Sistemi a segnali campionati

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1 Capitolo. INRODUZIONE 6. Sitemi a egnali campionati Si conideri il eguente itema lineare tempo continuo: G() : ẋ(t) Ax(t)+Bu(t) y(t) Cx(t) U() G() Y() Se i inerice un ricotruttore di ordine zero H () e un campionatore ideale di periodo, ripettivamente a monte e a valle del itema continuo G(), i ottiene il eguente itema tempo dicreto: u(k) H () u(t) G() y(t) y(k) Eendo all ucita del ricotruttore H (), ilegnaleu(t) è continuo a tratti: u(t) u(k) per k t (k +) u(k) u(t) k t Il egnale y(t) campionato con periodo genera il egnale dicreto y(k). Il comportamento ingreo-ucita del itema compleivo è quello di un itema tempo dicreto: G(z) : x((k +) ) Fx(k)+Gu(k) y(k) Hx(k) U(z) G(z) Y(z) Zanai Roberto - eoria dei Sitemi A.A. 4/5

2 Capitolo 6. SISEMI A SEGNALI CAMPIONAI 6. Eite un precio legame tra le matrici (A, B, C) elematrici(f, G, H). ale legame i determina riolvendo la eguente equazione differenziale ẋ(t) Ax(t)+Bu(t) nell intervallo di tempo [k, (k+) ]. Lo tato x(t) che i raggiunge a partire dallo tato iniziale x(k) all itante t k è: x(t) e A(t k) x(k)+ t k ea(t γ) Bu(γ) dγ Eendo l ingreo cotante u(t) u(k), lo tato x((k +) ) che i raggiunge all itante t (k +) è quindi il eguente: x((k +) ) e A }{{} k F Fx(k)+Gu(k) x(k)+ (k+) e A((k+) γ) B dγ }{{} G u(k) Operando il eguente cambiamento di variabile: σ (k +) γ dσ dγ la matrice G può eere traformata come egue: G eaσ B ( dσ) eaσ B dσ L ucita y(k) i ottiene da y(t) campionando all itante t k: y(k) y(t) tk Cx(t) tk }{{} C x(k) H Il legame tra le matrici (A, B, C) elematrici(f, G, H) è quindi il eguente: F e A, G eaσ B dσ, H C Il itema G(z) che i ottiene da G() nel modo precedentemente decritto prende il nome di itema a egnali campionati Zanai Roberto - eoria dei Sitemi A.A. 4/5

3 Capitolo 6. SISEMI A SEGNALI CAMPIONAI 6.3 Poichè le matrici F e G dipendono da, è bene tudiare come variano le proprietà trutturali di raggiungibilità e oervabilità del itema a egnali campionati al variare del periodo di campionamento. Eendo F e A, il itema a egnali campionati ètabileeeoloeil itema tempo-continuo è tabile. Eendo la matrice F e A empre invertibile, per un itema a egnali campionati la controllabilità e la ricotruibilità ono empre equivalenti, ripettivamente, alla raggiungibilità e all oervabilità. Per itemi ad un olo ingreo vale la eguente proprietà. eorema. Sia dato un itema (A, b) raggiungibile e ia il periodo di campionamento. Il corripondente itema a egnali campionati è raggiungibile e e olo e, per ogni coppia i, j di autovalori ditinti di A aventi la tea parte reale i ha: Im( i j ) kπ kω k ±, ±, ±3,... Per itemi ad una ola ucita vale la eguente proprietà. eorema. Sia dato un itema (A, c) oervabile e ia il periodo di campionamento. Il corripondente itema a egnali campionati è oervabile e e olo e, per ogni coppia i, j di autovalori ditinti di A aventi la tea parte reale i ha: Im( i j ) kπ kω k ±, ±, ±3,... Nota. In bae ai precedenti teoremi i può affermare che e la matrice A ha tutti gli autovalori reali, il itema a egnali campionati conerva empre, per ogni >, le tee caratteritiche trutturali del itema di partenza (A, b, c). Zanai Roberto - eoria dei Sitemi A.A. 4/5

