Introduzione allo studio delle reti elettriche

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1 Marco Panareo Inrodzione allo dio delle rei eleriche Unierià deli Sdi di Lecce - Facolà di Ineneria

2 II

3 Indice Rei eleriche lineari Lee di Kirchho per le correni Lee di Kirchho per le enioni Solzione di na ree elerica Elemeni delle rei lineari 5 Lei ondamenali delle rei eleriche 4 Principio di orappoizione 4 Teoremi di Theenin e di Noron 4 Teorema di Miller 4 6 Qadrpoli 5 Caraeriiche dei qadrpoli 5 Ecciazioni inoidali 7 Dominio della reqenza 8 Fnzione del iema e nzione di raerimeno 9 3 Ripoa di na ree nel dominio del empo 3 Traormaa di Laplace 5 3 Inerale di Laplace 5 3 Eempi di raormae 6 33 Fnzione implia niaria o dela di Dirac 7 34 Teoremi lle raormae di Laplace 8 35 Conolzione 36 Aniraormaa di Laplace 37 Aniraormazione di nzioni razionali rae 4 Applicazione della raormaa di Laplace alla deerminazione della ripoa dei circii 7 4 Dominio della reqenza complea 9 4 Teoremi del alore inale e iniziale 3 43 Siniicao iico delle nzioni di raerimeno Sabilià dei iemi Ripoa di reime inoidale 36 5 Rappreenazione di Bode 39 III

4 IV

5 Rei eleriche lineari Per ree elerica i inende n inieme di elemeni elerici inerconnei ciacno dei qali è decrio araero la relazione ra la correne che lo araera e la enione (ddp) ai oi capi Il pno di conlenza di almeno re elemeni è deo nodo; l inieme di elemeni comprei ra de nodi conii è deo ramo Più rami ormani n percoro chio coiicono na malia In i A B C e D ono nodi; i rami a b c e d ormano na malia Le rei eleriche ono diae araero le lei di Kirchho i Lee di Kirchho per le correni Qea lee abilice che la omma (alebrica) delle correni che conlicono in n nodo (i) è ale a zero: N i doe N è il nmero di rami che conlicono nel nodo coniderao i Lee di Kirchho per le enioni Qea lee abilice che la omma (alebrica) delle enioni lno na malia (i3) è ale a zero: M doe M è il nmero di nodi che comprende la malia conideraa i3 3 Solzione di na ree elerica Si deinice ripoa o olzione di na ree elerica l inieme delle enioni e delle correni che coiicono le olzioni del iema di eqazioni crio acendo o delle lei di Kirchho In na ree la olzione di ali eqazioni è nica; ciò è proao dal ao che na ree reale pò eere paibile di mira delle e caraeriiche enioni e correni ed il rilao di ali mire è nico Se aia non è nica la olzione delle eqazioni decriie della ree allora la decrizione aa è inadeaa i4

6 ripeo alla iazione iica Per diare na ree occorre abilire dei eri (conenzionali) per le enioni e per le correni L arbirarieà della cela compora che na olzione neaia corriponde ad n ero reale oppoo a qello celo conenzionalmene Il ero conenzionale di na correne iene indicao con na reccia Se i ole indicare na ddp ra de pni i adopera na linea con na reccia; il pno indicao dalla reccia è qello (conenzionalmene) a poenziale maiore (i4) 4 Elemeni delle rei lineari Gli elemeni che coiicono na ree elerica ono caraerizzai da n paramero; qalora ale paramero rila indipendene ia dalla enione ai capi dell elemeno che dalla correne che lo araera l elemeno iene deo lineare Un elemeno lineare pò eere decrio araero n eqazione inero-dierenziale a coeicieni coani Una ree coiia da oli elemeni lineari è dea lineare Gli elemeni delle rei eleriche lineari ono: reienze indanze capacià eneraori Reienza La relazione ra la enione e la correne i in na reienza R è eprea dall eqazione: Ri in ale relazione R è coane e i mira in ohm (Ω); nel piano i ale eqazione rappreena na rea paane per l oriine i5 Indanza La relazione ra la enione e la correne i in na reienza L è eprea dall eqazione: di L d in ale relazione L è coane e i mira in henry (H) i6 Capacià La relazione ra la enione e la correne i in na reienza C è eprea dall eqazione: d i C d in ale relazione C è coane e i mira in arad (F) i7 Generaore di enione ideale Si inende n elemeno che preena ai oi capi na ddp indipendene dalla correne che lo araera e qindi dal carico applicao oia: V i8

7 il raico che rappreena la dipendenza della enione dalla reienza R (cra di carico) è morao in i8 Generaore di enione reale L elemeno precedene non rappreena n modello adeao del corripondene elemeno iico (in n eneraore di enione ideale e R la correne eroaa arebbe ininia) È poibile rappreenare n eneraore di enione reale adoperando più componeni ideali (i9) ad eempio acendo o della propria reienza inerna (in enerale n impedenza) La ddp preene l carico applicao a qeo eneraore ale: R V R R doe R è la reienza inerna del eneraore Dalla rappreenazione raica della cra di carico i eince che ale eneraore i compora come ideale qando R >> R i9 Generaore di correne ideale Si inende n elemeno la ci correne eroaa i non dipende dalla enione ai oi capi e qindi dal carico oia: i I la cra di carico è moraa in i i Generaore di correne reale Analoamene al cao del eneraore di enione il eneraore di correne reale i rappreena acendo o di più componeni ideali (i) La correne eroaa da qeo eneraore ale: i I R R R i doe R è la reienza inerna del eneraore Dal raico della cra di carico i eince che ale eneraore i compora come ideale qando R << R Generaori dipendeni Si inende n eneraore di enione o correne la ci randezza eroaa dipende dalla enione o dalla correne in n alra pare del circio; in i ono rappreenae le qaro poibilià i noi che i parameri µ e h ono adimenionali menre α e hanno ripeiamene le dimenioni di na reienza e di na condanza i 3

