Paolo Rocco. Automatica

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1 Paolo Rocco Dipene ad uo degli tudenti del Politecnico di Milano per i cori da cinque crediti didattici Automatica Ingegneria Aeropaziale E vietato l uo commerciale di queto materiale

2 Avvertenza Queta dipena raccoglie, otto forma di appunti intetici, il materiale didattico per i cori introduttivi di Automatica da cinque crediti didattici tenuti dall autore al Politecnico di Milano, nell ambito del nuovo ordinamento didattico degli tudi univeritari. Il lavoro vuole eere un auilio agli tudenti per rivedere i propri appunti o per un rapido ripao della materia, ma non otituice, né vuole otituire, almeno nella preente forma, un teto organico ull Automatica, al quale i raccomanda di fare riferimento per un apprendimento più conapevole della materia. Milano, Ottobre Si egnala in particolare il teto: Fondamenti di Controlli Automatici di P.Bolzern, N.Schiavoni e R.Scattolini, Mc-Graw Hill Italia.

3 Sommario Lezione : Lezione : Lezione 3: Lezione 4: Lezione 5: Lezione 6: Lezione 7: Lezione 8: Lezione 9: Lezione : Lezione : Lezione : Introduzione Sitemi dinamici nel dominio del tempo Funzione di traferimento Ripote canoniche dei itemi del primo e econdo ordine Schemi a blocchi Ripota in frequenza Requiiti di un itema di controllo Stabilità dei itemi di controllo Pretazioni dinamiche dei itemi di controllo Pretazioni tatiche dei itemi di controllo Progetto del controllore Regolatori PID

4 Lezione Introduzione

5 L automatica Con il termine automatica i fa riferimento ad una diciplina che tudia tutti gli apetti metodologici e concettuali che tanno alla bae dell automazione, oia del traferimento alle macchine di operazioni di governo e controllo di dipoitivi, procei e itemi di variata natura. Si parla di automazione ogniqualvolta un operazione viene eeguita da una macchina enza, o con ridotto, intervento dell uomo. I comparti applicativi in cui i preenta l automazione ono i più variati e toccano da vicino la vita quotidiana: i peni agli elettrodometici (frigoriferi, lavatrici, condizionatori), ai itemi di frenatura e terzo ervoaititi, alle openioni attive o al controllo della velocità di crociera nelle automobili, al pilota automatico negli aerei, ai procei manifatturieri automatizzati (fabbrica automatica), al controllo di motori elettrici, al controllo degli impianti per la generazione di energia, e coì via. Una tale vatità di applicazioni in cui l automazione rivete un ruolo rilevante può far nacere il legittimo dubbio che l automatica i riduca ad una raegna o tutt al più ad una claificazione delle applicazioni più ignificative. In effetti inizialmente (al principio del venteimo ecolo) non vi era alcuna conapevolezza del carattere comune delle applicazioni di controllo. Le applicazioni, che pur eitevano (controllo di livello in erbatoi, controllo di velocità delle macchine a vapore, controllo del moto delle pale di mulini a vento), evolvevano in modo pionieritico e del tutto indipendente tra loro. E tato olo con il formari, e quindi con il conolidari, di una teoria matematica che l automatica ha cominciato a prendere le forme di una diciplina cientifica. Tale teoria matematica va otto il nome di teoria dei itemi. Il uo indubbio pregio riiede nel fornire gli trumenti per lo tudio delle caratteritiche del itema, oggetto di automazione, in modo otanzialmente indipendente dal conteto applicativo. Grazie alla teoria dei itemi, tutti i itemi di automazione elencati ommariamente in precedenza poono eere tudiati con la tea metodologia matematica. Lo tudio dei fondamenti della teoria dei itemi, che occuperà la prima parte di queto coro, conentirà da un lato di dotari di trumenti molto efficaci per l analii di itemi (non olo tecnologici, ma anche economici, ecologici o biologici) in cui è importante formalizzare l evoluzione nel tempo delle variabili, dall altro preparerà la trada allo tudio dei itemi di controllo automatico, che occuperà la econda parte del coro. L obiettivo primario dello tudio arà la valutazione oggettiva delle pretazioni dei itemi di controllo, per mezzo di parametri che formalizzano concetti intuitivi, quali la tabilità, la velocità di ripota, la preciione del itema di controllo. Saranno forniti anche elementi per la progettazione del dipoitivo che eegue il controllo automatico e per la ua realizzazione in tecnologia digitale. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

