Modellizzazione e controllo

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1 Scuola univeritaria profeionale della Svizzera italiana Dipartimento Tecnologie Innovative Gianluca Montù e Mikael Bianchi

2 2 Gianluca Montù e Mikael Bianchi

3 Indice Modellizzazione di itemi elettromeccanici 7. Preliminari matematici: la traformata di Laplace La traformata di una derivata La traformata di un integrale Traformata di una funzione a gradino La traformata di una rampa La traformata di una parabola Interpretazione della variabile Modellizzazione tramite la traformata di Laplace Modellizzazione di itemi meccanici Modellizzazione di circuiti elettrici Rappreentazione a blocchi L eempio del motore DC Controllo ad anello aperto, chiuo ed analii dell errore 9 2. Il controllo ad anello aperto Limiti del controllo ad anello aperto Il controllo ad anello chiuo Analii dell errore allo tato finito e di un riferimento a gradino e di una rampa e di una parabola Analii dell errore applicata ad una retroazione non unitaria Poizionamento analitico dei poli I controllori P., P.I. e P.I.D Il controllore proporzionale Il controllore proporzionale-integrale Il controllore proporzionale-integrale-derivativo Poizionamento analitico dei poli Sintei del parametro P di un controllore proporzionale applicato ad un itema di primo ordine Sintei dei parametri P e I di un controllore proporzionaleintegrale applicato ad un itema di primo ordine Sintei dei parametri P, I, D di un controllore proporzionaleintegrale-derivativo applicato ad un itema di econdo ordine 33 Gianluca Montù e Mikael Bianchi 3

4 4 Metodi frequenziali La traformata di Fourier Il diagramma di bode in regolazione Deign di un controllore PD baato ul diagramma di bode Deign di un controllore PI baato ul diagramma di bode Gianluca Montù e Mikael Bianchi

5 Introduzione Compito dell ingegnere è di comprendere i materiali e le forze preenti in natura, e di adoperarle per riolvere problemi tecnici. In particolare il controllita i occupa di comprendere i itemi e modificarne il comportamento per raggiungere le pecifiche richiete. L atto di comprendere richiede un atrazione del problema che può includere delle emplificazioni con determinate aunzioni ed una delimitazione del proceo reale. In queto eno la comprenione del proceo può venir effettuata a diveri livelli, ad eempio tramite la modellazione fiica, la modellazione empirica o la emplice oervazione del uo comportamento. Ad eempio la caratterizzazione o di un elicottero o il ricaldamento di un locale poono venir modellati fiicamente, in quanto i principi fiici che influenzano queti procei ono conociuti. La modellazione di un proceo chimico potrebbe richiedere per contro l auilio di modelli empirici, poichè le reazioni chimiche non ono generalmente facili da caratterizzare. L atto di modificare il comportamento di un itema richiede l introduzione di nuovi componenti che permettono di raggiungere gli obiettivi deiderati. Riprendendo gli eempi opracitati, i peni ai enori, all elettronica e agli attuatori neceari per tabilizzare il volo dell elicottero o al termotato per regolare la temperatura del locale. La fida per il controllita conite nell eere in grado di modellare un itema e di controllarlo per ottenere il comportamento deiderato. Un itema regolato conite in un inieme di componenti collegati tra di loro che compongono un itema configurato in grado di fornire un comportamento deiderato. Un proceo da regolare può venir rappreentato con un blocco, come motra la figura il proceo é compoto da un entrata (attuazione) che influenza il comportamento dell ucita (miura) del egnale che i vuole controllare. Queto genere di rappreentazione quantifica la relazione tra entrate e ucite del itema. Generalmente non tutte le entrate del itema ono influenzabili direttamente, in queto cao il proceo è affetto da una diturbi miurabili o non miurabili. Figura 2 motra Diturbo Entrata Proceo Ucita Figura : Proceo da controllare invece una emplice attuazione del proceo per permettere di raggiungere l ucita di riferimento deiderata. Un attuazione ad anello aperto utilizza un attuatore per influenzare direttamente il proceo, enza però aver una verifica ull ucita effetti- Gianluca Montù e Mikael Bianchi 5

6 va del itema e correzione dell attuazione. Un diturbo o errore di modellazione dell attuazione può perciò cauare una reazione dell ucita del itema differente da quella voluta. Al contrario dell attuazione ad anello aperto il controllo ad anello Riferimento in ucita Attuazione Proceo Diturbo Ucita Figura 2: Attuazione emplice di un proceo da controllare chiuo utilizza la miura in ucita per correggere l entrata del itema. Generalmente viene calcolata la differenza tra riferimento e miura per ottenere la correzione del controllo, come rappreentato in figura 3 Uno chema più generico del controllo Riferimento in ucita + Controllo Proceo Ucita Figura 3: Controllo di un proceo tramite retroazione del egnale in ucita. è rappreentato in figura 4. Quando poibile il controllo (retroazione della miura) è utilizzato unicamente per correggere un errore tra riferimento e miura. L ineguimento di una determinata traiettoria di riferimento da parte del proceo con una dinamica deiderata viene effettuata dal blocco di feedforward. Inoltre e i diturbi ono conociuti e miurati i può pure effettuare una precompenazione per annullarne o ridurne l effetto. Feedforward Compenazione del diturbo Diturbo Prefiltro Riferimento in ucita + Controllo + Proceo Ucita Figura 4: Schema generico di un poibile controllo. 6 Gianluca Montù e Mikael Bianchi

7 Capitolo Modellizzazione di itemi elettromeccanici In queto capitolo i decrive un metodo emplice di modellizzazione matematica di itemi fiici. La intei di un modello è, infatti, il primo e più importante pao nella realizzazione di un controllo efficace.. Preliminari matematici: la traformata di Laplace La traformata di Laplace L (f(t)) è un operazione che effettua un determinato cambio di variabile da una funzione f(t), eprea nella variabile reale t, in una nuova funzione F() eprea nella variabile complea. Come vedremo tale cambio permette di traformare equazioni differenziali in equazioni ordinarie facilmente manipolabili. La definizione matematica della traformata è la eguente: L (f(t)) = F() = + 0 f(t) e t d(t) (.) Nel proeguo del coro la variabile reale t arà il tempo... La traformata di una derivata Conideriamo una funzione f(t) tale che: { f(0) = 0 f(0) = 0 Ovviamente non è neceario dal punto di vita matematico Gianluca Montù e Mikael Bianchi 7