8 5 Lei ondamenali delle rei eleriche Uilizzando le lei di Kirchho e le eqazioni caraeriiche di ciacn elemeno i pò riolere qaliai ree elerica Se la ree è lineare è però poibile ilizzare meodi paricolari che permeono di empliicare lo dio Principio di orappoizione Conie nel deerminare li eei di ciacn eneraore indipendene preene nella ree annllando i li alri eneraori indipendeni Un eneraore indipendene i annlla oiendolo con la propria reienza inerna oero e è ideale oiendolo con n corocircio e è n eneraore di enione o oiendolo con n circio apero e è n eneraore di correne La ripoa ad eempio la correne in n ramo i abilice araero la omma delle correni in qel ramo deerminae da ciacn eneraore preo inolarmene Teoremi di Theenin e di Noron Il eorema di Theenin aerma che na qaliai ree lineare comprea ra de morei rila eqialene ad n eneraore reale di enione (i3); la orza eleromorice V e rappreena la ddp che i mira ra i de morei della ree qando qei ono aperi Il eorema di Noron dale del precedene aerma che na qaliai ree lineare comprea ra de morei rila eqialene ad n eneraore reale di correne (i4); I e è la correne che araera i de morei qando qeo ono colleai ra loro La reienza R e i ala applicando ai de morei na ddp e roando la correne eroaa i dopo aer annllao i i eneraori indipendeni rila R e i i3 Teorema di Miller i4 Il eorema di Miller aerma che i de circii morai in i5 ono eqialeni ra loro doe le condanze G e G alono ripeiamene: G G G G ; oero che i de circii morai in i6 ono eqialeni ra loro doe le reienze R e R alono ripeiamene: i5 4

9 i R R i i R R ; i 6 Qadrpoli Per qadrpolo i inende n qaliai circio elerico dal qale è poibile erapolare de coppie di morei (i7) Conenzionalmene i eri delle enioni e delle correni ono ani come rappreenao in ira inolre la coppia di morei di inira è dea di inreo del qadrpolo e la coppia di morei di dera è dea di cia del qadrpolo A econda della cela di na coppia di ariabili caa e di na coppia di ariabili eeo è poibile decriere il qadrpolo mediane qaro iemi di eqazioni: i6 i7 z z h i h ( i i ) ( i i ) ( i ) ( i ) i i y y ( ) ( ) i ( i ) ( i ) ; e la ree è lineare le nzioni z y h e ono eqazioni lineari ed è poibile ar o del meodo imbolico In qeo coneo precinderemo dall analii iemaica dei qadrpoli araero le rappreenazioni indicae dalle precedeni eqazioni aia inrodrremo alcne deinizioni proprie dei qadrpoli di paricolare ilià nello dio dei circii elerici Caraeriiche dei qadrpoli Impedenza di inreo Per deerminare qea caraeriica i chidono i morei di cia n impedenza di carico Z e i applica na ddp V all inreo l impedenza di inreo del qadrpolo è daa dalla relazione: C i8 5

10 Z in V I V I Z C Impedenza di cia Per deerminare qea caraeriica i chidono i morei di inreo i9 ll impedenza inerna Z del eneraore che alimena il qadrpolo e i applica ai morei di cia na ddp V l impedenza di cia è daa dalla relazione: Z o V I V I Z Impedenza caraeriica Rappreena l impedenza ia dai morei di inreo qando i morei di cia ono chii lla ea impedenza caraeriica rila: Z V I V I Z i Ampliicazione di correne Con rierimeno alla i8 è deinia come: A I I I V I Z C Ampliicazione di enione Con rierimeno alla i8 è deinia come: A V V V V I Z C 6

11 Ecciazioni inoidali Nel capiolo precedene è ao eidenziao che la relazione ra correne e enione per n condenaore o per n indore dipendono dall epreione maemaica delle randezze applicae Una clae imporane di ecciazioni di na ree elerica è coiia dali imoli inoidali oia ali che le randezze enioni e correni dipendono dal empo con lee inoidale In ale coneo acendo o del meodo imbolico è poibile eendere le lei di Kirchho (e più in enerale i eoremi eaminai nel capiolo precedene) alle rei imolae inoidalmene; il meodo imbolico preede che alla randezza che rappreena l ecciazione ia oiia ormalmene na randezza eponenziale: e j co Qindi iene riola la ree acendo o deli rmeni indicai nel capiolo precedene e delle ripoe complee iene deerminaa la pare reale Nel eio eaminiamo il comporameno di reienze indanze e capacià corripondene a imoli inoidali Reienza Con rierimeno alle conenzioni relaie ai eni di enione e correne peciicae araero la i5 in corripondenza di n ecciazione i I co la ci l eenione j complea ale I Ie i ha na ripoa complea V pari a: S S j V RISe RI la enione ale perano: { V} R{ RI} Ri R Indanza Con rierimeno alle conenzioni i eni di enione e correne indicai nella j i6 in corripondenza di n ecciazione i I co poo I Ie ee: di d j V L j LISe j LI e la enione ale: π j j π π R { V} R { jli} R e LISe LIS co VLco doe i è poo S S 7

12 V L LI S Si noi che iccome I V ( L) limv L lim I S S allora: L cioè in corripondenza di ecciazioni azionarie ( ) l indanza i compora come n corocircio menre alle ale reqenze ( ) aice come n circio apero Capacià Con rierimeno alle conenzioni i eni di enione e correne indicai nella i7 j in corripondenza di n ecciazione V co poo V V e ee: dv d j I C jcvs e jcv S e la correne i ale: π j j π π i R {} I R { jcv} R e CVSe CVS co IC co doe i è poo I C CV S Si noi che iccome V I ( C) lim I C lim V S S allora: C cioè in corripondenza di ecciazioni azionarie ( ) il condenaore i compora come n circio apero menre alle ale reqenze ( ) aice come n corocircio S Dominio della reqenza La riolzione di na ree coi principi di Kirchho in orma complea deermina n inieme di eqazioni alebriche dipendeni dalla ola reqenza La ripoa (a reime) all ecciazione inoidale è abilia araero la riolzione di n eqazione alebrica anziché di n eqazione dierenziale Ciò è coneenza del ao che i è oiia alla ariabile empo la ariabile reqenza Un enale inoidale x( ) X co( φ ) rappreenao in nzione del empo pò eere decrio in maniera alreano complea in nzione della reqenza Allo copo occorre peciicare l ampiezza e la i 8

13 ae in corripondenza della plazione del enale (i) Si è coì raeria ia l analii del enale che qella della ree dal dominio del empo al dominio della reqenza Il leame ra la plazione ed il periodo T è: π T Nella praica la plazione è caramene ilizzaa ed al o poo i adopera la reqenza che π è leaa a dalla relazione ( ) Fnzione del iema e nzione di raerimeno Si conideri n arbiraria ree elerica la ci ecciazione ia x () e la ci ripoa ia y () Nelle rei eleriche x () pò rappreenare n ecciazione in correne o in enione y () na ripoa in correne o in enione In reime inoidale il rapporo ra la ripoa e l ecciazione epreo nel dominio della reqenza ale: j Y( ) e Y( ) H ( ) j X( ) e X( ) ale rapporo deo nzione del iema dipende da ramie li elemeni della ree ma è indipendene dal empo Qea proprieà rende la nzione del iema paricolarmene ile nell analii delle rei eleriche; ea permee inai di preedere il comporameno della ree na ola noa la reqenza del enale inoidale applicao oia ornice la ripoa in reqenza della ree Se l ecciazione e la ripoa ono deinie ripeo alla ea coppia di erminali la nzione del iema iene anche chiamaa nzione del pno di comando e pò eere n impedenza Z ( ) V ( ) I( ) oppre n ammeenza Y ( ) I( ) V ( ) a econda e l ecciazione ia na correne o na enione Se l ecciazione e la ripoa ono deinii ripeo a de coppie diine di erminali la nzione del iema iene anche chiamaa nzione di raerimeno e pò eere il rapporo ra na enione e na correne (impedenza) o iceera (ammeenza) il rapporo ra enioni il rapporo ra correni Eempio Nella ree di i i conideri come ecciazione na correne e i ali la nzione del pno di comando ha: Coniderando direamene le eenioni complee i V ( ) I( ) jl jl R jc jl R jc i 9

