Funzioni a valori vettoriali

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1 Funzioni vlori veorili Definizione. Un ppliczione defini u un inieme di numeri reli il cui codominio è un n inieme dir è per definizione un funzione vlori veorili. F è un veore che h n componeni e i crive Se F deno un funzione vlori veorili llor ( ) f ( ) ( f ( ) f ( ),..., f ( ) ). Coì ogni funzione F vlori veorili dà origine n funzioni n vlori reli i cui vlori nel puno ono le componeni di F ( ). Nel eguio il dominio di F rà un inervllo che può eere nche infinio., n f f,..., f Definizione. Si F un funzione vlori veorili defini u un inervllo I. Si dice che F è coninu in I e i crive e per ogni >, lim F( ) F( ) ovvero lim F( ) F( ) ε è poibile rovre un numero poiivo δ ( ε, ) ( ) F( ) < ε dove deno l norm euclide inr n : δ le che F ogni qulvol che I e < δ u + u +... un u ( u,..., u n ) Perno lim F( ) F( ) e e olo e lim F( ) F( ) Non è difficile dimorre che lim F( ) F( ) e e olo e f ( ) f ( ) lim i,..., n Si dice che F è coninu in I qundo F è coninu in ogni puno di I. D quno precede: un funzione vlori veorili è coninu e e olo e è coninu ogni u componene. Anlogmene: un funzione vlori veorili F è derivbile o inegrbile u un inervllo I e ogni componene di F h l corripondene proprieà ullo eo inervllo. i i

2 Se F è derivbile per llor F ( ) ( ) F( ) F lim e e olo e ( ) F( ) F lim F ( ) e ( ) F( ) F lim F ( ) e e olo e ( ) f ( ) f i lim f i ( ) i,,..., n Ovvimene F lim ( ) F( ) F ( ) F lim h ( + h) F( ) h Definizione. Un ppliczione F vlori veorili defini e coninu in un inervllo chiuo e limio [, è per definizione un curv o un rco di curv. L immgine di un curv è de oegno di F oppure l rieori decri d F d F() F(b); le equzioni f ( ), x f ( ), x n f n ( ) [, x ono dee le equzioni prmeriche dell curv. Ovvimene lungo un curvγ ono poibili due orienzioni. L equzione dell curv F F( ) deermin un delle due poibili orienzioni: quell corripondene ll direzione lungo l qule il prmero è crecene. F, b F l In lre prole l equzione F ( ) [ ] induce ull curv l orienzione dl puno ( ) puno F ( b). ' Se F h deriv F coninu in (, b) e e F ( ) in (, b) llor l curv è de lici o regolre. Un curv F i dice regolre ri e eie un uddiviione fini di [,: le che F riuli regolre in ogni inervllo pero Se riul ( ) F( b) Se riul F( ) F( ) per ogni (, b) < < <... < n b ( ), (, ),..., (, ), n n F l curv i dice chiu;, con llor l curv i dice emplice.

3 Curve pine. Un funzione F vlori veorili, defini e coninu u un inervllo [, il cui condominio è un inieme di llor le equzioni R è per definizione un curv pin. Se ( ) ( f ( ) f ( ) ) [, F, f ( ), f ( ) [, x y ono dee equzioni prmeriche dell curv e l vribile è de prmero dell curv. Generlmene le equzioni prmeriche di un curv pin vengono indice con x x( ), y y( ) [, e l corripondene funzione veorile con il veore r r() x()i + y()j [, deo veore poizione in quno: il grfico di un curvγ può eere peno come l rieori decri d un puno merile in movimeno l cui poizione ll ine è individu dl veore r ( ). Nell inervllo di empo d + l pricell i muove dll poizione r ( ) ll poizione r ( + ) e r ( ) ( ) r ( + ) è l u velocià medi. Se qundo è differenzibile e le limie è deo velocià (inne) dell pricell l empo. Il veore. L direzione di queo veore velocià è ngene ll curv γ nel r l velocià medi mmee limie llor i dice che r ( ) velocià è indico con v ( ) puno r ( ) e pun nell direzione del moo. Il modulo (l norm euclide) del veore velocià: ( ) v( ) v, è chimo velocià clre. Il veore che i oiene derivndo il veore velocià è deo veore ccelerzione e i indic con ( ) : dv ( ) d ( )