8 Applicando la definizione (.) calcoliamo la traformata di Laplace di f(t): ( ) L f(t) = + f(t) e t d(t) = 0 = f(t) e t + + f(t) e t d(t) = 0 }{{} 0 }{{} 0 L(f(t)) = L (f(t)) = F() Quindi la traformata di Laplace di una derivata è pari a alla traformata della funzione non derivata moltiplicata per : L ( ) f(t) = F() (.2) Ovviamente per calcolare una derivata di ordine n è ufficiente iterare l epreione (.2): L (f n (t)) = n F() (.3) Dal punto di vita applicativo i conideri la eguente equazione differenziale lineare: A ẍ(t)+b ẋ(t)+c x(t)+λ(t) = 0 Applicando la traformata di Lapalce i riduce a un equazione ordinaria in : { L (A ẍ(t)+b ẋ(t)+c x(t)+λ(t)) = L(0) A 2 X()+B X()+C X()+Λ() = 0 La econda equazione, riolta ripetto a X(), fornice il riultato: Λ() G() = X() Λ() = A 2 +B +C Dove G() è detta funzione di traferimento tra X() e Λ(). Inoltre, dal punto di vita matematico, è poibile applicare la formula di traformazione invera di Laplace e ricavare la oluzione eplicita x(t) La traformata di un integrale Partendo dall equazione (.2) poiamo facilmente ricavare la traformata di Laplace di un integrale. Data h(t) tale che: h(t) = f(t) d(t) (.4) 2 Tale teoria eula dagli copi del preente coro, lo tudente intereato potrà approfondire conultando un teto di analii complea 8 Gianluca Montù e Mikael Bianchi

9 Riulta ovviamente ḣ(t) = f(t) Traformando l ultima epreione tramite Laplace, ) L (ḣ(t) = L (f(t)), e applicando l equazione (.2), L (h(t)) = L (f(t)), i ottiene: ( L ) f(t) d(t) = F() (.5) dove è tata otituita h(t) con l integrale di f(t) come da equazione (.4)...3 Traformata di una funzione a gradino Si conideri la funzione u(t) tale che: u(t) = { 0 e t < 0 e t 0 (.6) tale funzione è detta funzione a gradino centrata in 0 e rivete una notevole importanza nell ambito del controllo. Applicando ad u(t) la traformata di Laplace riulta: U() = L (u(t)) = + 0 e t d(t) = e t = Tale riultato verrà ampiamente fruttato nel proeguo del coro...4 La traformata di una rampa Si conideri la funzione u(t) tale che: 0 u(t) = { 0 e t < 0 a t e t 0 (.7) dove a è una cotante reale. La traformata di Laplace U() di u(t) riulta: + U() = L (u(t)) = a t e t d(t) = 0 [ = a ] (.8) + e t d(t) = a 0 2 dove i è fruttata la traformata della ripota al gradino. Gianluca Montù e Mikael Bianchi 9

10 ..5 La traformata di una parabola Si conideri la funzione u(t) tale che: { 0 e t < 0 u(t) = a 2 t2 e t 0 dove a è una cotante reale. La traformata di Laplace U() di u(t) riulta: (.9) U() = L (u(t)) = a = a [ t e t d(t) t 2 e t d(t) = 0 ] dove i è fruttata la traformata della ripota alla rampa...6 Interpretazione della variabile = a 3 (.0) Queto paragrafo non intende appoggiari a dimotrazioni matematiche rigoroe, che ono laciate ai cori di analii dati, quanto fornire un idea qualitativa del ignificato della variabile complea. Allo copo conideriamo la eguente equazione differenziale: ÿ(t) A y(t) = 0 (.) Come noto l integrazione dell equazione prevede l ipotei: y(t) = K e r t Sotituendo l ultima epreione nell equazione differenziale otteniamo: K r 2 e r t K A e r t = 0 r 2 A = 0 r = ± A Eendoci due cotanti r lo pazio totale delle oluzioni è dato dalla combinazione lineare di entrambe le funzioni: y(t) = K e A t +K 2 e A t (.2) Applichiamo ora la traformata di Laplace all equazione (.): 2 Y()+A Y() = 0 2 A = 0 = ± A come i vede, in queto cao, le variabili che riolvono il itema ono totalmente reali e rappreentano i coefficienti r all eponente della oluzione nel tempo (.2). 0 Gianluca Montù e Mikael Bianchi

11 Si noti che, e una oluzione è poitiva (polo poitivo), il termine relativo e t diverge, in queto cao i parla i itema intabile. Conideriamo ora la eguente equazione differenziale: ÿ(t)+a y(t) = 0 (.3) Procedendo come opra riulta: K r 2 e r t +K A e r t = 0 r 2 +A = 0 da cui la oluzione nel tempo: r y(t) = K e i A t +K 2 e i A t = ±i A come noto imponendo le opportune condizioni iniziali K =K 2 =K: ( ) ( ) y(t) = K e i A t +e i A t e = 2 K i A t +e i A t = 2 ( ) (.4) = 2 K co A t Applicando la traformata di Laplace alla (.3) otteniamo: = ±i A in queto cao è puramente complea e, confrontando con la (.4), notiamo come il modulo ( A) rappreenti la pulazione ω della oluzione (.4). Coniderandoche,ingenerale,ècaraterizzataiadaunaparterealechedaunaparte immaginaria poiamo affermare che la parte reale (e negativa) rappreenta la velocità di decadimento della oluzione y(t), e poitiva rappreenta la velocità con cui y(t) diverge, mentre la parte complea rappreenta la pulazione (o la frequenza) con cui y(t) ocilla..2 Modellizzazione tramite la traformata di Laplace Siamo ora in grado di applicare la teoria precedentemente viluppata alla modellizzazione fiica..2. Modellizzazione di itemi meccanici Conideriamo le leggi di Newton che decrivono la dinamica di un corpo rigido nel cao planare: { i 0 F i(t) = m ẍ(t) j 0 τ j(t) = J α(t) (.5) Gianluca Montù e Mikael Bianchi