6 Il problema del controllo Un problema di controllo nace nel momento in cui i vuole imporre ad un oggetto (la cui natura va di volta in volta preciata) un comportamento deiderato, per mezzo di opportune azioni eercitate ull oggetto teo. Operiamo la eguente ditinzione: Controllo automatico: l azione di controllo viene eercitata da dipoitivi che operano in modo autonomo enza, o con ridotto, intervento umano; Controllo manuale: l azione di controllo viene eercitata dall operatore umano. Quali ono gli elementi di un problema di controllo? A) Il itema otto controllo E il itema oggetto dell azione di controllo. Su di eo agicono delle variabili manipolabili, o di controllo (u), e dei diturbi (d) (variabili indipendenti ed incerte), mentre le ue ucite (y) cotituicono le variabili controllate (di cui interea cioè controllare l andamento nel tempo). B) L andamento deiderato delle variabili controllate Sono le variabili (y ) che eprimono l andamento che le variabili controllate dovrebbero aumere per garantire un corretto funzionamento del itema controllato. Verranno anche chiamate riferimenti o etpoint. d y u y S Fig. : Elementi di un problema di controllo Problema di controllo: determinare, ad ogni itante, il valore delle variabili di controllo u in modo tale che le variabili controllate y aumano un andamento quanto più poibile imile all andamento deiderato y, qualunque iano, tra quelli ritenuti ragionevoli, gli andamenti dei riferimenti y e dei diturbi d. Controllore: oggetto che determina ed eercita l azione di controllo. Legge di controllo: criterio econdo il quale agice il controllore. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

7 Un eempio: il frigorifero termometro T ϑ ϑ u M C motore compreore Fig. : Un frigorifero Obiettivo del controllo: Mantenere approimativamente cotante la temperatura all interno del frigo. Riferimento: ϑ valore deiderato per la temperatura all interno del frigo (lo i impota con una manopola). Variabile di controllo: u poizione dell interruttore di alimentazione del motore del compreore. Diturbi: ϑ d temperatura dell ambiente eterno; ϑ d temperatura degli oggetti ineriti. Variabile controllata: ϑ temperatura all interno del frigorifero (può eere miurata o no). STRATEGIA DI CONTROLLO Si calcola la quantità di calore che deve eere etratta per mantenere una certa temperatura deiderata ϑ. Servendoi di un timer, i accende e pegne il motore ad intervalli regolari. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 3

8 ϑd ϑ u ϑ C S controllore itema Fig. 3 : Strategia di controllo Tipico andamento temporale della variabile di controllo u: u t Fig. 4 : Poizione dell interruttore Oervazioni La legge di controllo i baa ecluivamente ul modello (bilancio termico) Non è richieto l uo di un termometro Gli eventuali diturbi (porta del frigo laciata a lungo aperta, oggetti ineriti particolarmente caldi, ecc.) compromettono l efficacia della regolazione della temperatura. STRATEGIA DI CONTROLLO Si utilizza la miura ϑ m della temperatura ϑ, fornita da un termometro. ϑ ϑ u d C S ϑ ϑ m T Fig. 5 : Strategia di controllo Si alimenta il motore quando la differenza ϑ m ϑ upera una certa oglia e lo i pegne quando tale differenza cende al di otto di un altra oglia (controllo a relè). P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 4

9 u ε ε m ϑ ϑ Fig. 6 : Controllore a relè Oervazioni La legge di controllo non i baa ul modello E richieto l uo di un termometro In preenza di eventuali diturbi la temperatura viene comunque regolata efficacemente. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 5

