Fisica Generale A. 2. Esercizi di Cinematica. Esercizio 1. Esercizio 1 (III) Esercizio 1 (II)

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1 Fisic Generle A. Esercizi di Cinemic hp://cmpus.cib.unibo.i/57/ Esercizio 1 Un puno merile è incolo muoersi luno un uid reiline. Al empo il puno merile si ro in quiee. Il puno merile cceler con ccelerzione: () k, con k ms Trore l elocià isnne riun e lo spzio percorso dopo: s 775. Sepember 17, 1 DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic Esercizio 1 (II) Esercizio 1 (III) elocià riun si ro inerndo l ccelerzione: () d k d k 3 k o spzio percorso si ro inerndo l elocià: s () d k 3 3 d k 1 Nel nosro cso: k 1 k ms ms.776m s s s 15.51s 1 D cui: k s k m s 37m DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 3 DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic

2 Esercizio Esercizio (II) Un puno merile è incolo un uid circolre di rio r 3 m, su cui può scorrere senz rio. Esso si muoe secondo l lee orri: s () k 3 con: k + 1 m/s3 Clcolre l componene nenzile e l componene normle dell ccelerzione dopo 1 s. 38. e componeni nenzile e normle dell ccelerzione si scriono: s s r Troimo le derie di s: s () k 3 s() 3k s () 6k Nel nosro cso: k + 1 m/s3 1.95m/s 3 DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 5 DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 6 Esercizio (III) Esercizio 3 Aremo perciò: () s () 6k () () s 9k r r () m s () m s 3 Un puno merile iene lncio dll superficie erresre con elocià 1 m/s, un nolo di 9 rispeo ll ericle. 1 Clcolre il rio di curur del puno merile subio dopo il lncio. 39. DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 7 DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 8

3 Esercizio 3 (II) Esercizio 3 (III) Come per ui i corpi liberi in prossimià dell superficie erresre, l ccelerzione horm 9.81 m/s ed è dire luno l ericle, erso il cenro dell err (edi fiur). ccelerzione si può perno scomporre in due componeni oroonli: l componene nenzile, con l sess direzione dell elocià e l componene normle, con direzione perpendicolre ll elocià. componene normle è le l rio di curur dll relzione: Conoscendo si può quindi clcolre il rio di curur. cos sin Nel nosro cso bbimo: sin 9.81 sin( 1.51 ) 3.6m s m cos sin DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 9 DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 1 Esercizio Esercizio (II) Un puno merile si muoe in un pino seuendo l lee orri: s () k, con k.5m s Trore il rio di curur dell rieoriei due seueni csi: orm dell ccelerzione è cosne: k. orm dell ccelerzione cresce con il empo, secondo l lee: () k 1+ T, con T 7s Nell su espressione inrinsec, l ccelerzione si può scriere come: sˆ + s ˆn Essendo i ersori e perpendicolri r loro, si h: i sˆ + s ˆn i sˆ + s ˆn s ˆ i ˆ + s ˆni ˆn s + s ˆni ˆ 1 1 s + s D ques relzione possimo ricre il rio di curur: s s s s DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 11 DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 1

4 Esercizio (III) Esercizio (IV) Nel nosro esercizio, bbimo: s () k, con k.5m s s() k s () k s k s k Nel primo cso l ccelerzione è cosne ( k) e remo: k k k Nel secondo cso lorm dell ccelerzione umen col empo secondo l lee: () k 1+ T, con T 7s Aremo: k k k k k 1 + T k k kt cos T Poiché il rio di curur è cosne, l rieori è circolre. Poiché rio di curur è infinio, l rieori è reiline. DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 13 DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 1 Esercizio (V) Esercizio 5 Il rio di curur è do d: k.5m s T 7s kt.5 m s 9 s.5m Un puno merile si muoe in un pino. A prire d un cero isne i moduli dell elocià e dell ccelerzione diminuiscono con il empo secondo le lei: () + T, () k + T Trore: l lee orri. l form dell rieori per ui i lori mmissibili di k. DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 15 DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 16

5 Esercizio 5 (II) Esercizio 5 (III) Troimo innnziuo l lee orri: s() () + T s () s d + T d ln( + T ) ln + T T ln 1+ T s () ln 1+ T ln( + T ) lnt Troimo or l rieori. Ricordimo dll esercizio che: s s In queso esercizio: s() () + T k () ( + T ) s s s () d d ( + T ) k ( + T ) ( + T ) + T k 1 DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 17 DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 18 Esercizio 5 (IV) Esercizio 6 k 1 Come si ede, per k 1,1 k 1 < il rio di curur risulerebbe imminrio, per cui non si hé un rieori, né un moo rele. Per k ±1 si h: Un puno merile A si muoe di moo reilineo uniforme, con elocià di norm 3. m/s, luno l re y d, con d 3 m. Un secondo puno merile B pre dll oriine, con elocià null e ccelerzione cosne, di norm. m/s, nello sesso isne in cui il puno merile A rers l sse y. Per qule nolo i due puni merili collidono? k k±1 1 il rio di curur è infinio, e l rieori è reiline. Per k 1,1 il rio di curur è cosne e finio e l rieori è circolre. DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 19 DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic

