K c s h. P(s) 1/K d. U(s) + Y(s)

Transcript

1 Eame di Fondamenti di Automatica Coro di Laurea Vecchio Ordinamento in Ingegneria Elettronica febbraio 3 Compito A Cognome: Nome Matricola: . Ricavare la funzione di traferimento tra u ed y nel eguente chema a blocchi: C A U() D B Y(). Dato il itema G()/( 43) ricavare, tramite la Traformata di Laplace, la ripota y(t) ad un ingreo u(t) δ (t). Determinare il limite per t tendente all infinito di y(t). 3. Data la funzione a ciclo aperto F() K / (4 4 3 ), calcolare, tramite il criterio di Routh, per quali valori di K il ciclo chiuo ha radici a parte reale minore di. Supporre la controreazione unitaria. 4. Sia dato un proceo P() decrivibile mediante la funzione di traferimento ( /.3 ) P () ( / )( / )( / 3) Sintetizzare il itema di controllo in figura (determinare h e K c ) in modo tale che: il guadagno a ciclo chiuo ia uguale a 3 l'errore per ingreo a rampa u(t).t ia minore o uguale a.9 u K c h /K d P() z y Scelto il valore minimo di K c compatibile con le pecifiche, tracciare i diagrammi di BODE e NYQUIST della funzione a ciclo aperto, e determinare u queti la pulazione di attraveramento (ω t ) e, in cao di itema tabile a ciclo chiuo, i margini di tabilità (m φ e m g ). 5. Dato il itema dinamico decritto dalla terna di matrici 3 A ; B ; C [ ], Determinare controllabilità ed oervabilità delle ue dinamiche, ricavare la ua funzione di traferimento ed individuare uno chema di controllo con reazione tatica dall ucita tale da tabilizzare, e poibile, il itema a ciclo chiuo. 6. Dato il proceo dicreto G(z)(z)/((z.)(z.3)), determinare il controllore R(z) che aicuri una funzione di traferimento a ciclo chiuo W(z) tale che, in ripota ad un gradino di ampiezza unitaria, fornica in ucita la equenza {y k }{,,.5,.5,.5, }. Quindi, uppoto di applicare quale ingreo la equenza {u k }{,,,,,,, } i calcolino i primi 5 campioni dell ucita u(z) R(z) G(z) y(z)

2 7. Dato il diagramma di BODE della funzione di traferimento a ciclo aperto F() otto riportata (non ci ono poli a parte reale poitiva) determinare la rete compenatrice R() tale da aicurare ω t > rad/ec e m φ >4. Tracciare quindi il diagramma di NICHOLS della funzione compenata F'()F()R() e determinare u di eo il modulo alla rionanza Mr e la banda paante a 3 Decibel. db Modulo Fae ii

3 Eame di Fondamenti di Automatica Coro di Laurea Vecchio Ordinamento in Ingegneria Elettronica febbraio 3 Compito B Cognome: Nome Matricola: . Ricavare la funzione di traferimento tra u ed y nel eguente chema a blocchi: C A U() D B Y(). Dato il itema G()/( 68) ricavare, tramite la Traformata di Laplace, la ripota y(t) ad un ingreo u(t) δ (t). Determinare il limite per t tendente all infinito di y(t). 3. Data la funzione a ciclo aperto F() K / (5 4 3 ), calcolare, tramite il criterio di Routh, per quali valori di K il ciclo chiuo ha radici a parte reale minore di. Supporre la controreazione unitaria. 4. Sia dato un proceo P() decrivibile mediante la funzione di traferimento ( /.3 ) P () ( / )( / )( / 3) Sintetizzare il itema di controllo in figura (determinare h e K c ) in modo tale che: il guadagno a ciclo chiuo ia uguale a 3 l'errore per ingreo a rampa u(t).t ia minore o uguale a.9 u K c h /K d P() z y Scelto il valore minimo di K c compatibile con le pecifiche, tracciare i diagrammi di BODE e NYQUIST della funzione a ciclo aperto, e determinare u queti la pulazione di attraveramento (ω t ) e, in cao di itema tabile a ciclo chiuo, i margini di tabilità (m φ e m g ). 5. Dato il itema dinamico decritto dalla terna di matrici 3 A 3 ; B ; C [ ], 4 Determinare controllabilità ed oervabilità delle ue dinamiche, ricavare la ua funzione di traferimento ed individuare uno chema di controllo con reazione tatica dall ucita tale da tabilizzare, e poibile, il itema a ciclo chiuo. 6. Dato il proceo dicreto G(z)(z)/((z.)(z.3)), determinare il controllore R(z) che aicuri una funzione di traferimento a ciclo chiuo W(z) tale che, in ripota ad un gradino di ampiezza unitaria, fornica in ucita la equenza {y k }{,,.5,.5,.5, }. Quindi, uppoto di applicare quale ingreo la equenza {u k }{,,,,,,, } i calcolino i primi 5 campioni dell ucita u(z) R(z) G(z) y(z)