12 dove F i e τ i ono ripettivamente le forze e le coppie che agicono ul corpo, m la maa, Jilmomentodiinerziaripettoall aedirotazione, x(t)lapoizioneeα(t)la coordinata angolare relativa all ae di rotazione. Le equazioni (.5) rappreentano il modello differenziale del itema e, per eere utili ai fini del controllo, devono eere modificate applicando la traformata di Laplace (.): ( i ) L 0 F i(t) = m 2 X() ( j ) (.6) L 0 τ j(t) = J 2 α() dove i è fruttata l equazione (.3). Le equazioni (.6) ono dette modello del itema nello pazio di Laplace e poono ervire da bae di partenza per la intei degli algoritmi di controllo. Per poter fruttare concretamente le equazioni (.6) dobbiamo eplicitare alcune delle poibili forze F i e coppie τ i, le principali ono le eguenti: Tipo di forza Nel dominio del tempo Nel dominio di Laplace Forza elatica F k = K x(t) F k = K X() Forza di attrito vicoo F β = β ẋ(t) F β = β X() Coppia elatica τ θ = K θ x(t) τ θ = K θ X() Coppia di attrito vicoo τ β = β θ θ(t) τ β = β θ Θ() Tabella.: Forze meccaniche rappreentate nel dominio del tempo e di Laplace dove le formule nel dominio di Laplace ono tate ottenute applicando la (.2). Eempio Si trovi il modello nello pazio di Laplace di un itema compoto da una maa M collegata ad una molla di cotante elatica K e ad uno morzatore (pitone) di coefficiente di attrito vicoo β, come motrato in figura.. K β x(t) Figura.: Sitema maa-molla-morzatore Inerendo le formule preenti in tabella. nella prima delle equazioni (.6) otteniamo: M 2 X() = β X() K X() Eempio 2 Coniderando il itema dell eempio precedente i aggiunga una forza eterna f(t) agente ulla maa. La prima delle equazioni (.6) ci permette di fruttare il modello precedentemente intetizzato ed aggiungere emplicemente la forza F(): M 2 X() = β X() K X()+F() 2 Gianluca Montù e Mikael Bianchi

13 Eempio 3 Coniderando il itema dell eempio precedente i calcoli la funzione di traferimento G() tra la forza eterna F e la poizione X. Sfruttando la definizione di funzione di traferimento precedentemente vita riulta: G() = X() F() = M 2 +β +K dove F() è detta entrata e X() ucita del itema G(), in quanto riulta: X() = G() F().2.2 Modellizzazione di circuiti elettrici In queto cao è ufficiente applicare le note leggi di Kirchhoff, per ogni maglia del circuito riulta: i V i (t) = 0 (.7) 0 dove V i rappreenta la caduta di potenziale ai capi dell i-eimo componente. Per ogni nodo: j I j (t) = 0 (.8) 0 dove I j rappreenta la corrente in entrata/ucita dal j-eimo nodo. Le epreioni delle cadute di potenziale dovute ai claici componenti paivi ono riportate in tabella.2 Componente Nel dominio del tempo Nel dominio di Laplace Reitenza V(t) = R I(t) V() = R I() Condenatore V(t) = I(t) d(t) C V() = C I() Induttore V(t) = L İ(t) V() = L I() Tabella.2: Caduta di potenziale aociata a diveri componenti elettrici nel dominio del tempo e di Laplace Eempio 4 Si trovi il modello di un circuito LRC erie che abbia come ucita la tenione ai capi del condenatore come da figura.2. L analii della maglia fornice la eguente relazione: V in L I I R I C d(t) = 0 nel dominio di Laplace riulta: V in () L I() R I() C I() = 0 Gianluca Montù e Mikael Bianchi 3

14 V in L R C V out Figura.2: Circuito LCR erie La funzione di traferimento tra tenione di ingreo e corrente è dunque: I() V in () = C 2 L C + R C + Poiamo ora calcolare la caduta di tenione V c ul condenatore: V c = C I = 2 L C + R C + V in Ovviamente la funzione di traferimento G() tra V in e V c =V out riulta: G() = V c() V in () = 2 L C + R C + = L C 2 R + C + L C dove i è mea in evidenza la forma monica 3. L C.3 Rappreentazione a blocchi La rappreentazione grafica a blocchi è una tecnica di decrizione dei itemi dinamici ampiamente utilizzata nell ambito del controllo. Inoltre programmi come Matlab/Simulink fruttano la rappreentazione a blocchi come linguaggio grafico per impotare le imulazioni. Poiamo ottenere lo chema a blocchi di un itema dinamico tramite le eguenti regole: - Collegare le funzioni di traferimento elementari che compongono il itema, tale collegamento ha valenza motiplicativa. Ad eempio H() = K è 2 rappreentabile come da figura.3 4. u K y Figura.3: Rappreentazione a blocchi della funzione y = H() u = K 2 u - La rappreentazione della omma o della ottrazione di più funzioni di traferimento i ottiene tramite un nodo ommatore. Ad eempio in figura.4 è rappreentata la relazione y = K 2 u+ u K 2 u 4 Gianluca Montù e Mikael Bianchi

15 K u y K2 Figura.4: Rappreentazione a blocchi della relazione y = K 2 u+ u K 2 u ü F Figura.5: Rappreentazione a blocchi della funzione ü = u+f - Un loop di feedback può eere rappreentato in retroazione, ad eempio la figura.5 rappreenta l equazione differenziale ü = u + F Eempio 5 Si trovi la rappreentazione a blocchi di un itema maa-molla-morzatore coniderando come entrata una forza eterna e come ucita la poizione della maa. Dobbiamo rappreentare l equazione differenziale: 2 X() = M (F β X() K X()) Poiamo procedere nel eguente modo. Rappreentare la velocità come integrale dell accelerazione a e la poizione x come integrale della velocità v. In figura.6 è motrato lo chema. a v x Figura.6: Rappreentazione a blocchi di accelerazione, velocità e poizione 2. Retroazionare le forze dipendenti da velocità e poizione come in figura Sommare tutte le forze come da figura.8 e moltiplicare per M la rappreentazione finale. per ottenere 3 Il coefficiente del termine a maggior eponente è 4 I triangoli rappreentano una moltiplicazione per uno calare Gianluca Montù e Mikael Bianchi 5