14 coì la nzione del pno di comando del iema (in qeo cao n impedenza) ale: Z ( ) jl R V ( ) jc jl I( ) jl R jc Eempio Si deermini la nzione di raerimeno G V V della ree di i3 ( ) ( ) ( ) i3 Rila: V ( ) V ( ) V ( ) R jc jl jc LC jrc da ci ee: G ( ) LC jrc Si oeri che per diare la ree nel dominio del empo è neceario riolere l eqazione inero-dierenziale: () Ri() () di L d C i ( ξ ) dξ (coniderando la capacià inizialmene carica oia ( ) ) e ricaare i () da oiire poi nella relazione C () i( ξ ) dξ 3 Ripoa di na ree nel dominio del empo Conideriamo na ree di nzione di raerimeno G ( ); poiché ( ) compleo pò eere rappreenao in orma eponenziale: j ( ) ( ) G( ) e φ G G è n nmero

15 doe G ( ) e φ ( ) ono ripeiamene il modlo e la ae di G ( ) Si noi che ( ) φ ( ) ono randezze caraeriiche della ree: ( ) enale all cia e di qello all inreo ( ) G e G rappreena il rapporo ra le ampiezze del φ lo aameno Tali randezze hanno n imporane iniicao iico perché permeono di dedrre da n ecciazione inoidale in inreo la ripoa della ree; inai e: allora: x() X co X ne ee che ( ) j Xe ( ) ( ) ( ) ( ) φ ( ) ( ) j j j Y G X G e X e G X e φ coì la ripoa y () della ree è: { } ( ) co φ( ) () ( ) y R Y G X Perano G ( ) e ( ) φ permeono di abilire la ripoa della ree a qaliai ecciazione inoidale Raccoliendo dalla relazione precedene ee: ( ) φ y() G( ) X co ( ) doe ( ) φ ha le dimenioni di n empo Dalle epreioni nel dominio del empo dell ecciazione e della ripoa appare perano che non olo ee hanno ampiezze diere ma ralano ripeo al empo (i4) Il empo d deinio araero l epreione precedene come: i4 d ( ) φ T π φ π T iene chiamao riardo di ae Ainché l ampiezza del enale in cia e il riardo di ae d non dipendano dalla plazione occorre che i abbia: G ( ) co φ( ) d co ; in al cao le cre caraeriiche ono qelle morae in i5 i5

16 Eempio (Circio RC) Si deermini la nzione di raerimeno ( ) V ( ) V ( ) e ae della ree di i6 Rila: V jc R jc jrc ( ) V ( ) V ( ) V ( ) jτ doe i è poo τ RC ; perano la nzione di raerimeno ale: G ( ) jτ e le epreioni in modlo e ae ono ripeiamene: G in modlo G ( ) τ φ arcan(τ ( ) ) i6 In i7 ono rappreenae qee de randezze in nzione della reqenza pari a ( π ) G( ) φ( ) M M M i7 - M M M Eempio (Circio CR) Si deermini la nzione di raerimeno G V V in modlo e ae della ree di i8 ( ) ( ) ( ) Rila: i8

17 V R R jc jrc jrc ( ) V ( ) V ( ) V ( ) jτ jτ doe i è poo τ RC ; perano la nzione di raerimeno ale: G ( ) jτ jτ e le epreioni in modlo e ae ono ripeiamene: τ G φ ( ) τ π ( ) arcan( τ ) In i9 ono rappreenae qee de randezze in nzione della reqenza G() M M M φ() M M M i9 3

18 4

19 3 Traormaa di Laplace Per meodo raormazionale i inende n alorimo inalizzao alla empliicazione di n operazione maemaica; i aocia cioè ad n deerminao problema n problema ad eo eqialene ma di più emplice olzione Il meodo imbolico adoperao per abilire la ripoa di na ree ad no imolo inoidale pò eere inerpreao come n meodo raormazionale ed eeo ad n enerico enale mediane n alorimo denominao raormazione di Forier 3 Inerale di Laplace La raormaa di Laplace L rappreena na eneralizzazione della analoa raormaa di Forier ed è n operazione che i eee lle nzioni di ariabile reale per raormarle in nzioni di ariabile complea oia e ( ) con è na nzione raormabile econdo Laplace allora: () F( ) L : doe F( ) e cioè F () è na nzione complea di ariabile complea Per inrodrre qeo meodo aremo rierimeno alle ole nzioni del empo oia il empo arà la ariabile indipendene; ia perano: () per < allora la raormaa di Laplace F () di ale nzione è deinia come: doe è: () L[ () ] e () d lim e () F d σ j con σ L inerale che compare nella deinizione di raormaa prende il nome di inerale di Laplace Naralmene la nzione F ( ) coì deinia ha eno per i oli alori di per i qali l inerale di Laplace rila conerene 5

20 3 Eempi di raormae () η() ( radino niario) Conideriamo la nzione coì deinia (i3): < η () allora la raormaa di η () ale: L[ η () ] e η() d e d e i3 Si noi che l inerale conere per σ poiché e σ < i ha: σ j lim e lim e e perano i dice che σ è l acia di conerenza () e Sia allora: ( ) [ ] e e d e d e L e Si oeri che in qeo cao l acia di conerenza è σ () in Poiché è poibile criere: j j e e in j allora j j e e j j L[ in ] e d e e d e e d j j j j j Naralmene non c è biono di calcolare oni ola la raormaa di Laplace di na nzione ricorrendo alla ormla daa in qano per le nzioni più comni le raormae i roano ià ablae (ab3); acendo o di alcni eoremi che erranno epoi in eio dalle raormae reperibili lle abelle e ne poono dedrre mole alre 6

