferisce al caso in cui >; quando, invece <, bisogna raslare uo verso sinisra. Esaminiamo allora la siuazione possibili a seconda della relazione che inercorre ra e D, ossia a seconda della posizione di y(-τ) rispeo a x(τ): quando <-D, la siuazione è A x() -D +D per cui i due segnali non hanno alcun puno in comune: quindi z( ) < D Quando -D<<+D, abbiamo invece un alra siuazione, ossia genericamene A x() -D +D per cui + ( ) z( ) x( τ) y( τ) dτ x( τ) dτ A + D D + D Infine, quando >D, la siuazione divena la seguene: 3 Auore: andro erizzelli

14 Appuni di eoria dei segnali - Capiolo A x() -D +D per cui + D z( ) x( τ) y( τ) dτ x( τ) dτ AD D + D D In conclusione, z() è fao nel modo seguene: -D AD AD z( ) A( + D) AD +D < -D - D < < +D > D Esempio Vediamo un alro esempio ancora in cui è conveniene usare il meodo grafico per il calcolo del prodoo di convoluzione ra due segnali. I due segnali in quesione sono i segueni: x( ) e a > a > y( ) rec - + er definizione, il prodoo di convoluzione è z( ) x( ) * y( ) x( τ) y( τ) dτ Auore: andro erizzelli 4

15 Inroduzione ai segnali oppure anche, scambiando le funzione all inerno dell inegrale, oeniamo z( ) x( ) * y( ) y( τ) x( τ) dτ Concenriamoci sulla funzione inegranda, ossia g( τ) y( τ) x( τ). Menre il segnale y(τ) è quello originale, il segnale x(-τ) è il segnale x(τ) ribalao rispeo all asse delle ordinae e poi raslao di un rao, per cui ha l andameno seguene: (la figura si riferisce alla siuazione <) Allora, dao che y(τ) è un reangolo, dao che g(τ) è il prodoo di ale reangolo per x(-τ) e dao che il prodoo di un reangolo per un qualsiasi segnale è il segnale sesso limiao però all inervallo di definizione del reangolo, deduciamo che il segnale g(τ) ha un andameno diverso a seconda di quale relazione inercorre ra e. Esaminiamo i casi possibili:. il primo caso è quello in cui prendiamo ale che <, ossia > : in queso caso la disposizione dei due segnali è e quindi g(τ) in quano, nell inervallo [-,+] il segnale x(-τ) vale ; di conseguenza, anche il prodoo di convoluzione, che è l area soesa dal segnale g(τ) non può che valere ;. il secondo caso è quello in cui prendiamo ale che < <, ossia < < : in queso caso la disposizione dei segnali x(-τ) e y(τ) è Auore: andro erizzelli

16 Appuni di eoria dei segnali - Capiolo per cui il segnale g(τ) è il seguene: - - In queso caso si ha allora che + a( τ) z( ) y( τ) x( τ) dτ x( τ) dτ e dτ e 3. L ulimo caso è quello in cui prendiamo ale che >, ossia che < : in queso caso, la disposizione dei due segnali è + a a e a e quindi la siuazione è analoga al caso precedene, con la differenza che cambiano gli esremi di inegrazione: si ha infai che a( τ) z( ) y( τ) x( τ) dτ x( τ) dτ e dτ e Riepilogando, il segnale z(), dao dalla convoluzione di x() e y(), è il seguene: a a e a a a e e per < - a a a e z( ) e per - < < + a per > + Auore: andro erizzelli 6

17 Inroduzione ai segnali RODOO DI CONVOLUZIONE RA EGNALI ERIODICI Consideriamo due segnali x() e y() e supponiamo che uno dei due o enrambi siano periodici con lo sesso periodo : in queso caso, se applichiamo la definizione di convoluzione usaa fino ad ora, ossia x( ) * y( ) x( τ) y( τ) dτ ne viene fuori un inegrale divergene. Allora, in quesi casi paricolari, si definisce un nuovo ipo di convoluzione, che prende il nome di convoluzione ciclo-sazionaria : la definizione è z( ) x( ) * y( ) x( τ) y( τ) dτ La differenza con l alra definizione sa evidenemene nel fao che l inegrazione viene risrea ad un inervallo qualsiasi, finio e di ampiezza pari al periodo. Ciò che si rova è che quell inegrale converge per ogni e che anche il suo risulao, ossia il segnale z(), è periodico di periodo. + D 7 Auore: andro erizzelli