6 Esercizio 6 (II) Esercizio 6 (III) Per quno riurd il puno A, si h: A () î r A () r A d î d î d î d ˆ r A () î + d ˆ Per quno riurd il puno B si h inece: B () î sin + ˆ cos B () B ()d B î sin d + ˆ cos d î sin d + ˆ cos d ( î sin + ˆ cos) B () ( î sin + ˆ cos) r B () r B ()d B ( î sin + ˆ cos) d ( î sin + ˆ cos) d ( î sin + ˆ cos) r B () 1 î sin + ˆ cos collisione si erific se e solno se esise un isne in cui: r A () r B () î + d ˆ 1 î sin + ˆ cos 1 î sin + ˆ cos DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 1 DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic Esercizio 6 (IV) Esercizio 6 (V) Queso sisem di equzioni dee essere risolo nelle inconie e : î + d ˆ 1 1 î sin + ˆ cos sin d 1 cos 1 sin sin d (impossibile) d 1 cos d 1 cos sin sin d cos sin d cos 1 cos d cos cos + d cos 1 cos d ± d 3 cos. 3 ± 3. 3 cos.75 ± cos rd ± ± impossibile, cos 1,1 DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 3 DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic

7 Esercizio 7 Esercizio 7 (II) equzione prmeric del moo di un puno merile P si scrie: P î + ˆ () O Deerminre l equzione dell rieori y y(x). Deerminre inolre l lee orri s s() con le condizioni inizili s, s 1 m. Per componeni, le equzioni prmeriche del moo si scriono: P ()O î + ˆ x () y () Per rore l equzione dell rieori bison eliminre il empo dlle due equzioni: x () x y( x) x Si r dell equzione di un re di coefficiene nolre. s ( s,s) s DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 5 DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 6 Esercizio 7 (III) Esercizio 7 (IV) Per rore l lee orri, dobbimo rore il percorso s luno l rieori in funzione del empo. In enerle, essendo le rieorie delle cure, si può scriere: s s d s s,s doe, l inerle di line rppresen l lunhezz dell spezz mosr in fiur, qundo l lunhezz dei semenini, di lunhezz s i, ende (e dunque l spezz pprossim l cur (s, s)). Come si ede nell second fiur, s i d s ( x i ) + ( y i ) ( d x) + ( d y) s ( s,s) s i s x i y i Nel nosro cso: x () d x d d y y () d d s Per cui: s ()s d x d d y d ( d x) + ( d y) ( d) + d d s 3 d 3 s,s s () s + 8 d 3 d Occorre or sosiuire s e le condizioni inizili. 3 3 s i x i y i DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 7 DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 8

8 Esercizio 7 (V) Esercizio 8 s () s Un puno merile P si muoe, in un pino cresino Oxy su di un rieori di equzione: s () s () ( s,s) s y( x) 1 5 x con lee orri: s () Se ll isne s il puno merile si roel puno A(5, 1), deerminre, in funzione del empo, il eore posizionle: r r () P ()O s DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 9 DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 3 Esercizio 8 (II) Esercizio 8 (III) Dll lee orri: s () roimo, sosiuendo: s s ( ) s 1 s Dll fiur, si ede che: s ()s P ()A Dll equzione dell rieori roimo: y () 1 x 5 () y 1 x 5 D quese: s () s x x () x () x () s 3 + x () x + y () y x + y () x () y y () y 1 5 x A( 5,1) P () x () s ()s 6 5 x 6 ()x x 5 x ()x 5 6 s ()s y ()y 1 5 x () 1 5 x 1 5 x ()x x () 5 6 s ()s + x 5 6 s y () 1 6 s ()s + y 1 6 s Infine: r () x ()î + y () x () 1 () 1 ()ˆ î + ˆ s y () () s y 1 5 x A( 5,1) P () x () DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 31 DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 3

9 Esercizio 9 Esercizio 9 (II) Il eore posizionle di un puno merile P è do, in funzione del empo, d: P ()O r () 3 3 î + +1 ˆ + ( + ) ˆk Deerminre l lee orri s s() con le condizioni inizili: s s m esercizio è nloo ll esercizio 7, m in queso cso il moo iene in 3 dimensioni, per cui si h (edi fiur): s,s s i x i + ( y i ) + ( z i ) + ( d y) + ( d z) d s d x Dlle equzioni prmeriche si ric: x () 3 d x 3 d y () d x d + 1 d y d d y d d z d z () + d z d 1 d s ( d x) + ( d y) + ( d z) ( d ) + d d ( + 1)d + d s z y s i s x s x i y i DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 33 DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 3 Esercizio 9 (III) Esercizio 1 Inerndo: s ()s s d s ( + 1)d s,s () s Un puno merile iene lncio in direzione orizzonle d un lezz h rispeo l suolo, con elocià. Trscurndo l resisenz dell ri si clcoli: e componeni nenzile e normle dell ccelerzione del puno merile, in un enerico puno di lezz h; o spzio s percorso dl puno dll isne del lncio quello in cui occ il suolo. ( s,s) s s DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 35 DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 36