21 () η () ( ) Eempi di raormae di Laplace L [ F( ) ] F ( ) L[ ( ) ] δ n n n! n e ± n e n n n! ( ) in co e in ( ) e co ab3 ( ) 33 Fnzione implia niaria o dela di Dirac Si conideri la nzione coì deinia (i3): δ ε ε ε > ε () ε > rila eomericamene eidene che per ε l alezza della reione reanolare crece indeiniamene menre la larhezza diminice in modo ale che l area della reione è empre ale a cioè: i3 () δ d ε Sia () n arbiraria nzione deinia per Se ε è icienemene piccolo la ariazione di ( ) [ ε ] è racrabile e () rea praicamene ale a ( ) e conideriamo l inerale () () δ d ll inerallo eeio di inerazione ; perano: ε 7

22 () () d ( ) () d ( ) δ ; ε δ ε naralmene al diminire di ε l approimazione miliora Perano nel limie ε poiamo deinire na nzione δ () araero la relazione: () () d ( ) δ ; δ () prende il nome di dela di Dirac Tale epreione pò eere eneralizzaa come: ( ) ( ) d ( ) δ Da qea relazione ee l epreione della raormaa di Laplace della dela di Dirac: e più in enerale: [ () ] δ () e d e L δ L [ δ ( )] ( ) e d e δ 34 Teoremi lle raormae di Laplace Si riporano di eio alcni eoremi che poono aeolare il calcolo delle raormae di Laplace La raormaa di Laplace è n operaore lineare; cioè e ( ) e () raormabili e e allora [ () ] F () [ () ] F () L L [ () () ] F () F ( ) L ono de nzioni Se () 8 è ilppabile in erie di Taylor qano opra pò eere riio coniderando lo ilppo inorno a () ( )! ( ) ( ) ε e oiendolo oo l inerale

23 (proprieà dello poameno in reqenza e del riardo) Se [ () ] F() L allora e i ha: Se : allora [ e () ] F( ) L ( ) () < L [ () ] e F() 3 La raormaa della deriaa di na nzione è ale a ole la raormaa della nzione ea a meno del alore che ame la nzione all iane ; cioè e [ () ] F() L allora [ () ] F() ( ) L ; da qeo eorema è poibile ricaare per indzione l epreione della raormaa per la deriaa n-eima: L coì ad eempio: n ( n [ ) n ( n ()] () ) F ( ) [ () ] F() ( ) ( ) 3 () F L L [ ] () ( ) ( ) ( ) Eempio Noo che: L [ in ] araero l applicazione del eorema precedene poiché deerminare l epreione di L[ co ] : din co poiamo d 9

24 din L[ co] L L[ in] in d 4 La raormaa dell inerale di na nzione è ale alla raormaa della nzione ea diia per cioè e allora [ () ] F() L L ( ξ ) dξ F() da qeo eorema i dedce che: ξ L d ( ) d F() ξ ξ ξ ξ3 ξ L d 3 d ( ) d F() 3 ξ ξ ξ ξ e coì ia Eempio La nzione () ( ) ξ dξ η ξ d pò eere riardaa come: perano alla lce del precedene eorema rila: [] L ( ξ ) dξ L[ η() ] L η I eoremi 3 e 4 ericono che le operazioni di deriazione e inerazione nel campo reale enono raormae in operazioni di moliplicazione e diiione nel campo compleo Perano araero l alorimo della raormaa di Laplace è poibile raormare eqazioni inero-dierenziali nel campo reale in eqazioni alebriche nel campo compleo 35 Conolzione Dae de nzioni () coì deinia: e () i deinice conolzione di ( ) e () la nzione h ( )

25 h ( ) ( τ ) ( τ ) dτ ( τ ) ( τ ) dτ e i indica anche h () () () Poo allora: [ () ] F() [ () ] G() L L la raormaa della conolzione h () di ( ) e ( ) H ale: () L[ h() ] L[ () () ] L[ ( ) ] L[ ( ) ] F( ) G( ) Cioè la conolzione ra de nzioni nel campo reale iene raormaa nel prodoo ra le nzioni nel campo compleo 36 Aniraormaa di Laplace L operazione di aniraormazione conie nel rialire da na nzione di ariabile complea a qella di ariabile reale la ci raormaa coincide con la nzione di parenza Poo () L[ () ] F allora e σ j i proa che π j σ j () L [ F( ) ] e F()d σ j Sebbene ia ale relazione come nel cao dell operazione di raormazione alo cai paricolari raramene i ricorre a ale inerale per eeire l aniraormazione ma i a rierimeno alle abelle di raormazione oiamene ae al roecio Tipicamene i compone la nzione da aniraormare in omme di nzioni la ci aniraormaa è reperibile lle abelle e l aniraormazione i ricaa qale omma delle aniraormae roae in irù della linearià dell operaore L Eempio Si ali 3 7 L 3

26 Il denominaore della razione da aniraormare ha radici 3 e coì la razione pò eere aorizzaa come ee: A ( 3)( ) 3 da ci ee A 4 e B qindi: B L 3 L L 3 e 4 e 37 Aniraormazione di nzioni razionali rae Il procedimeno di aniraormazione morao nell eempio precedene i prea ad eere eneralizzao allo copo di ornire n meodo di aniraormazione ile ad na imporane clae di nzioni in ambio eleronico Tali nzioni ono le nzioni razionali rae del ipo: F () m () b G n H () c in ci m < n oia qando F () è na razione alebrica propria È noo dall alebra che n polinomio di rado n del ipo: H n n () cn cn c c pò eere aorizzao come H r r r () c ( )( ) ( ) α n α doe α rappreenano le radici ripeiamene di moleplicià r r r α (con r r rα n ) del polinomio H ( ) Le i prendono il nome di zeri di ordine (o moleplicià) r i della nzione H () e poli di ordine (o moleplicià) r i della nzione F ( ) Conideriamo inizialmene il cao più emplice in ci F ( ) ammee olo poli emplici oero di moleplicià ; qindi H () c ( )( ) ( ) n n allora F () pò eere poa nella orma: F K K K K n () n n i i i

27 doe [ F()( )] i K i i per ci l aniraormaa di F () ale: n [ ()] n i F Ke Ke Kne Kie i L Eempio Si ali l aniraormaa della eene nzione: Poo 4 F () () H i ha che H () ha radici 3 3 coì F () i pò criere come: 4 () F ( )( )( 3) I coeicieni dello ilppo dell aniraormaa alono: perano K [ F()( )] [ F()( )] ( 3)( 4) K [ F()( )] ()( 3 ) K L ( 4)( ) 7 3 [ F() ] e e e 3