16 a v x B K Figura.7: Retroazione delle forze dipendenti da velocità e poizione F /M a v x B K Figura.8: Rappreentazione a blocchi di un itema maa-molla.4 L eempio del motore DC In queto paragrafo i frutta quanto appreo per ottenere il modello di un motore a corrente continua. Queto particolare eempio permette di fruttare la rappreentazione a blocchi all invero in modo da ottenere nuove equazioni differenziali (divere da quelle di partenza) utili al controllita. Il motore DC è compoto da una reitenza, detta reitenza di armatura, e da un induttanza di armatura pote in erie come motrato in figura.9. Il genera- V in L R V e Figura.9: Parte elettrica di un motore DC tore V in alimenta il itema, mentre V e è la tenione invera dovuta alla velocità meccanica del motore 5 : V e = K ω (.9) Applicando l equazione (.7) alla maglia otteniamo la funzione di traferimento G e tra la differenza dei potenziali V in -V e e la corrente I: G e = I (V in V e ) = L +R 5 Per una decrizione completa dei principi fiici i veda [], capitolo 4 (.20) 6 Gianluca Montù e Mikael Bianchi

17 Dal punto di vita meccanico il motore è rappreentabile con un rotore di inerzia J collegato ad uno morzatore vicoo di coefficiente β. La funzione di traferimento G m tra la coppia τ applicata la rotore e la velocità angolare riulta: G m = ω τ = J +β (.2) La potenza elettrica diipata dal generatore V e riulta: P e = V e I = K ω I, la potenza meccanica: P m = τ ω Coniderando un motore ideale (enza diperioni) riulta: P e = P m, dall ultima identità ricaviamo l epreione della coppia τ: τ = K I (.22) Abbiamo ora tutti gli elementi neceari alla intei dello chema a blocchi di un motore DC. - Circuito elettrico: coniderando come entrata la differenza V in V e e come ucita la corrente I i ottiene lo chema a blocchi motrato in figura.0 Vin /(*L+R) I Ve Figura.0: Rappreentazione a blocchi del circuto elettrico di un motore DC - Meccanica: coniderando come entrata la differenza la coppia τ e come ucita la velocità angolare ω i ottiene lo chema a blocchi motrato in figura., dove i è coniderata anche una coppia eterna τ ext dovuta al carico collegato al rotore. - Sfruttando le equazioni (.9) e (.22) otteniamo lo chema completo di un motore DC motrato in figura.2 Gianluca Montù e Mikael Bianchi 7

18 T /(*J+B) w Text Figura.: Rappreentazione a blocchi della meccanica di un motore DC Vin /(*L+R) I K T /(*J+B) w Text Ve K Figura.2: Rappreentazione a blocchi completa di un motore DC Poiamo ora fruttare lo chema a blocchi completo per ricavare la funzione di traferimento G ω () tra la tenione di ingreo V in e la velocità angolare ω. Coniderando T ext = 0 percorriamo, partendo da ω, lo chema a blocchi al contrario: ω ω = ) ( + K 2 ( J+β) ( L+R) J+β K L+R (V in K ω) = V in K ( J+β) ( L+R) G ω () = K ( J+β) ( L+R)+K 2 8 Gianluca Montù e Mikael Bianchi

19 Capitolo 2 Controllo ad anello aperto, chiuo ed analii dell errore Controllare un itema lineare caratterizzato da entrate ed ucite ignifica garantire che una o più ucite del itema eguano una traiettoria deiderata grazie alla modifica di una o più entrate, tale traiettoria è detta riferimento. In queto capitolo ci occuperemo di definire il ignificato di controllo in catena aperta, dove non vengono miurate le ucite del itema ed il controllo in catena chiua, dove la miura delle ucite del itema è un informazione utilizzata per modificarne il comportamento. Le tecniche di controllo che vedremo nel reto del teto ono tate viluppate per itemi Lineari Tempo Invarianti (LTI) cioè itemi lineari i cui parametri 2 ono invariati nel tempo. 2. Il controllo ad anello aperto Ipotizziamo di dover controllare un itema LTI con una ola entrata e una ola ucita (SISO ingle input, ingle output). In queto cao, e voleimo garantire un ucita del itema pari al riferimento, la funzione di traferimento ideale G ol () tra il riferimento R() e l ucita Y() dovrebbe eere l identità, infatti e G ol () = I riulta: Y() = G ol () R() = R() (2.) Il controllo in catena aperta (open loop o in catena aperta) conite nell interporre un itema (non neceariamente lineare), detto controllore, tra il riferimento e l entrata del itema LTI in modo da ottenere la eguente relazione: Y() = G ol () R() = ctr() G() R() (2.2) dove le ctr() e G() ono ripettivamente le funzioni di traferimento del controllore e del itema. In figura 2. è motrata la rappreentazione a blocchi dell equazione (2.2). Per Parte del teto riprende [2] 2 Ad eempio la maa e la cotante elatica in un maa-molla Gianluca Montù e Mikael Bianchi 9

20 R() ctr G Y() Figura 2.: Rappreentazione a blocchi di un controllo ad anello aperta ottenere la relazione ideale (2.) deve valere: G ol = I ctr() G() = I ctr() = G () (2.3) Come vito in cori precedenti (ad eempio dinamica e tabilità) un itema lineare per eere realizzabile deve eere cauale e quindi, nello pazio di Laplace, deve poedere un denominatore di ordine maggiore o uguale al numeratore; è dunque poibile realizzare ctr() = G () e e olo e l ordine del numeratore di G() è pari all ordine del denominatore. Nella tragrande maggioranza dei cai l invera di G () avrà un numeratore maggiore del denominatore. Il problema i riolve aggiungendo un filtro F(): ctr() = G () F() (2.4) dove il grado di F() deve eere tale da rendere ctr() cauale. Ovviamente queta oluzione è olo un approimazione della (2.2), i poli del filtro F() dovranno quindi eere celti in modo da oddifare le pecifiche richiete dal controllo. Inoltre, nel range di frequenze in cui il itema dovrà operare, il guadagno di F() dovrà eere (idealmente) unitario. Eempio 6 Si realizzi un controllo ad anello aperto ideale del itema: G() = +2 + e e ne verifichi la bontà tramite l oervazione della ripota al gradino. Il grado del numeratore numeratore corriponde a quello del denominatore, poiamo quindi applicare la (2.3): ctr() = G () = + +2 di coneguenza G ol () riulta: G ol () = = I Per verificare la bontà del controllore confrontiamo la ripota al gradino di G() 3 : Y() = G() 3 Simulandola, ad eempio, con il comando tep di Matlab 20 Gianluca Montù e Mikael Bianchi