10 Controllo in anello aperto ed in anello chiuo Controllo in anello aperto (feedforward control) Non viene eeguita alcuna miura ulle variabili del itema, oppure le eventuali variabili miurate, ed utilizzate nella legge di controllo, non dipendono dai valori aunti dalla variabile di controllo u (trategia nell eempio precedente). d y u y C S (a) M d y u y C S (b) d Fig. 7 : Schemi di controllo in anello aperto Lo chema di Fig. 7b prende il nome di compenazione del diturbo: e il diturbo è miurabile, i eercita un azione di controllo dipende dalla miura del diturbo teo Controllo in anello chiuo (feedback control) L azione di controllo viene eercitata ulla bae di miure di grandezze il cui valore dipende anche dal valore aunto dalla variabile u (trategia nell eempio precedente). In queto modo i viene a chiudere un anello nel rapporto di caua ed effetto tra le variabili (la variabile y dipende da u che, a ua volta, dipende da y...). d y u y C S y m M y Fig. 8 : Schemi di controllo in anello chiuo Anello aperto Anello chiuo Miura di y No Sì Modello matematico accurato Sì No Senibilità ai diturbi Elevata Baa P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 6

11 Strumentazione La trumentazione è cotituita dai dipoitivi (traduttore e attuatore) che interfacciano il proceo otto controllo con il controllore. Traduttori: Attuatori: miurano una grandezza fiica del itema otto controllo (tipicamente la variabile controllata) e ne inviano la miura al controllore in una forma compatibile con la ua tecnologia. traducono l azione di controllo determinata dal controllore in un azione efficace ul itema, operando ulle ue variabili manipolabili (tipicamente con tadi intermedi di amplificazione e converione di potenza). d y u m y C A S c T Fig. 9 : Schema di controllo completo di trumentazione Si oervi che nello chema i è operata la ditinzione tra la variabile di controllo u e la variabile manipolabile m e tra la variabile controllata y e la ua miura c. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 7

12 Lezione Sitemi dinamici nel dominio del tempo

13 Un eempio: il natro traportatore abbia u y v l p Fig. : Un natro traportatore di abbia u: portata di abbia all inizio del natro y: portata di abbia alla fine del natro p: perdite di abbia lungo il natro v: velocità (cotante) del natro l: lunghezza del natro Problema di controllo Fare in modo che la portata y in ucita al natro ia quanto più poibile imile ad un valore cotante prefiato y, nonotante le perdite p, agendo ulla portata u di abbia all ingreo del natro. p y u y S Fig. : Il problema di controllo Modello matematico Il modello matematico traduce in un equazione il fatto che, ad ogni itante di tempo t, la portata in ucita uguaglia, a meno delle perdite, la portata manifetatai in ingreo, τ itanti prima, dove τ è il tempo di percorrenza del natro: yt () = ut ( τ) pt (), τ: = lv Da Modellitica e Controllo, S. Bittanti, N. Schiavoni, CLUP, 979. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

14 Si uppone inoltre che le perdite iano calcolabili come la omma di un valore medio cotante noto p e di uno cotamento impredicibile p: pt () = p+ pt (). Strategia di controllo in anello aperto La più ovvia trategia di controllo in anello aperto conite nell imporre un valore di portata in ingreo cotante, uguale alla omma del valore deiderato in ucita e del valore medio delle perdite: ut () = y + p. Riulta però: yt () = y + p p+ pt () = y pt, oia: y y() t = p() t. ( ) () Pertanto il itema di controllo è completamente indifeo ripetto al diturbo p (tutto il diturbo i traduce in errore). Strategia di controllo in anello chiuo Se la portata in ucita è miurabile, i omma alla precedente azione di controllo in anello aperto un termine correttivo, proporzionale all errore tra valore deiderato ed effettivo di y: ( ) ut () = y + p+ µ y yt (), dove µ è un parametro di progetto. p p y u y C S T Riulta allora: Fig. 3 : Strategia di controllo in anello chiuo ( ) ( ()) ( ) ( ) ( ) yt () = y + p+ µ y yt ( τ ) p+ pt = + µ y µ yt τ pt. Studiamo anzitutto il comportamento a regime (analii tatica), upponendo cotanti le perdite ( pt () = p). Tutte le variabili riulteranno allora cotanti, ed in particolare i avrà: yt () = yt ( τ ) = y. Facendo i conti i ottiene: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

