] = b [ ] [ ] b [ ] = T 1 [ ] LT 1

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1 Moo smorzao Nel precedene paragrafo abbiamo risolo il caso in cui l'accelerazione del puno maeriale è cosane. In queso paragrafo affroneremo il caso di una accelerazione dipendene dalla elocià. Consideriamo dunque un puno maeriale che si sia muoendo di moo reilineo sull'asse e supponiamo che subisca una accelerazione che dipenda dalla elocià secondo la relazione: a = b in cui b è una cosane posiia le cui dimensioni sono: [ LT 2 ] = b [ ] b [ ] LT 1 [ ] [ ] = T 1 e le corrispondeni unià di misura nel Sisema Inernazionale saranno s -1 (secondi alla meno uno). L'accelerazione è dunque opposa alla elocià, ende cioè a ridurre il alore assoluo della elocià, ed è ano più grande quano più grande è il alore assoluo della elocià. Quesa accelerazione iene subia dai corpi quando si muoono all'inerno di un fluido, almeno per un cero inerallo di elocià ( un auomobile che si muoe nell'aria, un barca che si muoe nell'acqua, ec.) Supponiamo inolre che all'isane iniziale (= s), la elocià del puno maeriale sia o e la sua posizione sia o. Il problema del moo in queso caso si risole, risolendo la seguene equazione differenziale: d = b Si osseri che la funzione ()= (m/s) per ogni isane di empo ra ed s è soluzione dell'equazione differenziale: infai anche la deriaa di una funzione cosane è idenicamene nulla: quindi enrambi i membri dell'equazione differenziale sono sempre idenicamene nulli. Se anche o è nulla, allora la funzione ()= (m/s) soddisfa anche alle condizioni iniziali: essa quindi è la soluzione dell'equazione differenziale e del problema delle condizioni iniziali; il puno maeriale rimane fermo nella posizione o. Se inece o non è uguale a zero, allora la funzione ()= (m/s) non è la soluzione della equazione differenziale e del problema della condizioni iniziali. La soluzione, in queso caso, non sarà idenicamene nulla. Se ci limiiamo a considerare l'inerallo di empo in cui la soluzione non è uguale a zero, allora poremo diidere primo e secondo membro dell'equazione differenziale per. Inolre poremo moliplicare i due membri dell'equazione differenziale per la ariazione infiniesima di empo, che è molo piccolo, infiniesimo, ma non nullo. Si oerrà: d = b d = b d = b Quesa espressione possiamo leggerla in queso modo: per ogni inerallo infiniesimo di empo in cui abbiamo suddiiso l'inerallo di empo ra l'isane iniziale = s e l'isane finale 1 (qualsiasi), la corrispondene ariazione della elocià diisa per la elocià sessa è uguale al prodoo della cosane -b per. Ripeiamo che quesa eguaglianza ale per ui gli ineralli infiniesimi di empo in cui si suddiide l'inerallo di empo ra l'isane iniziale = s e l'isane finale 1 (qualsiasi). L'eguaglianza ra i due ermini coninuerà a alere anche se si sommano ui i conribui corrispondeni a ui gli ineralli di empo infiniesimi in cui è sao suddiiso l'inerallo di

2 empo ra l'isane iniziale = s e l'isane finale 1 (qualsiasi). Ma fare la somma di infinii ermini infiniesimi equiale a fare l'inegrale dei due ermini dell'equazione precedene ra l'isane iniziale = s e l'isane finale 1 (qualsiasi). d 1 d = b 1 = b Si osseri che al primo membro la ariabile di inegrazione è che all'isane iniziale = s ale o e all'isane finale 1 ale. Perciò ( 1 ) 1 1 d = b o Per risolere l'inegrale al primo membro, in cui la ariabile di inegrazione è, si a alla ricerca di una primiia, cioè di una funzione di la cui deriaa rispeo alla ariabile di inegrazione, sia proprio uguale alla funzione inegranda 1 : la funzione ln( ) (logarimo naurale di ) è la primiia che fa al nosro caso. Per risolere l'inegrale al secondo membro, in cui la ariabile di inegrazione è il empo, si a alla ricerca di una primiia, cioè di una funzione del empo la cui deriaa rispeo al empo sia uguale alla funzione inegranda -b: la primiia -b è quella che fa al nosro caso. Perano si può scriere: [ ln ] [ b] o = ln o = b doe il simbolo [ K] sup inf indica il alore della primiia aluao nell'esremo superiore meno il alore della primiia aluaa nell'esremo inferiore. Inerendo la funzione logarimo, si oiene: o = e b da cui = e o b doe il simbolo "e" è la base dei logarimi naurali (e= ) La prima cosa che dobbiamo osserare è che se o è dierso da zero, come siamo supponendo, allora anche () è dierso da zero per ui gli isani di empo ra = e s. Si giusifica così a poseriori per uo l'inerallo ra e s, la diisione per faa all'inizio per risolere l'equazione differenziale. L'esponene della funzione esponenziale e -b, come del reso era da aendersi, è un numero puro, dao che b, come abbiamo iso, ha le dimensioni di [T -1 ]. Ed ora cerchiamo di capire alcune delle caraerisiche della funzione esponenziale. b = e o