21 con la ripota al gradino di G ol (): Y() = G ol() ovvero la ripota del itema controllato al riferimento R() =. In figura 2.2 è preentato il confronto tra le ripote del itema controllato (linea continua) e del itema non controllato (linea tratteggiata). Come i nota il itema non controllato diverge. Figura 2.2: Confronto tra le ripote al gradino Eempio 7 Si realizzi il controllo ad anello aperto del itema: G = e e ne verifichi la bontà tramite l oervazione della ripota al gradino. In queto cao non poiamo limitarci ad invertire la funzione di traferimento in quanto riulterebbe un grado del denominatore minore del grado del numeratore. È quindi neceario coniderare un filtro F(). Come vedremo meglio in eguito, per evitare che il filtro influenzi il comportamento del itema controllato, è neceario che i poli di F() iano 5/6 volte maggiori dei poli del itema G() o dei poli richieti dalle pecifiche. Nel notro cao i poli di G ono = e 2 = quindi i poli di F() dovranno eere almeno a -5. Per garantire che ctr() di ia cauale dobbiamo porre il denominatore di F() almeno di grado ed il numeratore di grado 0. Ad eempio: F() = 5 +5 dove il valore del numeratore è tato celto per garantire un guadagno unitario a bae frequenze. Il controllore riulta: ctr() = F() G () = Gianluca Montù e Mikael Bianchi 2

22 e la funzione in catena aperta: G ol = In figura 2.3 ono preentate le ripote al gradino del itema controllato (linea continua) e del itema non controllato (linea tratteggiata). Step Repone.4.2 Amplitude Time (ec) Figura 2.3: Confronto tra le ripote al gradino 2.. Limiti del controllo ad anello aperto Oervando gli eempi precedenti i potrebbe penare che, grazie al controllo ad anello aperto, ia poibile getire qualiai itema dinamico. Purtroppo ciò è vero unicamente e il modello del itema riulta perfettamente aderente alla realtà e e è garantita la totale aenza di diturbi. Infatti queto tipo di controllo non reagice in alcun modo a divergenze tra il riferimento e l ucita del itema. Ipotizziamo ad eempio che all ucita del itema controllato coniderato nell eempio 6 venga ommato un diturbo inuoidale. In figura 2.4 è preentato il confronto tra la ripota ideale ed affetta dal diturbo, come i nota il controllo non reagice in alcun modo. Il controllo ad anello aperto riulta dunque inapplicabile nella maggior parte dei cai reali, come vedremo è invece utile e combinato con tecniche di controllo ad anello chiuo. 2.2 Il controllo ad anello chiuo Per ovviare ai problemi precedentemente evidenziati, è neceario viluppare un controllore in grado di reagire alle variazioni indeiderate dell ucita del itema che i deidera controllare. La oluzione più generica al problema è detta controllo ad anello chiuo (cloed loop o a catena chiua) ed il ripettivo chema a blocchi è preentato in figura 2.5, dove R() è il riferimento, Y() l ucita del itema controllato G() ed, e H()=I, E() l errore tra il riferimento e l ucita (vale a dire la 22 Gianluca Montù e Mikael Bianchi

23 Figura 2.4: Ripota al gradino diturbata (linea tratteggiata), ripota al gradino non diturbata (linea continua) R() E() ctr U() G Y() H Figura 2.5: Controllo in catena chiua: chema a blocchi ottrazione tra R() ed Y()). Come ovvio, al contrario del controllo ad anello aperto, l ucita ora non può divergere enza che ciò comporti una reazione da parte del controllore. Gran parte del proeguo del teto i occuperà di fornire al lettore tecniche di intei del controllore ctr(). Sempre coniderando il blocco H()=I, il meccanimo è abbatanza intuitivo: al crecere dell errore E() l algoritmo di controllo ctr() dovrà regolare U() in modo da ridurre l errore. Il blocco H() rappreenta un filtro applicato alla lettura del egnale di ucita Y(), anche e non pecificatamente inerito dall utente tale blocco è preente in quanto rappreenta la funzione di traferimento del enore di lettura. Speo però la dinamica del enore è tale per cui H() può eere coniderato un guadagno unitario (H()=) 4, in queto cao la funzione di traferimento ad anello chiuo G cl () tra il riferimento R() e l ucita Y() può eere agevolmente calcolata a partire dallo chema a blocchi 2.5: Y() Y() (+G() ctr()) = Y() = = G() ctr() (R() Y()) G() ctr() R() G() ctr() +G() ctr() R() 4 Vale a dire che il enore è molto più rapido delle frequenze proprie del itema Gianluca Montù e Mikael Bianchi 23

24 Quindi: G cl = G() ctr() +G() ctr() (2.5) Analogamente, e conideriamo una retroazione non unitaria: G cl = G() ctr() +G() ctr() H() (2.6) 2.3 Analii dell errore allo tato finito Conideriamo ora una retroazione unitaria (feedback unitario), come motrato in figura 2.6 dove G ol () è la funzione di traferimento in catena aperta del controllore in erie al itema. Poiamo calcolare l epreione di E(): R() E() Gol Y() Figura 2.6: Feedback unitario: chema a blocchi E() = R() Y() E() = R() E() G ol () E() = R() I+G ol () (2.7) Applicando il teorema allo tato finito per ricavare il valore di E() dopo un tempo t riulta: R() e = lim E() = lim 0 0 I +G ol () (2.8) A partire dalla (2.8) è quindi poibile calcolare che errore commetterà un algoritmo di controllo dopo un tempo infinito coniderando uno pecifico egnale di rifermento R(). Per contro la formula non fornice indicazione ul tempo in cui il itema raggiungerà queto tato e di un riferimento a gradino Conideriamo un riferimento a gradino: R() = 24 Gianluca Montù e Mikael Bianchi