15 p y y = + µ. Sembra quindi che pur di cegliere il parametro µ poitivo ufficientemente grande, i poa ridurre arbitrariamente l errore. Il problema è riolto? Non proprio... Studiamo un tranitorio, oia il paaggio da una condizione di regime ad un altra (analii dinamica). In particolare, ipotizziamo che l andamento nel tempo delle perdite ia rappreentato dal grafico di Fig. 4. p p τ t Fig. 4 : Andamento temporale delle perdite di abbia Facendo i conti, i trova che il parametro µ influenza peantemente l andamento temporale della portata in ucita y, come motrano i eguenti grafici: y µ < y +p y τ τ 3τ 4τ t Fig. 5 : Andamento temporale della portata in ucita: µ< P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 3

16 y µ = y +p y τ τ 3τ 4τ t Fig. 6 : Andamento temporale della portata in ucita: µ= y µ > y +p y τ τ 3τ 4τ t Fig. 7 :Andamento temporale della portata in ucita: µ> Tipo di tranitorio µ< Ocillazioni convergenti (*) µ= Ocillazioni permanenti µ> Ocillazioni divergenti (*) Si può dimotrare che le ocillazioni convergono al valore y o + p ( + ) l analii tatica, tenendo conto che nel nuovo punto di equilibrio p µ, coerente con = p. Concluioni L analii tatica non è ufficiente per lo tudio delle pretazioni dei itemi di controllo. A volte (vedi i cai µ= e µ>) può dare riultati addirittura errati. E allora indipenabile un analii dinamica del itema di controllo. Un modello matematico che decrive l evoluzione nel tempo delle variabili del itema prende il nome di modello dinamico. Lo trumento matematico che ueremo per formulare i modelli matematici arà quello delle equazioni differenziali. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 4

17 Modelli dinamici di itemi elementari Reitore R i v R: reitenza i: corrente v: tenione vt () = Rit () Induttore i v L L: induttanza i: corrente v: tenione vt () = () L di t dt Condenatore i v C C: capacità i: corrente v: tenione it () = () C dv t dt Maa dp() t M: maa vt () = dt p: poizione M F dv() t at () = v: velocità dt p a: accelerazione Ft () = Mat () F: forza P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 5

18 Ocillatore meccanico K M: maa M F K: cotante elatica D p D: coefficiente di attrito p: poizione v: velocità a: accelerazione F: forza vt () = at () = () dp t dt () dv t dt Ft () = Kpt () + Dvt () + Mat () Pendolo τ ϑ l mg τ: coppia l: lunghezza dell ata (priva di maa) m: maa concentrata g: accelerazione di gravità ϑ: poizione angolare ω: velocità angolare α: accelerazione angolare dϑ() t ω() t = dt dω() t α() t = dt ( ) () τ t = ml α() t + mglin ϑ() t Serbatoio cilindrico q i A S : area ezione erbatoio h: livello liquido q i : portata di liquido entrante h q () A i t = S () A dh t S dt Serbatoio cilindrico con valvola d effluo q i A S : area ezione erbatoio h A S A v : area di effluo della valvola A v k: coefficiente caratteritico della valvola () q q () t = A dh t + ka u h: livello liquido dt q i : portata di liquido entrante i S v h() t P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 6

