Basi di Elettronica (1 parte)

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1 Bai di Eleronica ( pare) A TRASFORMATA DI APACE 2 Traformaa invera di aplace 2 Tabella: raformae di aplace di funzioni elemenari 2 Alcune proprieà noevoli della raformaa di aplace 3 Idenià di Pareval 5 Applicazioni della Traformaa di aplace 5 Eempio 5 Eempio 2 6 Ripoa della ree all impulo 9 Il eorema della convoluzione 0 Eempio 3

2 Bai di Eleronica ( pare) A TRASFORMATA DI APACE Definizione: [ g( ) ] = G( ) = e " g( ) # $ d 0 dove g() è una funzione della variabile reale ed è una variabile complea eprea da: =a+jω. operazione [g()] è una raformazione che va da ad, frequenza complea. a raformaa di aplace è valida e ono oddifae le egueni condizioni:. Se l inegrale converge per un valore reale di = 0 cioè e: lim A"0 B"# B e $ o % g d eie. Allora eo converge per ui i valori di con Re()> 0 e la funzione raformaa è una funzione analiica a ingolo valore di nel emipiano Re()> g() deve eere una funzione coninua a rai. A Traformaa invera di aplace Se [g()]=g() allora g()= - [G()] è la raformaa invera di aplace di G(). - è anche deo operaore invero di aplace g( ) = 2"j # + j% e G( ) d = 2"j lim T '% # $ j% # + jt # $ jt e G d dove δ è celo in modo ale che ui gli evenuali puni ingolari di G() giacciono a inira della linea Re()= δ nel piano compleo. Tabella: raformae di aplace di funzioni elemenari f() [>0] F() Impulo δ 2

3 Bai di Eleronica ( pare) gradino 2 e " " # in" " 2 + " 2 co" 2 + " 2 e " in# " ( + ") 2 + " 2 Alcune proprieà noevoli della raformaa di aplace. inearià Se: x " $ # x x 2 " $ # x 2 allora: a " x ( ) + b" x 2 ( ) con reg ione di convergenza R con reg ione di convergenza R 2 #% $ a " x + b " x 2 ( ) con regione di convergenza R! R 2 3

4 Bai di Eleronica ( pare) 2. Tralazione emporale Se x ( ) " $ # x allora: x " 0 con regione di convergenza R #% $ e " 0 x ( ) con regione di convergenza R 3. Tralazione in Frequenza Se x " $ # x Allora: e o " x 4. Calibrazione emporale Se x ( ) " $ # x con regione di convergenza R #% $ x( o ) con regione di convergenza R = R+ Re( o ) con regione di convergenza R Allora: x ( a " ) #% $ a x ( ) ' a * con regione di convergenza R a 5. Convoluzione Se x " $ # x x 2 " $ # x 2 con reg ione di convergenza R con reg ione di convergenza R 2 Allora: x ( )" x 2 ( ) #% $ x ( ) x 2 con regione di convergenza R! R 2 6. Derivazione nel dominio del empo Se x ( ) " $ # x Allora: d d x ( ) " $ # % x con regione di convergenza R con regione di convergenza R R 7. Derivazione nel dominio della frequenza Dao x +# $ % e " d derivando ambo i membri i oiene: = x( ) "# quindi: " # x $ % dx ( ) d con regione di convergenza R dx( ) d +$ = % (")# x( ) # e " d "$ 8. Inegrazione nel dominio del empo 4

5 Bai di Eleronica ( pare) Se x ( ) " $ # x Allora: +# $ "# x ( )d %' con regione di convergenza R x ( ) con regione di convergenza R ( R Formula di epanione di Heavyide: " # p m p a $ ' = * n e % q( ) ( n= q )( a n ) a n dove q di grado minore di m. = ( " a ) # " a 2 # # " a m e p() è un polinomio Teorema del valore iniziale e finale: Valore iniziale: g 0 + = lim "# $ G Valore finale: g (") = lim $ G #0 Tui i poli di G() ono a inira del piano compleo Idenià di Pareval e : G " + = F [ g( )] # ' g( ) 2 d = in generale, e : G " % + 2 ' G " d" 2$ % = F [ g( ) ] e H (" ) = F [ h( )] + # g( )( h * ( )d = + ' ' G (")( H * (" )d" 2$ % % Dove * indica il compleo coniugao. Nauralmene vale anche la relazione: G(-ω)=G*(ω) Applicazioni della Traformaa di aplace Eempio Come primo eempio prendiamo in eame il circuio olleciao da una dela δ e i voglia deerminare la ripoa emporale v u (). 5

