Paolo Rocco. Automatica

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1 Paolo Rocco Dipene ad uo degli tudenti del Politecnico di Milano per i cori da cinque crediti didattici Automatica Ingegneria Aeropaziale E vietato l uo commerciale di queto materiale

2 Avvertenza Queta dipena raccoglie, otto forma di appunti intetici, il materiale didattico per i cori introduttivi di Automatica da cinque crediti didattici tenuti dall autore al Politecnico di Milano, nell ambito del nuovo ordinamento didattico degli tudi univeritari. Il lavoro vuole eere un auilio agli tudenti per rivedere i propri appunti o per un rapido ripao della materia, ma non otituice, né vuole otituire, almeno nella preente forma, un teto organico ull Automatica, al quale i raccomanda di fare riferimento per un apprendimento più conapevole della materia. Milano, Ottobre Si egnala in particolare il teto: Fondamenti di Controlli Automatici di P.Bolzern, N.Schiavoni e R.Scattolini, Mc-Graw Hill Italia.

3 Sommario Lezione : Lezione : Lezione 3: Lezione 4: Lezione 5: Lezione 6: Lezione 7: Lezione 8: Lezione 9: Lezione : Lezione : Lezione : Introduzione Sitemi dinamici nel dominio del tempo Funzione di traferimento Ripote canoniche dei itemi del primo e econdo ordine Schemi a blocchi Ripota in frequenza Requiiti di un itema di controllo Stabilità dei itemi di controllo Pretazioni dinamiche dei itemi di controllo Pretazioni tatiche dei itemi di controllo Progetto del controllore Regolatori PID

4 Lezione Introduzione

5 L automatica Con il termine automatica i fa riferimento ad una diciplina che tudia tutti gli apetti metodologici e concettuali che tanno alla bae dell automazione, oia del traferimento alle macchine di operazioni di governo e controllo di dipoitivi, procei e itemi di variata natura. Si parla di automazione ogniqualvolta un operazione viene eeguita da una macchina enza, o con ridotto, intervento dell uomo. I comparti applicativi in cui i preenta l automazione ono i più variati e toccano da vicino la vita quotidiana: i peni agli elettrodometici (frigoriferi, lavatrici, condizionatori), ai itemi di frenatura e terzo ervoaititi, alle openioni attive o al controllo della velocità di crociera nelle automobili, al pilota automatico negli aerei, ai procei manifatturieri automatizzati (fabbrica automatica), al controllo di motori elettrici, al controllo degli impianti per la generazione di energia, e coì via. Una tale vatità di applicazioni in cui l automazione rivete un ruolo rilevante può far nacere il legittimo dubbio che l automatica i riduca ad una raegna o tutt al più ad una claificazione delle applicazioni più ignificative. In effetti inizialmente (al principio del venteimo ecolo) non vi era alcuna conapevolezza del carattere comune delle applicazioni di controllo. Le applicazioni, che pur eitevano (controllo di livello in erbatoi, controllo di velocità delle macchine a vapore, controllo del moto delle pale di mulini a vento), evolvevano in modo pionieritico e del tutto indipendente tra loro. E tato olo con il formari, e quindi con il conolidari, di una teoria matematica che l automatica ha cominciato a prendere le forme di una diciplina cientifica. Tale teoria matematica va otto il nome di teoria dei itemi. Il uo indubbio pregio riiede nel fornire gli trumenti per lo tudio delle caratteritiche del itema, oggetto di automazione, in modo otanzialmente indipendente dal conteto applicativo. Grazie alla teoria dei itemi, tutti i itemi di automazione elencati ommariamente in precedenza poono eere tudiati con la tea metodologia matematica. Lo tudio dei fondamenti della teoria dei itemi, che occuperà la prima parte di queto coro, conentirà da un lato di dotari di trumenti molto efficaci per l analii di itemi (non olo tecnologici, ma anche economici, ecologici o biologici) in cui è importante formalizzare l evoluzione nel tempo delle variabili, dall altro preparerà la trada allo tudio dei itemi di controllo automatico, che occuperà la econda parte del coro. L obiettivo primario dello tudio arà la valutazione oggettiva delle pretazioni dei itemi di controllo, per mezzo di parametri che formalizzano concetti intuitivi, quali la tabilità, la velocità di ripota, la preciione del itema di controllo. Saranno forniti anche elementi per la progettazione del dipoitivo che eegue il controllo automatico e per la ua realizzazione in tecnologia digitale. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

6 Il problema del controllo Un problema di controllo nace nel momento in cui i vuole imporre ad un oggetto (la cui natura va di volta in volta preciata) un comportamento deiderato, per mezzo di opportune azioni eercitate ull oggetto teo. Operiamo la eguente ditinzione: Controllo automatico: l azione di controllo viene eercitata da dipoitivi che operano in modo autonomo enza, o con ridotto, intervento umano; Controllo manuale: l azione di controllo viene eercitata dall operatore umano. Quali ono gli elementi di un problema di controllo? A) Il itema otto controllo E il itema oggetto dell azione di controllo. Su di eo agicono delle variabili manipolabili, o di controllo (u), e dei diturbi (d) (variabili indipendenti ed incerte), mentre le ue ucite (y) cotituicono le variabili controllate (di cui interea cioè controllare l andamento nel tempo). B) L andamento deiderato delle variabili controllate Sono le variabili (y ) che eprimono l andamento che le variabili controllate dovrebbero aumere per garantire un corretto funzionamento del itema controllato. Verranno anche chiamate riferimenti o etpoint. d y u y S Fig. : Elementi di un problema di controllo Problema di controllo: determinare, ad ogni itante, il valore delle variabili di controllo u in modo tale che le variabili controllate y aumano un andamento quanto più poibile imile all andamento deiderato y, qualunque iano, tra quelli ritenuti ragionevoli, gli andamenti dei riferimenti y e dei diturbi d. Controllore: oggetto che determina ed eercita l azione di controllo. Legge di controllo: criterio econdo il quale agice il controllore. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

7 Un eempio: il frigorifero termometro T ϑ ϑ u M C motore compreore Fig. : Un frigorifero Obiettivo del controllo: Mantenere approimativamente cotante la temperatura all interno del frigo. Riferimento: ϑ valore deiderato per la temperatura all interno del frigo (lo i impota con una manopola). Variabile di controllo: u poizione dell interruttore di alimentazione del motore del compreore. Diturbi: ϑ d temperatura dell ambiente eterno; ϑ d temperatura degli oggetti ineriti. Variabile controllata: ϑ temperatura all interno del frigorifero (può eere miurata o no). STRATEGIA DI CONTROLLO Si calcola la quantità di calore che deve eere etratta per mantenere una certa temperatura deiderata ϑ. Servendoi di un timer, i accende e pegne il motore ad intervalli regolari. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 3

8 ϑd ϑ u ϑ C S controllore itema Fig. 3 : Strategia di controllo Tipico andamento temporale della variabile di controllo u: u t Fig. 4 : Poizione dell interruttore Oervazioni La legge di controllo i baa ecluivamente ul modello (bilancio termico) Non è richieto l uo di un termometro Gli eventuali diturbi (porta del frigo laciata a lungo aperta, oggetti ineriti particolarmente caldi, ecc.) compromettono l efficacia della regolazione della temperatura. STRATEGIA DI CONTROLLO Si utilizza la miura ϑ m della temperatura ϑ, fornita da un termometro. ϑ ϑ u d C S ϑ ϑ m T Fig. 5 : Strategia di controllo Si alimenta il motore quando la differenza ϑ m ϑ upera una certa oglia e lo i pegne quando tale differenza cende al di otto di un altra oglia (controllo a relè). P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 4

9 u ε ε m ϑ ϑ Fig. 6 : Controllore a relè Oervazioni La legge di controllo non i baa ul modello E richieto l uo di un termometro In preenza di eventuali diturbi la temperatura viene comunque regolata efficacemente. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 5

10 Controllo in anello aperto ed in anello chiuo Controllo in anello aperto (feedforward control) Non viene eeguita alcuna miura ulle variabili del itema, oppure le eventuali variabili miurate, ed utilizzate nella legge di controllo, non dipendono dai valori aunti dalla variabile di controllo u (trategia nell eempio precedente). d y u y C S (a) M d y u y C S (b) d Fig. 7 : Schemi di controllo in anello aperto Lo chema di Fig. 7b prende il nome di compenazione del diturbo: e il diturbo è miurabile, i eercita un azione di controllo dipende dalla miura del diturbo teo Controllo in anello chiuo (feedback control) L azione di controllo viene eercitata ulla bae di miure di grandezze il cui valore dipende anche dal valore aunto dalla variabile u (trategia nell eempio precedente). In queto modo i viene a chiudere un anello nel rapporto di caua ed effetto tra le variabili (la variabile y dipende da u che, a ua volta, dipende da y...). d y u y C S y m M y Fig. 8 : Schemi di controllo in anello chiuo Anello aperto Anello chiuo Miura di y No Sì Modello matematico accurato Sì No Senibilità ai diturbi Elevata Baa P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 6

11 Strumentazione La trumentazione è cotituita dai dipoitivi (traduttore e attuatore) che interfacciano il proceo otto controllo con il controllore. Traduttori: Attuatori: miurano una grandezza fiica del itema otto controllo (tipicamente la variabile controllata) e ne inviano la miura al controllore in una forma compatibile con la ua tecnologia. traducono l azione di controllo determinata dal controllore in un azione efficace ul itema, operando ulle ue variabili manipolabili (tipicamente con tadi intermedi di amplificazione e converione di potenza). d y u m y C A S c T Fig. 9 : Schema di controllo completo di trumentazione Si oervi che nello chema i è operata la ditinzione tra la variabile di controllo u e la variabile manipolabile m e tra la variabile controllata y e la ua miura c. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 7

12 Lezione Sitemi dinamici nel dominio del tempo

13 Un eempio: il natro traportatore abbia u y v l p Fig. : Un natro traportatore di abbia u: portata di abbia all inizio del natro y: portata di abbia alla fine del natro p: perdite di abbia lungo il natro v: velocità (cotante) del natro l: lunghezza del natro Problema di controllo Fare in modo che la portata y in ucita al natro ia quanto più poibile imile ad un valore cotante prefiato y, nonotante le perdite p, agendo ulla portata u di abbia all ingreo del natro. p y u y S Fig. : Il problema di controllo Modello matematico Il modello matematico traduce in un equazione il fatto che, ad ogni itante di tempo t, la portata in ucita uguaglia, a meno delle perdite, la portata manifetatai in ingreo, τ itanti prima, dove τ è il tempo di percorrenza del natro: yt () = ut ( τ) pt (), τ: = lv Da Modellitica e Controllo, S. Bittanti, N. Schiavoni, CLUP, 979. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

14 Si uppone inoltre che le perdite iano calcolabili come la omma di un valore medio cotante noto p e di uno cotamento impredicibile p: pt () = p+ pt (). Strategia di controllo in anello aperto La più ovvia trategia di controllo in anello aperto conite nell imporre un valore di portata in ingreo cotante, uguale alla omma del valore deiderato in ucita e del valore medio delle perdite: ut () = y + p. Riulta però: yt () = y + p p+ pt () = y pt, oia: y y() t = p() t. ( ) () Pertanto il itema di controllo è completamente indifeo ripetto al diturbo p (tutto il diturbo i traduce in errore). Strategia di controllo in anello chiuo Se la portata in ucita è miurabile, i omma alla precedente azione di controllo in anello aperto un termine correttivo, proporzionale all errore tra valore deiderato ed effettivo di y: ( ) ut () = y + p+ µ y yt (), dove µ è un parametro di progetto. p p y u y C S T Riulta allora: Fig. 3 : Strategia di controllo in anello chiuo ( ) ( ()) ( ) ( ) ( ) yt () = y + p+ µ y yt ( τ ) p+ pt = + µ y µ yt τ pt. Studiamo anzitutto il comportamento a regime (analii tatica), upponendo cotanti le perdite ( pt () = p). Tutte le variabili riulteranno allora cotanti, ed in particolare i avrà: yt () = yt ( τ ) = y. Facendo i conti i ottiene: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

15 p y y = + µ. Sembra quindi che pur di cegliere il parametro µ poitivo ufficientemente grande, i poa ridurre arbitrariamente l errore. Il problema è riolto? Non proprio... Studiamo un tranitorio, oia il paaggio da una condizione di regime ad un altra (analii dinamica). In particolare, ipotizziamo che l andamento nel tempo delle perdite ia rappreentato dal grafico di Fig. 4. p p τ t Fig. 4 : Andamento temporale delle perdite di abbia Facendo i conti, i trova che il parametro µ influenza peantemente l andamento temporale della portata in ucita y, come motrano i eguenti grafici: y µ < y +p y τ τ 3τ 4τ t Fig. 5 : Andamento temporale della portata in ucita: µ< P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 3

16 y µ = y +p y τ τ 3τ 4τ t Fig. 6 : Andamento temporale della portata in ucita: µ= y µ > y +p y τ τ 3τ 4τ t Fig. 7 :Andamento temporale della portata in ucita: µ> Tipo di tranitorio µ< Ocillazioni convergenti (*) µ= Ocillazioni permanenti µ> Ocillazioni divergenti (*) Si può dimotrare che le ocillazioni convergono al valore y o + p ( + ) l analii tatica, tenendo conto che nel nuovo punto di equilibrio p µ, coerente con = p. Concluioni L analii tatica non è ufficiente per lo tudio delle pretazioni dei itemi di controllo. A volte (vedi i cai µ= e µ>) può dare riultati addirittura errati. E allora indipenabile un analii dinamica del itema di controllo. Un modello matematico che decrive l evoluzione nel tempo delle variabili del itema prende il nome di modello dinamico. Lo trumento matematico che ueremo per formulare i modelli matematici arà quello delle equazioni differenziali. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 4

17 Modelli dinamici di itemi elementari Reitore R i v R: reitenza i: corrente v: tenione vt () = Rit () Induttore i v L L: induttanza i: corrente v: tenione vt () = () L di t dt Condenatore i v C C: capacità i: corrente v: tenione it () = () C dv t dt Maa dp() t M: maa vt () = dt p: poizione M F dv() t at () = v: velocità dt p a: accelerazione Ft () = Mat () F: forza P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 5

18 Ocillatore meccanico K M: maa M F K: cotante elatica D p D: coefficiente di attrito p: poizione v: velocità a: accelerazione F: forza vt () = at () = () dp t dt () dv t dt Ft () = Kpt () + Dvt () + Mat () Pendolo τ ϑ l mg τ: coppia l: lunghezza dell ata (priva di maa) m: maa concentrata g: accelerazione di gravità ϑ: poizione angolare ω: velocità angolare α: accelerazione angolare dϑ() t ω() t = dt dω() t α() t = dt ( ) () τ t = ml α() t + mglin ϑ() t Serbatoio cilindrico q i A S : area ezione erbatoio h: livello liquido q i : portata di liquido entrante h q () A i t = S () A dh t S dt Serbatoio cilindrico con valvola d effluo q i A S : area ezione erbatoio h A S A v : area di effluo della valvola A v k: coefficiente caratteritico della valvola () q q () t = A dh t + ka u h: livello liquido dt q i : portata di liquido entrante i S v h() t P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 6