3 All'isane iniziale = s, la elocià è uguale a o ( e =1), menre per che ende all'infinio, la elocià ende a ( e = 1 e = 1 = ). La elocià dunque non è mai nulla: la elocià nulla rappresena infai il alore limie, asinoico, per che ende all'infinio (m/s) (s) = 1e 1 s m ( ) s L'espressione precedene si può anche scriere nella forma = e o doe = 1/b, ha le dimensione di un empo [T], e si misura in secondi. ha quindi il significao di un inerallo di empo e si chiama cosane di empo. Se si confrona il alore della elocià ad un cero isane di empo, diciamo 1, con il alore della elocià dopo una cosane di empo, cioè al empo 1+, allora si ede ( 1 + ) ( 1 ) = o e o e = e = e = e 1 = 1 e che la elocià all'isane 1+ si è ridoa di un faore 1/e rispeo al alore della elocià all'isane di empo 1 (si noi che l'isane 1 iniziale è sao fissao arbirariamene e quindi può essere qualunque alore ra zero ed infinio secondi). Quesa osserazione ci permee di definire la cosane di empo come l'inerallo di empo occorrene per ridurre di un faore 1/e (circa un erzo) la funzione esponenziale. Se si confrona inece il alore della elocià all'isane = s con quello all'isane = 5, si oiene: (5 ) e o e = = = e = 5 = ( = ) e o Il alore della elocià dopo 5 cosani di empo si è ridoo a meno dell'uno per ceno del alore iniziale: queso è il moio per cui si afferma che i fenomeni 5

4 esponenziali, come il moo che abbiamo descrio, si esauriscono dopo 4 5 cosani di empo. Ora cerchiamo di racciare la angene al grafico della elocià all'isane di empo = s. Uilizzando l'inerpreazione geomerica della deriaa, possiamo affermare che la angene dell'angolo formao dalla rea angene al grafico della elocià per = s è proprio uguale alla deriaa della elocià (l'accelerazione) calcolaa al empo = s. Poiché per ipoesi nel caso in esame l'accelerazione è daa da: a = d d = b = b = o = o = D'alro lao anche calcolando la deriaa si oiene: d o e d e = o = o e d = o e o = (m/s) o 18 - α α (s) an g(18 α)= o = ang(α) = d = = o = o da cui =. La cosane di empo è dunque l'ascissa del puno di inersezione della rea angene al grafico della elocià a = s con l'asse delle ascisse. Una ola noa la elocià in funzione del empo è possibile risalire alla legge oraria. Inerpreando la definizione di elocià come equazione differenziale si può scriere: d = = e Da cui, moliplicando ambo i membri per ed inegrando ra e secondi, si oiene: o d = o e () d = o o e

5 Effeuando i calcoli si oiene: ed infine: [ ] o () = o e = () o = o e o ()= o + o 1 e ( ) = o 1 e La posizione del puno maeriale all'isane di empo = s è o, menre la posizione raggiuna per che ende ad infinio è o + o. Il puno maeriale percorre il segmeno di esremi o e o + o. Lo sposameno è dunque o. (m) (s) Velocià in funzione della posizione. Per deerminare la elocià in funzione della posizione si può 1. o eliminare il empo dalle soluzioni; 2. o eliminare il empo dall'equazione differenziale. Nel primo caso aremo: da cui o b ( ) = o + ( 1 e ) = oe b b b( o ) o = o e b = o b( o ) Nel secondo inece si pare dall'equazione differenziale: d = b E si moliplica membro a membro per lo sposameno, d, subio dal puno maeriale nell'inerallo di empo. Proprio dall'osserazione che non è mai nulla per maggiore o uguale a s, deria che anche d è sempre dierso da zero qualunque sia l'inerallo infiniesimo scelo per maggiore o uguale a s (d= ).

6 d d = b d Porando a diidere d, al primo membro dell'espressione precedene, si oiene: d d = b d d ( ) = b d d = bd Sommando membro a membro su ui gli inerallini infiniesimi di empo compresi ra = s e il generico isane di empo, enendo cono che la elocià e la posizione al empo = s sono rispeiamene o e o, menre le sesse quanià al generico isane di empo sonno rispeiamene e, si oiene: d = bd o o [ ] o [ ] = b o Ed infine: o = b( o ) = o b( o )