Trasformata di Laplace

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1 Traformata di Laplace In matematica e in particolare nell'analii funzionale la traformata di Laplace di una funzione f (t ) (definita per tutti i numeri reali e localmente integrabile) è la funzione F ( ): La traformata di Laplace è una funzione lineare che permette di paare dallo tudio di una variabile temporale (reale) allo tudio di una variabile complea, e vicevera. Queta traformata integrale ha numeroe proprietà che la rendono utile per l'analii dei itemi dinamici lineari. Il vantaggio più ignificativo è che l'integrale e la derivata diventano una moltiplicazione e una diviione ripettivamente, analogamente al modo in cui i logaritmi cambiano la moltiplicazione di numeri nella loro addizione. Ea traforma le equazioni integrali e le equazioni differenziali in equazioni polinomiali, che ono molto più facili da riolvere. L'invera (detta antitraformata) è l'integrale di Bromwich (o di Bromwich-Mellin o anche di Riemann-Fourier) che è un integrale compleo. f ( t) πj σ j σ j F( ) e t d Con una formulazione meno formale ma più conveniente, prevalente pecialmente tra ingegneri e fiici, i crive la traformata nella forma eguente: Nelle applicazioni ci i riferice peo alla ua verione unilatera definita per t > come La traformata di Laplace F ( ) tipicamente eite per tutti i numeri reali Re() > a, dove a è una cotante che dipende da f (t ) e che cotituice la coidetta regione di convergenza. La traformata di Laplace può anche eere uata per riolvere le equazioni differenziali e trova numeroe applicazioni nell'ingegneria elettrica - elettronica. Un apetto intereante della traformata di Laplace è che fino ad ora i matematici non conocono il uo dominio. In altre parole non c'è una erie di regole precie per apere e di una funzione i può fare la traformata.

2 Proprietà Linearità n-eima potenza Derivata Integrale Tralazione complea Tralazione nel tempo Nota: u(t) è la funzione a gradino unitario o Funzione gradino di Heaviide. Moltiplicazione per t alla n-eima potenza Prodotto di convoluzione

3 Funzione periodica di periodo p Traformata di alcune funzioni notevoli Funzione eponenziale Seno Coeno Seno iperbolico Coeno iperbolico Logaritmo naturale Radice n-eima Funzione di Beel di prima pecie

4 Funzione di Beel modificata di prima pecie Funzione errore o Funzione erf Altre traformate comuni Traformata di Laplace Funzione temporale δ(t), Delta di Dirac Θ(t), Funzione gradino di Heaviide Rioluzione di una equazione differenziale Si conideri l'equazione differenziale lineare del primo ordine: queta equazione è la relazione fondamentale che decrive il decadimento radioattivo, dove 4

5 5 rappreenta il numero di atomi non decaduti in un campione di iotopi radioattivi al tempo t, e è la cotante di decadimento. Si può uare la traformata di Laplace per riolvere queta equazione. Ricrivendo l'equazione da una parte di ha: traformando entrambi i membri: dove e Riolvendo i trova Alla fine, i antitraforma (utilizzando le tabelle) per trovare la oluzione generale: che è il riultato corretto che decrive il decadimento radioattivo. Eempio: riolvere la eguente equazione differenziale le condizioni iniziali ono: () traformando econdo Laplace otteniamo: () ()

6 6 Concentriamoci ul numeratore I coefficienti dei due polinomi devono eere uguali quindi () Andando a guardare la tabella (ovvero antitraformando) otteniamo: t t e e