19 Sitemi dinamici Un itema dinamico i interfaccia con il reto del mondo per mezzo di una erie di variabili, che definiremo di ingreo, ed altre che definiremo di ucita. Definiamo di ingreo le variabili che influenzano il comportamento del itema, di ucita quelle che caratterizzano il itema e ulle quali offermiamo il notro interee (tipicamente perché cotituicono l obiettivo del controllo). u variabili di ingreo S y variabili di ucita Fig. 8 : Ingrei e ucite di un itema La relazione che uite tra variabili di ingreo e di ucita è di caua-effetto e non ha nulla a che vedere con relazioni di affluo ed effluo di materia o energia (la portata di ucita in un erbatoio può eere variabile di ingreo per il itema, e per eempio è comandata da una pompa). E ufficiente decrivere il comportamento dinamico di un itema mediante relazioni algebriche tra i uoi ingrei e le ue ucite? Quai empre no (nei notri eempi, olo per il reitore), per due motivi: occorre conocere i valori aunti dalle variabili di ingreo a partire dall itante iniziale ed occorre conocere una o più condizioni iniziali. Conideriamo a titolo di eempio il condenatore, in cui l ingreo è cotituito dalla corrente (u(t) = i(t)), l ucita dalla tenione (y(t) = v(t)). Avremo quindi: Cy& () t = u() t y() t = y( t) + () C u τ d τ. t t Occorre quindi conocere il valore iniziale della tenione e l andamento della corrente dall itante iniziale. Il numero minimo di condizioni iniziali che occorre aegnare per determinare tutte le ucite del itema, noti gli andamenti degli ingrei a partire dall itante iniziale, prende il nome di ordine del itema: lo indicheremo con n. Per decrivere l evoluzione dinamica del itema è quindi ufficiente aegnare, itante per itante, n valori, ovvero dare l andamento nel tempo di n variabili: indicheremo con x, x,..., x n quete variabili e le definiremo variabili di tato. Note le variabili di tato ad un dato itante e l andamento degli ingrei da quell itante in poi, arà quindi poibile determinare l andamento di tutte le ucite dall itante coniderato. La formalizzazione matematica del itema dinamico paa allora per la crittura delle equazioni differenziali di cui le variabili di tato ono le oluzioni, noti gli ingrei eterni, e del legame tra le variabili di ucita e quelle di tato e di ingreo. Sia m il numero delle variabili di ingreo e p il numero di variabili di ucita: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 7

20 ( ) ( n m ) () = () () n() () () m() () = () () () () () () x& t f x t, x t,..., x t, u t, u t,..., u t x& t f x t, x t,..., x t, u t, u t,..., u t equazioni di tato M x& n() t = f ( x () t, x () t,..., x () t, u () t, u () t,..., u () t ) n n m y() t = g( x() t, x() t,..., xn() t, u() t, u() t,..., um() t ) y() t = g( x() t, x() t,..., xn() t, u() t, u() t,..., um() t ) traformazioni di ucita M yp() t = gp( x() t, x() t,..., xn() t, u() t, u() t,..., um() t ) Quete ono le equazioni di un itema dinamico. Introduciamo i vettori: () () t () () t () () t x t u t y t x u y x() t = u() t = y() t =,,. M M M xn() t um() t yp() t e le funzioni vettoriali: ( () t, u() t ) f x ( (), (),..., n(), (), (),..., m() ) (), (),..., (), (), (),..., () f x t x t x t u t u t u t f x t x t x t u t u t u t = M fn x t x t xn t u t u t um t ( n m ) ( (), (),..., (), (), (),..., ()) ( (), (),..., n(), (), (),..., m() ) (), (),..., (), () t, u () t,..., u () t g x t x t x t u t u t u t g x t x t xn t u gx ( () t, u() t ) ( ) = m M gp( x() t, x() t,..., xn() t, u() t, u() t,..., um() t ) Poiamo ricrivere le equazioni del itema dinamico in forma compatta vettoriale: ( ) ( ) () t = () t () t () t = () t, () t x& f x, u y g x u. Si oervi che il itema è tempo invariante oia le equazioni del itema non i modificano nel tempo: ciò comporta che la celta dell ae dei tempi è del tutto convenzionale, oia che come itante iniziale arà empre poibile cegliere l itante t=. Definiremo poi come itemi SISO (Single Input Single Output) i itemi per cui m=p=, MIMO (Multiple Input Multiple Output) gli altri. Infine i dirà trettamente proprio un itema in cui la funzione g non dipende dall ingreo u, genericamente proprio un itema in cui ciò non accade., P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 8