4 Eempi. Moo circolre L funzione vlori veorili F ( ) di equzioni prmeriche x coω y inω π, ω, > π ω è un curv chiu, in quno F ( ) F (,) + y, ( ) F(,) x. Oervo che π ω F, F (, ) i evince che il veore poizione r r ( ) co ωi + inωj pecific l poizione, ( ll ine ), di un pricell che i muove u un circonferenz nel vero niorrio. Eendo e quindi ( ) v( ) ω v dr d ( ) ω in ωi + ω coωj v per ogni, egue che l curv è lici. Inolre l curv è emplice π do che le funzioni eno e coeno ono inieive in,. L curv non è né chiu né emplice ω per. Il veore ccelerzione (dell pricell) è do dll formul dv d ( ) ω r( ) l qule mor che il veore ccelerzione è empre oppoo l veore poizione. Perno e lo i pen pplico ll poizione inne dell pricell che i muove lungo l circonferenz, il veore ccelerzione è empre direo vero il cenro del cerchio. Per queo moivo l udde ccelerzione è de cenripe. Oervzione Sino x x( ), y y( ) [, le equzioni prmeriche di un curv regolre. Se in c (, b) riul x ( c), per eempio x ( c) > di c conenuo in (,b) nel qule riul x ( ) >, quindi, in queo inorno x ( ) è inveribile., per il eorem dell permnenz del egno eie un inorno

5 è l funzione inver dell funzione x x( ) Se (x) [ ( x) ] f ( x) y y D cui undo il eorem di derivzione compo, i oiene, nel uddeo inorno riul d d d / d y x ' ' In lre prole, l rieori decri dll curv α, (nel uddeo inorno di c), è il grfico di un funzione di cle C. Se poi l curv è di cle C riul d y d d d d d y x ' ' ' x '' ' ' y x y x ' ( x ) ''. Cicloide L curv F F() di equzioni prmeriche x ( ( in )), y ( co) [,π ], > è per definizione un rco di cicloide. Eendo egue che F è un curv regolre in (,π ) D F ( ) in in (,π ). x ( ) ( co) > in (,π ) egue che l funzione x x( ) è inveribile in (,π ). Se ( x) x [,π ] inver, llor l rieori decri d F è il grfico dell funzione è l corripondene y y( ) y[ ( x)] ( co ( x) x [, π ] l cui deriv è d d ( ) y in x ( ) co x (, π ) 5

6 Agli eremi dell inervllo [,π ] riul lim + x lim x π in lim + + x co in lim x π co π π in( ) co( ) x i oervi che riul ( N.B. : π x : π ; : π π x : π π ) Per rppreenre grficmene l funzione f ( x) E y ( x) > in (, π ); y ( x) < in ( π, π ) d y d d d '' ' ' y x y x ' ( x ) '' ' x ( co) < in (, π ). Perno il grfico dell rco di cicloide è π π 6

7 . Aeroide L curv φ di equzioni prmeriche dove >, è per definizione un eroide. x co, y in [,π ] Eendo ϕ ( ) ϕ( π ) (,) l curv è chiu; eendo (, ) corripondene rieori nel vero niorrio. π ϕ egue che φ decrive l D π ϕ ( ) in co,, π, π, π egue che φ è un curv regolre ri: φ è regolre negli inervlli Oervo che π π,,, π, π,. π, π,π x ( ) in co < in, π egue che l funzione x co è inveribile in, π. l funzione inver di x co llor Si ( x), defini ovvimene in [,] [ ( x) ] x [ ] y y( x) in,, è l funzione il cui grfico coincide con l rieori decri d ϕ qundo vri d π. 7