25 e applichiamo queto riferimento al itema retroazionato di figura 2.6. Laformula(2.8)permettedicalcolaree coniderandolafunzioneditraferimento 5 : j=m j= G ol () = (+z j) n i=n i= (+p i ) = (+z ) (+z 2 ) [...] (2.9) n (+p ) (+p 2 ) [...] Riulta: e = lim 0 ( ) R() I+G ol () e = lim 0 ( +G ol () e = = ( ) +lim 0 (G ol ()) (+z ) (+z +lim 2 ) [...] 0 n (+p ) (+p 2 ) [...] + z z 2 [...] p p 2 [...] ) coneguentemente e eite almeno un polo a zero e =0, mentre negli altri cai riulta: e = = (2.0) +K p Dove K p è detta cotante di poizione: K p = lim 0 (G ol ()) (2.) e di una rampa Conideriamo un riferimento r(t) rappreentante una rampa: r(t) = t nello pazio di Laplace riulta: R() = 2 Applicando la formula (2.8) otteniamo: ) R() e = lim 0 ( I+G ol () ) ( e = lim 0 ( 2 +G ol = lim () 0 e = + G ol () = ( ) lim 0 ( G ol ()) (+z lim ) (+z 2 ) [...] 0 n (+p ) (+p 2 ) [...] in queto cao e = 0 e il itema ha almeno 2 poli a zero, e invece riulta un unico polo a zero: dove: e = K v = p p2 [...] z z 2 [...] ) (2.2) K v = G ol () (2.3) è detta cotante di velocità. Se non ci ono poli a zero, K v = 0 e e =. 5 È la formulazione più generale di una funzione di traferimento LTI Gianluca Montù e Mikael Bianchi 25

26 2.3.3 e di una parabola Conideriamo un riferimento r(t) tale che: r(t) = 2 t2 nello pazio di Laplace riulta: R() = 3 Applicando la tea analii effettuata per i due precedenti cai riulta: e = lim 0 ( 2 G ol ()) (2.4) quindi e G ol () ha meno di due poli a zero e =, e ha eattamente due poli a zero: e = lim 0 ( 2 G ol ()) = ( ) (2.5) lim (+z ) (+z 2 ) [...] 0 n 2 (+p ) (+p 2 ) [...] e, e ha più di due poli a zero, e = 0. Anche in queto cao definiamo la cotante di accelerazione K A : K A = lim 0 ( 2 G ol () ) (2.6) Analii dell errore applicata ad una retroazione non unitaria Conideriamo ora una retroazione non unitaria come da chema 2.7. Se al riferimento R() E() ctr U() G Y() H Figura 2.7: Controllo in catena chiua con retroazione non unitaria: chema a blocchi R() ommiamo l ucita Y() la funzione di traferimento completa diventa: G tot = G C +G C H G C Per riottenere il itema 2.7 dobbiamo ottrarre nuovamente Y() come da figura 2.8 Abbiamo quindi ritrovato lo chema a retroazione unitaria, poiamo dunque utilizzare tutte le regole vite per l analii dell errore imponendo: G ol () = G C +G C H G C (2.7) 26 Gianluca Montù e Mikael Bianchi

27 R() G*C/(+G*C*H G*C) Y() Figura 2.8: Controllo in catena chiua con retroazione non unitaria: chema a blocchi Gianluca Montù e Mikael Bianchi 27

28 28 Gianluca Montù e Mikael Bianchi

29 Capitolo 3 Poizionamento analitico dei poli Nel capitolo precedente abbiamo vito i vantaggi di un controllo ad anello chiuo ripetto ad un controllo ad anello aperto. In queto capitolo viene preentata la truttura dei più comuni algoritmi di controllo ad anello chiuo. In eguito viene viluppata una tecnica analitica atta a intetizzare i parametri di queti controllori a partire dalle pecifiche richiete dal controllita. 3. I controllori P., P.I. e P.I.D. In queto paragrafo vengono preentati i noti controllori proporzionale (P.), proporzionaleintegrale (P.I.) e proporzionale-integrale-derivativo (P.I.D.). Queta clae di controllori rappreenta la tragrande maggioranza dei controllori viluppati in ambito indutriale. 3.. Il controllore proporzionale La truttura del controllore proporzionale è preentata in figura 3., i tratta di un R() E() U() Y() P G Figura 3.: Controllore proporzionale emplice fattore P che moltiplica l errore fornendo l attuazione U() in entrata al itema Il controllore proporzionale-integrale La truttura del controllore proporzionale-integrale (P.I.) è preentata in figura 3.2, al fattore P i omma un integrale che integra l errore nel tempo. Il riultato di queta omma viene in eguito moltiplicato per il fattore I, la funzione di traferimento I più utilizzati a livello indutriale Gianluca Montù e Mikael Bianchi 29

30 P R() E() U() Y() G I Figura 3.2: Controllore proporzionale-integrale del controllore riulta: ctr() = P + I = P +I (3.) 3..3 Il controllore proporzionale-integrale-derivativo La truttura del controllore proporzionale-integrale-derivativo (P.I.D.) è preentata in figura 3.3, l elemento D rappreenta la derivata dell errore moltiplicata per P R() E() U() Y() I G D *F Figura 3.3: Controllore proporzionale-integrale-derivativo il fattore D. Ovviamente il itema D non è cauale quindi il filtro F() viene aggiunto garantire la realizzabilità della parte derivativa del P.I.D.. Le regole per intei di F() ono le tee preentate al paragrafo 2.. La funzione di traferimento del controllore, enza coniderare il filtro F, riulta: ctr() = P + I +D = D 2 +P +I (3.2) Come detto, caua del termine D, la (3.2) non è cauale, queta forma, come vedremo, i utilizza per la intei analitica dei parametri P, I, D ed il filtro viene aggiunto in eguito. 3.2 Poizionamento analitico dei poli In queto paragrafo i utilizzano le trutture di controllo preentate precedentemente per imporre la dinamica deiderata. Come vito la dinamica di un itema dipende dalle radici del denominatore della funzione di traferimento (i poli del itema). La trategia di poizionamento analitico dei poli può eere riaunta nelle eguenti fai: - Modellizzazione del itema nello pazio di Laplace. - Scelta della truttura di controllo idonea al controllo del itema in eame (P.,P.I., P.I.D. o altre trutture). 30 Gianluca Montù e Mikael Bianchi