4 7. Dato il diagramma di BODE della funzione di traferimento a ciclo aperto F() otto riportata (non ci ono poli a parte reale poitiva) determinare la rete compenatrice R() tale da aicurare ω t > rad/ec e m φ >4. Tracciare quindi il diagramma di NICHOLS della funzione compenata F'()F()R() e determinare u di eo il modulo alla rionanza Mr e la banda paante a 3 Decibel. db Modulo Fae ii

5 Schema a Blocchi, Routh (A) C A U() D B Y() W() ABC ABC CD( A) W( ) : Kc Kc ponendo abbiamo il nuovo polinomio caratteritico: denw : Kc eendo alcuni coefficienti negativi non eite alcun valore di K che rende il itema tabile con radici a initra del punto. feb3 Univerità degli Studi Roma Tre

6 Schema a Blocchi, Routh (B) C A U() D B Y() W() AC( D) CD( AB ) AC( D) W( ) : Kc Kc ponendo abbiamo il nuovo polinomio caratteritico: denw : Kc eendo alcuni coefficienti negativi non eite alcun valore di K che rende il itema tabile con radici a initra del punto. feb3 Univerità degli Studi Roma Tre

7 Laplace (A) U( ) : e ( ) G( ) : 4 3 U( ) : Y( ) : ( 4 3 ) 6 39 I 6 39 I Yd( ) : 3I 3 I 3 4 Yd( ): y( t ): 3 e( t ) co( 3 t ) 39 e( t ) in( 3 t ) 3 y( ) : 3 y( t ) : 3 t e ( t ) co ( 3 t 3 ) ( ) δ δ ( ) 39 t e ( t ) in ( 3 t 3 ) δ ( ) 3 t feb3 Univerità degli Studi Roma Tre 3

8 Laplace (B) U( ) : e ( ) G( ) : 6 8 U( ) : Y( ) : ( 6 8 ) I I Yd( ) : 3 3I 3 3 I 8 6 Yd( ): y( t ): 8 e( 3 t ) co( 3 t ) 8 e( 3 t ) in( 3 t ) 8 y( ) : 8 y( t ) : 8 t e ( 3 t 6 ) co ( 3 t 6 ) ( ) δ δ ( ) 8 t e ( 3 t 6 ) in ( 3 t 6 ) δ ( ) 8 t feb3 Univerità degli Studi Roma Tre 4

9 Sintei Permanente, Diturbo Kd3 per avere il guadagno a ciclo chiuo richieto, h per avere un itema di controllo di tipo (errore finito per ingreo a rampa) Kc> in coneguenza della pecifica ull errore. Il itema a ciclo aperto ha un polo a parte reale poitiva ed il diagramma di Nyquit non gira intorno al punto. Ne egue che il itema a ciclo chiuo NON è aintoticamente tabile e quindi non ha eno calcolarne i margini di tabilità. feb3 Univerità degli Studi Roma Tre 5