6 Bai di Eleronica ( pare) Tenendo cono che, per applicare aplace, occorre coniderare che R=R ed x c =/c, per quano aiene l ucia V u () i ha: V u ( ) = v i ( ) + eendo V i( ) = " V u ( ) = + Il proceo di aniraformazione conene di crivere, paando dal domino al empo, v u ( ) = e" # u dove u() è il gradino uniario. Eempio 2 Si conideri il circuio dell eercizio precedene al quale venga applicaa la funzione a gradino U() al empo =0. In queo cao, nel dominio di aplace, i può crivere: V u ( ) = v i quindi : V u = + + dove V i ( ) = Uilizzando la ecnica di epanione in frazioni emplici i ha: 6

7 Bai di Eleronica ( pare) + = A + B + = da cui : A+ B = 0; A + A + B + A A= = " B = # v u ( ) = # + = # + aniraformando " V u ( ) = u( ) #e # u ( ) = u( $ ) #e # % ' 7

8 Bai di Eleronica ( pare) TRASFORMATE DI FOURIER Se conideriamo la coppia di variabili (empo) e ω (pulazione) per definizione la raformaa di Fourier, F, di g() è eprea dalla eguene relazione: F [ g( ) ] = G (") = g( ) #e $ j" d Menre la raformaa invera è eprea da: F " [ G (#)] = g( ) = 2$ + ' " G (#) %e j# d# G(ω)e g() ono dee coppia di raformae. Nauralmene deve valere +# $ g( ) d < #. a raformaa di Fourier di g() può anche eere eprea in ermini di eni e coeni ramie la idenià di Eulero e " j# = co# " j $ in# G (") = Re (") # j Im (" ) = g( ) $co" $ d = G " ( G " * dove ) * + ; arg [' (" )] # j g #% [ ] = Re 2 (" ) + Im 2 (" ) arg [' (")] = a an Im ( " ) Re (") / 2 #% "# $ in" $d Traformaa di Fourier dell impulo di Dirac 8

9 Bai di Eleronica ( pare) = A# e j"u du F ". $ e $ j" A lim = lim A-%.A j " A a j"u e$ = A $ j" 0 j" $e A j" A 2 A-% $ j" A 2 ' j"a e$ = A $ j" $ * ), = A ( $ j" + j" = e A = la raformaa di Fourier dell impulo è quindi pari a. $ e$ j"a j" = $ e$ j" A j " A Impulo immerico: = A F " a j"u e# $ j"a e# = A # j" #a # j" # e j"a ' ) = A e j"a # e # j"a % # j" ( j" lim F ( " ) = 2 in " 2A = A*+ " 2 A = 2Ain"a " = 2 in"a " A Ripoa della ree all impulo Si conideri una olleciazione ipo dela di Dirac per il circuio rappreenao in figura. a ripoa v u () può eere eprea come la aniraformaa di Fourier del prodoo della raformaa della olleciazione per la funzione di raferimeno. h( ) = v u ( ) = 2" v u = ) * + [ ] F # D 'W ( 0 per < 0 per > 0 e$ ' e i( d( = ' 2" + j( ' ei( d( = 2" e i( d( + j( 9

10 Bai di Eleronica ( pare) Eeguiamo la raformaa di Fourier H(ω) della ripoa all impulo δ D del circuio. = h H " H (" ) = H (" ) = # e i" d" e$ # e i" d" = ( + j" ) e$ d" ' $ * ) ( + j", $ + = = ' $ *- ) ( + j", e $ +./ + j" + j" % ( )0 2 0 Il riulao è che la raformaa di Fourier della ripoa impuliva è la funzione di raferimeno del circuio dao. Il eorema della convoluzione Dae due funzioni f(x) e g(x) i definice convoluzione delle due funzioni la eguene epreione: f ( x) " g( x) = f u # g( x $ u) #du eorema della convoluzione: a raformaa di Fourier della convoluzione di f(x) e g(x) è uguale al prodoo delle raformae di Fourier di f(x) e g(x). a convoluzione oddifa alle leggi commuaiva, aociaiva e diribuiva dell algebra. Dimorazione del eorema della convoluzione: f ( x) " g( x) = f u # g( x $ u) #du Dalla definizione della raformaa di Fourier i ha: = f u F " # e $i"u #du; G " = g( v) #e $i"v Conideriamo il prodoo ra F(α) e G(α) : F (") #G(" ) = f u # g v $i" ( u+ v) # e #du # dv Poniamo u+v=x e operiamo una raformazione di coordinae dalle variabili (u,v) alle variabili (u,x). Ricordando che: #dv 0