4 Capitolo 6. SISEMI A SEGNALI CAMPIONAI 6.4 Eempio. Dato il eguente itema tempo continuo: ẋ(t) x(t)+ y(t) [ ] x(t) i calcoli il corripondente itema a egnali campionati. Sia: La matrice F: La matrice G: G A eaσ B dσ u(t), B C [ ] F e A co σ in σ in σ co σ in co ( ) eaσ dσ B dσ co in co in in co in σ co σ co in co σ in σ La matrice H coincide con la matrice C. Il corripondente itema a egnali campionati è quindi il eguente: x(k +) dove per brevità ièpoto co in in co y(k) [ ] x(t) x(k)+ co in u(k) x(k) x(k), y(k) y(k), u(k) u(k) Gli autovalori della matrice A ono j, j. La matrice di raggungibilità del itema a egnali campionati è R + [GFG] co in co in co +in co in +in co co +co in +in Per π il itema non è completamente raggiungibile, infatti R + π Zanai Roberto - eoria dei Sitemi A.A. 4/5

5 Capitolo 6. SISEMI A SEGNALI CAMPIONAI 6.5 Il determinante della matrice R + è: R + in ( co ) In accordo con il teorema ulla raggiungibilità, il itema a egnali campionati è raggiungibile eeoloe: kπ Im( ) kπ kπ Analoghe coniderazioni valgono per la matrice di oervabilità: O in co Anche in queto cao, il itema a egnali campionati è oervabile e e olo e kπ. Il polinomio caratteritico della matrice F è: zi F (z co ) +in Gli autovalori della matrice F ono quindi i eguenti: z, co ± j in e ±j La funzione di traferimento G() del itema continuo è: G() C(I A) B [ ] + La funzione di traferimento G(z) del corripondente itema a egnali campionati è: G(z) H(zI F) G [ ] z co in (z co ) +in in z co co in [ in z co ] co in in co in + z in in co z coz + in (z ) z coz + Allo teo riultato i arebbe potuto giungere dicretizzando la funzione G() preceduta dal ricotruttore di ordine zero: G(z) Z [H ()G()] Z e ( z z in ) z coz + ( z )Z + in (z ) z coz + ( +) Zanai Roberto - eoria dei Sitemi A.A. 4/5

6 Capitolo 6. SISEMI A SEGNALI CAMPIONAI 6.6 Eempio. Si conideri il eguente itema puramente inerziale di maa unitaria (m ) ottopoto ad una forza eterna u(t): mẍ u(t) x m u(t) Calcolare una retroazione tatica dello tato di natura dicreta, u(k) Kx(k), chepoizioni nell origine tutti i poli del itema retroazionato. Sia x il vettore di tato: x x, x x x, x ẋ La decrizione del itema nello pazio degli tati è la eguente: ẋ(t) x(t)+ y(t) [ ] x(t) u(t) Le matrici F e G del corripondente itema a egnali campionati ono: F e A e G eaσ B dσ σ dσ σ dσ Il itema a egnali campionati ha quindi la eguente forma: x(k +) x(k)+ y(k) [ ] x(t) u(k) F (z) (z ) z z + Sia K [ ] k k la matrice di retroazione dello tato. Poto u(k) Kx(k), i ottiene la eguente matrice di itema F + GK +k + k k +k Il polinomio caratteritico di tale matrice è il eguente: F+GK (z k )(z k ) k ( + k ) z ( + k + k )z +(+k k ) Zanai Roberto - eoria dei Sitemi A.A. 4/5