19 Sitemi dinamici Un itema dinamico i interfaccia con il reto del mondo per mezzo di una erie di variabili, che definiremo di ingreo, ed altre che definiremo di ucita. Definiamo di ingreo le variabili che influenzano il comportamento del itema, di ucita quelle che caratterizzano il itema e ulle quali offermiamo il notro interee (tipicamente perché cotituicono l obiettivo del controllo). u variabili di ingreo S y variabili di ucita Fig. 8 : Ingrei e ucite di un itema La relazione che uite tra variabili di ingreo e di ucita è di caua-effetto e non ha nulla a che vedere con relazioni di affluo ed effluo di materia o energia (la portata di ucita in un erbatoio può eere variabile di ingreo per il itema, e per eempio è comandata da una pompa). E ufficiente decrivere il comportamento dinamico di un itema mediante relazioni algebriche tra i uoi ingrei e le ue ucite? Quai empre no (nei notri eempi, olo per il reitore), per due motivi: occorre conocere i valori aunti dalle variabili di ingreo a partire dall itante iniziale ed occorre conocere una o più condizioni iniziali. Conideriamo a titolo di eempio il condenatore, in cui l ingreo è cotituito dalla corrente (u(t) = i(t)), l ucita dalla tenione (y(t) = v(t)). Avremo quindi: Cy& () t = u() t y() t = y( t) + () C u τ d τ. t t Occorre quindi conocere il valore iniziale della tenione e l andamento della corrente dall itante iniziale. Il numero minimo di condizioni iniziali che occorre aegnare per determinare tutte le ucite del itema, noti gli andamenti degli ingrei a partire dall itante iniziale, prende il nome di ordine del itema: lo indicheremo con n. Per decrivere l evoluzione dinamica del itema è quindi ufficiente aegnare, itante per itante, n valori, ovvero dare l andamento nel tempo di n variabili: indicheremo con x, x,..., x n quete variabili e le definiremo variabili di tato. Note le variabili di tato ad un dato itante e l andamento degli ingrei da quell itante in poi, arà quindi poibile determinare l andamento di tutte le ucite dall itante coniderato. La formalizzazione matematica del itema dinamico paa allora per la crittura delle equazioni differenziali di cui le variabili di tato ono le oluzioni, noti gli ingrei eterni, e del legame tra le variabili di ucita e quelle di tato e di ingreo. Sia m il numero delle variabili di ingreo e p il numero di variabili di ucita: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 7

20 ( ) ( n m ) () = () () n() () () m() () = () () () () () () x& t f x t, x t,..., x t, u t, u t,..., u t x& t f x t, x t,..., x t, u t, u t,..., u t equazioni di tato M x& n() t = f ( x () t, x () t,..., x () t, u () t, u () t,..., u () t ) n n m y() t = g( x() t, x() t,..., xn() t, u() t, u() t,..., um() t ) y() t = g( x() t, x() t,..., xn() t, u() t, u() t,..., um() t ) traformazioni di ucita M yp() t = gp( x() t, x() t,..., xn() t, u() t, u() t,..., um() t ) Quete ono le equazioni di un itema dinamico. Introduciamo i vettori: () () t () () t () () t x t u t y t x u y x() t = u() t = y() t =,,. M M M xn() t um() t yp() t e le funzioni vettoriali: ( () t, u() t ) f x ( (), (),..., n(), (), (),..., m() ) (), (),..., (), (), (),..., () f x t x t x t u t u t u t f x t x t x t u t u t u t = M fn x t x t xn t u t u t um t ( n m ) ( (), (),..., (), (), (),..., ()) ( (), (),..., n(), (), (),..., m() ) (), (),..., (), () t, u () t,..., u () t g x t x t x t u t u t u t g x t x t xn t u gx ( () t, u() t ) ( ) = m M gp( x() t, x() t,..., xn() t, u() t, u() t,..., um() t ) Poiamo ricrivere le equazioni del itema dinamico in forma compatta vettoriale: ( ) ( ) () t = () t () t () t = () t, () t x& f x, u y g x u. Si oervi che il itema è tempo invariante oia le equazioni del itema non i modificano nel tempo: ciò comporta che la celta dell ae dei tempi è del tutto convenzionale, oia che come itante iniziale arà empre poibile cegliere l itante t=. Definiremo poi come itemi SISO (Single Input Single Output) i itemi per cui m=p=, MIMO (Multiple Input Multiple Output) gli altri. Infine i dirà trettamente proprio un itema in cui la funzione g non dipende dall ingreo u, genericamente proprio un itema in cui ciò non accade., P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 8

21 Torniamo ai notri eempi: Reitore ingreo: u = v i v ucita: y = i variabili di tato: neuna R yt () = () R ut Induttore i v L ingreo: u = v ucita: y = i variabili di tato: x = i &x () t = () L ut yt () = x() t Condenatore i v C ingreo: u = i ucita: y = v variabili di tato: x = v &x () t = () C ut yt () = x() t Maa M F ingreo: u = F ucita: y = p variabili di tato: x = p, x = v x& () t = x () t x& () t = () M ut p yt () = x() t P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 9

22 Ocillatore meccanico ingreo: u = F K ucita: y = p M F variabili di tato: x = p, x = v D p x& () t = x () t x& () t = ( Kx() t Dx() t + u() t ) M yt () = x() t Pendolo τ ingreo: u = τ x& () t = x() t ucita: y = ϑ g variabili di tato: x = ϑ, x = ϑ ω x& () t = in x () t + l l ml mg yt () = x() t ( ) ut () Serbatoio cilindrico h q i A S ingreo: u = q i ucita: y = h variabili di tato: x = h &x () t = () A ut S yt () = x() t Serbatoio cilindrico con valvola d effluo h q i A S ingreo: u = q i ucita: y = h &x () t k A v = x() t + () A A ut S S A v variabili di tato: x = h yt () = x() t q u Gli eempi evidenziano che, di norma, le variabili di tato ono aociate a fenomeni di accumulo (di energia elettrica, di energia potenziale, di energia cinetica, di maa...). P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

23 Sitemi dinamici lineari Nei itemi dinamici lineari le equazioni di tato e le traformazioni di ucita ono lineari nelle variabili di tato e nelle variabili di ingreo: () = () + () + + n n() + () + () + + m m() () = () + () + + () + () + () + + () x& t ax t ax t... a x t bu t bu t... b u t & x t ax t ax t... anxn t bu t bu t... bmum t equazioni di tato M x& n() t = anx() t + anx() t annxn() t + bnu() t + bnu() t bnmum() t y() t = cx() t + cx() t cnxn() t + du() t + du() t dmum() t y() t = cx() t + cx() t cnxn() t + du () t + du() t dmum() t traformazioni di ucita M yp() t = cpx() t + cpx() t cpnxn() t + dpu() t + dpu() t dpmum() t Introduciamo le matrici: a a L an a A= a L an, M M O M an an L ann c c L cn c c c C = L n, M M O M cp cp L cpn b b L b m b B= b L bm M M O M bn bn L bnm d d L dm d d d D= L m M M O M dp dp L dpm Il itema dinamico lineare potrà allora eere ricritto in forma compatta vettoriale come egue: () t = () t + () t () t = () t + () t &x Ax Bu y Cx Du. Tutti i precedenti eempi ono decritti da itemi dinamici lineari, tranne il pendolo (a caua della funzione trigonometrica) ed il erbatoio con valvola di effluo (per via della radice quadrata). P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

24 Movimento In un itema dinamico il movimento (o moto) dello tato è definito come l evoluzione nel tempo del vettore delle variabili di tato, a partire da un itante iniziale in cui ia dato il valore dello tato teo, e noti gli andamenti degli ingrei da quell itante in poi. Analoga definizione i dà per il movimento dell ucita. Di fatto quindi il movimento dello tato cotituice la oluzione del itema di equazioni differenziali che forma il itema dinamico. Per un itema dinamico lineare, il movimento dello tato e quello d ucita ono componibili in due termini: moto libero e moto forzato. Il moto libero dipende olo dalla condizione iniziale ullo tato del itema (e non dagli ingrei), il moto forzato dipende olo dagli ingrei (e non dalla condizione iniziale): x() t = xl() t + xf() t. y t = y t + y t () () () l f Coniderando per emplicità un itema del primo ordine (n = ), con un ingreo ed un ucita (m = p = ): &x() t = axt () + but () x( ) = x yt = cxt + dut () () () (in cui tutte le variabili ono quindi calari) è facile verificare che il moto libero ed il moto forzato aumono le eguenti epreioni: Moto libero () () at xl t = e x at yl t = ce x Moto forzato t at ( τ) xf () t = e bu( τ) dτ t at ( τ) xf () t = ce bu τ dτ+ du t ( ) ( ) Le formule poono eere generalizzate ( formula di Lagrange ) a itemi di ordine uperiore e con più ingrei e/o ucite, introducendo il concetto di eponenziale di matrice. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

25 Sovrappoizione degli effetti Si conideri un itema dinamico lineare. Si eeguano ul itema tre eperimenti:. Lo tato iniziale valga x e i aegni l ingreo u () t, per t. Siano x () t e y () t i corripondenti movimenti di tato e ucita.. Lo tato iniziale valga x e i aegni l ingreo u () t, per t. Siano x () t e y () t i corripondenti movimenti di tato e ucita. 3. Lo tato iniziale valga x = x + x α β e i aegni l ingreo u () t = u () t + u () t t, eendo α e β due arbitrari numeri reali. Siano x () t e y () t i corripondenti movimenti di tato e ucita. α β, per Il principio di ovrappoizione degli effetti, valido olo per itemi lineari, afferma che: () t () t () t x = αx + β x, () t () t () t y = αy + β y. E quindi poibile tudiare eparatamente l effetto ul moto delle caue (tato iniziale e differenti ingrei) che lo generano, e quindi ovrapporre (combinare linearmente) gli effetti. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 3

26 Equilibrio Si upponga che l ingreo (o gli ingrei) del itema dinamico (lineare o no) iano cotanti. Un punto di equilibrio è caratterizzato dal fatto che tutte le variabili di tato (e quindi anche la variabile di ucita) del itema rimangono cotanti nel tempo. Conideriamo l equazione di tato (vettoriale): ( ) () t () t () t x& = f x, u, ed aumiamo l ingreo cotante: u() t = u. Se il itema i trova all equilibrio, x() t = x, e la derivata di x è nulla. Pertanto: f( x, u) =. Queta equazione, nell incognita x, conente di trovare il punto di equilibrio del itema. La corripondente ucita di equilibrio arà data da: ( ) y = g x, u. Non è detto che lo tato di equilibrio eita e, e eite, non è detto che ia unico. Eempio Si conideri il itema, non lineare, del econdo ordine: x& = x + u 3 x& = x + x y= x x + u Si vogliono individuare eventuali punti di equilibrio in corripondenza dell ingreo cotante ut () = u=. Annullando le derivate i ottiene: x + = x+ x = Dalla prima equazione i ricava, come unica oluzione reale, x =, che, otituita nella econda, comporta le due oluzioni: x = e x =. 3 Pertanto il itema oggetto all ingreo cotante aegnato ammette due punti di equilibrio: ( x = ; x = ), ( x = x = ) ;. In corripondenza del primo punto di equilibrio l ucita di equilibrio vale: y = xx+ u = mentre in corripondenza del econdo: y = xx+ u =. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 4

27 Linearizzazione Coniderando piccoli cotamenti delle variabili attorno a valori di equilibrio, è poibile approimare il comportamento di un itema dinamico non lineare con quello di un itema dinamico lineare. Conideriamo un generico itema non lineare in forma vettoriale: ( ) ( ) () t = () t () t () t = () t, () t x& f x, u y g x u oggetto all ingreo cotante u() t = u. Supponiamo che eita il punto di equilibrio (eventualmente non unico) caratterizzato dal valore x delle variabili di tato e dal valore y dell ucita di equilibrio. Per definizione di equilibrio arà quindi: f( x, u) =. ( ) y = g x, u. Si upponga ora che lo tato iniziale (all itante t=) ia cotituito dal valore di equilibrio x cui i omma un piccolo cotamento: x = x +δ x, e che, a partire dall itante iniziale, l ingreo i poa eprimere come la omma del valore all equilibrio e di un piccolo cotamento: () () u t = u + δ u t, t. E enz altro lecito eprimere anche i movimenti di tato e ucita che ne coneguono come omma dei valori di equilibrio e di cotamenti: () t = +δ () t x x x () t () t y = y+δ y. Eendo le epreioni precedenti movimenti del itema devono oddifarne le equazioni. Si ottiene quindi:. δx f x δx u δu δx ( ) () t = + () t, + () t ( ) = δx ( ) () t () t, () t y+ δy = g x + δx u + δu Il itema linearizzato i ottiene viluppando in erie di Taylor intorno al punto di equilibrio le equazioni di tato e le traformazioni di ucita del itema originario ed arretando lo viluppo ai termini di primo grado. Nello viluppo compariranno le derivate parziali delle funzioni vettoriali f e g ripetto agli argomenti vettoriali x e u (matrici Jacobiane), valutate nel punto di equilibrio: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 5

28 . δx δx f x f u () t = f( x, u) + δx() t + δu() t ( ) = δx xu, xu, g g y+ δy = gxu + + x u () t (, ) δx() t δu() t Ponendo ora: f f A = B = x, u, xu, xu, g g C = D = x, u, xu, xu, xu, xu, e ricordando le relazioni valide tra le variabili che caratterizzano l equilibrio, otteniamo:. δx Aδx Bδu δx () t = () t + () t ( ) = δx () t () t () t δy = Cδx + Dδu, che è un itema lineare. Per il itema linearizzato valgono quindi le proprietà dei itemi lineari (non valide per il itema non lineare di partenza), limitatamente a piccole variazioni intorno alla condizione di equilibrio. Eempio Si conideri nuovamente il itema del econdo ordine: x& = x + u 3 x& = x + x y= x x + u Si vogliono determinare le epreioni dei itemi linearizzati intorno ai due punti di equilibrio corripondenti all ingreo cotante ut () = u=. Abbiamo già calcolato i due punti di equilibrio: ( x =, x = ), ( x = x = ),. Le equazioni del itema linearizzato ono le eguenti: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 6

29 δx& = 3x δx + δu δx& = δx + x δx. δy= xδx+ xδx + δ u u In particolare, il itema linearizzato intorno al primo punto di equilibrio riulta: δx& = 3δx + δu δx& = δx δx, δy= δx δx + δu mentre quello linearizzato intorno al econdo punto: δx& = 3δx + δu δx& = δx + δx δy= δx δx + δu. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 7

30 Eercizi Eercizio. Scrivere le equazioni che decrivono (nel dominio del tempo) il comportamento dinamico della rete elettrica di figura: R L u C R y Eercizio. Scrivere le equazioni che decrivono (nel dominio del tempo) il comportamento dinamico della rete elettrica di figura: R= L= i u C= y NL v dove il blocco NL impone la relazione v = i 3 tra la corrente i che lo percorre e la tenione v ai uoi capi. Eercizio.3 Senza criverne le equazioni, i dica di che ordine è il itema dinamico che decrive la rete elettrica di figura: R L R L R L u C R C R C R y P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 8

31 Eercizio.4 Senza criverne le equazioni, i dica di che ordine è il itema dinamico che decrive il itema meccanico di figura: Eercizio.5 Con riferimento al itema dinamico: () = () + () + () () = () () = () () x& t x t x t u t x& t x t yt x tx t i calcoli il punto di equilibrio corripondente all ingreo cotante u= u =, e i crivano le equazioni del itema linearizzato intorno a tale punto di equilibrio. Eercizio.6 Con riferimento al itema dinamico: () &x t () ut () xt () = xt () yt = i calcoli il punto di equilibrio corripondente all ingreo cotante u= u =, e i crivano le equazioni del itema linearizzato intorno a tale punto di equilibrio. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 9

