I - Cinematica del punto materiale

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1 I - Cinemaica del puno maeriale La cinemaica deli oei puniformi descrie il moo dei puni maeriali. La descrizione del moo di oni puno maeriale dee sempre essere faa in relazione ad un paricolare sisema di riferimeno. La posizione di un oeo che si muoe luno una rea è daa dall equazione oraria: Si definiscono la elocià isananea: e l accelerazione isananea: = ( ) = lim = d lim a = = d d = Se un oeo si muoe luno una rea con accelerazione cosane (moo uniformemene accelerao) si ha: a = cos e per inerazione, ponendo = e = per l isane iniziale = =, si oerrà: = + a 1 = + + a = ( ) + a Gli oei che si muoono ericalmene icino alla superficie erresre, sia che cadano o che siano lanciai ericalmene erso l alo o erso il basso, si muoono (se si può rascurare l effeo della resisenza dell aria) con accelerazione cosane riola erso il basso. Quesa accelerazione è doua alla raià, ed è pari a circa = 9,8 m/s. In enerale, se r è il eore posizione del puno maeriale, la elocià e l'accelerazione eoriale isananea sono dae da:

2 dr = e d a =. Le equazioni cinemaiche per il moo possono essere scrie per ciascuna delle componeni, e z, ossia: Riassumiamo qui i casi più semplici: r = ˆ + ˆ + zzˆ = ˆ + ˆ + zˆ a = a ˆ + a ˆ + a zˆ. Il moo dei proieili si può scomporre, se si rascura la resisenza dell aria, in due moi separai: la componene orizzonale del moo che ha elocià cosane e la componene ericale che ha accelerazione cosane e pari a, come per i corpi in cadua libera (finano che il moo si sole in prossimià della superficie erresre). Si ha un moo circolare uniforme quando una paricella si muoe luno una circonferenza di raio r con elocià cosane; la paricella sarà allora soea ad un accelerazione radiale cenripea a R, direa erso il cenro del cerchio, di inensià: z z a R = r Se la elocià non è cosane, i sarà accelerazione sia cenripea sianenziale. Il moo circolare può anche essere scrio in ermini di ariabili anolari. In queso caso l equazione oraria sarà θ = θ( ) con θ anolo misurao (in radiani) a parire da una daa direzione di riferimeno. La elocià anolare è daa da: e l accelerazione anolare da: dθ ω = α = La elocià e l accelerazione lineare di un puno che si muoe luno una circonferenza di raio r sono leae a ω e α da: dω = rω a T = rα a R = rω

3 doe a T e a R sono le componeni anenziale e radiale dell accelerazione. La frequenza f è leaa ad ω da ω = π f e al periodo T da T = 1/f.

4 Problema 1 Il sisema, mosrao in fiura, è cosiuio da una massa m appoiaa su una uida reilinea inclinaa di un anolo θ rispeo all'orizzonale. Calcolare l'accelerazione a con la quale dee muoersi la uida orizzonalmene affinché la massa m cada ericalmene con accelerazione pari a. [ θ = 3 ; m = 9.8 / s ] Suerimeno: enere cono che orizzonalmene. è direa solo ericalmene, menre a è direa solo Soluzione: L'accelerazione della massa è inerziale solidale con la uida. rispeo ad un osseraore inerziale, e a rispeo ad un riferimeno non a r a θ L'accelerazione di raià nel riferimeno solidale con la uida è: = Indicao con a il modulo dell'accelerazione della massa nel riferimeno solidale con la uida ale: a = sinθ + cosθ a r La componene orizzonale di a dee equilibrare a, quindi: a = a cos θ + cioè: sinθ cosθ = = 5,7 m / s θ riola all'indiero.

5 Soluzione alernaia: L accelerazione oale dee essere, quindi dee alere: = a + scriendo ques equazione in componeni si oiene facilmene che: = = 5,7 m / s θ doe e sono i moduli delle accelerazioni. Problema Una palla è lanciaa in aani e erso l'alo da una quoa h sopra il suolo con elocià iniziale. La palla rimbalza elasicamene (inerendo la componene orizzonale della elocià e manenendo inaleraa quella ericale) su un muro ericale poso alla disanza d dal lanciaore. A quale alezza h dal suolo la palla colpisce il muro? A quale alezza h si roa la palla quando è di nuoo sulla ericale del lanciaore (che rimane fermo)? Qual è la quoa massima h ma raiuna dalla palla? Quesio: h ma è la sessa che sarebbe raiuna se non ci fosse la paree ericale. Perché? [h = m; d = 4 m; = ( ) m / s 1 ˆ + 1 ˆ ] h d Soluzione: a) La componene orizzonale della elocià è cosane, quindi la palla raiune il muro nel empo:

6 d = =,4 s. In direzione ericale è l'accelerazione ad essere cosane: = -9,8 ŷ m/s. Perciò: d 1 d h = h + = 5, m b) La pallorna sul lanciaore dopo alri,4 s. La componene ericale del moo è ancora uniformemene acceleraa con elocià iniziale = 6,8 m/s, e quoa iniziale h = 5, m. Perciò la nuoa quoa è h = 6,9 m. c) La quoa massima h ma iene raiuna quando la componene ericale della elocià si annulla (ciò aiene dopo il rimbalzo). Essa è perciò daa da: h = h = 7,1 m. ma + Risposa al quesio: h ma è la sessa che sarebbe raiuna se non ci fosse la paree ericale, perché l uro con ale paree non alera la componene ericale del moo. Problema 3 Un ecchio cannone iene fao sparare orizzonalmene dalla cima di una monana e la elocià della palla iene reolaa in modo ale da farle colpire un bersalio poso nella pianura soosane solo al secondo rimbalzo. Nel rimbalzo la componene ericale della elocià si riduce di un faore f e la componene orizzonale rimane cosane. Qual è la elocià di uscia della palla del cannone per poer colpire un bersalio disane d, se la monana sulla cui cima è siuao il cannone è ala h? Qual è la elocià di uscia della palla se si uole colpire il bersalio direamene? [f=,6; h = 1 km; d = 9 km] h d

7 Suerimeno: calcolare la duraa del moo in ericale ed ricordare che in ale empo iene percorsa orizzonalmene la disanza d. Soluzione: a) La componene orizzonale del moo si maniene cosanemene uniforme, per cui basa calcolare la duraa del moo ericale ed imporre che d =, cioè = d/. Il primo impao aiene dopo il empo 1 : menre il secondo impao aiene con un riardo : h = = 1 s = 14,1 s 1 = = 1 s = 17 s, doe è quella subio dopo l'uro: = f = 6 = 84,9 m/s. 1 Quindi: d = = 89,3 m/s. 1 + b) La componene ericale del moo è uniformemene acceleraa con accelerazione perciò il empo impieao dalla palla per raiunere il suolo è: = 9.8ˆ m / s, = h In queso empo la palla percorre orizzonalmene la disanza d = = 9 km, cioè: d = = d = 63 m/s. h