31 - Calcolo della funzione di traferimento ad anello chiuo G cl () fruttando l equazione (2.5). G cl () riulta evidentemente dipendente dai parametri dei controllore. - Sintei del polinomio caratteritico deiderato D de () a partire dalle pecifiche richiete al itema controllato. - Calcolo dei parametri del controllore confrontando il polinomio caratteritico della G cl () (dipendente dai parametri tei) con D de (). In eguito, per comprendere la trategia opracitata, vengono calcolati i parametri di alcuni controllori a partire da generici modelli d eempio Sintei del parametro P di un controllore proporzionale applicato ad un itema di primo ordine Sia dato il itema di primo ordine: G() = k +a i vuole controllare il itema in modo da garantire un polo a P come richieto dalle pecifiche: D de () = +P Utilizzando un controllore proporzionale con coefficiente P ed applicando la (2.5) G cl () riulta: G cl () = k P +a+k P confrontando D de () al denominatore di G cl () riulta: { +a+k P = +P P = P a k Dunque la funzione di traferimento del itema controllato è: G cl () = P a +a+p a Poiamo applicare l equazione (2.0) per calcolare l errore allo tato finito in cao di un entrata a gradino: e = +lim 0 ( P a +a ) = a P per ottenere un errore nullo, e richieto dalle pecifiche, è quindi neceario aggiungere una precompenazione K: K = P a Gianluca Montù e Mikael Bianchi 3

32 R() K P G Y() Figura 3.4: Controllore proporzionale con precompenazione Se realizza coì l anello di controllo preentato in figura 3.4. Evidentemente il fatto che la retroazione ia pota dopo la precompenazione è il punto debole di queta oluzione, ad eempio, eventuali diturbi cotanti in ucita riultano amplificati, allo tato finito, del fattore a. P Nel cao di un ingreo a rampa l errore allo tato finito è evidentemente infinito non eendoci alcun polo a zero. Dunque e G() non preenta poli a zero, utilizzando un controllore P, non è poibile ottenere un errore e < con un ingreo a rampa 2. Infine è neceario ottolineare che il controllore proporzionale, applicato ad un itema di primo ordine, premette di di oddifare una ola pecifica dinamica 3 ad eempio o il tempo di alita T o la ovraelongazione (% OS) Sintei dei parametri P e I di un controllore proporzionale-integrale applicato ad un itema di primo ordine Sia dato il itema: G() = k +a in queto eempio le pecifiche pretendono che la funzione di traferimento ad anello chiuo preenti due poli a P e a P2: D de () = (+P) (+P2) = 2 + (P+P2)+P P2 Ovviamente un controllore proporzionale premette di piazzare olo un polo, è dunque neceario utilizzare almeno un controllore P.I.: ctr() = P + I = P +I La funzione di traferimento ad anello chiuo G cl () riulta allora: G cl () = P k +I k 2 + (P k +a)+i k Al fine di imporre D de pari al P.C. di G cl () poiamo emplicemente paragonare i coefficienti dei due polinomi: { P+P2 = P k +a P P2 = I k 2 A maggior ragione non è poibile ottenerlo con riferimento a parabola o di ordine uperiore 3 Perchè permette di piazzare un olo polo 32 Gianluca Montù e Mikael Bianchi

33 Riulta: { P = P+P2 a k I = P P2 k La funzione di traferimento G cl () del itema controllato è: G cl () = (P+P2 a)+p P2 2 + (P+P2)+P P2 Svolgendo l analii dell errore allo tato finito notiamo che e = 0 per un riferimento a gradino, quindi non è necearia alcuna precompenazione. Se invece le pecifiche richiedeero e = 0 nel cao di un riferimento a rampa, i dovrebbe ricorrere ad una precompenazione. Per riferimenti di ordine uperiore (parabola, ad eempio) e =, quindi non è poibile controllare il itema con un P.I.. Ripetto al controllo proporzionale il P.I., applicato ad un itema di primo ordine, permette di fiare un numero maggiore di pecifiche, ad eempio il tempo di alita T e la vraelongazione (% OS). Infine ottolineamo che, applicando un controllore P.I. ad un itema di econdo ordine, i ottiene un P.C. (cloed-loop) di terzo ordine. Dato che i parametri di controllo ono due (P e I) è poibile piazzare olo due dei tre poli, biogna dunque verificare che il terzo polo non ia intabile o in conflitto con le pecifiche Sintei dei parametri P, I, D di un controllore proporzionale-integralederivativo applicato ad un itema di econdo ordine Sia dato il itema di econdo ordine: k G() = 2 +a +b Si vuole controllare il itema utilizzando un controllore P.I.D. : ctr() = D+P + I = 2 D+P +I La funzione ad anello chiuo G cl () riulta: G cl () = 2 D k + P k +I k (D k +a)+ (P k +b)+i k Dove il P.C. è del terzo ordine, di coneguenza i poli da piazzare (ricavati ulla bae di pecifiche di controllo) ono tre: D de = (+P) (+P2) (+P3) = (P+P2+P3)+ + (P P2+P P3+P2 P3)+P P2 P3 Procediamo paragonando i coefficienti del P.C. a quelli di D de : P k +b = P P2+P P3+P2 P3 I k = P P2 P3 D k +a = P+P2+P3 Gianluca Montù e Mikael Bianchi 33

34 I parametri P, I, D riultano dunque: P = P P2+P P3+P2 P3 b k I = D = P P2 P3 k P+P2+P3 a k Il polo del filtro F() dovrà eere piazzato almeno a 4-5 volte i poli di D de. 34 Gianluca Montù e Mikael Bianchi

35 Capitolo 4 Metodi frequenziali 4. La traformata di Fourier Abbiamo vito come ia poibile modellizzare un itema fiico grazie alla traformata di Laplace e come la parte immaginaria della variabile rappreenti l ocillazione del itema. In queto capitolo ci occuperemo dell analii del itema olo dal punto di vita ocillatorio, per far queto rinunciamo alla parte reale della variabile introducendo la eguente traformata: F(j ω) = + f(t) e j ω t dt (4.) che è (etremi dell integrale a parte) identica alla traformata di Laplace, ma ridotta al olo ae immaginario. Come noto la (4.) è chiamata traformata di Fourier. Quindi econdo quanto vito al capitolo un analii baata ulla traformata di Fourier fornirà informazioni ulla ripota a ollecitazioni armoniche Gianluca Montù e Mikael Bianchi 35