32 Traccia delle oluzioni Eercizio. Dette x la tenione ul condenatore e x la corrente nell induttore: R x L Cx. Lx. u C x R y i crivono le leggi delle tenioni alle due maglie: x = Lx& + Rx ( & ) u= x + R x + Cx da cui i ricavano le equazioni del itema dinamico: x& x& RC x C x = + RC u L x R = L x y = Rx Eercizio. Dette x la tenione ul condenatore e x la corrente nell induttore: x. x. x i u x y NL v i crivono le leggi delle tenioni alle due maglie: x = x& + x 3 ( & ) u= x + x + x da cui i ricavano le equazioni del itema dinamico: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

33 x& = x x + u x& = x x 3 y = x Eercizio.3 Poiché ono preenti 6 elementi di accumulo di energia (condenatori ed induttori), il itema è di ordine 6. Eercizio.4 Poiché ono preenti mae (ciacuna delle quali cotituice un itema del econdo ordine) il itema è di ordine 4. Eercizio.5 Annullando le derivate e ponendo u= u =, i ottiene: x =, x =, da cui eguono le equazioni del itema linearizzato: () = () + () () = δ () () = δx() t δx& t δx t δu t δx& t x t δyt Eercizio.6 Annullando la derivata e ponendo u= u =, i ottiene: x =, da cui eguono le equazioni del itema linearizzato: δ&x t = δxt δyt () () () = δxt () P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

34 Lezione 3 Funzione di traferimento

35 Calcolo della ripota di un itema dinamico lineare Per il calcolo della ripota (ucita) di un itema dinamico lineare oggetto ad ingrei aegnati, i poono eguire due trade. Calcolo nel dominio del tempo Con i metodi dell analii matematica, i integra il itema di equazioni differenziali (equazioni di tato) forzato dalle funzioni del tempo aegnate (gli ingrei). Dalla traformazione di ucita i ricava quindi l epreione dell ucita. Calcolo nel dominio delle traformate Alla funzione del tempo u(t) i aocia, con i metodi matematici che vedremo, una funzione U che prende il nome di traformata del egnale di ingreo. Dalle equazioni del itema dinamico è poi poibile ricavare facilmente il legame tra la traformata U e la traformata Y del egnale di ucita. Ricavata quindi la traformata Y, le i aocia la funzione del tempo y(t), che ne cotituice l antitraformata, e che rappreenta la ripota del itema cercata. u(t) eq. differenziali y(t) traformata antitraformata U() eq. algebriche Y() Fig. : Calcolo della ripota di un itema dinamico lineare Qual è il vantaggio del metodo di calcolo nel dominio delle traformate? Il vantaggio, notevoliimo, è che il legame tra la traformata dell ingreo e la traformata dell ucita è di natura algebrica e non differenziale, come accade invece tra le ripettive funzioni del tempo. Con il termine egnale intendiamo una variabile, calare, funzione del tempo. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 3 -

36 Traformata di Laplace Si conideri una funzione reale f(t) della variabile reale t, definita per t. La funzione della variabile complea : F ( ) = f ( te ) t dt i dice traformata di Laplace di f(t) e i indica con L[f(t)]. La traformata eite, in generale, olo per un inieme di valori di. Eempio Si conideri la funzione calino: t = f () t = ca() t = t ca(t) t t e L[ ca() t t ] = e dt = = Fig. : La funzione calino Si noti che l ultima eguaglianza è vera quando è un numero compleo a parte reale poitiva (cioè nel emipiano detro del piano compleo). Eempio Si conideri la funzione impulo: f () t = imp () t =, t + f () t dt = Tale funzione può eere vita come il limite, per ε, della eguente funzione: ε t ε fε() t = t > ε P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 3 -

37 f (t) ε /ε ε t Fig. 3 : La funzione di cui l impulo cotituice il limite ε L[ imp() t ] imp() t t e dt lim f () t t = = t e dt = lim ε e dt = ε ε ε ε t e ε ε e e = lim = lim = lim = ε ε ε ε ε Proprietà notevoli della traformata Linearità L[ αf() t + αf() t ] = αl[ f() t ] + αl[ f() t ]. Tralazione nel dominio della variabile complea [ ] F( ) Se L f () t =, [ ] ( ) at allora L e f () t = F a. Tralazione nel dominio del tempo [ ] F( ) Se L f () t =, [ ] ( ) allora L f ( t ) = e τ τ F, per τ. Derivazione nel dominio del tempo [ ] F( ) Se L f () t =, () allora L df t F dt = +. Derivazione nel dominio della variabile complea [ ] F( ) Se L f () t =, df( ) allora L[ tf () t ] =. d () f ( ) P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 3-3

38 Traformate notevoli dove: f(t), t F() imp(t) ca(t) / ram(t) / par(t) / 3 e at /( a) in(ωt) ω/( +ω ) co(ωt) /( +ω ) t t t t ram() t = par() t = t < t < Poli e zeri I poli di una traformata F() ono i valori di per cui F() =. Gli zeri di una traformata F() ono i valori di per cui F() =. Se F() è razionale, oia eprimibile come rapporto di due polinomi in, N ( ) F ( ) =, D ( ) i poli ono le radici del denominatore D(), gli zeri le radici del numeratore N(). P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 3-4

39 Antitraformata di Laplace Data una funzione F() di variabile complea, i vuole determinare la funzione f(t) di cui F() cotituice la traformata. I eguenti due teoremi fornicono informazioni parziali u f(t). Teorema del valore iniziale Se L f () t = F, [ ] ( ) [ ] allora f( ) F() + Se, ad eempio, ( ) F = lim. + + = , + allora f ( ) 3 = lim =. Teorema del valore finale Se L[ f () t ] = F( ), e F() è razionale e ha poli tutti a parte reale negativa oppure nell origine del piano compleo, allora lim f () t = lim[ F() ]. t Se, ad eempio, + + F ( ) = 3, F() ha poli in, / e, per cui il teorema è applicabile, e riulta: + + lim f () t = lim t + + = 3. Metodo di Heaviide per funzioni razionali Conente di ricavare l epreione analitica dell antitraformata quando la traformata è una funzione razionale, oia un rapporto di polinomi in : ( ) n n N b + b + L+ bn F ( ) = = D ( ) n n. + a + L+ an Il metodo viene qui preentato olo per alcuni cai particolari. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 3-5

40 ) Poli reali emplici Il denominatore è fattorizzabile come: () ( )( ) ( ) D = + p + p L + pn, pi R, pi pj. Ne conegue: F () α α αn = + + L+ + p + p + p n Si ricavano i coefficienti α,..., α n mediante confronto tra queta epreione e l epreione originaria di F(). Infine i antitraformano i ingoli termini: () pt pt pt n f t = α e + α e + L + α e n, t. ) Poli reali emplici e un polo reale multiplo Il denominatore è fattorizzabile come: k () = ( + ) ( + ) ( + ) R = ( ) D p p L p, p, p p, m n k. Ne conegue: () F = ( + ) m i i j α α k ( k ) α α αm + + L+ + + L+ k k p + p + p + p + p ( ) Si ricavano i coefficienti α k,..., α, α..., α m mediante confronto tra queta epreione e l epreione originaria di F(). Infine i antitraformano i ingoli termini: () f t k k t pt t pt pt pt = α k e + α e + + e + e + + me p m L α α L α t, t.!! ( ) ( k k ) ( k ) 3) Poli reali emplici e due poli complei e coniugati emplici Il denominatore è fattorizzabile come: D() = ( + p)( + p)( + p) L ( + pm), pi R( i ), pi pj, m= n. Ne conegue (poto p = σ + jω): () F α α α αm β + γ α αm = L+ = + + L+ = + p + p + p + pm + σ+ σ + ω + p + pm + σ m = β + βσ + γ ω α α + + L+ + + ω + p + p ( + σ) + ω ω ( σ) con β e γ parametri reali opportuni. Si ricavano i coefficienti β, γ, α,..., α n mediante confronto tra queta epreione e l epreione originaria di F(). Infine i antitraformano i ingoli termini: t t p t f() t = e σ ( t) + βσ + γ e σ β co ω in ( ωt) + α e + + αme p m L t, t. ω m m P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 3-6

41 Funzione di traferimento Conideriamo un itema dinamico lineare in forma vettoriale: () t = () t + () t () t = () t + () t &x Ax Bu y Cx Du n m p, x R, u R, y R Introduciamo i vettori X(), U(), Y() che contengono le traformate di Laplace delle componenti dei vettori x(t), u(t), y(t), ripettivamente. Oervando che riulta: L [&() t ] [ x& () t ] x& () t () x () () () L X L [ ] X x x = = = X x M M L[ x& n() t ] Xn() xn() [ ax() t + ax() t anxn() t ] a x () t + a x () t a x () t () () () + () n n() () + () () L ax ax a X L [ ] a X a X a X n n n n L[ Ax() t ] = = = AX M M L[ anx() t + anx() t annxn() t ] anx() + anx() annxn() e analogamente per le altre traformate di prodotti matrice-vettore, i ottiene, fruttando la linearità della traformata: () () = () + () () = () + () X x AX BU Y CX DU Si è quindi ottenuto un itema algebrico nelle traformate delle variabili. Per tutti i valori di diveri dagli autovalori della matrice A, riulta: () = ( ) () + ( ) ( ) X I A BU I A x e quindi: n () ( ) n [ n ] () ( n ) ( ) Y = C I A B+ D U + C I A x. Di particolare interee è la ituazione in cui lo tato iniziale è nullo (x() = ). Riulta: () () () Y = G U, dove la matrice (di dimenioni p m): [ n ] () ( ) G = C I A B+ D prende il nome di funzione di traferimento del itema. Nel cao SISO (m=p=), la funzione di traferimento diventa uno calare e i può crivere, empre a tato iniziale nullo: Y ( ) G ( ) =. U ( ) P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 3-7 ()

42 La funzione di traferimento può eere calcolata con la formula precedente (ricavando quindi le matrici A, B, C, D e invertendo una matrice n n) oppure traformando le ingole equazioni membro a membro (a tato iniziale nullo), e ricavando il legame tra Y() e U() mediante eliminazione delle X i (). Riprendiamo gli eempi di itemi dinamici elementari trattati in precedenza, limitandoci naturalmente a quelli lineari: Reitore ( ) yt () () () R ut G Y = = = U ( ) R Induttore &x () t = () L ut Y ( ) yt () = x() t G () = = U ( ) L Condenatore &x () t = () C ut Y ( ) yt () = x() t G () = = U ( ) C Maa x& () t = x () t x& () t = () M ut Y ( ) yt () = x() t G () = = U ( ) M Ocillatore meccanico x& () t = x () t x& () t = ( Kx() t Dx() t + u() t ) M Y ( ) yt () = x() t G () = = U ( ) M + D + K Serbatoio cilindrico &x () t = () A ut S Y ( ) yt () = x() t G () = = U ( ) A S P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 3-8

43 Struttura della funzione di traferimento Si conideri un itema SISO, per cui la funzione di traferimento è uno calare: [ C In A B ] () ( ). G = + D Oerviamo che: ( I A) n = det ( I A) n () () L n() () () L () k k k k k k n, M M O M kn() kn() L knn() dove i polinomi k ij () ono i complementi algebrici della matrice (I n A) ed hanno, per cotruzione, grado non uperiore a n (mentre il determinante a denominatore ha ovviamente grado n). Nel formare lo calare ( n ) C I A B i combinano linearmente i polinomi k ij,, ottenendo un polinomio che non può avere grado maggiore dei ingoli polinomi. A queta epreione va poi ommato D, e il itema non è trettamente proprio. Concludiamo quindi che la funzione di traferimento è razionale (rapporto di polinomi): N ( ) G ( ) =, D ( ) che il denominatore D() ha grado n, mentre per il numeratore: () N = ( n ) polinomio di grado, e il itema è trett. proprio ( D= ) polinomio di grado = n, e il itema non è trett. proprio ( D ) Si oervi quindi che il grado del numeratore non può mai eccedere quello del denominatore. Si ricorda inoltre che un polinomio di grado n a coefficienti reali ammette nel piano compleo n radici, reali o a coppie complee e coniugate (teorema fondamentale dell algebra). Gli zeri della funzione di traferimento ono le radici del numeratore N() (e quindi ono in numero minore o uguale a n). I poli della funzione di traferimento ono le radici del denominatore D() (e quindi ono in numero uguale a n). I poli, in quanto radici del determinante della matrice (I n A), coincidono con gli autovalori della matrice A. Quete concluioni non contemplano eplicitamente il cao in cui numeratore e denominatore abbiano una o più radici comuni. Nel formare l epreione della funzione di traferimento tali radici i emplificano, per cui il denominatore avrà grado minore di n (e il numeratore grado minore o uguale a quello del denominatore). In queto cao i poli della funzione di traferimento formano un ottoinieme degli autovalori della matrice A. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 3-9

44 Nel piano compleo, i poli vengono di norma rappreentati con una crocetta, gli zeri con un pallino. La funzione di traferimento: ( ) G + = , preenta due zeri, in = j e = j, e tre poli, in =, = e =, rappreentati come in figura: Im j Re j Fig. 4 : Dipoizione di poli e zeri. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 3 -

45 Parametri caratteritici della funzione di traferimento Si è vito che la funzione di traferimento di un itema dinamico è una funzione razionale della variabile complea, oia è il rapporto di due polinomi: () () n n N β + β + L+ βn G () = =. n n D + γ + L+ γn Alternativamente i può utilizzare la eguente epreione equivalente: () G ( + zi) ( + p ) i = ρ. i i dove le produttorie corrono u tutti gli zeri e u tutti i poli, ripettivamente, mentre: ρ: cotante di traferimento z i : zeri p i : poli Si oervi che i parametri z i e p i poono anche eere complei. Per ottenere una rappreentazione con olo numeri reali è ufficiente accorpare i termini complei e coniugati (a numeratore e a denominatore), nei polinomi di econdo grado a radici complee. Queti polinomi, a loro volta ono eprei per mezzo di due parametri particolarmente ignificativi, indicati con ζ e ω n : n n + ζω + ω, dove ω n è un numero poitivo. Per comprendere il ignificato dei due parametri, oerviamo che le radici del polinomio ono:, = ζωn ± jωn ζ, e riultano effettivamente complee e coniugate e ζ <. Il ignificato dei parametri ζ e ω n è allora illutrato dalla eguente figura: ζω n ω α n Im Re ζ = co(α) Fig. 5 : Significato dei parametri ζ e ω n ω n, pulazione naturale: è il modulo delle due radici, oia la loro ditanza dall origine. ζ, morzamento: è il coeno dell angolo α formato dalla congiungente l origine con le radici, ripetto al emiae reale negativo P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 3 -

46 Poiché la parte reale dei poli vale ζω n e ω n è un numero poitivo, i ha: ζ>: due radici nel emipiano initro ζ=: due radici ull ae immaginario ζ<: due radici nel emipiano detro Poiamo a queto punto eprimere la funzione di traferimento per mezzo di oli parametri reali nella eguente forma: () G = ρ ( + z ) ( ) i i + ζziω i nzi + ωnzi ( + pi) ( + ζpiωnpi+ ωnpi) i con ω, ω >, ζ, ζ. nzi npi zi pi i, Un ulteriore epreione della funzione di traferimento è la eguente: () G ( + i) ( + T ) µ τ i = g i i dove le produttorie corrono u tutti gli zeri e u tutti i poli diveri da zero, ripettivamente, mentre: µ: guadagno g: tipo τ i : cotanti di tempo degli zeri T i : cotanti di tempo dei poli Si oervi che il rapporto delle due produttorie valutato in = è pari a. Per ottenere queto riultato i ono raggruppati gli eventuali poli o zeri in = nel termine a denominatore g. Pertanto g è un numero intero, uguale, e poitivo, al numero di poli in =, e negativo, al numero di zeri in = (e è nullo non vi ono né poli né zeri in =). Se g=, riulta inoltre: () () µ= lim G = G = CA B + D, epreione che prende il nome di guadagno tatico, in quanto corriponde al rapporto tra ingreo e ucita all equilibrio. Più in generale: µ= lim [ G g ()]. Anche queta forma della funzione di traferimento può eere eprea in termini olo di parametri reali: All equilibrio riulta = Ax + Bu, y = Cx + Du, per cui, eliminando x, i ottiene il riultato. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 3 -