8 Eendo d d y n x π, egue che y y( x) è decrecene in (, ) Inolre d d y d d. d '' ' ' y x y x ' ( x ) '' co in > egue che l funzione è conve. Infine d lim + x lim x y y ( x) lim n π ( x) lim n + ϕ in i evince che il grfico dell funzione y ( x) in [,] ovvero dell curv ( ) figur, π è quello in Per dedurre l equzione crein dell curv i oervi che d Segue x co x + y y in d cui i evince che l curv è immeric ripeo gli creini. Perno il uo grfico è 8

9 Curve ghembe. Un funzione F vlori veorili, defini e coninu u un inervllo [, il cui codominio è un inieme dello pzio ridimenionle llor le equzioni ( ) ( f ( ) f ( ), f ( ) ) [ F,, R è per definizione un curv ghemb. Se [ x f ), y f ( ), z f ( ), ( ono dee equzioni prmeriche dell curv e l vribile è de prmero dell curv. Generlmene le equzioni prmeriche di un curv ghemb vengono indice con [ x x( ), y y( ), z z( ), e l corripondene funzione veorile con il veore deo veore poizione. [ r r( ) x( ) i + y( ) j + z( ) k, Curve equivleni e cmbimeno di prmero Si γ un curv pecific dll funzione veorile ( ) [ b ] F F,. Si u (r) un funzione vlori reli defini u un inervllo [ c, d] con deriv u empre diver d zero e le che il codominio di u i [,. In lre prole: [, b ]! τ [ c, d ] u ( τ ) : Allor l funzione veorile defini dll equzione ( τ ) F[ u( τ )] τ [ c d] G, h lo eo grfico di F. Due funzioni veorili F e G che i rovno r loro in que relzione i dicono equivleni. Si dice lreì che l funzione u( τ ) definice un cmbimeno di prmero. Si oervi che:. e u ( τ ) è empre poiiv u [ d]. e u ( τ ) è empre negiv u [ d] c, llor F e G percorrono γ nell e direzione; c, llor F e G percorrono γ in direzioni oppoe. 9

10 In lre prole il cmbimeno di prmero u( τ ) ( u ( τ ) > ), e lo invere nel econdo co ( u ( τ ) < ). conerv l orienmeno nel primo co Poiché lungo un curv ono poibili due orienzioni ne conegue che qulunque prmerizzzione di un curv deermin un delle due poibili orienzioni:quell corripondene ll direzione lungo l qule il prmero è crecene. Eempio. L equzione crein del egmeno di eremi (, b) e (c, d) : b b τ, d c ( τ c) [ c d] coiuice un eempio di cmbimeno di prmero che invere i vero dell curvγ. : c d τ : b. Infi qundo τ vri d c d ( τ ) il prmero vri d b d ( ) Lunghezz d'rco ( ci curviline ) Si γ un curv pecific dll equzione veorile ( ) x( ) i + y( ) j + z( ) [, r r k Se r ( ) h deriv v ( ) coninu e non null in[,, ovvero e l curv γ è lici ( regolre ) llor l lunghezz dell curv γ è d d ovvero L L b [ γ ] v( ) d v( ) b ( γ ) ( x& ) + ( y& ) ( z& ) + In pricolre l lunghezz di un curv pin di equzione f ( x) C ([, ), è d d Infi undo x come prmero, riul r b [ f ( x) ] + b d d ( x ) xi + f ( x) j x [, y dove f è un funzione di cle Se ( ) indic l lunghezz di quell pre di γ che corriponde i vlori del prmero in [ ] dove b, llor l funzione ( ) v( ) τ dτ de lunghezz d rco o ci curviline, è derivbile e,, d v dr d ( ) d d ( x ) + ( y ) + ( z ) d è deo elemeno di lunghezz d rco.