11 Bai di Eleronica ( pare) du " dv = # u,v du " dx # u,x o jacobiano della raformazione!dao da : #u = de $ #u #v % #u # u,v # u,x Quindi i ha: F (" )# G " #u #x #v #x ' ( ) = de $ 0 ' % 0 ( ) = = f ( u) # g x $ u # e $i"x # du # dx = e $i"x ' * f ( u)# g( x $ u) # du () +, # dx = -( f. g) In modo equivalene i ha : [ ] = f. g = - $ F (" )# G " # G (") # F " e j"x d" 2/ Convoluzione f ( x) e g( x) ali che f * g = f ( u) # g x $ u Teorema : [ ] = - f ( x) [ ] = - f ( x) - f. g - f # g [ ] # -[ g( x) ] [ ] [ ]. - g x # du

12 Bai di Eleronica ( pare) Caraeriiche dinamiche di un iema lineare a parameri coani nel empo. e caraeriiche dinamiche di un iema lineare a parameri coani poono eere decrie da una funzione peo h(τ) definia come la ripoa del iema, in qualunque iane, ad un impulo uniario applicao in un empo precedene pari a τ imporanza di ale funzione riiede nel fao che dao un ingreo arbirario x(), la ripoa y() del iema può eere eprea dall inegrale di convoluzione, come egue: = h " y # x $ " #d" cioè il valore della ripoa y() è daa da una omma lineare, peaa e infinia, ull inera oria dell ingreo. Affinché un ale iema poa eere fiicamene realizzabile è neceario che eo riponda olamene ad ingrei del paao. Ciò implica che h(τ)=0 per τ<0. Quindi per iemi fiici il limie inferiore effeivo di inegrazione deve eere 0 anziché -. Un ale iema inolre è abile e per olleciazioni in ingreo limiae, la ua ripoa è limiaa. Vale a dire che deve valere la eguene: = h (" ) # x( $ " ) y #d" ' h " # x( $ " ) x() limiao ignifica che deve eiere una coane A per cui: x( ) " A per ogni empo. Per cui: " A# h ( $ ) y + ' # d$. % Quindi, e la funzione h() è perfeamene inegrabile, cioè e: % h (" ) d" < $, allora l ucia del #d" iema arà limiaa ed il iema, di coneguenza, arà abile. +$ #$ Un iema lineare a parameri coani nel empo può eere caraerizzao da un funzione di raferimeno H(p) definia come la raformaa di aplace di h(τ): = h (" ) H p +$ % e #p" d" p = ' + j( #$ Il crierio di abilià può eere riformulao e i conidera la funzione H(p). Infai e H(p) non ha poli nel emipiano compleo di dera o ul emiae immaginario, allora il iema è abile. Vicevera, e H(p) ha almeno un polo nel emipiano dero o ull ae immaginario, allora il iema è inabile. 2

13 Bai di Eleronica ( pare) Vogliamo qui meere in evidenza una proprieà imporane dei iemi lineari a parameri coani che va oo il nome di conervazione della frequenza. Come eempio conideriamo un iema lineare a parameri coani e la: = h " y d n y d n = h " # x $ " # d n x ( $ " ) #d". Per un ingreo arbirario x(), la derivaa n-eima i crive come: d n Se, ad eempio: x d 2 y( ) + ' d 2 = h " % #d" = X " in( 2#f + $ ) la derivaa econda i crive come: #4$f 2 x( ) # d" = 4$f 2 y( ) Eempio Nel circuio in figura v i ()=0 per <0 e v i ()=e -0 per <0. Il condenaore è carico al empo =0. Calcolare l epreione della correne nella reienza R. Tenendo cono che: enendo cono che f n i pu!crivere : i( ) = 2" dove V # = V (#) ' e i# 'W # 2" V (#)' e i# 'W(#)' d# = v( ) ' d# ' e i# ' d# = e $0 ' e i# ' d# = 0 + j# Al fine di calcolare la funzione W(ω) upponiamo che il circuio ia alimenao da una enione inuoidale: in al cao anche la correne i() arà inuoidale. Facendo uo dei noi riulai dell eleroecnica i ha: 3

