PREMESSA In questa lezione verranno esposte le regole per l analisi dei sistemi continui con il metodo della Trasformata di Laplace.

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1 ITIS G CARDANO PREMESSA In quea lezione verranno epoe le regole per l analii dei iemi coninui con il meodo della Traormaa di Laplace ANALISI DEI SISTEMI CONTINUI Per analizzare un iema di conrollo è neceario coruire un modello maemaico, ovvero occorre deerminare le equazioni maemaiche che permeono di deerminare l andameno nel empo delle ucie noi quelli degli ingrei Il modello può eere aico o dinamico Il modello aico decrive la relazione ra i valori degli ingrei (uppoi coani) e quelli delle ucie una vola che il iema abbia raggiuno la condizione di regime azionario Quea modellizzazione non dà alcuna inormazione ul regime raniorio e quindi ull andameno delle ucie durane il paaggio da uno ao di regime ad un alro Il modello dinamico permee, invece, di deerminare l andameno del egnale di ucia corripondene ad un precio egnale di ingreo e quindi di deerminare la ripoa del iema ad una ecciazione noa Il modello dinamico arà coiuio da una o più equazioni dierenziali che legano le variabili di ingreo, le variabili di ucia e le loro derivae ripeo al empo I iemi dinamici poono eere caraerizzai nel empo in empo-coninui, empo-dicrei e a eveni dicrei Nei primi la variabile empo ha un andameno coninuo, nei econdi l evoluzione del iema avviene ad iani diini nel empo e negli ulimi l evoluzione non dipende dal empo ma dal veriicari di deerminae condizioni (eveni) Lo udio dei iemi di conrollo avviene ipoizzando che il iema ia lineare, ovvero ia applicabile il principio di ovrappoizione degli eei Quea empliicazione, quai empre realizzabile purché i valori delle variabili non ecano da deerminai campi, permee di poer decrivere i enomeni iici con equazioni dierenziali a coeicieni coani TRASFORMATA DI LAPLACE Per eeuare l analii di un iema coninuo lineare occorre: ) individuare gli elemeni che compongono il iema e la unzione che volgono ) deerminare la unzione caraeriica di ogni elemeno 3) deerminare la unzione caraeriica dell inero iema uilizzando le regole dell algebra degli chemi a blocchi 4) analizzare la ripoa del iema nel empo daa una deerminaa olleciazione Un eempio di procedura può eere vio analizzando un pariore di enione come quello nella igura: Dove con Vi( è ao indicao il valore nel empo della enione di ingreo, con Vu( il valore nel Wih he uppor o he Lielong Learning Programme o he European Union Thi projec ha been unded wih uppor rom he European Commiion

2 ITIS G CARDANO empo della enione di ucia e con R e R i uoi elemeni caraeriici coruivi Le unzioni caraeriiche dei due elemeni ono: V R R I( ) e V R R I( ) ( ( Uilizzando il eorema di Kirchho alla maglia i oiene il modello maemaico dell inero iema: dalla quale è anche poibile ricavare l equazione: Vi V ( V ( ( R R ) I( ), ( R R Vi( I( R R Il egnale di ucia è pari alla cadua di poenziale ai capi della reienza R e quindi i oiene dalla relazione: Vu VR ( R I( ) ( E oiuendo a I( l equazione ricavaa precedenemene i oiene l equazione che decrive la ripoa del iema ad una deerminaa olleciazione: R Vu( Vi( R R Gli elemeni del iema poono eere a econda dei cai di ipo: meccanici, elerici, ermici, pneumaici, idraulici Per rovare il loro modello maemaico i può uilizzare una delle re caegorie di leggi della iica: - congruenza degli poameni (i ua nei iemi rigidi) - equilibrio (rierio a orze, momeni, dierenze di poenziale elerico, emperaure, preioni) - bilancio (rierio a energia, quanià di calore, mae, quanià di cariche eleriche) Le unzioni caraeriiche ono peo epree da equazioni dierenziali e ciò rende più diicile la rioluzione del problema dal puno di via maemaico Con la raormazione è, però, poibile raormare operazioni complee in alre più emplici agendo ulle variabili Un emplice eempio del conceo di raormazione può eere vio nella rioluzione di una equazione del quaro grado del ipo: 4 5x x 3 Se oiuiamo x y l equazione verrà raormaa nell epreione: 5y y 3 molo più emplice della precedene eendo di econdo grado Una vola ricavae le due oluzioni y e y occorrerà riraormarle uando la ea legge precedenemene adoaa in: x y e x y per ricavare ue e quaro le oluzione del iema Quea ulima ae è denominaa ani-raormazione Wih he uppor o he Lielong Learning Programme o he European Union Thi projec ha been unded wih uppor rom he European Commiion

