Applicazioni di Scienza delle Costruzioni

Transcript

1 Applicazioni di Scienza delle Cotruzioni N.M. Auciello Univerità della Bailicata - Facoltà di Ingegneria - Prova critta del Aegnata la truttura ipertatica riportata in figura a) ed utilizzando il principio dei lavori virtuali (forze virtuali), determinare:. il diagramma del momento flettente. 2. lo potamento verticale del nodo D. Figura. Soluzione a trave riulta cotituita da un olo tratto, dunquet=,v=4, pertanto 3t v=, mentre la labilità valel=, la truttura è una volta ipertatica. Si rende la truttura iotatica eliminando il carrelo in B e i otituice l azione corripondente. Dunque i aume quale truttura iotatica equivalente lo chema della figura b). Si applica il principio dei lavori virtuali nella ua nota formulazione denominata delle forze virtuali in cui i opera u due ditinti itemi tra loro indipendenti, il primo, equilibrato, dove i leggono le forze, il econdo, ripettoo della ola congruenza dove i leggono gli potamenti. In tal cao i lavori corripondenti riulteranno virtuali.

2 Al fine di riolvere il problema i aume il itema fittizio di forzes della figura 2 mentre, per gli potamenti, il itema reale della figura a. Figura 2 Scrivendo l equazione di eguaglianza tra il lavoro eterno ed il lavoro interno i ha: = M M d, () dove, nell ipotei di validità del principio di ovrappoizione degli effetti il termine momento flettente M i crive come M = M +X M, l equazione diventa: d+x d= (2) dove l unica incognita è la reazionex del carrello inb. Il itemas i riduce alla truttura iotatica caricata dai oli carichi eterni. Nelle figure 2 e 3 ono diegnati i ripettivi diagrammi del momento flettentem edm. e relative leggi di variazione ono critte tenendo conto di tre itemi di riferimento locali(x 2,x 3 ) con origine nei puntiaed, il vero poitivo dell ae x 2 è indicato in figura con linea tratteggiata. Scrivendo le funzioni nei due itemis eds, i ricavano i riultati riportati nella tabella eguente. 2

3 Figura 3 A D D B D C x 3 [,] [,] [,] M x 3 ( x 3 ) 2( x 3 ) M qx 3 2 q( x 3) q( x 3) M M qx q( x 3) 3 3q( x 3 ) 2 M M x 2 3 ( x 3 ) 2 4( x 3 ) 2 Tenedo conto dell equazione 2., i termini noti dell equazione dei lavori virtuali valgono AD DB DC dx 3 = dx 3 = dx 3 = qx 2 3dx 3 = 3 4 q 2 q( x 3) 3 dx 3 = q 8 4 3q( x 3 ) 2 = 4 q. Per l intera truttura d= q q q = 35 q 24 4 (3) 3

4 Invece, per il itema fittizio i termini ono: AD DB DC dx 3 = dx 3 = dx 3 = 3 x 2 3dx 3 = 3 3 ( x 3 ) 2 dx 3 = 3 3 4( x 3 ) 2 dx 3 = 4 3. Sotituendo X d=x =2 X 3. equazione dei lavori virtuali, che in queta forma rappreenta l equazione di congruenza inb, i crive: Da cui 35 q X =. (4) X= 35 q /(2 )= 35 q (5) 48 Conociuta la forza incognita X i determinano le reazioni ulla truttura iotatica equivalente. Dalle equazioni di equilibrio: H= HC +H A = MA = H C 2X q 3 2 =, i ricava: H A = q (6) 24 V A = 3 48 q H C = 24 q. e funzioni momento ui tratti della truttura ono riportati nella tabella: 4

5 Figura 4 X= 35 48q A D D B D C x 3 [,] [,] [,] M qx 3 2 q( x 3) q( x 3) M x 3 ( x 3 ) 2 ( x 3 ) M=M +X M 3 48 qx q( x 3) 2 q( x 3) 2 24 q( x 3) In figura 4 è diegnato il diagramma del momento della truttura ipertatica ed i valori ind valgono. 3 M DA = 48 qx 3 = 3 x 3= 48 2 q 35 M DB = 48 q( x 3) 2 q( x 3) 2 = x 3 = 48 2 q M DC = 24 q( x 3) = 24 2 q. x 3 = 2. Soluzione; calcolo potamento del nodo D. Utilizzando il P..VV. è emplice determinare lo potamento verticale del nodo D della truttura reale. Aumendo la truttura fittizia caricata dalla forza unitaria applicata nel nodo D, il corripopndente diagramma del momento è diegnato in figura??. 5

6 Figura 5 o potamento del nodo D è dato dalla relazione: u 2D = M M d, con i termini forniti nella tabella eguente. X= 35 48q A D D B D C x 3 [,] [,] [,] M x 3 x 3 M=M +X M 3 48 qx q( x 3) 2 q( x 3) 2 24 q( x 3) u 2D = 3 48 x 3qx 3 dx 3 + u 2D = 5 q q( x 3) 2 dx 3 = 5 q