28 Eempio Si ali l aniraormaa della eene nzione: Poo 3 F () 3 3 () H i ha che H () ha radici j j 3 coì F () i pò criere come: 3 3 F () ( )( j)( j) ( )( ) I coeicieni dello ilppo dell aniraormaa alono: perano 4 K [ F()( ) ] 3 j 3 j K [ F()( j) ] j j ( j )( j) j 3 j 3 j K 3 [ F()( j) ] j j j j j ( )( ) L [ F() ] e e j e co in j j e j e e j e j e j e j j Gli eempi precedeni meono in lce de apei dell aniraormaa di na nzione razionale raa Se F () ha n polo compleo allora ha anche il o coniao; la preenza di ale coppia di poli deermina nella aniraormaa L [ F( ) ] poli ono: na olzione di ipo ocillane; i eriica che e i σ j σ j allora l aniraormaa conerrà n ermine del ipo 4

29 e σ ( α β in ) co che pò eprimeri inrodcendo noe coani c e φ come: ( ) σ ce φ co Inolre ainché i abbia che il limie di L [ F( ) ] reale σ del polo non ia poiia per ia inio occorre che la pare Nel cao che F () ia caraerizzaa da n polo di moleplicià n oia rili: () c ( ) n H n i proa che l aniraormaa di F () ale: L [ F() ] e e M n r M M r M r ( r )! 3 M 3 M 3 n n ( n )! doe: M r ( nr ) n [ ] d ( ) F()( ) nr ( n r)! d Eempio Si ali l aniraormaa della eene nzione: () F ( ) 5 L nico polo di () nel ermine F i ha per ed ha moleplicià 5; l aromeno della deriaa conena M r ale ()( ) 5 F coì i ermini M M e M 3 ono i nlli dipendendo ripeiamene dalle deriae qara erza e econda di menre: d M 4 ( 5 4)! d M 5 ; 5 5! ( ) () 5

30 6 ne ee che l aniraormaa di qea nzione ale: () [ ] ( ) e e e F L ! 3! Qano eé io i applica nel cao di n poli di moleplicià o nel cao di n inolo polo di moleplicià n Enrambe le relazioni morae coiicono dei cai paricolari di n eorema enerale che i applica qando i abbiano α poli α con moleplicià ripeiamene r r α r maiori o ali a Si proa qindi che l aniraormaa di () F ale: () [ ] () () () () α α α i i i e e e e F L doe: () ( ) ( ) ( ) ( ) ()( ) [ ] i i i i i r r i r r i i F d d r!!

31 4 Applicazione della raormaa di Laplace alla deerminazione della ripoa dei circii Inrodciamo l applicazione della raormaa di Laplace acendo o di n eempio Conideriamo il circio di i4 ed amiamo per emplicià che il condenaore ia carico al momeno della chira del ao T per La relazione che lea la correne i () nel circio alla enione applicaa ( ) a parire dall iane di chira del ao è () Ri() ( ) di L d C i ( ξ ) dξ i4 ale eqazione inero-dierenziale conene la deerminazione dell epreione di i () na ola che ia noa () Se i eeono le raormae di Laplace di ambo i membri di ale eqazione i roa: V aendo poo: C () RI() LI () I() () L[ () ] () L[ i() ] V I Ne ee che la correne I () ale: I () () V R L C i4 La relazione che lea V () a I () pò eere cria direamene riardando il circio di i4 come n circio in correne conina alimenao da n eneraore di orza eleromorice V () e caraerizzao da re reienze di alori R L C poe in erie ra loro (i4) Poiché () è noa di coneenza arà poibile deerminare V () e qindi i ( ) aniraormando l epreione di I () Inolre e le randezze di ineree poono eere ricaae dal circio decrio in ermini di raormae di Laplace; ad eempio la ddp ai capi dell indanza arà: L V L () V () R L C 7

32 8 i43 Conenzioni di eno e corripondenza ra i circii nel dominio del empo e i loro eqialeni nel dominio della reqenza complea

33 La decrizione del circio araero la raormaa di Laplace bice na liee complicazione qalora ci iano correni iniziali nelle indanze o cariche iniziali lle armare dei condenaori Si proa acilmene che e in n indanza corre na correne iniziale i occorrerà ainere nel circio eqialene in erie alla reienza L n eneraore che eroa na orza eleromorice Li col moreo poiio nel ero poiio della correne e e n condenaore è inizialmene carico ad n enione occorrerà coniderare in erie alla reienza C n eneraore che eroa na orza eleromorice col moreo coincidene con l armara neaia del condenaore 4 Dominio della reqenza complea In i43 è moraa na claiicazione deli elemeni di na ree elerica in nzione della ariabile complea alla lce di qano appena io Si noi che nell ipoei che iano nlle le condizioni iniziali (condenaori inizialmene carichi e indanza inizialmene non percore da correne) li elemeni poono eere rappreenai in modo ormalmene analoo a qello relaio al meodo imbolico con la poizione j La linearià della raormaa di Laplace implica che in ale ambio le lei di Kirchho i poono criere: h () () V I h La decrizione di n circio araero la raormaa di Laplace prende il nome di decrizione nel dominio della reqenza complea ; in ale coneo la ripoa di na ree ad n enerico enale prché raormabile econdo Laplace i ricaa araero la riolzione di n eqazione alebrica Non è perano neceario riolere l eqazione inero-dierenziale che decrie il circio nel dominio del empo Eempio (Circio RC) Conideriamo il circio di i44 in ci il condenaore è inizialmene carico La ripoa ad n ecciazione i nel dominio della reqenza complea è: V C R C RC () V () V () V () τ τ i i i i44 doe τ RC La nzione di raerimeno V ( ) Vi ( ) della ree è perano: F () V V i () () τ τ 9

34 Spponiamo che la ree ia ecciaa con n radino di enione di ampiezza V (i45): i allora poiché: () Vη() V i i V () L[ () ] la ripoa della ree nel dominio di ale: i45 V () V τ τ Tale nzione preena de poli emplici ripeiamene per e τ coì i de coeicieni dello ilppo dell aniraormaa ono: K [ V () ] V V τ τ V K V τ τ τ τ () V coì la ripoa a ale imolo è (i46): τ τ () K K e V ( e ) i46 Il circio RC è deo ineraore in qano per << τ opera n inerazione della enione applicaa l inreo; inai ilppando in erie l eponenziale coneno nella ripoa al radino i ha: () V Ve V V τ τ V V τ ( )! τ! τ 3! τ 3 il primo addendo della omma è proporzionale all inerale della nzione i () aenaa e l errore che i commee nell approimazione V τ () rila ano più piccolo qano minore è ripeo a τ iaa l ampiezza V 3