21 Torniamo ai notri eempi: Reitore ingreo: u = v i v ucita: y = i variabili di tato: neuna R yt () = () R ut Induttore i v L ingreo: u = v ucita: y = i variabili di tato: x = i &x () t = () L ut yt () = x() t Condenatore i v C ingreo: u = i ucita: y = v variabili di tato: x = v &x () t = () C ut yt () = x() t Maa M F ingreo: u = F ucita: y = p variabili di tato: x = p, x = v x& () t = x () t x& () t = () M ut p yt () = x() t P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 9

22 Ocillatore meccanico ingreo: u = F K ucita: y = p M F variabili di tato: x = p, x = v D p x& () t = x () t x& () t = ( Kx() t Dx() t + u() t ) M yt () = x() t Pendolo τ ingreo: u = τ x& () t = x() t ucita: y = ϑ g variabili di tato: x = ϑ, x = ϑ ω x& () t = in x () t + l l ml mg yt () = x() t ( ) ut () Serbatoio cilindrico h q i A S ingreo: u = q i ucita: y = h variabili di tato: x = h &x () t = () A ut S yt () = x() t Serbatoio cilindrico con valvola d effluo h q i A S ingreo: u = q i ucita: y = h &x () t k A v = x() t + () A A ut S S A v variabili di tato: x = h yt () = x() t q u Gli eempi evidenziano che, di norma, le variabili di tato ono aociate a fenomeni di accumulo (di energia elettrica, di energia potenziale, di energia cinetica, di maa...). P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

23 Sitemi dinamici lineari Nei itemi dinamici lineari le equazioni di tato e le traformazioni di ucita ono lineari nelle variabili di tato e nelle variabili di ingreo: () = () + () + + n n() + () + () + + m m() () = () + () + + () + () + () + + () x& t ax t ax t... a x t bu t bu t... b u t & x t ax t ax t... anxn t bu t bu t... bmum t equazioni di tato M x& n() t = anx() t + anx() t annxn() t + bnu() t + bnu() t bnmum() t y() t = cx() t + cx() t cnxn() t + du() t + du() t dmum() t y() t = cx() t + cx() t cnxn() t + du () t + du() t dmum() t traformazioni di ucita M yp() t = cpx() t + cpx() t cpnxn() t + dpu() t + dpu() t dpmum() t Introduciamo le matrici: a a L an a A= a L an, M M O M an an L ann c c L cn c c c C = L n, M M O M cp cp L cpn b b L b m b B= b L bm M M O M bn bn L bnm d d L dm d d d D= L m M M O M dp dp L dpm Il itema dinamico lineare potrà allora eere ricritto in forma compatta vettoriale come egue: () t = () t + () t () t = () t + () t &x Ax Bu y Cx Du. Tutti i precedenti eempi ono decritti da itemi dinamici lineari, tranne il pendolo (a caua della funzione trigonometrica) ed il erbatoio con valvola di effluo (per via della radice quadrata). P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

24 Movimento In un itema dinamico il movimento (o moto) dello tato è definito come l evoluzione nel tempo del vettore delle variabili di tato, a partire da un itante iniziale in cui ia dato il valore dello tato teo, e noti gli andamenti degli ingrei da quell itante in poi. Analoga definizione i dà per il movimento dell ucita. Di fatto quindi il movimento dello tato cotituice la oluzione del itema di equazioni differenziali che forma il itema dinamico. Per un itema dinamico lineare, il movimento dello tato e quello d ucita ono componibili in due termini: moto libero e moto forzato. Il moto libero dipende olo dalla condizione iniziale ullo tato del itema (e non dagli ingrei), il moto forzato dipende olo dagli ingrei (e non dalla condizione iniziale): x() t = xl() t + xf() t. y t = y t + y t () () () l f Coniderando per emplicità un itema del primo ordine (n = ), con un ingreo ed un ucita (m = p = ): &x() t = axt () + but () x( ) = x yt = cxt + dut () () () (in cui tutte le variabili ono quindi calari) è facile verificare che il moto libero ed il moto forzato aumono le eguenti epreioni: Moto libero () () at xl t = e x at yl t = ce x Moto forzato t at ( τ) xf () t = e bu( τ) dτ t at ( τ) xf () t = ce bu τ dτ+ du t ( ) ( ) Le formule poono eere generalizzate ( formula di Lagrange ) a itemi di ordine uperiore e con più ingrei e/o ucite, introducendo il concetto di eponenziale di matrice. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