18 Appuni di eoria dei segnali - Capiolo egnali discrei INRODUZIONE E RINCIALI DEFINIZIONI Un segnale discreo è per definizione una funzione i cui valori non dipendono in modo coninuo dalla variabile indipendene, come nel caso dei segnali s() visi prima; al conrario un segnale discreo è una funzione i cui valori sono calcolai in mulipli ineri di una quanià fissa, soliamene indicaa con. Quindi, un segnale discreo si indica generalmene con la noazione s( n), dove n è ovviamene un numero inero e dove (numero reale posiivo) alvola viene anche omesso. Anche per quesi segnali sussisono definizioni e proprieà analoghe a quelle vise per i segnali coninui. er esempio, così come noi definivamo l energia di un segnale s() coninuo mediane la relazione E s ( ) d allo sesso modo definiamo energia di un segnale discreo la quanià E s( n) n. Anche in queso caso, la sommaoria può convergere o meno a seconda delle caraerisiche di s(n): allora noi diremo che s(n) è un segnale (discreo) ad energia finia o semplicemene un segnale di energia se quella sommaoria converge, ossia se E risula essere un numero reale (ovviamene posiivo). i definisce invece poenza di un segnale discreo la quanià + N lim s( n) N ( N + ) n. N Anche qui si noa la analogia con il caso coninuo, quando cioè la formula era s lim d ( ) Inolre, anche la convergenza di quesa seconda sommaoria non è garania: noi diremo perciò che s(n) è un segnale (discreo) a poenza finia o semplicemene un segnale di poenza se essa converge e se il limie del suo valore risula essere un valore reale non nullo. Ancora, le due definizioni appena dae sono sreamene legae dai segueni due risulai Auore: andro erizzelli 8

19 Inroduzione ai segnali se s(n) è un segnale di energia, ossia se E ],[, ossia s(n) non è un segnale di poenza se s(n) è un segnale di poenza, ossia se ],[ E, ossia s(n) non è un segnale di energia Un alra definizione valida per i segnali discrei è la seguene: si definisce valor medio del segnale discreo s(n) la quanià + N m lim s( n) N N + ( ) n. N EEMIO: GRADINO UNIARIO DICREO Come primo esempio di segnale discreo consideriamo il seguene: u( n) n n < i raa dunque del segnale che dà il valore ogni muliplo della quanià. Verifichiamo che si raa di un segnale a poenza finia (e quindi ad energia infinia): applicando la definizione abbiamo inano che + N lim u( n) N ( N + ) n. N enendo cono che si raa di un segnale reale, per cui il modulo quadro è semplicemene il quadrao, possiamo scrivere che + N lim u ( n) N N + Il segnale ha valore nei mulipli di, per cui ( ) n. + N + N N N N lim + + lim lim ( ) lim ( ) N ( N + ) N n ( + ) N n N ( N + ) N.. ( N + ) Facciamo osservare una perfea analogia ra queso segnale ed il suo corrispondene segnale coninuo, ossia il gradino uniario u(): anche in quel caso si rovava /. EEMIO: EONENZIALE DICREO Consideriamo adesso il nuovo segnale discreo s( n) a n u( n) a < Queso segnale, daa la sruura di u(n) visa nell esempio precedene, si può scrivere nel modo seguene: 9 Auore: andro erizzelli

20 Appuni di eoria dei segnali - Capiolo s( n) a n n n < Vediamo quano vale la sua energia: applicando la definizione abbiamo che ( ) n E s( n) a a a n n. n n n La sommaoria che viene fuori non è alro che la somma della serie geomerica, per cui E Quello oenuo è un valore finio, per cui si raa di un segnale ad energia (e a poenza infinia). a n RODOO DI CONVOLUZIONE ER EGNALI DICREI La definizione di prodoo di convoluzione ra due segnali discrei è ancora una vola analoga al caso di quelli coninui: se x(n) e y(n) sono due segnali discrei, il loro prodoo di convoluzione è il segnale discreo definio come z( n) x( n) * y( n) x( n) y( n k) Abbiamo cioè, rispeo al caso coninuo, una sommaoria al poso dell inegrale ed il ermine al poso del ermine d. k Auore: ANDRO ERIZZELLI sandry@iol.i sio personale: hp://users.iol.i/sandry succursale: hp://digilander.iol.i/sandry Auore: andro erizzelli