35 La deerminazione della ripoa della ree ad n noo imolo richiede la ola alazione della raormaa di i () e dell aniraormaa di V ( ) Conideriamo ad eempio n ecciazione a rampa (i47): V i () T doe T è na coane poiia con le dimenioni di n empo allora: i47 V V T () L[ i () ] i e la ripoa nel dominio di ale: V V () T τ ; τ in qeo cao V () preena olre al polo emplice per τ anche n polo doppio in ; il coeiciene dello ilppo dell aniraormaa relaio al polo emplice è: K V () τ V T Vτ τ T τ τ menre i de coeicieni relaii ai poli doppi ono: M M!! d d [ V () ] { V () } V T τ τ V V ; T τ T τ Vτ T coì la ripoa a ale imolo è (i48): () τ Ke M M Vτ τ Vτ V Vτ V τ e ( e ) T T T T T i48 Si noi che ebbene () i () per oni alore di ainoicamene ( ) i ( ) 3

36 Eempio (Circio CR) Conideriamo il circio di i49 in ci il condenaore è inizialmene carico La ripoa ad n ecciazione i nel dominio della reqenza complea è: V R R C RC RC () V () V () V () τ i i i i49 Spponiamo che la ree ia ecciaa con n radino di enione di ampiezza V (i45): i () Vη() allora poiché V i () V la ripoa della ree nel dominio di ale: V () V V ; τ τ () V ha n inolo polo emplice per τ coì l nico coeiciene dello ilppo dell aniraormaa è: K V () V τ τ perano la ripoa della ree è (i4): τ τ () Ke Ve Il circio CR è deo deriaore in qano per applicaa l inreo i4 >> τ opera na deriaa della enione 3 4 Teoremi del alore inale e iniziale Qei eoremi conenono di dedrre delle inormazioni ll andameno emporale di na nzione qalora e ne conoca la a raormaa ale: La raormaa della deriaa prima di na nzione ( ) [ () ] F( ) ( ) L epliciiamo il primo membro e deerminiamo il limie per di ambo i membri: () e d lim[ F( ) ( )] lim ;

37 iccome rila () e d () d ( ) ( ) lim allora oiendo i ha: ( ) ( ) lim F() ( ) eendo ( ) ( ) lim () ( ) lim F coì L eqazione precedene rappreena l epreione del eorema del alore inale e conene di abilire il comporameno ainoico di na nzione noa che ia la a raormaa Tale eqazione è aia applicabile olano qalora il limie limf( ) è inio oero e i i poli di F () hanno pare reale neaia Eempio Si olia abilire il limie ainoico della ripoa di n circio RC ad no imolo a radino Rila: V () V τ τ applicando il eorema del alore inale a qea epreione i ha: τ τ ( ) lim V ( ) lim V V [ ] () ( ) Se nell epreione L () F epliciiamo il primo membro e abiliamo il limie per di ambo i membri i roa: () e d lim[ F( ) ( )] lim poiché l epreione oo l inerale comprende il aore ha: [ F() ( )] lim e che i annlla qando i 33

38 iccome ( ) è na coane rila: lim F () ( ) ; ale relazione rappreena la ormlazione del eorema del alore iniziale Eempio Si olia abilire il alore iniziale della ripoa di n circio CR ad na ecciazione a radino Rila: V () V τ coì applicando il eorema del alore iniziale i ha: ( ) lim V () lim V V τ 43 Siniicao iico delle nzioni di raerimeno Conideriamo n iema caraerizzao da na nzione di raerimeno F () il ci imolo x allora e X () è la raormaa di x ( ) la raormaa Y ( ) della ripoa y () arà: ia () () F() X ( ) Y [ ] Spponiamo di ecciare il iema con na dela di Dirac poiché rila L δ () () F() L[ () ] F() Y δ cioè la ripoa coincide con F () eendo la raormaa di δ ( ) () () L[ F( ) ] y Perano l aniraormaa () rappreena la ripoa del iema ad na ecciazione implia δ ( ) Ne ee che: allora: di na nzione di raerimeno F () di n iema 34

39 44 Sabilià dei iemi Un iema i dice abile qando oeo ad n enale perrbaore al ceare di qeo dopo n cero empo riorna nelle condizioni iniziali È inece inabile qando diere deiniiamene dalle condizioni iniziali La eriica della abilià di n iema pò eere eeia applicandoi qale enale perrbaore n implo δ () ed eaminando la a ripoa nel empo Se il iema rila oriinariamene a ripoo con cia nlla e eo è abile la ripoa a ale ecciazione dee endere a zero menre e è inabile diere Naralmene in praica la ripoa di n iema inabile non ame mai alori ininiamene randi poiché inerenono delle non linearià dei coieni il iema che ne limiano l ampiezza Pò anche eriicari che la ripoa enda ad n alore inio oppre ocilla enro limii preabilii; anche qei cai ono coniderai delle inabilià Per qano appena io circa il iniicao iico della nzione di raerimeno qea rappreena la ripoa del iema alla dela di Dirac δ ( ) ; ne ee che la eriica della abilià di n iema pò eere ola araero lo dio della nzione di raerimeno Un iema lineare è decriibile ramie na nzione di raerimeno che è coiia dal rapporo di de polinomi oia na nzione razionale raa: F () m n b c doe m < n Tale nzione preena in enerale poli reali o complei coniai Nel cao in ci F () ia caraerizzaa da n polo reale l aniraormaa di F ( ) conerrà n addendo del ipo: M e e ale ermine ende a zero per e è neaio menre ende a e è poiio; nel cao i abbiano de poli complei coniai σ ± j l aniraormaa di F () conerrà n addendo del ipo: ( ) σ ce φ co e σ è neaio ale ermine rappreena n ocillazione morzaa che per ende ad annllari; e inece σ è poiio le ocillazioni decrie da qeo ermine ono di ampiezza crecene nel empo e endono ad ampiezza ininia per Da qano epoo rila che il iema è abile e i poli della a nzione di raerimeno ono neaii e reali oppre a pare reale neaia e complei coniai Poiché i poli e li zeri della nzione di raerimeno corripondono a pni del piano compleo F () pò eere rappreenaa raicamene mediane la diribzione dei oi poli e zeri in ale piano Coì ainché il iema ia abile occorre che i i poli i roino nel emipiano di inira (pare reale neaia) È iciene che ci ia n olo polo nel emipiano di dera (pare reale poiia) perché il iema rili inabile 35