7 Capitolo 6. SISEMI A SEGNALI CAMPIONAI 6.7 Imponendo F+GK z i ottiene: +k + k +k k 3+k +k k 3 k cioè K [ 3 ] Allo teo riultato i poteva giungere anche procedendo nel eguente modo: K [ ] [ ] [ ] 3 [ 3 3 ] Sotituendo, la matrice F + GK aume la forma: F + GK 4 Eendo un controllore dead-beat, la retroazione u(k) Kx(t) è in grado di portare a zero (eattamente!) lo tato generico del itema x() in due oli pai e con un periodo i campionamento comunque piccolo. È evidente che l azione di controllo u(k) negli itanti k e k arà tantopiùelevata quanto più piccolo è il periodo di campionamento. Si ha infatti che e u() Kx() [ 3 ] x() u() Kx() K(F + GK)x() [ 3 x() [ ] x() Si noti che la capacità di poter portare a zero lo tato del itema in un intervallo di tempo non può eere ottenuto nel cao di itemi tempo continuo. In queto cao, infatti, i tende a zero empre in modo eponenziale, cioè i giunge eattamente in zero olo per t. Se lo tato x ẋ non è miurabile, i può procedere alla intei di un oervatore dead-beat ] 4 Zanai Roberto - eoria dei Sitemi A.A. 4/5

8 Capitolo 6. SISEMI A SEGNALI CAMPIONAI 6.8 di ordine ridotto. La traformazione di coordinate x x porta il itema ad aumere la forma x(k +) x(k)+ y(k) [ ] x(k) u(k) Dalla relazione A + LA +L i ricava L. L oervatore dead beat di ordine ridotto aume quindi la forma: dove ˆx(k) ˆv(k) Ly(k) y(k) y(k) ˆv(k)+ y(k) ˆv(k +)(A + LA )y(k)+(b + LB )u(k) y(k)+ u(k) La funzione di traferimento G() del itema tempo continuo è G() La funzione di traferimento G(z) del corripondente itema dicreto è G(z) [ ] z z (z ) [ z ] z + (z ) Anche in queto cao i può facilmente dimotrare che G(z) Z [H ()G()] Z e ( z ) (z +) (z ) [ ] ( z )Z 3 z(z +) (z ) 3 Zanai Roberto - eoria dei Sitemi A.A. 4/5

9 Capitolo 6. SISEMI A SEGNALI CAMPIONAI 6.9 Eempio. Dicretizzazione del eguente modello linearizzato tempo continuo del pendolo invero: ẋ(t) x(t)+ u(t) Ax(t)+Bu(t) αg α M y(t) [ ] x Cx(t) La matrice di traferimento G() di queto itema vale: G() C(I A) B ( )( + ) Il modello dicreto (F, G, H) del corripondente itema a egnali campionati i determina nel modo eguente. Sia il periodo di campionamento e ia αg il modulo dei due autovalori, ± della matrice A. Gli autovettori v e v della matrice A ono: Poto [ v v v ],lamatricef i calcola come egue: F e A eā e + e (e e ) La matrice G, invece, aume la forma: G eaσ B dσ, v e e e + e inh(σ) coh(σ) coh( ) inh( ) e e coh( ) inh( ) inh( ) coh( ) dσ Eendo H C, il itema a egnali campionati (F, G, H) è: x(k +) coh( ) inh( ) inh( ) coh( ) y(k) [ ] x(k) coh( ) inh( ) inh( ) coh( ) x(k)+ coh(σ) inh(σ) coh( ) inh( ) dσ u(k) Il itema è raggiungibile e oervabile per qualunque valore di >. Infatti, la matrice di raggiungibilità R + coh( ) coh( ) coh( ) inh( ) [ coh( )] inh( ) Zanai Roberto - eoria dei Sitemi A.A. 4/5

10 Capitolo 6. SISEMI A SEGNALI CAMPIONAI 6. ha un determinante det R + [coh( ) ] inh( ) g M che i annulla olo per. D altra parte, anche la matrice di oervabilità O coh( ) inh( ) ha un determinante che annulla olo per. Si può facilmente dimotrare che la funzione di traferimento G(z) del itema dicreto è la eguente: G(z) H(zI F) G (z + )[ coh( )] (z e )(z e ) Per eercizio, lo tudente può verificare che la tea funzione di traferimento G(z) poteva eere ottenuta utilizzando la formula: G(z) Z [H ()G()] Z e G() ( z )Z G() eendo G() la funzione di traferimento del corripondente itema tempo continuo: G() ( )( + ) Zanai Roberto - eoria dei Sitemi A.A. 4/5