36 36 Gianluca Montù e Mikael Bianchi

37 Capitolo 5 Il diagramma di bode in regolazione 5. Deign di un controllore PD baato ul diagramma di bode Dato il proceo G() da controllare: G() = (+) (+5) ono richiete le eguenti pecifiche: margine di fae deiderato PM de = 60, errore allo tato finito minore di Si intende utilizzare un controllore PD nella forma: ctr() = K p (+T d ) (5.) Come primo pao calcoliamo il valore di K p coniderando la funzione G Kp : G Kp = K p (+) (+5) applicando la formula per l errore tatico alla funzione G Kp riulta: e = ) +lim 0 (K p (+) (+5) otteniamo K p =95. Per ottenere il valore di T d dobbiamo prima diegnare il Bode di G Kp e determinare il margine di fae e la pulazione w gc relativi al itema compenato con il olo regolatore proporzionale K p. In figura 5. vediamo che: PM = = 35 w gc = 9.05 rad/ La fae necearia a per ottenere PM de riulta dunque: Cioè enza coniderare la parte derivativa Gianluca Montù e Mikael Bianchi 37

38 Bode Diagram Magnitude (db) Sytem: untitled Frequency (rad/ec): 9.05 Magnitude (db): Phae (deg) Sytem: untitled Frequency (rad/ec): Phae (deg): Frequency (rad/ec) Figura 5.: Bode di G Kp (): il PM vale 35 e i trova a w gc =9.05 rad/ φ ctr = PM de PM = = 25 dove φ ctr è la fae upplementare che il controllore dovrà fornire. Conideriamo ora la funzione di traferimento ctr n del olo controllore normato (K p =,T d =): ctr n = + Dal Bode di ctr n ricaviamo la pulazione ω PM alla quale riulta una fae corripondente a φ ctr come motrato in figura Bode Diagram Magnitude (db) Phae (deg) Sytem: untitled Frequency (rad/ec): Phae (deg): Frequency (rad/ec) Figura 5.2: La fae upplementare φ ctr = 25 è fornita dal controllore normato alla pulazione ω PM = 0.5 rad/ 38 Gianluca Montù e Mikael Bianchi

39 Infine ricaviamo T d dal rapporto tra ω PM e ω gc : T d = ω PM ω gc = Il controllore completo riulta dunque: = (5.2) ctr() = K p (+T d ) = 95 ( ) Avendo l ordine del numeratore maggiore dell ordine del denominatore queto controllore non è implementabile, è neceario aggiungere un polo a frequenza elevata e a guadagno tatico unitario ad eempio: comp() = il controllore compenato riulta dunque: ctr() comp() = comp() ctr() = ( ) 5.2 Deign di un controllore PI baato ul diagramma di bode Dato il proceo G() da controllare: G() = (+) (+5) ono richiete le eguenti pecifiche: margine di fae deiderato PM de 60, errore allo tato finito minore di Scegliendo un controllore PI (applicato a queto itema) garantiamo immediatamente l errore allo tato finito nullo per qualiai valore di P e I: e = +lim 0 (ctr() G()) = ) = 0 (P +I +lim 0 (+) (+5) uando un PI non è dunque neceario coniderare la pecifica ul valore allo tato finito. Per trovare i valori di P e I che garanticono il margine di fae di 60 ricaviamo di diagramma di Bode di G() come da figura 5.3 Sul grafico della fae poizioniamoci ul punto φ=80-pm de e ricaviamo la pulazione ω pm [rad/ec] corripondente. Nel cao in eame riulta φ = = 20 e la pulazione corripondente riulta ω pm = 4.6 rad/. Parametrizzando ctr() nel eguente modo 2 : ctr() = P +I = K P + T I T I 2 in pratica i impone I=Kp/T I e P=K P Gianluca Montù e Mikael Bianchi 39

40 0 Bode Diagram 0 Magnitude (db) Sytem: G Frequency (rad/ec): 9.0 Magnitude (db): Phae (deg) Sytem: G Frequency (rad/ec): 4.6 Phae (deg): Frequency (rad/ec) Figura 5.3: Bode di G(): il PM de i trova a 4.6 rad/ il problema è riolto una volta indentificati T I e K P. Con queta parametrizzazione /T I corriponde alla frequenza del polo e deve eere impota almeno 0 volte inferiore a ω pm : Ti = 0 ω pm (5.3) nel notro cao otteniamo TI = 2.7 /rad. Per determinare il parametro mancante K P fiiamo momentaneamente K P = conideriamo la funzione di traferimento in open loop: G op = K P + T I T I G() nel notro eempio G op riulta: G op = (+) (+5) tracciamo il diagramma di Bode del itema G op come motrato in figura 5.4. Da quet ultimo Bode troviamo, ul diagramma della fae, la pulazione ω f che corriponde nuovamente a φ = 80 PM de. In eguito, ul grafico delle ampiezze, identifichiamo il valore dei db in corripondenza di ω f. Chiamiamo queto valore G op (ω f ). Da ultimo i individua K P in modo che poa alzare l ampiezza di G op (ω f ) db: K P = 0 Gop(ω f ) 20 (5.4) Nel notro cao in figura 5.4 riulta: ω f = 3.88 rad/ 40 Gianluca Montù e Mikael Bianchi

41 20 Bode Diagram 0 0 Magnitude (db) Sytem: Gop Frequency (rad/ec): 3.88 Magnitude (db): Phae (deg) Sytem: Gop Frequency (rad/ec): 3.88 Phae (deg): Frequency (rad/ec) Figura5.4: BodediG op (): ilpm de itrovaa3.88rad/, atalefrequenzal ampiezza corriponde a -28 db e l ampiezza è G op (ω f ) = 28 e quindi il controllore PI i ottiene con: K P = = 25. TI = 2.7 Gianluca Montù e Mikael Bianchi 4

42 42 Gianluca Montù e Mikael Bianchi

43 Bibliografia [] Introduzione alla modellazione elettromagnetica, montu/fisicaii/fisicaii.pdf [2] Regolazione I, Ing. Roberto Bucher [3] H. Goldtein, Meccanica Razionale Gianluca Montù e Mikael Bianchi 43