11 Ne conegue che: Oervzione Si F F( ) [, L [ γ ] un curv regolre ri e i γ d < <... < n b un prizione di [, le che l rerizione di F u [ i, i ] i,..., n regolre. Indichimo con γ l rieori decri d α u [ ll inervllo [, ] i n Allor i i,...,. γ d n i γ i poiché l'inegrle (come rà dimoro nel prgrfo ucceivo) d, i un rco di curv, e con γ i quell corripondene γ i d i,,..., n è indipendene dll rppreenzione prmeric che decrive γ i ne conegue che per il clcolo degli inegrli precedeni poimo coniderre per ogni γ i l rppreenzione prmeric più conveniene. Un modo nurle di prmerizzre un curv lici γ è quello di coniderre come prmero l lunghezz d rco miur d qulche puno pricolre di γ deo puno inizile. Più precimene: upponimo che un curv regolre i pecific in funzione di un prmero rbirrio dll equzione r r( ) [,. Supponimo inolre che l lunghezz d rco bbi come puno inizile P r ( ) [,. Allor e l lunghezz miur lungo l curv γ d P l P r τ, d d puno generico ( ) dr dτ ( ) dτ v( τ ) dτ può eere clcol eplicimene e e l equzione ( ) ripeo, ( ) oiuendo ( ) può eere riol eplicimene, llor l curv può eere riprmerizz medine l lunghezz d rco nell prmerizzzione originle oenendo [ ( ) ] *( ) r * r r dove vri in un inervllo di lunghezz L eendo L l lunghezz dell curv conider.

12 Più precimene [ L, L ] dove ( τ ) dτ L v( τ ) dτ L v In pricolre e il puno inizile coincide con il primo eremo dell inervllo in cui vri cioè e è, L. D llor [ ] egue che qulunque i il prmero riul ( ) v( τ ) d d v( ) dτ perno e il prmero è l lunghezz d rco, riul ( ) v. In lre prole: un curv r * r *( ) r[ ( ) ] prmerizz in funzione dell lunghezz d'rco è percor con velocià uniri. Infi dr * dr d dr dr * dr d d d d v d d v ( ) ( ) Eempi. Clcolre l lunghezz dell rco delle egueni curve:. rco di circonferenz: ( ), y in( ) ϑ x co. rco di cicloide: ( in( ) ), y ( co( ) ) π x. primo nello dell'elic circolre: ( ), y in( ), z b π x co. dell'eroide ( ), y in ( ), π x co

13 Abbimo i ) ϑ L dϑ ϑ d cui: l lunghezz di un rco di circonferenz di rggio ρ con ngolo l cenro ϑ è do d ρϑ ii ) π dove i è enuo cono del fo che L in d in d 8 π π qundo π. iii ) iv ) eendo egue π L + b d + b π ( d) ( x ) + ( y ) in( ) co ( ) 9 in ( ) co ( ) co ( ) + in ( ) π ( ) + ( co( ) in ( ) ) ( ) L in 6 ( ) co( ) d Per clcolre l lunghezz di un curv γ pecific dll equzione polre ρ ρ( ϑ), ϑ ϑ ϑ oervo che le equzioni prmeriche dell curv γ ripeo l prmero ϑ ono: ( ϑ) co( ϑ) ρ( ϑ) in( ϑ) ϑ ϑ ϑ x ρ y derivndo le equzioni precedeni ripeo ϑ, i oiene: ρ dϑ ρ dϑ ( ϑ) coϑ ρ( ϑ) inϑ ( ϑ) inϑ + ρ( ϑ) coϑ d cui dϑ + dϑ ρ + ( ρ ) dove ρ ρ( ϑ) e ρ ρ ( ϑ)

14 Quindi π ( ρ ) L ρ + dϑ. Eempio Clcolre l lunghezz dell crdioide ρ ( + inϑ), ϑ π Eendo ρ coϑ, bbimo L π + inϑ dϑ π π + inϑ dϑ d cui, eendo π π + inϑ d ϑ π π + inϑ dϑ Segue che è L 8. Eempio Riprmerizzre l rco di cicloide γ ( in) y ( co) π x ripeo l prmero d rco con puno inizile (,). A le copo clcolimo d cui ( ) v( τ ) dτ τ in dτ co d cui co Or ricrivimo l equzione precedene ripeo.

15 5 Oervo che π implic π, bbimo r co ovvimene π r co Si oervi che d 8 egue che. Eendo co co d qundo precede, i evince i ) co co. ii ) co co co in in quindi y r x 8 co + Oppure d: ( ) r co egue che co in co co co co co co co co co co in co in in r r r r r r r

16 6 Quindi y r x 8 co +