47 () G µ = g i i ζzi + i + + i ω ω ( τ ) ζ pi + i + + i ωnpi ω ( T ) nzi nzi npi, con ω, ω >, ζ, ζ. nzi npi zi pi P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 3-3

48 Calcolo delle ripote temporali Dato un itema dinamico lineare ed un ingreo traformabile econdo Laplace, è poibile ricavare l epreione analitica dell ucita del itema dinamico forzata da tale ingreo. Occorre:. Ricavare, e non è già data, la funzione di traferimento G() del itema. Ricavare la traformata U() dell ingreo 3. Calcolare la traformata dell ucita Y() = G()U() 4. Antitraformare Sia ad eempio: + G ( ) = ut () (), = ca t Sappiamo allora che: + U ( ) =, Y ( ) = GU ( ) ( ) = = + ( ) ( + )( + 4) Applichiamo il metodo di Heaviide per l antitraformazione di Y(): () Y ( + )( + 4) + ( + 4) + ( + ) + = ( + )( + 4) ( + )( + ) α α α α α α = + + = Imponendo l uguaglianza dei due numeratori, in particolare nei punti =, =, = 4, i ottiene: 4α = α = 4 3α = α = 3 α3 = 7 α3 = 7 Pertanto: yt () () t 7 4t t 7 4t = ca t + e e = + e e, t P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 3-4

49 Stabilità Sia dato un itema lineare, all equilibrio all itante t=. Si applichi quindi, all itante t= un impulo all ingreo del itema (oia una perturbazione di ampiezza molto elevata e di durata breviima). Si poono preentare tre tipologie di comportamenti per l andamento temporale dell ucita y, riportate in figura: y (c) (b) (a) t Fig. 6 : Differenti comportamenti della ripota all impulo (a) l ucita converge al valore iniziale (uppoto nullo); (b) l ucita non converge al valore iniziale, ma non diverge; (c) l ucita diverge. Queti comportamenti corripondono, ripettivamente, a un itema: (a) aintoticamente tabile; (b) emplicemente tabile (o tabile, ma non aintoticamente); (c) intabile. Per i itemi dinamici lineari, di cui ci tiamo occupando, la tabilità non è legata al particolare punto di equilibrio in cui i trova il itema nel momento in cui i dà l impulo in ingreo (tutti i punti di equilibrio ono equivalenti tra di loro). Ciò non è evidentemente vero per un itema non lineare (i peni ad un pendolo e ai uoi differenti punti di equilibrio). Ne conegue che per un itema lineare la proprietà di tabilità deve eere deducibile dall epreione matematica del itema dinamico, ed in particolare dalla ua funzione di traferimento. Limitiamoci, per brevità, al cao di itemi con poli emplici (oia radici non multiple del denominatore). Ricordando che la traformata dell impulo vale, i ottiene: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 3-5

50 () () () () Y = GU = G = ρ ( + zi ) ( + ) i i αi = p i + p i Antitraformando, i ricava l epreione analitica della ripota all impulo: pt yt () ie i = α, t. i Se p i è compleo, oia p i = α i + jβ i, riulta: pt α t ( ( βi ) ( βi )) i i e = e co t jin t. Naturalmente arà preente anche il termine coniugato e i contributi immaginari allo viluppo i elideranno. Ora, e tutti i poli ono reali negativi (p i >) o complei a parte reale negativa (α i >), tutti gli eponenziali convergono a zero e, in bae alla definizione, il itema è aintoticamente tabile; e tutti i poli ono negativi, a meno di uno che è nullo (p i =) o di una coppia che è immaginaria (α i =), l eponenziale con eponente nullo dà luogo ad un termine cotante mentre quelli con eponente immaginario danno luogo a termini inuoidali, e quindi la ripota non converge a zero, ma non diverge: il itema è pertanto emplicemente tabile; e, infine, almeno un polo è reale poitivo (p i <) o compleo con parte reale poitiva (α i <), l eponenziale relativo a tale polo diverge, facendo divergere la ripota all impulo: il itema è quindi intabile. Etendendo, con ragionamenti analoghi, le concluioni al cao di poli multipli, i può formulare il eguente teorema: Un itema è: aintoticamente tabile: e e olo e tutti i poli della ua funzione di traferimento hanno parte reale negativa; emplicemente tabile: intabile: i. e e olo e tutti i poli della ua funzione di traferimento hanno parte reale negativa o nulla, almeno uno ha parte reale nulla, e tutti i poli a parte reale nulla ono emplici; e e olo e almeno un polo della ua funzione di traferimento ha parte reale poitiva oppure ha parte reale nulla ed è multiplo. L analii di tabilità i riduce quindi all analii della poizione dei poli della funzione di traferimento. Eitono criteri per valutare e un polinomio (in queto cao il denominatore della funzione di traferimento) ha tutte le radici a parte reale negativa, cioè nel emipiano initro del piano compleo. Ci limitiamo a dare una condizione necearia (che, come tale, ha interee olo quando viene violata). Condizione necearia perché il polinomio: D ( ) n n n = + γ + γ + L+ γ n abbia tutte le radici a parte reale negativa è che i coefficienti γ, γ,..., γ n iano tutti poitivi. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 3-6

51 Per eempio: ( ) G ( ) G ( ) G + = 3 non è aintoticamente tabile; = 3 non è aintoticamente tabile; = 3 non i può concludere nulla dalla condizione necearia A completamento delle note ulla tabilità oerviamo che:. e il itema è dato in forma di equazioni di tato, la dicuione ulla tabilità può anche eere condotta ugli autovalori della matrice A. Infatti i poli della funzione di traferimento coincidono con tali autovalori, in aenza di cancellazioni di radici nel formare la funzione di traferimento. In preenza invece di cancellazioni, e quindi i poli ono un ottoinieme degli autovalori di A, la definizione di tabilità qui introdotta induce a ritenere ineenziali ai fini della valutazione della tabilità la poizione nel piano compleo degli autovalori cancellati (contano olo i poli). In realtà una definizione più generale di tabilità (tabilità alla Lyapunov), che fa riferimento al itema epreo in termini di equazioni di tato, conduce alla concluione che il itema è aintoticamente tabile alla Lyapunov e e olo e tutti gli autovalori di A ono a parte reale negativa. Potremo allora dire che e tutti i poli della funzione di traferimento ono a parte reale negativa ma vi ono autovalori cancellati a parte reale non negativa, il itema è aintoticamente tabile eternamente ma è preente una non aintotica tabilità interna.. In queto coro non i danno definizioni di tabilità di tati di equilibrio per itemi non lineari, né trumenti per valutarla. E tuttavia evidente che lo tudio della tabilità del itema linearizzato nell intorno dello tato di equilibrio fornice chiare indicazioni del comportamento del itema non lineare perturbato ripetto alla condizione di equilibrio. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 3-7

52 Eercizi Eercizio 3. Si calcoli la funzione di traferimento dall ingreo u all ucita y per la rete elettrica dell eercizio., in cui i ponga R=, L=, C=. Eercizio 3. Si calcoli la funzione di traferimento dall ingreo u all ucita y per il eguente itema dinamico: () = () () = () () = () () () + () () = x() t x& t x t x& t x t 3 x& t x t x t x t u t 3 3 yt Eercizio 3.3 Si determinino tipo, guadagno, cotanti di tempo degli zeri e dei poli per la eguente funzione di traferimento: () G = ( + )( ) Eercizio 3.4 Si dicuta la tabilità dei itemi decritti dalle eguenti funzioni di traferimento: 3 G() = G() = G3() = G () 4 4 = Eercizio 3.5 Si crivano le equazioni (nel dominio del tempo) di un itema dinamico che ammette la eguente funzione di traferimento: 3 G () = + 4 Eercizio 3.6 Si calcoli l epreione analitica della ripota all impulo della eguente funzione di traferimento: 4 + G () = P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 3-8

53 Traccia delle oluzioni Eercizio 3. Traformando econdo Laplace entrambi i membri delle equazioni, i ottiene: X = X X + U X = X X Y = X da cui, eliminando X e X, i ottiene: () () Y = U + + Eercizio 3. Traformando econdo Laplace entrambi i membri delle equazioni, i ottiene: X X = X = X 3 X = X X X + U 3 3 Y = X da cui, eliminando X, X e X 3, i ottiene: () () Y = 3 U Eercizio 3.3 Ricrivendo la funzione di traferimento nella forma: () G µ = g ( + T ) z ( + Tp)( + Tp)( + Tp3) i ottiene: ( 5. ) G ( ) =, 4 ( + )( + 5. )( + 5. ) da cui i deduce: Tipo: g = Guadagno: µ = /4 Cotante di tempo dello zero: T z =.5 Cotanti di tempo dei poli: T p =, T p =.5, T p3 =.5. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 3-9

54 Eercizio 3.4 G e G 4 ono aintoticamente tabili (hanno i poli nel emipiano initro), G e G 3 non lo ono, in quanto non oddifano la condizione necearia (per la preciione, ono intabili). Eercizio 3.5 Una poibile (non unica) oluzione è la eguente: () = 4 () + 3 () () = xt () &x t xt ut yt Eercizio 3.6 Poiché la traformata di Laplace dell ingreo (impulo) vale, la traformata di Laplace dell ucita coincide con la funzione di traferimento G(). Si applica il metodo di antitraformazione di Heaviide: () G () Y = = ( + )( + ) ( + 3) + ( + ) ( + )( + 3) 4 + α α α α = + = Confrontando i numeratori, una volta in = e una volta in = 3, i ottiene: α = 7, α =, da cui: () t 3t yt = 7e + e t.. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 3 -

55 Lezione 4 Ripote canoniche dei itemi del primo e del econdo ordine

56 Parametri caratteritici della ripota allo calino Per ripote canoniche i intendono le ripote dei itemi dinamici ai egnali coiddetti canonici (impulo, calino, rampa), ovvero quei egnali utilizzabili come tet per evidenziare le proprietà dinamiche del itema. Ci concentreremo ui itemi del primo e econdo ordine in quanto rappreentativi dei modelli di prima approimazione di larga parte dei itemi fiici. Sul tracciato di una generica ripota allo calino potremo definire alcuni parametri caratteritici: y(t) y.9y S ±ε%.y T T aε t Fig. : Parametri caratteritici della ripota allo calino Tempo di alita T : è il tempo impiegato dalla ripota a paare dal % al 9% del valore di regime. Tempo di aetamento al (-ε)% T aε : è il tempo impiegato dalla ripota ad entrare definitivamente in una facia comprea tra ±ε% del valore di regime. Sovraelongazione percentuale maima S E : è l ecurione maima della ripota ripetto al valore di regime, rapportata in percentuale al valore di regime teo: { yt ()} S max y SE = =. y y P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 4 -

57 Sitemi del primo ordine L epreione più generale della funzione di traferimento per un itema del primo ordine (oia con un olo polo) è la eguente: ( ) G µ + τ = g. + T Sitemi trettamente propri Sono i itemi in cui il grado del denominatore è maggiore del grado del numeratore. Sitemi del primo ordine trettamente propri non poono quindi preentare zeri: µ µ, g = G ( ) = T g = + + T µ, g = g = ( ) G µ = + T Studiamo la ripota allo calino ( ut () = ca() t U() = ): Y ( ) = GU ( ) ( ) = µ T T = µ + µ + T = µ. + / T Antitraformando: () tt ( ) yt = µ e, t. A econda del egno di T l andamento di y riulta molto divero : µ y T > y T < t T t Fig. : Ripota allo calino per T> e T< Qui e nel eguito i aumerà, enza alcuna perdita di generalità, il parametro µ poitivo. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 4 -

58 Quando T>, la ripota y i aeta u un valore finito, mentre quando T< la ripota diverge all infinito. Si oervi che il itema di funzione di traferimento G() preenta un polo per = /T. Pertanto il itema riulta aintoticamente tabile per T>, intabile per T<. Im Im Re Re /T /T T > T < Fig. 3 : Poizione del polo per T> e T< Coniderando olo il cao aintoticamente tabile (T>), i può calcolare il valore limite (per t ) della ripota allo calino con il teorema del valore finale: lim yt () = lim[ Y ()] = lim t µ + T = µ. Pertanto la ripota allo calino tende al guadagno µ del itema: in altre parole il rapporto tra il valore limite dell ucita ed il valore limite dell ingreo (che in queto cao vale, eendo l ingreo uno calino), è pari al guadagno del itema. Ciò cotituice una circotanza generale. La forma del tranitorio dipende invece olo dalla cotante di tempo T. All itante iniziale (t=) la derivata di y vale µ/t: pertanto inizialmente la curva è tangente alla retta che paa per l origine e che intercetta la retta orizzontale di ordinata µ (oia la retta a cui tende la ripota), in corripondenza dell itante t=t (fig. ). Ne conegue che il tranitorio è tanto più veloce quanto più piccolo è il valore della cotante di tempo T. Si può verificare che la ripota y raggiunge praticamente (al 98 99%) il valore di regime dopo un tempo pari a 4 5 volte la cotante di tempo T. Si oervi che da quete coniderazioni emerge anche con molta evidenza un metodo grafico per tracciare l andamento approimato della ripota allo calino. Studiamo anche la ripota all impulo ( ut () = imp() t U() = ): µ µ Y ( ) = GU ( ) ( ) = =. + T T + / T Antitraformando: µ yt () T e tt =, t. Si noti che la ripota all impulo riulta uguale alla derivata ripetto al tempo della ripota allo calino (circotanza generale). A econda del egno di T i ottiene: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 4-3

59 µ/t y T > y T < t T t Fig. 4 : Ripota all impulo per T> e T< Coerentemente con la definizione di tabilità, per T> (itema aintoticamente tabile), la ripota converge a zero, per T< (itema intabile) la ripota diverge. g = ( ) G = µ. Il itema ha un polo in =: è pertanto emplicemente tabile. Studiamo la ripota allo calino ( ut () = ca() t U() = ): µ µ Y ( ) = GU ( ) ( ) = = Antitraformando: yt () = µ ram () t.. y µ t Fig. 5 : Ripota allo calino Per quanto riguarda la ripota all impulo: Y ( ) = GU ( ) ( ) = µ. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 4-4

60 e quindi: yt () = µca () t. y µ t Fig. 6 : Ripota all impulo In entrambi i cai l ucita equivale all integrale dell ingreo, moltiplicato per il fattore µ. Sitemi propri non trettamente Sono i itemi in cui il grado del denominatore è uguale al grado del numeratore. Sitemi del primo ordine propri non trettamente preentano quindi uno zero: ( ) G µ + τ = g = + T + τ µ, + T + τ µ, µ, + T g = g = g = g = + τ G ( ) = µ + T Studiando la ripota allo calino i perviene alla eguente epreione: () yt τ tt = + µ e t T,. Al variare del valore relativo di τ e T (e quindi della poizione relativa del polo e dello zero) la ripota allo calino cambia enibilmente (i conidera olo il cao aintoticamente tabile, T>): P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 4-5