10 Esercizio 1 (II) Esercizio 1 (III) Il puno merile è soeo ll ccelerzione di rià, cosne, dire luno l ericle e con erso in bsso: () ˆk Inerndo e sceliendo, per semplicià,, si h: () () î () î ( ) ˆk î ˆk ()d ˆk d ˆk d ˆk Inerndo nuomene: r() r ()d î ˆk d î d ˆk d î ˆk î ˆk r () r r () h ˆk î 1 ˆk r () î + h 1 ˆk Per rispondere ll domnd, occorre scriere e in funzione di z. è cosne, menre, per quno riurd si h: r () î + h 1 ˆk () î ˆk î h ( z) î h z ˆk z x () () h 1 h z () z ˆk DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 37 DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 38 Esercizio 1 (IV) Esercizio 1 (V) I componeni nenzile e normle dell ccelerzione si possono scriere come: ( i ˆ )ˆ componene di ( nell direzione ˆ ) ( i ˆ )ˆ ( essendo n + n ) Aremo dunque: i i ˆki ˆ î h z ˆk î h z ˆk ( i ˆ )ˆ i ˆ h z h z î h z ˆk h z + h z î h z ˆk + h z + h z + h z 39 h z î h z ˆk ˆk + h z ˆk + h z h z î h z ˆk + h z h z ˆk h z î + h z ( ) + ( h z ) n î + h z h z ˆk + h z + h z DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic

11 Esercizio 1 (VI) Esercizio 1 (VII) ( ) + h z ( ) + h z + h z + h z + h z + h z + h z second domnd chiede l lunhezz dell rieori. Inizimo scriendone l equzione: r() î + h 1 x () ˆk x z () h 1 z h 1 h 1 x h x Poremo scriere: z h x d s dz dx x d x ( d x) + ( d z) ( d x) + d x d z 1+ x d x 1+ x d x sciss x C del puno in cui P riune il suolo si oiene d: z h x z x C h h x h 1+ d z d x d x DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 1 DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic Esercizio 1 (VIII) Esercizio 1 (IX) Si h perciò: x C s d s 1+ d z d x Ricordndo che: h d x 1+ x d x s 1 x 1+ x + ln x h 1+ h x + ln h h + 1+ h ln 1 1+ b x d x 1 x 1+ b x + 1 b ln bx + 1+ b x + C Si h: h s 1+ x d x 1 x 1+ x + ln x + 1+ x h 1 s 1 h h 1+ h + ln h + 1+ h 1+ h + ln h + 1+ h DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 3 DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic

12 Esercizio 11 Esercizio 11 (II) Un drdo iene lncio orizzonlmene nell direzione del cenro di un berslio, ll elocià di 1 m/s. Dopo.19 s ess si conficcel puno Q, soo il cenro P. Quno le l disnz PQ? Quno dis il lnciore dl berslio? e equzioni prmeriche del moo si scriono: r () î 1 ˆ All isne.19 s si h: r (.19s) 1m s.19sî m s.19 s ˆ Aremo perciò: 1.9mî.177m ˆ P Q DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 5 DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 6 Esercizio 1 Esercizio 1 (II) Un puno merile si muoe luno un uid circolre di rio pri r 3.6 m, di moo uniformemene ccelero. In un cero isne 1, l ccelerzione del puno merile form un nolo.º con l direzione rdile e l elocià del puno merile horm pri 17. m/s. Di quno umen, in mezzo secondo lorm dell elocià? Quno le lorm dell ccelerzione? Ricordndo l espressione inrinsec dell ccelerzione: ˆ + ˆn sˆ + s ˆn si cpisce che l umeno dellorm dell elocià ( s d) dipende solno dll componene nenzile dell ccelerzione. Noi conoscimo l componene normle dell ccelerzione (perché conoscimo l elocià e il rio) e l su inclinzione rispeo l rio; d quesi di possimo clcolre l componene nenzile dell ccelerzione. componene normle dell ccelerzione le: ( 1 ) s 17.m s 3.6m 3.76 m s 3.6 m m s DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 7 DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 8

13 Esercizio 1 (III) Sppimo inolre che: cos cos sin cos sin n n ( 1 )n ( 1 ) 83.18m s n 83.18m s. 33.6m s ( 1 ) n 1 cos m s cos 83.18m s 89.7 m s.97 umeno in.5 s dellorm dell elocià srà, essendo cosne l componene nenzile dell ccelerzione: s 33.6m s.5s 16.8m s hp://cmpus.cib.unibo.i/57/ Domenico Glli Diprimeno di Fisic domenico.lli@unibo.i hp:// hps://lhcbweb.bo.infn.i/gllididic DOMENICO GAI Fisic Generle A E. Esercizi di Cinemic 9