25 Sovrappoizione degli effetti Si conideri un itema dinamico lineare. Si eeguano ul itema tre eperimenti:. Lo tato iniziale valga x e i aegni l ingreo u () t, per t. Siano x () t e y () t i corripondenti movimenti di tato e ucita.. Lo tato iniziale valga x e i aegni l ingreo u () t, per t. Siano x () t e y () t i corripondenti movimenti di tato e ucita. 3. Lo tato iniziale valga x = x + x α β e i aegni l ingreo u () t = u () t + u () t t, eendo α e β due arbitrari numeri reali. Siano x () t e y () t i corripondenti movimenti di tato e ucita. α β, per Il principio di ovrappoizione degli effetti, valido olo per itemi lineari, afferma che: () t () t () t x = αx + β x, () t () t () t y = αy + β y. E quindi poibile tudiare eparatamente l effetto ul moto delle caue (tato iniziale e differenti ingrei) che lo generano, e quindi ovrapporre (combinare linearmente) gli effetti. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 3

26 Equilibrio Si upponga che l ingreo (o gli ingrei) del itema dinamico (lineare o no) iano cotanti. Un punto di equilibrio è caratterizzato dal fatto che tutte le variabili di tato (e quindi anche la variabile di ucita) del itema rimangono cotanti nel tempo. Conideriamo l equazione di tato (vettoriale): ( ) () t () t () t x& = f x, u, ed aumiamo l ingreo cotante: u() t = u. Se il itema i trova all equilibrio, x() t = x, e la derivata di x è nulla. Pertanto: f( x, u) =. Queta equazione, nell incognita x, conente di trovare il punto di equilibrio del itema. La corripondente ucita di equilibrio arà data da: ( ) y = g x, u. Non è detto che lo tato di equilibrio eita e, e eite, non è detto che ia unico. Eempio Si conideri il itema, non lineare, del econdo ordine: x& = x + u 3 x& = x + x y= x x + u Si vogliono individuare eventuali punti di equilibrio in corripondenza dell ingreo cotante ut () = u=. Annullando le derivate i ottiene: x + = x+ x = Dalla prima equazione i ricava, come unica oluzione reale, x =, che, otituita nella econda, comporta le due oluzioni: x = e x =. 3 Pertanto il itema oggetto all ingreo cotante aegnato ammette due punti di equilibrio: ( x = ; x = ), ( x = x = ) ;. In corripondenza del primo punto di equilibrio l ucita di equilibrio vale: y = xx+ u = mentre in corripondenza del econdo: y = xx+ u =. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 4

27 Linearizzazione Coniderando piccoli cotamenti delle variabili attorno a valori di equilibrio, è poibile approimare il comportamento di un itema dinamico non lineare con quello di un itema dinamico lineare. Conideriamo un generico itema non lineare in forma vettoriale: ( ) ( ) () t = () t () t () t = () t, () t x& f x, u y g x u oggetto all ingreo cotante u() t = u. Supponiamo che eita il punto di equilibrio (eventualmente non unico) caratterizzato dal valore x delle variabili di tato e dal valore y dell ucita di equilibrio. Per definizione di equilibrio arà quindi: f( x, u) =. ( ) y = g x, u. Si upponga ora che lo tato iniziale (all itante t=) ia cotituito dal valore di equilibrio x cui i omma un piccolo cotamento: x = x +δ x, e che, a partire dall itante iniziale, l ingreo i poa eprimere come la omma del valore all equilibrio e di un piccolo cotamento: () () u t = u + δ u t, t. E enz altro lecito eprimere anche i movimenti di tato e ucita che ne coneguono come omma dei valori di equilibrio e di cotamenti: () t = +δ () t x x x () t () t y = y+δ y. Eendo le epreioni precedenti movimenti del itema devono oddifarne le equazioni. Si ottiene quindi:. δx f x δx u δu δx ( ) () t = + () t, + () t ( ) = δx ( ) () t () t, () t y+ δy = g x + δx u + δu Il itema linearizzato i ottiene viluppando in erie di Taylor intorno al punto di equilibrio le equazioni di tato e le traformazioni di ucita del itema originario ed arretando lo viluppo ai termini di primo grado. Nello viluppo compariranno le derivate parziali delle funzioni vettoriali f e g ripetto agli argomenti vettoriali x e u (matrici Jacobiane), valutate nel punto di equilibrio: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 5