40 Qindi per analizzare la abilià di n iema non occorre eeire l aniraormaa della nzione di raerimeno ma olo eaminare la poizione dei oi poli nel piano compleo Eempio: Si ali la abilià del iema decrio dalla eene nzione di raerimeno: 3 F () Il denominaore della razione è aorizzabile come ( )( ) per ci ha de radici reali di ci na poiia In i4 è moraa la rappreenazione dei poli (indicai con ) e dello zero (indicao con O) di F () nel piano compleo Poiché è preene n polo nel emipiano di dera il iema è inabile i4 45 Ripoa di reime inoidale In n qaliai iema iico in eio all applicazione di na ecciazione all inreo ha oriine n raniorio che ha na draa dipendene dalle caraeriiche inrineche del iema Qindi per eeo dello imolo il iema paa dallo ao iico precedene all applicazione dell ecciazione ad n alro ao iico e ale paaio aiene in n cero empo indicao come draa del raniorio Eamineremo ora il comporameno di n iema iico in reime permanene oia na ola che il raniorio i è eario In paricolare eamineremo la ripoa del iema a reime qando è applicaa n ecciazione di ipo inoidale Conideriamo perano n iema abile di nzione di raerimeno F () al qale è applicao no imolo inoidale: x() X co poiché X () L x() [ ] X ( ) X Y () F() X () F() la raormaa di Laplace della ripoa arà: Qando i calcola l aniraormaa di qea nzione ci aranno dei ermini doi ai poli di F () e de ermini doi ai poli della raormaa del enale d inreo per ± j ; dao che il iema è per ipoei abile e le nzioni del empo deriani dai poli di F ( ) i annlleranno al endere del empo all ininio Coì la ripoa a reime conerrà i oli ermini correlai ai poli di X () ; i de coeicieni dello ilppo dell aniraormaa ono: K K jx [ Y ()( j )] j F( j ) F( j )X j jx Y ()( j ) j F j F j j [ ] ( ) ( )X 36

41 e l aniraormaa di Y () a reime arrà: j j j j y() Ke Ke F( j ) Xe F( j) Xe Il nmero compleo F ( j ) pò eere poo in orma eponenziale come: jφ ( j ) F( j ) e F inolre poiché la nzione di raerimeno di n iema iico è na nzione con coeicieni reali rila: doe φ è l aromeno di F ( j ) F jφ ( j ) F( j ) e coì oiendo nell epreione di y () i ha: jφ j jφ j e e e e y() X F( j ) X F( j) co( φ) Qindi è iciene deerminare F ( j ) e φ per conocere la ripoa a reime qando l ecciazione è di ipo inoidale F ( j ) rappreena il rapporo ra le ampiezze o i alori eicaci della ripoa e dell ecciazione; φ rappreena la ae della ripoa ripeo jφ all ecciazione Per la deerminazione di F ( j ) F( j ) e baa analizzare il iema oiendo j a donqe qea ariabile i roi; ciò coincide coi meodi correnemene adoperai per lo dio dei circii in correne alernaa 37

42 38

43 39 5 Rappreenazione di Bode Conideriamo la nzione di raerimeno di n iema lineare caraerizzaa da w zeri reali z z w z ripeiamene di moleplicià w e d poli reali p p d p ripeiamene di moleplicià r r d r pponiamo inolre che la nzione di raerimeno abbia n leriore polo o zero per con moleplicià l; inine iano c z c z cy z e c p c p ce p ripeiamene li zeri ed i poli reali della nzione di raerimeno rila: () ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * e r d l y w e r d y w n m e r r d l y w n m e r d l y w n m c c e r d l c c y w n m n h h h l m p z p z a b p p z z a b p z a b p p p z z z a b c b F ζ ζ ζ ζ ζ ζ doe e c c c j z σ ono li zeri complei allora c c c c c σ σ ζ σ per y e e Si oeri che e () F in ha n polo allora > l menre e ha no zero < l ; alrimeni l

44 4 c c c j p σ ono i poli complei allora: c c c c c σ σ ζ σ per e Poniamo: z τ per w p T per d ali qanià hanno le dimenioni di n empo e prendono il nome di coani di empo deiniamo inolre: ( ) ( ) e r d y w n m p z a b K Si noi che K è reale poiché m n b a R Facendo o di ali deinizioni la nzione di raerimeno i crie: () ( ) ( ) e r d l y w T K F ζ ζ τ Eprimiamo la nzione di raerimeno ( ) F nel dominio della plazione oero oiiamo ormalmene j a : ( ) ( ) ( ) ( ) e r d l y w j T j j j j K j F ζ ζ τ Tale rapporo è in enerale n nmero compleo e i pò rappreenare come: ( ) ( ) ( ) φ j e F j F doe ( ) F è il modlo di ( ) j F e ( ) φ il o aromeno Deiniamo diaramma di Bode la coppia di raici delle eeni nzioni in coordinae loarimiche:

45 α β ( ) lo F( ) 8 π ( ) φ( ) ; la nzione ( ) mira di φ ( ) radiani in qella di β ( ) oiendo F ( ) nell epreione di ( ) α α i mira in decibel (db) menre il aore 8 π ere a conerire l nià di radi Valiamo eparaamene qee de qanià; α i roa : ( ) lo F( ) lo K l lo lo K l lo lo K w w d d r r lo w ( jτ ) d l ( j ) ( jt ) lo jτ lo jt ( τ ) lo oiendo φ ( ) nell epreione di β ( ) e ( T ) y y e y r lo jζ jζ e jζ lo jζ lo 4ζ lo 4ζ ; la coane K e poiia non inrodce alcn j ermine alrimeni iccome K K e π inrodce no aameno in riardo di π radiani perano: 8 β( ) φ( ) π w y π K ar( ) ar j j K τ ζ d e ar ( ) ar ζ 8 π π l r j T j I de diarammi ono oeni racciando i raici relaii a ciacn ermine elemenare di α ( ) e di β ( ) per poi ommare i inoli diarammi oeni Le de nzioni α ( ) e β ( ) conenono i dodici ermini indicai nella ab5 la ci rappreenazione è moraa nel eio Si noi che l epreione di α ( ) coniene il ermine lo oia richiede la deerminazione del loarimo di na qanià doaa di dimenione Siccome conenzionalmene le plazioni rappreenae nei diarammi di Bode ono epree in rad ec per lo i inende il calcolo di lo ( γ ) doe γ ale ec rad 4

46 coane reale poli o zeri nell oriine coane di empo al nmeraore ( ) coane di empo al denominaore ( ) zeri complei poli complei α ( ) β ( ) K lo K 9 K l lo l 9 8 lo τ ar( jτ ) π 8 r lo T r ar( jt ) π y lo 4ζ y 8 ar jζ π e e lo 4ζ 8 ar jζ π ab5 Coane reale L eqazione: ( ) lo K α rappreena na rea parallela all ae (i5) menre l eqazione: K > β( ) 8 K < indica che la ae è idenicamene nlla e K > menre ale 8 e K < Poli o zeri nell oriine Conideriamo inizialmene l > ed in paricolare l ; l eqazione: i5 α ( ) lo è na rea paane per rad ec con pendenza neaia e pari a qindi per oni incremeno di lo di nià α ( ) diminice di nià (i5) Poiché na ariazione di nià di lo corriponde ad na ariazione di di n rapporo (ad eempio paando lo da a paa da rad ec a rad ec ) e iccome na nià di α ( ) è db i dice anche che la rea ha na pendenza di db per decade ( db dec ) o 6 db o Qalora l < la rea rappreenaia dell eqazione precedene arà na pendenza poiia e e l di db dec i5 4