3 ITIS G CARDANO Nei iemi di regolazione e conrollo in paricolare i ua la ecnica della raormaa di Laplace, grazie alla quale: - l inegrale divena una diviione e la derivaa una moliplicazione - l equazione dierenziale divena una equazione algebrica Come vio nell eempio precedene l applicazione di queo meodo richiede quaro ai: ) ricavare l equazione dierenziale nel dominio del empo ) arne la raormaa di Laplace 3) riolvere l equazione algebrica nel dominio di 4) arne l ani-raormaa di Laplace Il dominio di uao nella raormaa di Laplace è di ipo arao non eendo poibile aribuire ad eo neun igniicao iico La raormazione avviene in una variabile complea: a ib I imboli maemaici per indicare la raormaa e l ani-raormaa ono ripeivamene: 5) L[ ] 6) L [ ] Alcune delle raormazioni di Laplace più uilizzae ono: TRASFORMATA h e e h ( ) en co en ( a) e h e h co ANTITRASFORMATA ( a) ( a) Wih he uppor o he Lielong Learning Programme o he European Union Thi projec ha been unded wih uppor rom he European Commiion 3

4 ITIS G CARDANO Nella raormazione ove neceario è poibile uilizzare anche alcune regole: L[ a bg( ] a bg( L[ F'( ] ) L ) d e e non i individua ubio l ani-raormazione occorre ricordare che l ani-raormaa di una omma di unzioni è pari alla omma delle ani-raormae delle ingole unzioni Vediamo un eempio di applicazione delle raormae di Laplace nella rioluzione dell equazione dierenziale: y '( y( con condizione iniziale: y ( ) Traormando i oerrà: L[ y'( ] L[ y( ] L[] Traormando i oerrà quindi: dalla quale raccogliendo y(: Ani-raormando i oerrà: y( y( y ( ( ) y( L [ y( ] L e ( ) y ( y( y() y ( La unzione caraeriica di un iema o di un uo elemeno prende il nome di unzione di raerimeno (FDT) ed è rieria al dominio di : U( I( FDT E RISPOSTA ALLE SOLLECITAZIONI DI UN ELEMENTO MECCANICO Vediamo una applicazione praica di uo il procedimeno ad un iema meccanico e prendiamo come eempio una maa m con velocià v al empo Applicando una orza variabile nel empo ( (leera minucola per non cononderla con la ) dopo l inervallo di empo - il corpo avrà ubio una variazione di velocià v -v Con gli chemi a blocchi i decriverà il enomeno con: v( ( v( ( Wih he uppor o he Lielong Learning Programme o he European Union Thi projec ha been unded wih uppor rom he European Commiion 4

5 ITIS G CARDANO Dalla econda legge della dinamica appiamo che: ( m a( v( ma eendo l accelerazione da deinizione: a( v'( oiuendo nell epreione precedene i oiene: ( mv'( Facendo la raormaa di Laplace i ricava la FDT: Se al empo la v ( ) i ha: Quindi la FDT arà: ( m v( v() ( m v( v( v( ( ( m m Fiao l andameno nel empo di ( e calcolaa la ua raormaa di Laplace (() i deerminerà la ripoa nel dominio di (v() eeuando emplicemene il prodoo ra la FDT e la raormaa dell ingreo Per avere la ripoa nel dominio del empo i dovrà are l ani-raormaa di Laplace FDT Se nel noro cao ad eempio ipoizziamo la orza coane: ( co allora: ( L[ ( ] L[ ] e di coneguenza l ucia arà: v( ( m m Per avere la ripoa nel empo i dovrà are l ani-raormaa, e i oerrà: v( m Poiché iica: m è l accelerazione coane che avrà la maa, è aa coì oenua la noa legge della v a Wih he uppor o he Lielong Learning Programme o he European Union Thi projec ha been unded wih uppor rom he European Commiion 5