61 µ y < τ < T Im Re µτ/t /τ /T T t Fig. 7 : Ripota allo calino per <τ<t µτ/t y < T < τ Im µ Re /T /τ T t Fig. 8 : Ripota allo calino per <T<τ µ y τ < < T Im T t Re /T /τ µτ/t Fig. 9 : Ripota allo calino per τ<<t Uno zero nel emipiano initro anticipa la ripota ripetto al cao di itema privo di zero, nel eno che la ripota tea i porta inizialmente ad un valore divero da zero, dello teo egno del valore di regime. Uno zero nel emipiano detro ritarda la ripota ripetto al cao di itema privo di zero, nel eno che la ripota tea i porta inizialmente ad un valore divero da zero, di egno oppoto al valore di regime (ripota invera). Queto tipo di comportamento è tipico dei P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 4-6

62 itemi con zeri nel emipiano detro, che per ragioni che aranno chiare più avanti nel coro, prendono anche il nome di itemi a fae non minima. g = ( ) G + τ = µ y τ > Im Re µt µ /τ t Fig. : Ripota allo calino per τ> y τ < Im t Re µt µ /τ Fig. : Ripota allo calino per τ< g = ( ) G = µ + T Im µ/t y Re /T T t Fig. : Ripota allo calino (zero in =) P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 4-7

63 Sitemi del econdo ordine Per i itemi del econdo ordine (che preentano cioè due poli) ci limiteremo ad eaminare alcuni cai particolari, rinunciando alla caitica completa. Sitemi con poli reali e neuno zero G ( ) = µ ( + T )( + T ). Aumiamo T e T poitivi, oia il itema aintoticamente tabile (i uoi poli, in = /T, = /T, ono nel emipiano initro). La traformata di Laplace della ripota allo calino è data da: µ Y ( ) =. ( + T)( + T) In bae al teorema del valore iniziale, otteniamo: [ ] y( ) = lim Y( ) = lim ( ) L( ) µ ( + T )( + T ) = [ ] ( ( ) ( ) [ )] [ ( )] y& = lim y& = lim Y y = lim Y = lim ( ) L( ) 3 [ ] ( ) [ ] ( ( ) ( )) [ ] && y = lim && y = lim Y y& = lim Y = lim mentre in bae al teorema del valore finale: [ ] y( ) = lim Y( ) = lim µ ( + T )( + T ) = µ. µ ( + T )( + T ) ( + )( + ) = µ µ = > T T TT La ripota parte quindi da zero, con tangente orizzontale e concavità rivolta vero l alto. Tende poi al valore µ. L antitraformata i può ottenere con il metodo di Heaviide: T yt () T T e tt T T T e tt = µ +, t. L andamento tipico è a forma di S : P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 4-8

64 µ y t Fig. 3 : Ripota allo calino La durata del tranitorio può eere facilmente legata alle due cotanti di tempo T e T olo e i due valori ono molto diveri tra loro: in tal cao, infatti, conta olo il valore della cotante di tempo più grande. Se, ad eempio T >> T, allora: () tt [ ] yt µ e, t. µ y tranitorio veloce dovuto a T T t Fig. 4 : Ripota allo calino con T >> T Sitemi con poli reali e uno zero G ( ) = µ + τ ( + T )( + T ). Aumiamo T e T poitivi, oia il itema aintoticamente tabile. La traformata di Laplace della ripota allo calino è data da: + τ Y ( ) = µ + T + T ( )( ). In bae al teorema del valore iniziale, otteniamo: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 4-9

65 y( ) = lim[ Y( ) ] = lim µ + τ ( + T )( + T ) = ( ) [ ( )] [ ( ( ) ( ) y& = lim L y& = lim Y y )] = lim[ Y( ) ] = lim µ mentre in bae al teorema del valore finale: + τ µτ = T T TT ( + )( + ) + τ y( ) = lim[ Y( ) ] = lim µ = µ. ( + T)( + T) La ripota parte quindi da zero, con tangente rivolta vero l alto per τ>, vero il bao per τ<. La ripota tende poi al valore µ. Qualitativamente, gli andamenti della ripota allo calino aranno: µ y T < T < τ T < τ < T oppure < τ < T < T t Fig. 5 : Ripota allo calino con τ> µ y τ < t Fig. 6 : Ripota allo calino con τ< Si oervi il tratto di ripota invera nel cao di zero nel emipiano detro (τ < ). P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 4 -

66 Sitemi con poli complei e coniugati e neuno zero In queto cao è comodo ricrivere l epreione della funzione di traferimento nella forma equivalente: ωn G ( ) = µ, + ζωn+ ωn dove ζ, morzamento, e ω n, pulazione naturale, ono tati definiti nella precedente lezione. Si ricorda che il ignificato dei parametri ζ e ω n è illutrato dalla eguente figura: ζω n ω α n Im Re ζ = co(α) Si oervi inoltre che: Fig. 7 : Significato dei parametri ζ e ω n ζ>: due poli nel emipiano initro itema aintoticamente tabile ζ=: due poli ull ae immaginario itema emplicemente tabile ζ<: due poli nel emipiano detro itema intabile Studiamo la ripota allo calino: µ ωn Y ( ) =. + ζωn+ ωn In bae al teorema del valore iniziale, otteniamo: [ ] y( ) = lim Y( ) = ( ) L( ) lim µωn + ζωn+ ωn = [ ] ( ( ) ( ) [ )] [ ( )] y& = lim y& = lim Y y = lim Y = lim ( ) L( ) 3 [ ] ( ) [ ] ( ( ) ( )) [ ] && y = lim && y = lim Y y& = lim Y = lim mentre, per ζ>, in bae al teorema del valore finale: [ ] y( ) = lim Y( ) = lim µωn + ζωn+ ωn = µ. µωn + ζω + ω n n µωn + ζω + ω n n = n = µω > L epreione analitica della ripota allo calino, ottenibile per antitraformazione, è la eguente: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 4 -

67 yt e in t, ζ () = ζω n t µ ( ωn ζ + α) dove ζ = co(α). Per ζ=, i ha: [ n ] () = µ co( ω t) yt oia una coinuoide di pulazione ω n : y T = π/ω n µ t Fig. 8 : Ripota allo calino per ζ= Per ζ, la ripota ha l andamento di una inuoide inviluppata da due eponenziali (convergenti nel cao aintoticamente tabile, ζ>, divergenti nel cao intabile, ζ<). µ y M y ζω t n µ(+e ) T = π/ω* n µ ζω t n µ( e ) t Fig. 9 : Ripota allo calino per ζ> (ωn * = ωn ζ ) Si può dimotrare che, nel cao aintoticamente tabile, la ovraelongazione percentuale maima, oia il rapporto percentuale tra l ecurione del primo picco della ripota ripetto al valore di regime ed il valore di regime teo, dipende ecluivamente dal fattore di morzamento ζ: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 4 -

68 S E y M µ = = e µ ζπ ζ S E ζ Fig. 9 : Sovraelongazione percentuale maima ripetto al fattore di morzamento Per fare in modo che la ovraelongazione percentuale maima ia inferiore ad un valore aegnato, occorrerà quindi che i poli del itema appartengano ad un determinato ettore del emipiano initro del piano compleo (come quello tratteggiato in figura): Im Re Fig. : Settore del piano compleo per limitare la ovraelongazione Il tempo di aetamento può invece eere determinato con buona approimazione (per ecceo) facendo riferimento anziché alla ripota ad uno dei uoi inviluppi. Volendo quindi calcolare ad eempio il tempo di aetamento al 99% (T a ), i imporrà: ( ζωnta ) ζω T n a µ e =. 99µ e =. ζω T = ln e quindi: ln 4. 6 ζω ζω. T a = n n n a Il tempo di aetamento riulta quindi inveramente proporzionale al modulo della parte reale dei poli. Per limitare il tempo di aetamento occorrerà quindi che i poli del itema iano caratterizzati da un prodotto ζω n ufficientemente grande, oia che appartengano ad un P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 4-3

69 emipiano incluo nel emipiano initro del piano compleo ufficientemente lontano dall ae immaginario (come quello tratteggiato in figura): Im Re Fig. : Semipiano del piano compleo per limitare il tempo di aetamento Volendo contenere ia la ovraelongazione ia il tempo di aetamento, i poli della funzione di traferimento dovranno trovari in una regione del piano compleo interezione delle due regioni tratteggiate nelle precedenti figure. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 4-4

70 Eercizi Eercizio 4. Si tracci l andamento qualitativo della ripota allo calino del itema decritto dalla eguente funzione di traferimento: 4 G () = + Eercizio 4. Si tracci l andamento qualitativo della ripota allo calino del itema decritto dalla eguente funzione di traferimento: G () = 5. + Eercizio 4.3 Si tracci l andamento qualitativo della ripota allo calino del itema decritto dalla eguente funzione di traferimento: () G = ( + )( +. ) Eercizio 4.4 Si tracci l andamento qualitativo della ripota allo calino del itema decritto dalla eguente funzione di traferimento: G () 8 = + 9 P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 4-5

71 Traccia delle oluzioni Eercizio 4. G() è della forma: ( ) G µ = + T con µ =, T =.5. Pertanto: 3.5 T y.5.5 Eercizio 4. G() è della forma: + τ G ( ) = µ + T con µ =, T =, τ =.5. Pertanto: t ().5 T.5 y t () P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 4-6

72 Eercizio 4.3 G() è della forma: G ( ) = µ ( + T )( + T ) con µ =, T =, T =.. Pertanto la ripota allo calino è dominata dalla cotante di tempo T : T 8 y 6 4 Eercizio 4.4 G() è della forma: ( ) G = µ ωn + ζωn+ ωn con µ =, ω n =3, ζ=. Pertanto: t () y T t () Il periodo T dell ocillazione permanente vale: π T = =. 94 ω n P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 4-7

73 Lezione 5 Schemi a blocchi

74 Elementi cotitutivi di uno chema a blocchi Gli chemi a blocchi cotituicono un formalimo per rappreentare graficamente le interazioni tra itemi dinamici. Vediamone gli elementi cotitutivi: Il blocco Il blocco non è altro che un imbolo indicante la preenza di un itema dinamico, avente la funzione di traferimento riportata nel imbolo del blocco, e l ingreo e l ucita riportati ripettivamente ulla freccia entrante e ulla freccia ucente dal blocco: U G() Y Fig. : Un blocco Il nodo ommatore L ucita del nodo è data dalla omma algebrica dei egnali che entrano nel nodo, ciacuno preo con il proprio egno (e non è indicato il egno, i aume per convenzione il egno poitivo). X Y + Z + W W = X+Y Z Fig. : Un nodo ommatore Il punto di diramazione Tutti i egnali ucenti da un punto di diramazione ono uguali al egnale entrante nel punto. X Y W Z Y = X W = X Z = X Fig. 3 : Un punto di diramazione P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 5 -

75 Schemi di interconneione Sitemi in cacata (o erie) Due itemi i dicono in cacata (o in erie) e l ucita di uno è l ingreo dell altro. Graficamente i ha la eguente ituazione: U=U Y = U G () G () Y = Y Fig. 4 : Blocchi in cacata La funzione di traferimento dall ingreo del primo itema all ucita del econdo i ottiene come egue: Y( ) = Y ( ) = G ( ) U ( ) = G ( ) Y ( ) = G ( ) G ( ) U ( ) = G ( ) G ( ) U( ) Pertanto: Y ( ) U ( ) G ( ) G ( ) = La funzione di traferimento del itema cotituito dalla cacata di due ottoitemi è quindi data dal prodotto delle due funzioni di traferimento parziali. Sitemi in parallelo Due itemi i dicono in parallelo e hanno lo teo ingreo, mentre le loro ucite i ommano (algebricamente) per determinare l ucita del itema riultante. Graficamente i ha la eguente ituazione: U G () G () Y + Y + Y Fig. 5 : Blocchi in parallelo La funzione di traferimento dall ingreo comune ai due itemi all ucita i ottiene come egue: [ ] ( ) Y ( ) = Y ( ) + Y ( ) = G ( U ) ( ) + G ( U ) ( ) = G ( ) + G ( U ) Pertanto: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 5 -

76 Y ( ) = G ( ) + G ( ) U ( ) La funzione di traferimento del itema cotituito dal parallelo di due ottoitemi è quindi data dalla omma algebrica delle due funzioni di traferimento parziali, ciacuna prea con il egno con cui la ua ucita entra nel nodo ommatore. Sitemi in retroazione Due itemi i dicono connei in retroazione quando l ucita del primo è l ingreo del econdo, mentre l ucita del econdo i omma o i ottrae ad un ingreo eterno per determinare l ingreo del primo itema. Si hanno quindi due poibili chemi di conneione: U + + U G () Y Y Y G () U Fig. 6 : Blocchi in retroazione poitiva U + U G () Y Y Y G () U Fig. 7 : Blocchi in retroazione negativa In entrambi i cai: G : funzione di traferimento della linea di andata G : funzione di traferimento della linea di retroazione Conideriamo il cao di retroazione poitiva e calcoliamo la funzione di traferimento dall ingreo U all ucita Y: [ ] ( )[ ( ) ( ) ( )] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y( ) = Y ( ) = G ( ) U ( ) = G ( ) U( ) + Y ( ) = G U + G U = = G ( ) U( ) + G ( ) Y( ) = G U + G G Y P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 5-3

77 Pertanto: Y ( ) G( ) = U ( ) G ( ) G ( ) Analogamente, nel cao di retroazione negativa: [ ] ( )[ ( ) ( ) ( )] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y( ) = Y ( ) = G ( ) U ( ) = G ( ) U( ) Y ( ) = G U G U = = G ( ) U( ) G ( ) Y( ) = G U G G Y e quindi: Y ( ) G( ) = U ( ) + G ( ) G ( ) La funzione di traferimento G ()G () prende il nome di funzione di traferimento d anello. La regola per trovare la funzione d traferimento del itema compleivo (itema in anello chiuo) è quindi la eguente : Y ( ) U ( ) = f.d.t. linea di andata m f.d.t. d'anello : retroazione poitiva + : retroazione negativa P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 5-4

78 Stabilità degli chemi di interconneione Sitemi in cacata Siano: N( ) N( ) G( ) =, G ( ) D ( ) =, D ( ) le funzioni di traferimento dei due itemi in cacata, epree come rapporti di polinomi. La funzione di traferimento del itema compleivo arà quindi: N( ) N( ) G ( ) = G( G ) ( ) =. D ( ) D ( ) Il denominatore di G() è dato dal prodotto dei denominatori delle funzioni di traferimento parziali: ne conegue che i poli del itema compleivo ono la riunione dei poli dei due ottoitemi in cacata. Pertanto: Un itema cotituito dalla cacata di due o più ottoitemi è aintoticamente tabile e e olo e lo ono tutti i ottoitemi che compongono la cacata. Il precedente ragionamento non prevede la poibilità che vi iano radici di N uguali a radici di D, o radici di N uguali a radici di D, oia che intervengano cancellazioni tra poli di una funzione di traferimento e zeri dell altra. Se vicevera tali cancellazioni avvengono, occorre porre attenzione al fatto che i poli cancellati iano o meno a parte reale negativa (oia nel emipiano initro). Se infatti tutti i poli cancellati ono nel emipiano initro, ei non hanno alcun ruolo nel determinare l aintotica tabilità del itema compleivo, che viene ovviamente a dipendere dai poli non cancellati. Se invece almeno uno dei poli cancellati non è nel emipiano initro, mentre tutti i poli non cancellati lo ono, i arebbe indotti a ritenere che il itema riultante ia aintoticamente tabile (il denominatore della funzione di traferimento ottenuto a eguito delle cancellazioni preenterebbe tutte radici nel emipiano initro). In realtà una ituazione di queto tipo corriponderebbe alla preenza di una intabilità (o, comunque, non aintotica tabilità) interna: a eguito di una ollecitazione impuliva all ingreo, eppure la variabile di ucita del itema i riporta, eaurito il tranitorio, al valore di ripoo, altre variabili interne poono crecere indefinitamente, o comunque non ritornare al valore di ripoo. Concludiamo quindi che la precedente affermazione ulla tabilità dei itemi connei in cacata è in realtà valida, facendo riferimento al concetto di tabilità interna, anche in preenza di cancellazioni tra poli e zeri. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 5-5