47 L eqazione: ( ) l 9 β è na rea parallela all ae che inereca l ae delle ordinae per l 9 Coane di empo al nmeraore Amiamo inizialmene l eqazione: ( ) lo( τ ) α iene rappreenaa ainoicamene diinendo i cai τ << e τ >> : i53 τ << ( << τ ) ( ) lo α ; τ >> ( >> τ ) α ( ) lo( τ ) lo( τ ) lo loτ ; cioè per >> τ i ha na rea con pendenza di db dec che inereca l ae delle acie per τ (i53) In i54 è rappreenao l errore che i commee nell approimare il ermine α ( ) col meodo di Bode; l errore maimo in ale approimazione i ha in corripondenza della plazione di alio τ doe: ( τ ) lo db α 3 ε () i54 menre l approimazione preede ( ) db dec α Se allora la pendenza della rea è τ Per la ae poo inizialmene i ha 8 ar π ( ) ( jτ ) β i diinono analoamene de cai 3 : τ << ( << τ ) τ >> ( >> τ ) 3 Si rammeni che l aromeno ( z) σ > menre e σ < ar( ) π arcan( σ ) β( ) ( ) 8 arcan π 8 π β ( ) lim arcan( ) 9 τ ar di n nmero compleo z σ j arcan σ olo e z qando > ar z π arcan σ qando < coincide con ( ) e ( ) ( ) ; ; 43

48 i noi che: 8 β arcan () 45 τ π Anche in qeo cao il diaramma rappreenaio è na pezzaa con ainoi rila: β 5 τ 85 β τ e 9 Inolre coì con n errore di 5 in enrambi i cai i ame: β τ 9 β τ Si noi che il emeno che nice i pni ( ) ( τ 9 ) ha pendenza pari a 45 dec Se qando >> 9 τ e τ i ha β ( ) e inolre ( τ ) allora a dierenza del cao per β 45 i55 Coane di empo al denominaore Si opera in maniera analoa a qella decria nel cao precedene ed in paricolare per β ono morai nelle i55 r i raici delle nzioni α ( ) e ( ) Eempio (Circio RC) Si conideri la nzione di raerimeno di n circio RC (pa) rila: F () τ doe τ RC è la coane di empo Tale nzione ha n olo polo emplice per τ ed eprea nel dominio della reqenza ale: F ( j ) jτ 44 i56

49 coì i diarammi di Bode per modlo e ae ono qelli morai in i56 In colore ono φ morai li andameni reali delle nzioni F ( ) e ( ) Eempio (Circio CR) Si conideri la nzione di raerimeno di n circio CR (pa) rila: F () τ τ doe τ RC è la coane di empo Qea nzione preena n aore coane τ (oliamene τ < ) no zero emplice per ed n polo emplice per τ ; eprea nel dominio della reqenza F () ale: F ( j ) jτ jτ I ermini elencai enono rappreenai eparaamene e qindi ommai raicamene; i inoli F j ono morai in i57 ermini inieme ai diarammi di Bode per modlo e ae di ( ) i57 45

50 Eempio (Pariore compenao) Valiamo la ripoa in ampiezza ed in ae del circio di i58 Indichiamo con Z e con Z ripeiamene i paralleli delle reaanze di R e C e di R e C oia (i59): Z Z RC τ C R RC τ C R R R R R i58 doe i è poo τ RC e τ RC La nzione di V V V i e raerimeno () i ( ) è il rapporo di parizione ra ( ) V () : F () V () Z () Z Z Vi oiendo a Z e Z la loro epreione i ha: F () V V i () () R R R R τ R R τ τ ( τ ) ( τ R τ R ) R R R R R ( τ ) ( τ ) R ( τ ) τ τ K τ τ i59 doe i è poo: K R R R τ τ R τ R R R Qea nzione è caraerizzaa da n aore coane K (con K < ) no zero emplice per τ ed n polo emplice per τ ; eprea nel dominio della reqenza F ( ) ale: F ( j ) jτ K jτ I ermini elencai enono rappreenai eparaamene e qindi ommai raicamene; i inoli F j ono morai in i5 ermini inieme ai diarammi di Bode per modlo e ae di ( ) 46

51 i5 Si noi che qalora τ τ il circio in eame i compora come n pariore reiio con V Vi pari a: nzione di raerimeno () () F () R R R Zeri complei Analoamene ai cai precedeni l eqazione: α ( ) lo 4ζ iene rappreenaa ainoicamene diinendo i cai << e >> : 47

52 << ( ) lo α ; ; 4 >> α( ) lo 4lo 4lo 4 cioè per >> i ha na rea con pendenza di 4 db dec che inereca l ae delle acie per ; in i5 ono morai olre al diaramma di Bode alcni andameni reali corripondeni a dieri alori del paramero ζ α () 6 4 ζ ζ ζ i5 In i5 è rappreenao l errore che i commee nell approimare il ermine α ( ) col meodo di Bode; l errore maimo i ha in corripondenza della plazione di rionanza pari a: ε () 4 3 ζ doe rila: α ζ ( ) lo[ 4ζ ( ζ )] ζ 3 4 i5 ζ menre l approimazione preede ( ) α Per la ae i diinono analoamene de cai 4 : << ( ) arcan 8 β ; π 8 β π >> ( ) lim ar jζ 8 ; 4 Si eda la noa a pa43 per il calcolo deli aromeni 48

53 β () 8 ζ ζ 9 ζ 3 4 i53 cioè per << la ae è rappreenaa con la rea ( ) rappreenaa con la rea ( ) β 8 π β menre per >> è β 8 ;in corripondenza della plazione rila: ( ) lim ar jζ 9 In i53 ono morai olre al diaramma di Bode della ae alcni andameni reali corripondeni a dieri alori del paramero ζ ; in i54 è rappreenao l errore che i commee nell approimare il ermine β ( ) col meodo di Bode I raici riporai nelle i5 e 54 meono in lce che l approimazione inrodoa col meodo di Bode rila in qeo cao paricolarmene inoddiacene al crecere del paramero ζ oero all allonanari deli zeri della nzione di raerimeno dall ae reale ε() 5 ζ ζ 3 4 i54 ζ Poli complei Si opera in maniera analoa a qella decria nel cao precedene; i raici delle β ono morai nelle i55 56 nzioni α ( ) e ( ) 49

54 α() 4 ζ ζ ζ i55 β() 9 ζ 8 ζ ζ 3 4 i56 5