28 . δx δx f x f u () t = f( x, u) + δx() t + δu() t ( ) = δx xu, xu, g g y+ δy = gxu + + x u () t (, ) δx() t δu() t Ponendo ora: f f A = B = x, u, xu, xu, g g C = D = x, u, xu, xu, xu, xu, e ricordando le relazioni valide tra le variabili che caratterizzano l equilibrio, otteniamo:. δx Aδx Bδu δx () t = () t + () t ( ) = δx () t () t () t δy = Cδx + Dδu, che è un itema lineare. Per il itema linearizzato valgono quindi le proprietà dei itemi lineari (non valide per il itema non lineare di partenza), limitatamente a piccole variazioni intorno alla condizione di equilibrio. Eempio Si conideri nuovamente il itema del econdo ordine: x& = x + u 3 x& = x + x y= x x + u Si vogliono determinare le epreioni dei itemi linearizzati intorno ai due punti di equilibrio corripondenti all ingreo cotante ut () = u=. Abbiamo già calcolato i due punti di equilibrio: ( x =, x = ), ( x = x = ),. Le equazioni del itema linearizzato ono le eguenti: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 6

29 δx& = 3x δx + δu δx& = δx + x δx. δy= xδx+ xδx + δ u u In particolare, il itema linearizzato intorno al primo punto di equilibrio riulta: δx& = 3δx + δu δx& = δx δx, δy= δx δx + δu mentre quello linearizzato intorno al econdo punto: δx& = 3δx + δu δx& = δx + δx δy= δx δx + δu. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 7

30 Eercizi Eercizio. Scrivere le equazioni che decrivono (nel dominio del tempo) il comportamento dinamico della rete elettrica di figura: R L u C R y Eercizio. Scrivere le equazioni che decrivono (nel dominio del tempo) il comportamento dinamico della rete elettrica di figura: R= L= i u C= y NL v dove il blocco NL impone la relazione v = i 3 tra la corrente i che lo percorre e la tenione v ai uoi capi. Eercizio.3 Senza criverne le equazioni, i dica di che ordine è il itema dinamico che decrive la rete elettrica di figura: R L R L R L u C R C R C R y P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 8

31 Eercizio.4 Senza criverne le equazioni, i dica di che ordine è il itema dinamico che decrive il itema meccanico di figura: Eercizio.5 Con riferimento al itema dinamico: () = () + () + () () = () () = () () x& t x t x t u t x& t x t yt x tx t i calcoli il punto di equilibrio corripondente all ingreo cotante u= u =, e i crivano le equazioni del itema linearizzato intorno a tale punto di equilibrio. Eercizio.6 Con riferimento al itema dinamico: () &x t () ut () xt () = xt () yt = i calcoli il punto di equilibrio corripondente all ingreo cotante u= u =, e i crivano le equazioni del itema linearizzato intorno a tale punto di equilibrio. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 9

32 Traccia delle oluzioni Eercizio. Dette x la tenione ul condenatore e x la corrente nell induttore: R x L Cx. Lx. u C x R y i crivono le leggi delle tenioni alle due maglie: x = Lx& + Rx ( & ) u= x + R x + Cx da cui i ricavano le equazioni del itema dinamico: x& x& RC x C x = + RC u L x R = L x y = Rx Eercizio. Dette x la tenione ul condenatore e x la corrente nell induttore: x. x. x i u x y NL v i crivono le leggi delle tenioni alle due maglie: x = x& + x 3 ( & ) u= x + x + x da cui i ricavano le equazioni del itema dinamico: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

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