79 Sitemi in parallelo Siano: N( ) N( ) G( ) =, G ( ) D ( ) =, D ( ) le funzioni di traferimento dei due itemi in parallelo. La funzione di traferimento del itema compleivo arà quindi (i egni con cui avviene la omma ono irrilevanti ai fini della tabilità): N( ) N( ) N( ) D( ) + N( ) D( ) G ( ) = G( ) + G( ) = + =. D ( ) D ( ) D( ) D( ) Anche in queto cao, il denominatore di G() è dato dal prodotto dei denominatori delle funzioni di traferimento parziali: ne conegue che i poli del itema compleivo ono la riunione dei poli dei due ottoitemi in cacata. Pertanto: Un itema cotituito dal parallelo di due o più ottoitemi è aintoticamente tabile e e olo e lo ono tutti i ottoitemi che compongono il parallelo. Un ragionamento analogo a quello viluppato per i itemi in cacata conente di concludere che l affermazione è valida, con riferimento al concetto più generale di tabilità interna, anche in preenza di poli comuni tra le due funzioni di traferimento (ovvero radici comuni di D e D, che comportano cancellazioni). Sitemi in retroazione Siano: N( ) N( ) G( ) =, G ( ) D ( ) =, D ( ) le funzioni di traferimento dei due itemi in retroazione. La funzione di traferimento del itema compleivo arà quindi: N( ) G( ) D ( ) N( ) D( ) G ( ) = = =, m G ( ) G ( ) N ( ) N ( ) D( ) D( ) m N ( ) N ( ) m D ( ) D ( ) con l opportuno egno a econda che i tratti di retroazione poitiva o negativa. Pertanto i poli del itema in anello chiuo ono le radici del denominatore: D ( ) D ( ) m N ( ) N ( ) e non hanno neuna relazione precia con le radici dei polinomi D e D, oia con i poli dei due ottoitemi interconnei. Pertanto: Per un itema cotituito dalla retroazione di due ottoitemi non i può affermare nulla ulla aintotica tabilità del itema in anello chiuo a partire dalla aintotica tabilità o meno dei due itemi interconnei. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 5-6

80 Eercizi Eercizio 5. Si calcoli la funzione di traferimento da u a y per il itema decritto dal eguente chema a blocchi: U G () G () Y G () G () 3 4 Eercizio 5. Si calcoli il legame, in termini di funzioni di traferimento dagli ingrei u e w all ucita y per il itema decritto dal eguente chema a blocchi: W U G () G () 3 Y G () P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 5-7

81 Eercizio 5. Riolvendo lo chema a blocchi i ottiene: () () Y U () = G () () G G4 + G3() + G + G Traccia delle oluzioni () () Eercizio 5. Riolvendo lo chema a blocchi i ottiene: () Y () () () () G () G () U G3 + + () + () = G + G () G G W P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 5-8

82 Lezione 6 Ripota in frequenza

83 Ripota inuoidale Conideriamo un generico itema dinamico lineare, di funzione di traferimento G(): U G() Y Fig. : Un itema dinamico lineare ed imponiamo il eguente andamento inuoidale all ingreo u () = in( + ) A: ampiezza ut A ωt ϕ ω: pulazione ϕ: fae (iniziale) u t ϕ/ω T = π/ω Fig. : Ingreo inuoidale Teorema della ripota in frequenza Se il itema è aintoticamente tabile, eaurito un tranitorio iniziale, anche l ucita è inuoidale, con la tea pulazione della inuoide in ingreo, e riulta in particolare: () = in( ω + ψ) yt B t con B= AG( jω) ψ= ϕ+ G( jω ). dove j è l unità immaginaria. Ripota in frequenza Si definice ripota in frequenza la eguente funzione complea della variabile reale ω: ( ) G jω, ω>. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 6 -

84 A partire dall epreione della funzione di traferimento, l epreione della ripota in frequenza i ottiene emplicemente otituendo a il prodotto jω, e limitando il campo di variabilità di ω ai valori poitivi. Per l applicazione del teorema della ripota in frequenza, per i itemi aintoticamente tabili, occorre poi valutare il numero compleo G(jω) (e quindi il uo modulo e la ua fae) in corripondenza ad un particolare valore di ω (oia in corripondenza alla pulazione della inuoide in ingreo). Coerentemente con il ignificato aunto nel teorema, la variabile ω prende il nome di pulazione. Si oervi che la definizione di ripota in frequenza i dà per tutti i itemi lineari, indipendentemente dalla tabilità. Eempio Sia: G ( ) =, ut () = in ( 5t+ 3. ) + Il itema è aintoticamente tabile, per cui il teorema è applicabile. L epreione della ripota in frequenza è la eguente: G( jω) =. + jω Siamo intereati a valutare la ripota in frequenza in corripondenza della pulazione ω=5, ed in particolare il modulo e la fae del numero compleo riultante: G( j5) = = = = = j5 + j G( j5) = = ( + j5) = arctan ( 5) = j5 In bae al teorema della ripota in frequenza, riulterà quindi, a tranitorio eaurito: ( ) ( ) () ( ) ( ) yt = G j5 in 5t+. 3+ G j5 = 39. in 5t 73.. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 6 -

85 Rappreentazione grafica della ripota in frequenza Come tutte le funzioni, la ripota in frequenza è ucettibile di rappreentazione grafica. Occorre tuttavia coniderare la ripota in frequenza è una funzione complea della variabile reale ω. Sono allora utilizzabili varie forme di rappreentazione grafica, tra le quali aumono rilevanza le eguenti due: Diagrammi polari Per ogni valore di ω i riporta il punto nel piano compleo G(jω). Congiungendo i punti i ottiene una linea che prende il nome di diagramma polare. Im Re G(jω ) G(jω ) Fig. 3 : Diagramma polare Diagrammi Carteiani Si tratta di una coppia di diagrammi, che rappreentano il modulo e la fae della ripota in frequenza ripetto alla pulazione ω: G(jω) ω arg G(jω) ω Fig. 4 : Diagrammi Carteiani P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 6-3

86 Diagrammi di Bode I diagrammi di Bode ono una coppia di diagrammi Carteiani della ripota in frequenza, in cui le cale degli ai dell acia e dell ordinata ono celte econdo un opportuno criterio che facilita il tracciamento dei diagrammi. Sia nel diagramma del modulo che nel diagramma della fae l ae delle acie (oia l ae delle pulazioni) è in cala logaritmica. La ditanza tra due generici punti che rappreentano le pulazioni ω e ω è proporzionale alla differenza tra i logaritmi di ω e ω. In altre parole, date quattro pulazioni ω, ω, ω 3 e ω 4 tali che: ω ω ω4 =, ω 3 la ditanza ulla cala logaritmica tra ω e ω è uguale alla ditanza tra ω 3 e ω 4 : ω ω ω 3 ω4 ω Fig. 5 : Scala logaritmica In particolare la ditanza tra due pulazioni aventi rapporto pari a dieci prende il nome di decade:. ω decade Fig. 6 : Decadi Nel diagramma del modulo i rappreenta ull ae delle ordinate il modulo in decibel, oia il logaritmo in bae del modulo, moltiplicato per il fattore : ( ω) G( jω) G j db = log. I valori del modulo in decibel vengono poi rappreentati u una cala lineare. Pertanto il diagramma del modulo viene tracciato u una carta emilogaritmica: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 6-4

87 modulo in db pulazione (rad/) Fig. 7 : Diagramma del modulo in carta emilogaritmica Nel diagramma della fae i rappreenta ull ae delle ordinate la fae della ripota in frequenza in gradi, u cala lineare. Anche queto diagramma va quindi tracciato u carta emilogaritmica: fae in gradi pulazione (rad/) Fig. 8 : Diagramma della fae in carta emilogaritmica P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 6-5

88 Per una generica funzione di traferimento: ( i ) ( ) µ + τ i G ( ) = g + τ k k, Diagramma di Bode del modulo il modulo della ripota in frequenza aume l epreione: ( ω) G j = µ jω g i k + jωτ + jωτ Il modulo in decibel i criverà quindi come: ( ) G( j ) G jω = log ω = log µ + log db i k + log + jωτ + log i. i k jω + jωτ Vediamo come i tracciano i diagrammi dei ingoli addendi di queta omma. g k Guadagno G= µ G jω = log µ ( ) ( ) db Si tratta di una retta orizzontale. Eempi: µ = µ = 4 db µ = µ = db µ =. µ = db Zeri e poli nell origine ( ) G( jω) G = g = log g db g = log jω Si tratta di una retta di pendenza g db/decade, che taglia l ae a db per ω=. Si dice anche che la retta ha pendenza g. ω 5 db -5 - µ > µ = µ < -5. ω (rad/) db - Fig 9 : Diagr. del modulo del guadagno 4 g = g = g = g = + -4 g = +. ω (rad/) Fig : Diagr. del modulo di zeri/poli in = P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 6-6

89 Zeri e poli reali ± G ( ) = ( + τ) ( ) G jω =± log + jωτ =± log + ω τ db Per facilitare il tracciamento a mano i introducono i diagrammi aintotici. log = ω τ G( jω) db ± log ωτ ω > τ L errore maimo tra diagramma vero ed aintotico i ha per ω=/ τ, e vale log 3dB. Il diagramma è del tutto indipendente dal egno di τ. Se vi ono più zeri (poli) reali coincidenti, i diagrammi i ommano. 3 db - - vero vero zero aintotico aintotico polo pendenza + pendenza -3. / τ ω (rad/) Fig : Diagr. del modulo di poli/zeri reali Zeri e poli complei e coniugati ± ζ G ( ) = [( + τ)( + τ) ] = + + ω ω ( ω) G j db ω =± log + 4ζ ω n n n ω ω n ± I diagrammi aintotici i tracciano otituendo ai due zeri (poli) due zeri (poli) reali coincidenti alla pulazione ω n. L approimazione è buona olo per valori di ζ elevati ( ζ >.5). Il diagramma non dipende dal egno di ζ. 6 Zeri 4 Poli Im 4 ζ= Rionanza ω n α ζ=co(α) Re db ζ = ζ db - ζ = ζ - Antirionanza -4 ζ= -4. ω n ω (rad/) -6. ω n ω (rad/) Fig. : Diagrammi del modulo di poli/zeri complei e coniugati P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 6-7

90 Eempio di tracciamento G ( ) = ( +. ) ( ω) G j db ( ) ( ) ( ) ( 4) 3 = log + log + log jω+ log jω + j. ω Sommando i ingoli addendi i ottiene il diagramma aintotico di Bode del modulo della ripota in frequenza: 4 (3) () db - -4 () (4) -6-3 rad/ Fig. 3 : Diagramma di Bode del modulo Per il tracciamento veloce del diagramma aintotico del modulo, ci i può ervire delle eguenti regole pratiche:. A baa frequenza (ω ) il diagramma giace ulla retta di pendenza g, paante per il punto [ ω = = µ ] ; G db db.. Ad ogni pulazione corripondente a p poli (zeri) reali, la pendenza diminuice (aumenta) di p unità. 3. Ad ogni pulazione corripondente alla pulazione naturale di p coppie di poli (zeri) complei e coniugati, la pendenza diminuice (aumenta) di p unità. 4. La pendenza finale è pari al numero degli zeri meno il numero dei poli (regola di verifica). P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 6-8

91 Per una generica funzione di traferimento: ( i ) ( ) µ + τ i G ( ) = g + τ k k, Diagramma di Bode della fae la fae della ripota in frequenza aume l epreione: G( jω) = µ+ g + i ( + jωτi ) + k + jωτ ( jω) Vediamo come i tracciano i diagrammi dei ingoli addendi di queta omma. k. Guadagno ( ) µ G( jω) G µ = = µ= 8 µ < Si tratta di una retta orizzontale. 5-5 Gradi - µ > -5 µ < -. ω (rad/) Fig. 4 : Diagr. della fae del guadagno Zeri e poli nell origine G ( ) = g g G( jω) = g = ( jω) = g ( jω) = g 9 ( jω) Si tratta di una retta orizzontale. Ad eempio un polo nell origine (g=), oia un integratore, dà un contributo di fae cotante pari a 9. Gradi - g = g = g = g = + g = + -. ω (rad/) Fig. 5:Diagr. della fae di zeri/poli in = P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 6-9

92 Zeri e poli reali ± G ( ) = ( + τ) ± ( ω) ( ωτ) ( ωτ) arctan( ωτ) G j = + j =± + j =± Per facilitare il tracciamento a mano i introducono i diagrammi aintotici. = ω τ G( jω) ± ( jωτ) ω > τ Il diagramma dipende dal egno di τ. Infatti: 9 τ > ( jωτ) = 9 τ < Se vi ono più zeri (poli) reali coincidenti, i diagrammi i ommano. Gradi 5-5 aintotico vero vero aintotico zero, τ> polo, τ< zero, τ< polo, τ> -.. / τ ω (rad/) Fig. 6 : Diagr. della fae di zeri/poli reali Zeri e poli complei e coniugati ± ζ G ( ) = ( + τ)( + τ) = + + ω ω [ ] G( jω) n n ζ ± n =± ω ω arctan ω ω I diagrammi aintotici i tracciano otituendo ai due zeri (poli) due zeri (poli) reali coincidenti alla pulazione ω n. L approimazione è tanto migliore quanto più piccoli ono i valori di ζ. Il diagramma dipende dal egno di ζ. n Zeri con ζ >, Poli con ζ < Zeri con ζ <, Poli con ζ > Im 5 ζ= ζ -5 ω n α ζ=co(α) Re Gradi ζ = - Gradi ζ 5-5 ζ= ζ =.. ω n ω (rad/) -.. ω n ω (rad/) Fig. 7 : Diagrammi della fae di zeri/poli complei e coniugati P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 6 -

93 Eempio di tracciamento G ( ) = ( +. ) ( ) ( ) ( 3) ( jω) ( 4) G( jω) = jω + ( j. ω) Sommando i ingoli addendi i ottiene il diagramma aintotico di Bode della fae della ripota in frequenza: 9 gradi -9-8 () () (3) (4) rad/ Fig. 8 : Diagramma di Bode della fae Per il tracciamento veloce del diagramma aintotico della fae, ci i può ervire delle eguenti regole pratiche:. A baa frequenza (ω ) il diagramma giace ulla retta orizzontale di ordinata µ g9.. Ad ogni pulazione corripondente a p zeri reali nel emipiano initro o p poli reali nel emipiano detro, il diagramma ha un alto poitivo di p9. 3. Ad ogni pulazione corripondente a p zeri reali nel emipiano detro o p poli reali nel emipiano initro, il diagramma ha un alto negativo di p9. 4. Ad ogni pulazione corripondente alla pulazione naturale di p coppie di zeri complei e coniugati nel emipiano initro o p coppie di poli complei e coniugati nel emipiano detro, il diagramma ha un alto poitivo di p8. 5. Ad ogni pulazione corripondente alla pulazione naturale di p coppie di zeri complei e coniugati nel emipiano detro o p coppie di poli complei e coniugati nel emipiano initro, il diagramma ha un alto negativo di p8. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 6 -

