Meccanica Applicata alle Macchine compito del 17/ 2/99

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1 ompio 7//99 pagina Meccanica Applicaa alle Macchine compio del 7/ /99 A) hi deve sosenere l'esame del I modulo deve svolgere i puni e. B) hi deve sosenere l'esame compleo deve svolgere i puni, e 3. ) hi deve sosenere l'esame del II modulo deve svolgere i puni 3 e 4.. La figura rappresena un modello di una funivia. Il carrello è rappresenao come un puno maeriale di massa m' (si rascura cioè il suo momeno di inerzia) ed è vincolao a muoversi lungo la fune, che è inclinaa dell'angolo α. La fune è qui consideraa fissa (cioè si rascurano gli sposameni del carrello in direzione orogonale alla fune e dovui alle oscillazioni della fune sessa). F rappresena la forza eserciaa sul carrello dal cavo raene. La cabina ha massa m e momeno di inerzia I rispeo a B, che è il suo baricenro poso a disanza l dal carrello. La cabina può oscillare aorno a. Si hanno i segueni dai (in unià SI): m 3000 m' 000 l 4.4 I 080 V 8 g 9.8 α π 4 a) he ipo di coppia cinemaica può essere usaa per rappresenare il vincolo in, considerando la fune fissa? b) Deerminare la posizione del baricenro G del sisema formao da cabina più carrello (figura a desra) ed il momeno d'inerzia complessivo I' rispeo a G. E' lecio rappresenare il sisema cabina carrello come un solo corpo rigido? c) Quani gradi di liberà ci sono? d) Ricavare le equazioni del moo del sisema. Evidenziare le variabili indipendeni e quelle dipendeni. e) Nell'ipoesi in cui il carrello si muova in discesa con moo uniforme a velocià V e che l'angolo di oscillazione della cabina sia piccolo, deerminare la reazione vincolare della fune sul carrello, l' equazione delle oscillazioni libere della cabina ed il relaivo periodo di oscillazione.

2 ompio 7//99 pagina f) (facolaivo) Deerminare le oscillazioni della cabina che seguono ad una frenaa improvvisa. Si assuma che la posizione iniziale della cabina sia vericale e che la frenaa corrisponda alla imposizione di un moo uniformemene decelerao del carrello che lo pora da velocià iniziale V a velocià nulla in 6 secondi. Soluzione (La soluzione sviluppaa qui è molo più ampia di quano necessario per superare l'esame). a) La coppia cinemaica che rappresena il vincolo in può essere una coppia a camma (oppure un gruppo coppia prismaica + rooidale). Infai viene eliminao il grado di liberà relaivo alla raslazione orogonale alla fune. b) Posizione del baricenro G e momeno d'inerzia complessivo. Il carrello e la cabina B non formano a rigore un sisema rigido, in quano sono liberi di ruoare per la presenza della cerniera in ; uavia, considerao che si rascura l'inerzia di roazione del carrello e lo si rappresena come un puno maeriale, si può in queso paricolare caso considerare l'insieme rigido. La posizione l' del carrello si ricava con: ml+ m' 0 l' m + m' l' 3.3 Il momeno d'inerzia rispeo al baricenro G vale: I' I+ m l l' + m' l' I' I' 5600 c) Il sisema ha due gradi di liberà che corrispondono alla raslazione q del carrello e all'oscillazione θ della cabina, come si vede nella figura seguene.

3 ompio 7//99 pagina 3 Le coordinae del carrello si esprimono in funzione di q nel modo seguene: x q cos α y sin α x cos α q y sin α q Le coordinae del baricenro G si esprimono come: x G y G x y + l' cos sin π + θ π + θ x G l' sin θ + cos α q y G l' cos θ sin α q d) onviene scrivere le equazioni del moo secondo il meodo di Newon - Eulero, dao che è richiesa la reazione vincolare. Le forze sono quelle mosrae sopra in figura, in paricolare la forza peso di carrello e cabina può essere composa in una unica forza agene sul baricenro G e pari al peso complessivo. Le equazioni del moo sono le segueni:

4 ompio 7//99 pagina 4 m + m' m + m' π x G R cos α + + F cos α + π π y G R sin α + + F sin α + π m + m' g I' θ M R + M F dove i momeni delle forze F ed R sono: M R l' cos π + θ sin π + θ π cos α + R π sin α + M R l' R sin θ + α M F l' cos π + θ sin π + θ F cos α + π sin α + π M F l' cos θ + α F Sosiuendo e semplificando si oengono le equazioni del moo: m + m' x G sin α R cos α F m + m' y G R cos α + F sin α m + m' g I' θ l' sin α R + cos α F cos θ l' cos α R + sin α F sin θ in cui resa da esprimere x, y in funzione di q e dei relaivi rappori di velocià. Si oengono così 3 equazioni che danno il moo (q, θ) e la reazione vincolare R in funzione della forza di razione F: x G y G l' sin θ l' cos θ θ + l' cos θ θ + cos α θ + l' sin θ θ sin α q q e) In queso caso, siccome il moo è assegnao, si ha un problema di analisi dinamica inversa. Assumendo moo reilineo uniforme del carrello, cioè: q V Si può sosiuire nelle equazioni e ricavare la forza di razione F e la reazione vincolare R: Sosiuendo dapprima nelle espressioni delle coordinae del baricenro si ha: x G l' sin θ θ + l' cos θ θ