10 Bode 6 Modulo 4 db 4 6 Blu: aintotico Verde: andamento vero Fae feb3 Univerità degli Studi Roma Tre 6

11 Sintei Rete 4 Modulo 3 db R att 3.7 ().7 / Fae feb3 Univerità degli Studi Roma Tre 7

12 Nichol db.5 db db 3 db 6 db db db 3 db 6 db db db 3 4 db Modulo ad anello chiuo W F/F 4 3 db Kw., B3775.6rad/ec, B696.99rad/ec, Mr. feb3 Univerità degli Studi Roma Tre 8

13 Digitale (AB) L ucita deiderata è Y z) 4z U z z z z ( ( z ) e tenuto conto che l ingreo è un gradino unitario la cui Ztraformata è ( z ) i ha che ( ) W z z z z Y( z) z ( z ) z.5 3 U( z) z z z 4 Ora dato che tale W(z) ripetta le condizioni di fiica realizzabilità (ritardo intrineco non inferiore a quello del proceo) e che la G(z) non ha poli al di fuori del cerchio di raggio unitario e che l unico zero di G(z) ul cerchio di raggio unitario è anche uno zero di W(z), è poibile applicare la tecnica di intei diretta. Per cui ( ) R z W G ( ) G W W ( z.)( z.3) N D N D N z z 3 4 Per il calcolo dell ucita, tenuto conto che il egnale di ingreo è pari a ( ) U z 4 3 z z z z 3 3 z z z z z i ha che l ucita è pari a ( ) W( z) U( z) Y z ( ) ( ) z 5 ( z ) 6 4z da cui utilizzando il metodo della grande diviione i ricava che {y k }{,,.5,.5,.5} feb3 Univerità degli Studi Roma Tre 9

14 Spazio di Stato (A) 3 A ; B ; C [ ] Il itema è già in forma di Jordan per cui poiamo tudiare eparatamente le dinamiche aociate ai ingoli blocchi. L'autovalore in 3 è ovviamente controllabile (c'è il in B) ed oervabile (c'è il in C). Gli autovalori in ono controllabili (in B l' i trova ull'ultima equazione) ma olo in parte oervabile (l' della C è ulla terza equazione: la econda variabile non i affaccia mai in ucita ne influenza le altre equazioni). Il itema arebbe ancora tabilizzabile in quanto la dinamica non oervabile è comunque tabile. Per verificare la tabilizzabilità del itema con la reazione tatica dall'ucita calcoliamo la F.d.T. del itema che ovviamente, vita la forma di Jordan, arà: ( ) ( 3) 7 F () con u Ky, abbiamo a ciclo chiuo K 6 K( 7) 7 ( K ) 6 7K K 6 per avere tabilità dovrebbe eere:, K > 6 7K > che ono oddifatte da: K > feb3 Univerità degli Studi Roma Tre

15 Spazio di Stato (B) 3 A 3 ; B ; C [ ] 4 Il itema è già in forma di Jordan per cui poiamo tudiare eparatamente le dinamiche aociate ai ingoli blocchi. L'autovalore in 4 è ovviamente controllabile (c'è l' in B) ed oervabile (c'è l' in C). Gli autovalori in 3 non ono controllabili (in B l' i trova ulla prima equazione, la econda non è mai raggiunta dall'ingreo u o influenzata da altre variabili di tato) e però completamente oervabile (l' della C è ulla terza equazione: la econda variabile non i affaccia mai in ucita ne influenza le altre equazioni). Il itema arebbe ancora tabilizzabile in quanto la dinamica non controllabile è comunque tabile. Per verificare la tabilizzabilità con la reazione tatica dall'ucita calcoliamo la F.d.T. del itema che ovviamente, vita la forma di Jordan, arà: ( 3) ( 4) F () con u Ky, abbiamo a ciclo chiuo 4 3 K K( ) ( K) K K per avere tabilità dovrebbe eere: ( K) > K > che però NON ha oluzione: il itema NON è tabilizzabile!!!! feb3 Univerità degli Studi Roma Tre