94 Regolo delle fai Per il calcolo precio della fae di una ripota in frequenza ad una determinata pulazione ω, aumendo la funzione di traferimento dotata olo di poli o zeri reali (o di poli e zeri complei ad elevato morzamento, approimati con poli e zeri reali), occorrerà calcolare la eguente epreione: ( ω ) 9 arctan( ωτ ) arctan( ωτ ) G j = µ g + + j + j i i k dove gli arcotangenti ono eprei in gradi. Volendo evitare il calcolo delle funzioni arcotangenti i può utilizzare uno trumento di calcolo manuale, detto regolo delle fai, cotituito da un righello ul quale ono tabulati i valori della funzione arcotangente. k decade 45 Fig. 9 : Regolo delle fai L uo del regolo è molto emplice:. Si verifica, anzitutto, che l ampiezza della decade riportata ul regolo ia congruente con l ampiezza della decade della carta emilogaritmica ulla quale i ta tracciando il diagramma di Bode;. Si poiziona il regolo lungo l ae delle pulazioni, con la freccia (dei 45 ) in corripondenza della pulazione ω; 3. Per ciacun polo o zero di cotante di tempo τ, i individua ull ae delle pulazioni il valore / τ e i legge il valore riportato ul regolo in corripondenza di tale pulazione; 4. Si ommano i contributi coì ricavati, avendo cura di attribuire a ciacun contributo il giuto egno (a econda che i tratti di un polo o uno zero e che eo i trovi nel emipiano detro o initro); 5. Si omma il contributo µ g9. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 6 -

95 Azione filtrante dei itemi dinamici Per i itemi dinamici lineari aintoticamente tabili i è vito che la ripota in frequenza conente di calcolare la ripota a tranitorio eaurito a ingrei inuoidali. Queto riultato i può etendere a categorie di ingrei più generali. Ingrei periodici Si conideri un ingreo periodico u(t): ( ) ( ) ut+ T = ut, t. Sotto ipotei molto generali, tra cui l aoluta integrabilità nel periodo, T ut () dt<, è noto che il egnale è ucettibile di viluppo in erie di inuoidi (erie di Fourier): π ut () = U + Unco ( nωt+ ϕn), ω =. T n= I coefficienti U n e ϕ n prendono il nome di coefficienti di Fourier di u ed il loro calcolo non è qui riportato. Riulta allora che, eaurito un tranitorio, anche l ucita è periodica, con lo teo periodo dell ingreo, e i può crivere: () = + ( + ) yt Y Y co nω t ψ, n n= con: Yn = G jn U ψn = ϕn + ω ( ω) n Gjn ( ). n In altre parole il teorema della ripota in frequenza vale per tutte le inuoidi in cui è componibile il egnale di ingreo. Ingrei aperiodici Si conideri un ingreo aperiodico u(t): ( ) ( ) / Tut : + T = ut, t. Sotto ipotei molto generali, tra cui l aoluta integrabilità del egnale, ut () dt <, è noto che il egnale è ucettibile di viluppo in integrale di inuoidi (integrale di Fourier): ω ( ω ϕ ω ) ω () = ( ) co + ( ) ut U t d. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 6-3

96 Le funzioni U(ω) e ϕ(ω) cotituicono la traformata di Fourier di u ed il loro calcolo non è qui riportato. Riulta allora che, eaurito un tranitorio, anche l ucita è eprimibile con un integrale di Fourier: ω ( ω ψ ω ) ω () = ( ) co + ( ) yt Y t d con: ( ω) = ( ω) ( ω) ( ) = ( ) + G( ) Y G j U ψω ϕω ω., In altre parole il teorema vale per tutte le inuoidi in cui è componibile il egnale di ingreo. La ripota in frequenza conente quindi di calcolare la ripota a qualiai ingreo, poiché determina come i modificano le componenti armoniche dell ingreo. In queto eno un itema dinamico aintoticamente tabile i può vedere empre come un filtro. Particolare rilevanza aume una tipologia di filtro che prende il nome di filtro paabao. Si tratta di un itema dinamico aintoticamene tabile, che per emplicità conidereremo a guadagno unitario, caratterizzato da un modulo della ripota in frequenza del tipo di quello riportato in figura: G(jω) db ω b ω Se riulta: ( ) Gjω < 3, ω, db Fig. : Diagramma del modulo di un filtro paabao oia e il itema non preenta rionanze, definiamo banda paante del filtro l inieme di pulazioni: { ω : Gj ( ω) > } = [, ωb] db 3, con ω b etremo uperiore della banda paante. Un filtro paabao, quindi, lacia paare le armoniche le cui pulazioni ono interne alla ua banda paante ed attenua le altre. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 6-4

97 Eercizi Eercizio 6. Si criva l epreione dell andamento di regime dell ucita y(t) del itema dinamico decritto dalla funzione di traferimento: G () = + oggetto all ingreo u(t) = 3 in(t). Eercizio 6. Si dica e è poibile che, a tranitorio eaurito, l ucita di un itema aintoticamente tabile oggetto all ingreo: () = in() + in( ) ut t t auma l epreione: yt = Bin 3t + β, () ( ) con B e β cotanti opportune. Eercizio 6.3 Si traccino i diagrammi di Bode aintotici del modulo e della fae per la eguente funzione di traferimento: () G = ( +. )( + ) Eercizio 6.4 Si traccino i diagrammi di Bode aintotici del modulo e della fae per la eguente funzione di traferimento: + G () =. Eercizio 6.5 Si traccino i diagrammi di Bode aintotici del modulo e della fae per la eguente funzione di traferimento: G () = +. + Eercizio 6.6 Si traccino i diagrammi di Bode aintotici del modulo e della fae per la eguente funzione di traferimento: () G = ( +. )( )( + ) P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 6-5

98 Traccia delle oluzioni Eercizio 6. Utilizzando il teorema della ripota in frequenza, i ottiene, a tranitorio eaurito: [ ( )] () = 3 ( ) in + arg () yt G j t G j Poiché: G() j i ha: = + j, Gj () =, 5 arg( Gj ()) = arctan (. 5) =. 464, da cui: 3 yt () = in [ t. 464]. 5 Eercizio 6. Non è poibile, in quanto, in bae al teorema della ripota in frequenza ed al principio di ovrappoizione degli effetti, l ucita arà una combinazione lineare di due inuoidi di pulazioni e rad/. Eercizio 6.3 Diagramma di Bode - Modulo - db w (rad/) Diagramma di Bode - Fae -5 - gradi w (rad/) Nelle figure ono riportati, con linea tratteggiata, anche i diagrammi di Bode eatti. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 6-6

99 Eercizio 6.4 Diagramma di Bode - Modulo 5 db 5 - w (rad/) Diagramma di Bode - Fae 5 gradi 5 - w (rad/) Eercizio Diagramma di Bode - Modulo db w (rad/) Diagramma di Bode - Fae -5 - gradi w (rad/) Eercizio 6.6 Diagramma di Bode - Modulo 5 db w (rad/) Diagramma di Bode - Fae gradi w (rad/) P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 6-7

100 Lezione 7 Requiiti di un itema di controllo

101 Componenti di uno chema di controllo Eaurita la trattazione dei itemi dinamici, i torna ora al problema di controllo, che aveva dato origine a tale tudio. In figura è riportata la truttura tipica di un itema di controllo in retroazione: d A y u m y C A S d p c T d T dove: S: itema otto controllo (o proceo) T: traduttore A: attuatore C: controllore (o regolatore) Fig. : Sitema di controllo completo di trumentazione Sitema otto controllo E l oggetto dello tudio delle precedenti lezioni. Su di eo i interviene attravero la variabile manipolabile m ed il uo comportamento è influenzato dal diturbo d p. La ua ucita è la variabile controllata y. Se il itema è lineare, le ue proprietà dinamiche poono eere epree per mezzo di due funzioni di traferimento : y() = P() m() + H() d p (). Traduttore E lo trumento che miura una grandezza fiica del itema otto controllo (la variabile controllata y) e ne invia la miura c al controllore, in una forma compatibile con la ua tecnologia. E generalmente caratterizzabile con due proprietà, preciione e ripetibilità. Si può ditinguere tra preciione tatica (a tranitorio eaurito il egnale che eprime la miura della grandezza è proporzionale al valore aunto dalla grandezza tea) e preciione dinamica (velocità del tranitorio con il quale lo trumento reagice a variazioni nella Indicheremo con lo teo imbolo una variabile funzione del tempo e la ua traformata di Laplace. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 7 -

102 grandezza miurata). La ripetibilità invece è la proprietà per cui il comportamento del traduttore, ia tatico che dinamico, non varia nel tempo. Se il comportamento dinamico del traduttore è approimabile a quello di un itema dinamico lineare, la relazione che intercorre tra le traformate della grandezza controllata y e della miura c è eprimibile per mezzo di una funzione di traferimento e può eere affetta da un diturbo: c() = T() y() +d T () Se il traduttore è ripetibile, T() non varia nel tempo. In tal cao è anche poibile individuare un andamento deiderato della miura c, elaborando con un itema di funzione di traferimento T() l andamento deiderato y : c () = T() y (). Attuatore L attuatore traduce l azione di controllo elaborata dal controllore, ed eprea dalla variabile di controllo u, in un azione efficace ulla variabile manipolabile m. Ad eo è quindi di norma aociato uno tadio di amplificazione di potenza ed eventualmente di converione di potenza (i peni ad un motore elettrico che converte potenza elettrica in potenza meccanica). Anche per gli attuatori ipotizzeremo un comportamento dinamico lineare affetto da diturbo, per cui: m() = A() u() +d A (). Controllore Il controllore riceve in ingreo la miura c della variabile controllata ed il relativo egnale di riferimento c. Dovendo rendere queti due egnali quanto più poibile imili, è naturale che il controllore agica ulla loro differenza, oia ull errore e c = c c. Ipotizzeremo che anche il controllore abbia un comportamento dinamico lineare, per cui i avrà: u() = R() e c (). Alla luce delle precedenti coniderazioni, iamo in grado di riformulare un problema di controllo ulla bae di uno chema a blocchi di itemi dinamici lineari: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 7 -

103 y d p H() c + e c u + m y T() R() A() P() c T() + + dt d A Fig. : Sitema di controllo lineare Ipotizzeremo le funzioni di traferimento P(), H(), T() e A() date, inieme con l andamento del egnale di riferimento y. L incognita del problema arà la funzione di traferimento R(). P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 7-3

104 Formalizzazione del problema di controllo Lo chema a blocchi di Fig. può eere emplificato oervando che l effetto dei due diturbi d p e d A in linea di andata equivale all effetto di un unico diturbo d riportato direttamente ull ucita del proceo: d() = P() d A () + H() d p (). Inoltre oerviamo che: [ ] o o () = () () = () () ()() () = () () () () e c c Ty Ty d T y y n c dove: () = () () n T d T. Si ottiene quindi lo chema a blocchi riportato di eguito: T d y + u m y T() + + R() A() P(), + + n Fig. 3 : Prima elaborazione del itema di controllo A queto punto, fruttando la commutatività del prodotto tra funzioni di traferimento, i può ulteriormente emplificare lo chema a blocchi: d y y R() G() + + n Fig. 4 : Seconda elaborazione del itema di controllo con: G() = T() P() A(). Infine, una terza elaborazione porta al eguente chema: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 7-4

105 d y y L() + + n Fig. 5 : Terza elaborazione del itema di controllo dove: L() = R() G(). Si oervi che L() è la funzione di traferimento d anello del itema. L obiettivo ideale y y non è realizzabile, a caua dei limiti connei alla dinamica del itema otto controllo, dell attuatore e del traduttore. Si definicono allora una erie di requiiti che il progetto del controllore dovrà oddifare: Stabilità: Il itema in anello chiuo deve eere aintoticamente tabile, altrimenti qualiai perturbazione agente in qualiai punto dell anello i amplificherebbe indefinitamente. Preciione tatica: A regime, a eguito di aegnate perturbazioni (a calino, a rampa ecc.) degli ingrei, l errore tra riferimento e variabile controllata deve eere nullo, oppure inferiore ad una oglia prefiata. Preciione dinamica: Intenità dell azione di controllo: La variabile controllata deve ineguire le variazioni del riferimento, e reagire a perturbazioni ui diturbi, con ufficiente rapidità, e enza manifetare comportamenti ocillatori. A caua dei limiti di funzionamento lineare degli attuatori, oltre che per non danneggiare gli attuatori tei, occorre evitare che la variabile di controllo ubica bruche variazioni o auma valori ecceivi. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 7-5

106 Lezione 8 Stabilità dei itemi di controllo

107 Poli di un itema di controllo Riprendiamo lo chema a blocchi di un itema di controllo in retroazione: d y y L() + + n Fig. : Sitema di controllo Eendo la tabilità una proprietà del itema, indipendente dagli ingrei, poiamo coniderare il itema di controllo privo dei diturbi: y + y L() Fig. : Sitema di controllo privo di diturbi Eprea la funzione di traferimento d anello come rapporto di polinomi: N ( ) L ( ) =, D ( ) la funzione di traferimento da y a y aume l epreione: N ( ) c ( ) L ( ) D ( ) N ( ) = = =. c ( ) + L ( ) N ( ) N ( ) + D ( ) + D ( ) Definiamo il denominatore di queta funzione di traferimento polinomio caratteritico in anello chiuo: χ( ) = N( ) + D( ). Le radici di tale polinomio ono quindi i poli del itema in anello chiuo. Pertanto il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile e e olo e tutte le radici del polinomio caratteritico hanno parte reale negativa. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 8 -

108 Eempio Sia + L ( ) = Poiché il polinomio caratteritico in anello chiuo: χ( ) 3 3 = = + + non oddifa la condizione necearia perché le ue radici abbiano tutte parte reale negativa, il itema in anello chiuo non è aintoticamente tabile. Se nel formare il prodotto L() tra R() e G() intervengono cancellazioni tra poli (o zeri) di R() e zeri (o poli) di G(), i poli cancellati non compaiono più come radici del polinomio caratteritico. Ricordando tuttavia la dicuione fatta nella Lezione 5 riguardo gli effetti delle cancellazioni tra poli e zeri ulla tabilità dei itemi interconnei, oerviamo che, e i poli cancellati non hanno parte reale negativa, il itema nel uo compleo non può diri aintoticamente tabile, dal momento che nace una intabilità (o, comunque, una non aintotica tabilità) interna. Poiché zeri e poli della funzione di traferimento G() ono da riteneri aegnati, le coniderazioni precedenti conducono alle eguenti concluioni: a) Se il itema otto controllo G() ha un polo a parte reale poitiva o nulla, tale polo non può eere cancellato da un corripondente zero di R(). b) Se il itema otto controllo G() ha uno zero a parte reale poitiva o nulla, tale zero non può eere cancellato da un corripondente polo di R(). P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 8 -

109 Il criterio di Nyquit Il criterio di Nyquit è un criterio grafico di tabilità molto generale e di più immediata utilità del criterio del polinomio caratteritico ai fini della intei del controllore. In queto coro ci i limiterà a dare l enunciato del criterio, enza entrare in ulteriori approfondimenti. Il criterio di Nyquit i baa ul tracciamento del coiddetto diagramma di Nyquit aociato alla funzione di traferimento d anello L(): i tratta del diagramma polare della ripota in frequenza di L, orientato nel eno delle ω crecenti, cui i aggiunge il immetrico ripetto all ae reale del piano compleo. Occorre poi introdurre due quantità: P d : numero di poli a parte reale trettamente poitiva di L() N: numero di giri compiuti dal diagramma di Nyquit intorno al punto dell ae reale, contati poitivamente in eno antiorario. Se il diagramma paa per il punto, N i dice non definito. Il criterio afferma che il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile e e olo e N è ben definito e riulta: N = P d Eempio Sia: L ( ) = ( + ). Il diagramma polare i traccia ulla bae dei diagrammi di Bode aintotici (il modulo parte da e decrece monotonicamente, la fae parte da e decrece monotonicamente fino a 8 ). Dal diagramma polare è immediato tracciare il diagramma di Nyquit: punto - Im - -4 diagramma polare Re Fig. 3 : Diagramma di Nyquit di L P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 8-3