5 ompio 7//99 pagina 5 y G l' cos θ θ + l' sin θ θ A queso puno occorre ricordare che l'oscillazione θ è pensaa infiniesima per cui le espressioni precedeni si semplificano uleriormene (perché si eliminano gli infiniesimi di ordine due o più): cos θ sin θ θ x G y G 0 l' θ Le equazioni del moo che ne risulano sono (ricordando che α 45 le equazioni si semplificano più facilmene): m + m' l' θ R F 0 R + F m + m' g I' θ l' R + F l' R + F θ Si possono manipolare quese equazioni e ricavare la reazione vincolare, la forza di razione, e l'equazione per le piccole oscillazioni della cabina. Dalle prime due equazioni si ha: R m + m' l' θ m + m' g F m + m' l' θ + m + m' g che mosrano che le forze dipendono dalle oscillazioni della cabina. Sosiuendo nella erza si ha: I' θ m + m' gl' θ m + m' l' θ ioè: I' + m + m' l' m + m' gl' ω n I' + m + m' l' ω n.4787 Il periodo T: θ + m + m' gl' θ 0

6 ompio 7//99 pagina 6 T π ω n T 4.49 f) nel caso della frenaa la legge del moo sarebbe la seguene (la decelerazione è pari a 0,5 m / s): V 8 a 0.5 q V a Sosiuendo nelle equazioni del moo (in modo simile al caso precedene) e linearizzando le equazioni (piccole oscillazioni) si ha: x G y G l' θ a cos α a sin α si oengono le segueni equazioni: m + m' l' θ a R F m + m' a R + F m + m' g I' θ l' R + F l' R + F θ sviluppando i calcoli si ha: F m + m' l' θ m + m' a + + m + m' g R m + m' l' θ + m + m' g La prima equazione mosra che la forza F deve aumenare della quanià (m + m')a necessaria a decelerare la funivia. Sosiuendo nella erza equazione si oiene l'equazione del moo oscillaorio, che quesa vola risula essere l'equazione di un sisema ad un grado di liberà forzao. Non solo, ma il coefficiene di rigidezza generalizzaa è cambiao per effeo della decelerazione sessa a: ora è maggiore e di conseguenza il periodo di oscillazione in frenaa sarà più breve. I' + m + m' l' θ + m + m' a + m + m' g l' θ m + m' al' La soluzione paricolare di quesa equazione differenziale (con a cosane) è (la quale si oiene assumendo una soluzione cosane nel empo ed eliminando di conseguenza il ermine con la derivaa seconda): θ a a + g

7 ompio 7//99 pagina 7 cioè un'inclinazione in avani di (rad): θ La soluzione omogenea è: θ A sin ω' + B cos ω' essendo ω' la nuova frequenza di oscillazione: ω' m + m' a + m + m' g l' I' + m + m' l' ω'.505 La soluzione complessiva deve soddisfare alle condizioni iniziali: θ A sin ω' + B cos ω' + 0 θ 0 a 0 + B a + g 0 θ 0 ω' A 0 a a + g Da cui il moo che si realizza è (a meno degli smorzameni non considerai): θ a a + g cos ω' in paricolare si deve noare come la massima inclinazione sia pari al doppio di quella corrispondene alla soluzione paricolare (circa 4 in queso esempio) e si realizza dopo circa secondi dall'inizio della frenaa θ 0.0. Meccanismi foremene accoppiai. 4 6