14 Bai di Eleronica ( pare) I = V A R = R+ I V =W " = = V R j"c R + j"c R# R + R j"c + R j"c j" #8 oiuendo i ha : i( ) = 2$ + ' # 0 + j" % # R j"c # R + R j"c # R # = j"c R j" #8 #e j" #d" = 2$ R+ R + j"c # R# R + 8 # ' # 0 + j" % 50 + j" # e j" # d" Per calcolare l inegrale, cioè per aniraformare l epreione facciamo ricoro ad una uleriore proprieà della raformaa di Fourier eprea dal eorema della convoluzione: [ ] " F [ f 2 ( ) ] = F [ f ( )# f 2 ( ) ] [ ] = F [ f ( ) ]# F [ f 2 ( ) ] F f F f ( )" f 2 dove : f ( )# f 2 + ' " d$ = ' f ( % $ )" f 2 ( $ )" d$ = f ( $ ) " f 2 ( % $ ) % + F [ f ( ) ] " F [ f 2 ( ) ] = C v + % ' " C 2 (( % v) "dv = ' C ( % v % nel noro cao i ha : = e%0 > 0 * f infine : ) + i( ) = 0 < 0 ; f 2 = ), * +, e %50 > < 0 ' e %0 "e %50( %$ ) " d$ = e%0 % e % % "C 2 ( v) "dv 4

15 Bai di Eleronica ( pare) Applicazione della raformaa di Fourier alla rioluzione dei iemi lineari Richiamo di alcune formule fondamenali: = f ( x) F " f " +$ % e #i"x dx #$ +$ % e i"x d" = F ( x) #$ Eempio: i calcoli la raformaa di Fourier della eguene funzione = f x " $ 0 x > T # 2 $ x < T % 2 i ha: = f ( x) F " ' % e #i"x dx = % e # j"x j"x e# * dx = ), ( # j" + +$ #$ + T 2 # T 2 + T 2 # T 2 = T in" T 2 " T 2 E poibile, dalla funzione f(x) eprea dare una inerpreazione fiico-geomerica. Come in bae allo viluppo in erie di Fourier una funzione periodica può eere via come omma di un numero infinio (in generale) o dicreo di funzioni inuoidali di opporuna ampiezza e fae, coì è poibile immaginare la funzione f(x) daa dalla omma di un numero infinio di inuoidi di ampiezza infinieima F(ω)dω, con fae pari a arg[f(ω)] e frequenze variabili con coninuià ra - e +. 5

16 Bai di Eleronica ( pare) Si conideri un dao iema lineare S a cui applichiamo ad un uo ingreo un egnale rappreenao dalla f i (), di raformaa F i (ω). Si conideri noa inolre la funzione di raferimeno W(ω) per cui biogna moliplicare la generica olleciazione inuoidale in ingreo per oenere la corripondene ripoa. In quee condizioni la ripoa f u () arà daa da: = F i ( x) f u " +$ % e i" W w #$ d" Eempio Si deermini la correne i() che corre nel circuio in figura in preenza di una olleciazione v i () coma da figura: = Z (") ; v i (" ) W (" ) = v i (") R +!: i " V " la raformaa di v i " ( j"c ) [ W (" ) = R+ ] j"c V (") = VT in" T 2 " T 2 # i " = VT +' ( 2$ ' in" T 2 " T 2 % R+ j"c % e i" d" = VT +' e j" T 2 e j" T 2 ( e i" d" = 2$ ' 2 j" T R + 2 j"c = V +' e j" ( + T 2) ( d" V +' e j" ( T 2) ( d" 2$R j" + 2$R j" + ' coniderando che : 2$ +' e ( j" * d" = + 0 < 0 ' ) + j" i oiene : = i, e ) > 0 ' *- 0 + T < V + T > 0 ; i 2-2, R e +T / 2 = *- 0 + T < V T / 2 - e + T 2, R > 0 dove i i e i 2 ono le due oluzioni dell inegrale. In definiiva i oiene: 6

17 Bai di Eleronica ( pare) i( ) = i ( ) + i 2 ( ) = Il grafico della i() è il eguene: # % 0 per < " T 2 % +T / 2 V R e" $ per % " V "T / 2 % e" per > T 2 R " T 2 < < T 2 7