Criterio di stabilità di Bode. tramite la risposta in frequenza viene indicata come condizione di innesco dell instabilità la

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1 Criterio di tabilità di Bode Sia dato un itema retroazionato con f.d.t. eprea F( H ( tramite la ripota in frequenza viene indicata come condizione di inneco dell intabilità la G ( j H ( j 0 cioè G ( j H ( j da cui le due relazioni in modulo e fae verificate per uno o più valori di : G ( j H ( j G ( j H( j 80 In realtà affinché le ocillazioni poano autooteneri deve riultare che il guadagno d anello ia maggiore di uno: G ( j H ( j Il metodo per verificare le precedenti (itema intabile è quindi il eguente: tracciare la f.d.t. ad anello aperto trovare, e eitono, gli intervalli in cui il modulo in db è poitivo e la fae è 80 Si deduce che: e non eite neun intervallo a 80, il itema ad anello chiuo è certamente tabile e eite, occorre valutare e il modulo corripondente è poitivo Eempi j H ( j T > 0 la fae non potrà mai diventare -80 : il itema ad anello chiuo è certamente tabile. j H ( j > 0 T T il valore in cui la fae raggiunge 80 è per, quindi il itema è certamente tabile 3 con le ipotei precedenti, la fae raggiunge i 80 già tra i due poli, quindi occorre controllare il egno del modulo. j H ( j > 0 T T

2 eti compenatrici Concluioni: n poli e/o zeri in GH Stabilità del itema Uno Certamente tabile Due non nulli Certamente tabile Due nulli Potenzialmente intabile Tre o più Potenzialmente intabile A volte è poibile oervare olo il diagramma del modulo, in quanto e per un tratto prolungato (in pratica un paio di decadi la pendenza aume: Pendenza -0 db/dec +0 db/dec -40 db/dec Fae tendente a Dato che la zona critica della tabilità i manifeta in corripondenza del modulo unitario, i può accettare il criterio di Bode emplificato, che conente di valutare la ola pendenza di attraveramento del modulo: con 0 db/dec non ci ono problemi di tabilità (fae tende a 90, con 40 db/dec il itema potrebbe diventare intabile (fae tende aintoticamente a 80 che potrebbe uperare in eguito, quando riulta 60 db/dec certamente i ha intabilità (fae tendente a 70. I valori comunemente accettati per la tabilità ono: m φ = 80 + arg[jω c H(jω c ] > 30 m G = jω π H(jω π db = 0 0 db I due parametri vengono detti margine di fae e di guadagno, il valore c è la pulazione di croover (dove il modulo taglia l ae delle mentre è la pulazione in corripondenza della fae pari a -80. Eempio con Matlab Sia data la funzione = 00 ( + 0,( + 5( + 00 di un itema retroazionato unitariamente. Trovare i margini di guadagno e fae. - -

3 eti compenatrici >> num=00 >> den=conv([0. ],conv([5 ],[00 ] den = >> g=tf(num,den ^ ^ >> margin(g La ripota è pertanto mg = db ed m = 3, - 3 -

4 eti compenatrici eti di compenazione Sia data una f.d.t. nella forma F ( j m i g j Si voglia modificare la natura di queta epreione in modo da j zi n j i pi aumentare il margine di guadagno: occorre aumentare il modulo laciando inalterata la fae: i moltiplica per un fattore reale poitivo maggiore di aumentare il margine di fae: i deve laciare inalterato il modulo variando la fae che può eere anticipata o ritardata. Le funzioni ad hoc ono del tipo j j j j per il ritardo e per l anticipo, che hanno modulo unitario; per motivi realizzativi (in genere i tratta di reti C i adottano le con b > a. a b j a j b aumentare entrambi: la funzione è del tipo per l anticipo e j j a b j j a b j b per il ritardo j a con ab = ab. Il progetto di una rete di compenazione inizia dalla conocenza dei parametri da modificare nella rete originaria; e queta è rappreentata dalla, i procede:. diegnare il diagramma di Bode della. individuare la zona di intervento (dove oddifa e dove no le pecifiche 3. ottenere una prima indicazione dell azione da condurre 4. celta della rete di compenazione 5. verifica della attinenza alle pecifiche 6. in cao contrario ritornare al punto 4 Si ricorda che occorre per praticità upporre che in una rete retroazionata ia GH >>, quindi riverificare alla fine. Le reti da utilizzare ono le eguenti: - 4 -

5 eti compenatrici ete ritardatrice (phae lag Vu ( C V ( i C C C ed eendo > i diagrammi di Bode e polare riultano: Le due pezzate hanno uno zero p C( z ed un polo C Caratteritiche: l azione della rete è di fornire un ritardo di fae mai uperiore ai 90 ; le altre proprietà: migliora le caratteritiche del itema in baa frequenza; migliora il grado di tabilità riduce la banda paante e quindi aumenta il tempo di ripota del itema compenato perché provoca la diminuzione della pulazione di taglio

6 eti compenatrici ete anticipatrice (phae lead C C C V V G i u ( ( ( qui riulta > e < : i diagrammi di Bode e polare riultano: Le due pezzate hanno uno zero C z ed un polo C p, la cotante è Caratteritiche: l azione della rete è di fornire un anticipo di fae mai uperiore ai 90 ; le altre proprietà: migliora le caratteritiche del itema in alta frequenza; migliora il margine di tabilità aumenta la rapidità della ripota perché provoca l aumento della pulazione di taglio del itema compenato introduce un attenuazione riduce il guadagno tatico

7 eti compenatrici ete a ella (phae lead-lag Vu ( V ( i C C C C C C C C C C C C C T T Affinché la rete ia correttamente poizionata ul diagramma di Bode deve eere T > > > T riulta pure dalle poizioni fatte che = T T come pure T + T > + p < z < z < p viluppando i numeratori ed i denominatori i hanno le eguenti + ( = ( + T( + T = T T + (T + T + quindi TT = e T + T =