8 ompio 7//99 pagina 8 3. La figura rappresena un modello di una sospensione di auoveicolo. m è la massa del veicolo che compee alla sospensione (un quaro circa della massa oale del veicolo). k e c sono rispeivamene la rigidezza ed il coefficinee di smorzameno della sospensione. k' è la rigidezza del peneumaico (si rascura lo smorzameno del pneumaico) menre mè la massa del mozzo ruoa e di ui gli organi solidali al mozzo (cioè ue le masse che non sono sospese). Nell'ipoesi semplificaica di rascurarel'effeo dello smorzameno (c 0): a) Deerminare il moo vericale della massa m e del mozzo m quando la superficie sradale si sposa in direzione vericale con una legge armonica del ipo: y a cos ω b) Deerminare, nella sessa siuazione, la forza di conao fra il pneumaico ed il suolo. c) (facolaivo) Scrivere la funzione di rasferimeno fra lo sposameno vericale y e lo sposameno della massa m. d) (facolaivo) Scrivere la funzione di rasferimeno fra y e la forza di conao penumaico - suolo. e) Derminare frequenze naurali e modi di vibrare. Dai (in unià SI): m 30 m 300 k 3000 k' c 400 Soluzione (La soluzione sviluppaa qui è molo più ampia di quano necessario per superare l'esame). Equazioni del moo. Si ricorda che nella scriura delle equazioni del moo si possono ignorare le forze peso cosani. Infai le forze cosani hanno l'effeo di sposare di una quanià cosane le posizioni di equilibrio. x e x rappresenano gli sposameni delle masse a parire dalle posizioni di equilibrio. In corrispondenza a x e x nulli le molle sono cioè già compresse di una quanià ale da equilibrare le forze peso. I ermini kx rappresenano allora la forza aggiuniva dovua all'uleriore deformazione della molla, e nel caso del pneumaico la fluuazione di forza a erra. La forza elasica oale si oiene aggiungendo il precarico. Le equazioni del moo sono perano: m x k x x c x x

9 ompio 7//99 pagina 9 m x k x x + c x x k' x y porando a primo membro le incognie rimangono le equazioni di un sisema forzao a due gradi di liberà (dove k'y è il ermine forzane): m m x + c x c x + k + k' x kx k' y x c x + c x kx + kx 0 o, in forma mariciale: m 0 x 0 m x c c x + c c + x k + k' k k k x x k' y 0 a) Per deerminare la risposa in regime armonico si sosiisce (la risposa è la pare reale): y a e i ω x b e i ω x b e i ω semplificando l'esponeziale in ω (che è faore comune) si oiene: ω m 0 0 m b b b b b c c k + k' k + ω i + ak' c c b k k 0 cioè: ω m + k + k' + ω ci k ω ci k ω ci ω m + k + ω ci b ak' b 0 E' possibile a queso puno risolvere in b e b (le ampiezze dei moi risulani) in funzione di a (l'ampiezza del moo impresso) e della frequenza ω (sempre del moo impresso). Risolvendo il sisema si ricava: b b ak' ω m + k + k' + ω ci k ω ci k ω ci ω m + k + ω ci 0 Tuavia la soluzione risula complicaa dal puno di visa dei calcoli e conviene uilizzare a queso puno la semplificazione suggeria (c 0): c 0 b b ak' ω m + k + k' k k ω m + k 0

10 ompio 7//99 pagina 0 procedendo nei calcoli si oiene: b b ak' m m ω 4 k + k' m + km ω + kk' ω m + k k k ω m + k + k' 0 da cui le ampiezze del moo risulane: ω m b + k ak' ω 4 m m k + k' m + km ω + kk' akk' b ω 4 m m k + k' m + km ω + kk' b) la forza di conao (escluso il precarico che è cosane e pari al peso) vale: F k' x y facendo le sosiuzioni si oiene: F k' b e ω i ae ω i F b a k' e ω i ω m F + k ak' ω 4 m m k + k' m + km ω a + kk' k' e ω i F ω 4 m m m + m ω k ω 4 m m k + k' m + km ω ak' e ω i + kk' c) La funzione di rasferimeno fra lo sposameno impresso e lo sposameno della massa è il rappporo (complesso) fra lo sposameno oenuo e quello impresso: x H y b H a kk' H m m ω 4 k + k' m + km ω + kk' H ω ω H ω ω 000 Una rappresenazione grafica evidenzia due risonanze, rispeivamene quando si annulla il denominaore a causa di ciascuno dei due faori sopra evidenziai:

11 ompio 7//99 pagina.5 H ω d) La funzione di rasferimeno sposameno - forza è il rapporo fra l'ampiezza della fluuazione di forza di conao F e l'ampiezza del moo impresso y. Si oiene: F y k' m H m ω 4 m + m k ω F m m ω 4 k + k' m + km ω + kk' H F H F ω 0 ω ω ω 000 Una rappresenazione grafica mosra come, in corrispondenza delle risonanze, la fluuazione di forza sarebbe infinia (a meno dello smorzameno). 8x0+05 6x0+05 4x0+05 H F x ω Il problema agli auovalori è il seguene (è sao ricavao durane i passaggi del puno b, basa rascurare y): m ω + k + k' k k m ω + k b 0 b 0

12 ompio 7//99 pagina Le frequenze naurali si oengono azzerando il deerminane (e corrispondono agli zeri dei denominaori delle funzioni di rasferimeno sopra individuae): m m ω 4 km + k' m + km ω + kk' 0 onviene procedere numericamene a queso puno: 9000 ω ω ω b b 0 0 b b Il primo modo corrisponde ad un piccolo sposameno del mozzo che avviene in fase con lo spsoameno della massa sospesa.