110 Si oervi che P d =, e che il diagramma di Nyquit non compie giri intorno al punto, per cui N =. Poiché N=P d il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile. Per verifica, oerviamo che il polinomio caratteritico in anello chiuo è il eguente: χ( ) = + ( + ) = + +, ed ha entrambe le radici:, = ± j nel emipiano initro. Se invece: L ( ) = 3 ( + ), il diagramma di Nyquit qualitativo i può tracciare di nuovo facilmente (i oervi che ora la fae della ripota in frequenza termina con il valore 7 ) punto - Im - -4 diagramma polare Re Fig. 4 : Diagramma di Nyquit di L Anche in queto cao P d =, mentre per determinare il valore di N occorre tabilire dove i trova il punto P in cui il diagramma attravera l ae reale. Tale punto può eere caratterizzato come quello in cui la parte immaginaria della ripota in frequenza i annulla o come quello in cui la fae della ripota in frequenza vale 8. Seguendo quet ultima trada, e denominando ω p la pulazione cui è aociato il punto P, ricaviamo ω p dall equazione: ( ) ( j ) ( ) Ljω = ω = 8 arctan ω = 6 ω = 3. Poiché: p p p p P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 8-4

111 ( ω p) Lj = + jω 3 p = ( + ω p ) = > 8 3, il punto P i trova a initra del punto, attorno al quale il diagramma compie quindi due giri in eno orario. Pertanto N = P d ed il itema in anello chiuo non è aintoticamente tabile. Per verifica, oerviamo che il polinomio caratteritico in anello chiuo è il eguente: 3 3 χ( ) = + ( + ) = , ed ha due radici:, =. 7 ± j86., 3 = 35. nel emipiano detro. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 8-5

112 Il criterio di Bode Si conideri nuovamente il itema in anello chiuo di Fig.. Introduciamo le eguenti ipotei ulla funzione di traferimento d anello L():. L() non ha poli a parte reale poitiva.. Il diagramma di Bode del modulo di L(jω) intereca l ae a db una e una ola volta. Diamo le eguenti definizioni: Pulazione critica ω c : Fae critica φ c : Margine di fae φ m : pulazione alla quale il diagramma di L(jω) db taglia l ae a db, oia: L(jω c ) =; fae di L(jω) in corripondenza della pulazione critica, oia φ = L jω ; c ( ) c differenza tra 8 e la fae critica, prea in modulo, oia: φ = 8 φ ; m Guadagno d anello µ L : guadagno (generalizzato) di L(). c Il criterio di Bode afferma che il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile e e olo e il guadagno d anello ed il margine di fae ono entrambi poitivi: µ L > φ > m Eempio Sia: L ( ) = ( + ). Il diagramma di Bode aintotico del modulo di L è riportato in figura: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 8-6

113 3 db ω (rad/) Fig. 5 : Diagramma di Bode aintotico di L La pulazione critica vale ω c 3 rad /. La fae critica può eere calcolata analiticamente o con il regolo delle fai. Riulta: φ c = arctan ( 3) = 7 = 44. Il margine di fae è quindi: φ m = 8 φ = 36 >. c Poiché anche il guadagno d anello (pari a ) è poitivo, il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile, coerentemente con quanto determinato con il criterio di Nyquit. Se invece: L ( ) = ( + ) 3, il diagramma aintotico del modulo di L è il eguente: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 8-7

114 db ω (rad/) Fig. 6 : Diagramma di Bode di L La pulazione critica vale ω c rad /. La fae critica: φ c = 3arctan ( ) = 3 64 = 9. Il margine di fae è quindi: φ m = 8 φ = <. c Pertanto il itema in anello chiuo non è aintoticamente tabile, coerentemente con quanto determinato con il criterio di Nyquit P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 8-8

115 Oervazioni ul criterio di Bode ) Giutificazione Il criterio di Bode è un cao particolare del criterio di Nyquit: non è infatti difficile verificare che nelle condizioni di applicabilità del criterio di Bode (che corripondono a P d = ), le condizioni ul guadagno d anello e ul margine di fae epree dal criterio equivalgono a garantire l aenza di giri del diagramma di Nyquit intorno al punto (N = ). Ripetto al criterio di Nyquit, il criterio di Bode ha il vantaggio di richiedere il tracciamento dei diagrammi di Bode, di norma più agevole del tracciamento del diagramma di Nyquit. ) Uo dei diagrammi aintotici La pulazione critica può eere timata con buona preciione utilizzando il diagramma di Bode aintotico del modulo, a patto che non vi iano cambiamenti di pendenza nelle vicinanze della pulazione critica tea. Occorre quindi tenere preente che più vicini alla pulazione critica ono i cambiamenti di pendenza, più inaccurata arà la tima della pulazione critica. Inoltre gli eventuali poli o zeri complei e coniugati devono eere ad alto morzamento, altrimenti i diagrammi aintotici poono cotari enibilmente da quelli reali. 3) Sitemi a fae minima Un itema dinamico i dice a fae minima e ha guadagno poitivo e tutte le ingolarità (poli e zeri) ono nel emipiano initro chiuo del piano compleo. Tale dizione deriva dal fatto che, e i tracciano i diagrammi di Bode della fae di tutte le funzioni di traferimento a guadagno poitivo e con poli nel emipiano initro chiuo, aventi lo teo diagramma del modulo della funzione di traferimento a fae minima, in quella a fae minima la fae i trova, per ciacuna pulazione, ad un valore di ordinata uperiore (e quindi, e le fai come peo avviene ono negative, la fae è più piccola in modulo). Per un itema a fae minima, ad ogni polo corriponde un decremento unitario della pendenza del diagramma del modulo ed un decremento di 9 del valore della fae, e vicevera per gli zeri. Ne conegue che il diagramma aintotico della fae i può immediatamente ottenere da quello del modulo, emplicemente moltiplicandone in ogni tratto la pendenza per 9. Se allora il diagramma aintotico del modulo, in corripondenza al taglio dell ae a db ha pendenza, e non vi ono cambiamenti di pendenza nelle immediate vicinanze della pulazione critica, allora la fae critica arà proima al valore aintotico ( 9 ). Ne conegue che il itema in anello chiuo, eendo il margine di fae ampiamente poitivo, arà aintoticamente tabile. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 8-9

116 Diagramma di Bode - Modulo ω c db - -4 Diagramma di Bode - Fae gradi -5 - ω (rad/) Fig. 7 : Taglio dell ae a db con pendenza per un itema a fae minima 4) Sitemi con ritardo Un itema in cui ad ogni itante l ucita ha il valore aunto dall ingreo τ itanti prima: yt () = ut ( τ ), prende il nome di ritardo (i ricordi l eempio del natro traportatore nella Lezione ). Traformando econdo Laplace entrambi i membri dell equazione i ha: ( ) Y= e τ U ( ), per cui la funzione di traferimento del ritardo è la eguente: ( ) G = e τ. La ripota in frequenza aociata a queta funzione di traferimento è quindi: jωτ ( ω) = = ( ωτ) ( ωτ) G j e co jin. Poiché riulta: ( ) e j ωτ ω ( ωτ) = = co + in ( ωτ) =, G( j ) e j ωτ ( ( ) ( )) G j ω = = arctan in ωτ co ωτ = ωτ, il diagramma di Bode del modulo coincide con l ae a db, mentre la fae decrece linearmente con ω (ulla cala logaritmica i ha una curva monotona decrecente). P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 8 -

117 Diagramma di Bode - Modulo db gradi Diagramma di Bode - Fae /τ ω (rad/) Fig. 8 : Diagrammi di Bode del ritardo E poi molto comune il cao in cui la funzione di traferimento d anello ia il prodotto di una funzione di traferimento razionale L r () e della funzione di traferimento del ritardo: L ( ) = L( e ) r τ. Si dimotra che, e il criterio di Bode è applicabile per la funzione di traferimento L r () (cioè e tale funzione di traferimento ne ripetta le ipotei), allora rimane applicabile anche per la funzione di traferimento L(). Oervando poi che riulta: j j ( ω) ( ω) ωτ ωτ = = ( ω) = ( ω) L j L j e L j e L j r ( ) ( ) r ( jωτ jωτ ) ( ) ( ) L jω = L jω e = L jω + e = L jω ωτ r r r i conclude che la preenza del ritardo non altera il diagramma di Bode del modulo, per cui la pulazione critica i può ricavare direttamente dall analii della funzione di traferimento priva di ritardo. Per quanto riguarda la fae critica, al termine dovuto alla parte razionale della funzione di traferimento occorrerà ommare un termine pari a: 8 ωτ c. π Si oervi la converione da radianti a gradi, necearia per rendere queto termine ommabile alle fai epree in gradi., r, P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 8 -

118 Eempio Sia: L ( ) = ( )( ) e + + τ, τ >. Il diagramma di Bode del modulo è riportato in figura. db ω (rad/) Fig. 9 : Diagramma di Bode aintotico del modulo di L La pulazione critica vale approimativamente ω c = rad/. La fae critica riulta: ϕc arctan arctan ωcτ τ τ = π Il margine di fae vale quindi: ϕ = 8 ϕ = τ = 8 ( τ) = 5 57 τ. m c Pertanto e, per eempio, τ =., il margine di fae è poitivo ed il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile; e τ =, il margine di fae è negativo ed il itema in anello chiuo non è aintoticamente tabile. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 8 -

119 Margine di guadagno Il margine di fae, oltre a dare un indicazione binaria ull aintotica tabilità del itema in anello chiuo, quantifica anche la robutezza della tabilità, oia il margine di icurezza con cui poiamo tollerare incertezze ul modello enza compromettere l aintotica tabilità. Più alto è il margine di fae, più robuto è il itema. Vi ono tuttavia cai in cui il margine di fae non cotituice un indicatore attendibile, come riportato nell eempio in figura: Im Re ϕ m Fig. : Diagramma polare di L ad alto margine di fae ma baa robutezza Pur eendo il margine di fae elevato, il diagramma polare paa molto vicino al punto, rendendo il itema caramente robuto a fronte di incertezze di modello. Un indicatore da uare in congiunzione con il margine di fae è il margine di guadagno. Sempre nell ipotei P d =, i upponga che il diagramma polare di L attraveri il emiae reale negativo in uno e un olo punto: a Im P Re Fig. : Diagramma polare di L con indicazione della ditanza del punto P dall origine Un indice di robutezza è la ditanza del punto P di interezione dal punto, ovvero la vicinanza del punto P all origine. Detta allora a la ditanza del punto dall origine, definiamo margine di guadagno la quantità: k m ( ω p) ( ω p) = =, con Lj = 8. a Lj Il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile e k m >, ed è tanto più robuto quanto maggiore è k m. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 8-3

120 Eercizi Eercizio 8. L() Con riferimento al itema retroazionato di figura, i dica per quali delle eguenti epreioni della funzione di traferimento d anello L() è applicabile il criterio di Bode per l analii di tabilità del itema in anello chiuo: L ( ) = L ( ) ( + )( +. ) = ( )( +. ). ( + ) L3( ) = L ( ) ( + )( +. ) 4 = 5. ( +. ) () L 5 = e. ( ) L 6 ( ) = ( + )( +. ) ( ) Eercizio 8. Si valuti il margine di fae per i itemi dell eercizio 8. per i quali ia applicabile il criterio di Bode. Eercizio 8.3 Si dicuta la tabilità in anello chiuo per i itemi dell eercizio 8. per i quali non ia applicabile il criterio di Bode. Eercizio 8.4 Con riferimento ad un itema retroazionato in cui L() è la funzione di traferimento di un itema dinamico decritto dalle eguenti equazioni differenziali: () = () () = () () + ( ) () = x () t x& t x t x& t x t x t u t yt i dicuta la tabilità del itema in anello chiuo. Eercizio 8.5 Si dicuta la tabilità del itema in anello chiuo quando la funzione di traferimento L() aume una delle eguenti epreioni: L ( ) = () ( + ) L = ( ) L = ( + ) 3 L ( ) = ( ) 4 P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 8-4

121 Traccia delle oluzioni Eercizio 8. I diagrammi di Bode del modulo per le 6 funzioni di traferimento d anello ono riportati in figura: 5 L 5 L db db -5 - w (rad/) L3-5 - w (rad/) L4 db -5 db w (rad/) L w (rad/) L6 db db -5 - w (rad/) -5 - w (rad/) L : il criterio di Bode è applicabile L : il criterio di Bode non è applicabile (c è un polo nel emipiano detro) L 3 : il criterio di Bode non è applicabile (il diagramma non taglia l ae a db) L 4 : il criterio di Bode non è applicabile (il diagramma taglia due volte l ae a db) L 5 : il criterio di Bode è applicabile L 6 : il criterio di Bode non è applicabile (c è un polo nel emipiano detro) Eercizio 8. L : ω, φ = = 9, φ = 8 φ = 5. c c m c Il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile. L 5 : ω 8, φ = = 9 57 = 86, φ = 8 φ = 6 π c c m c Il itema in anello chiuo è intabile. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 8-5

122 Eercizio 8.3 L : il polinomio caratteritico in anello chiuo vale: () ( )( ) χ = + +. = ed ha radici nel emipiano detro. Pertanto il itema in anello chiuo è intabile. L 3 : il polinomio caratteritico in anello chiuo vale: () ( )( ) χ = = ed ha tutte le radici nel emipiano initro. Pertanto il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile. L 4 : il polinomio caratteritico in anello chiuo vale: () ( ) ( ) χ = = ed ha tutte le radici nel emipiano initro. Pertanto il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile. L 6 : la funzione di traferimento d anello preenta un polo nel emipiano detro cancellato da uno zero. Pertanto ia il itema in anello aperto che quello in anello chiuo ono intabili. Eercizio 8.4 Traformando econdo Laplace le equazioni del itema i ottiene: () = () () = () () + () () = () X X X X X e U Y X da cui: () L () e () ( + ) Y = = U. Tracciato il diagramma di Bode del modulo di L (i veda la figura relativa all eercizio 8.5) i ricava: 8 ωc 3, φc = 7 3 = 44 7 = 36, π φm = 8 φc = 36 Il itema in anello chiuo è quindi intabile. Eercizio 8.5 Tutte e quattro le funzioni di traferimento hanno lo teo diagramma di Bode del modulo, uguale a quello riportato di eguito: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 8-6

123 3 db w (rad/) L : il itema in anello chiuo è intabile (dal criterio di Bode, eendo il guadagno d anello negativo) L : il itema in anello chiuo è intabile (il criterio di Bode non è applicabile, ma i può tudiare il polinomio caratteritico in anello chiuo) L 3 : il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile (dal criterio di Bode, eendo il margine di fae poitivo) L 4 : il itema in anello chiuo è intabile (il criterio di Bode non è applicabile, ma i può tudiare il polinomio caratteritico in anello chiuo). P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 8-7

124 Lezione 9 Pretazioni dinamiche dei itemi di controllo

125 Caratterizzazione delle pretazioni dinamiche Le pretazioni dinamiche fanno riferimento al comportamento del itema di controllo durante i tranitori, oia alla modalità con cui le variabili del itema, ed in particolare la variabile controllata, paano da una condizione di regime ad una nuova, a eguito di variazioni degli ingrei. Sono di particolare importanza, a queto riguardo: la velocità di ripota, ovvero la rapidità con cui la variabile controllata egue bruche variazioni (per eempio a calino) del riferimento; lo morzamento dei tranitori, ovvero l aenza o l irrilevanza di ocillazioni nel tranitorio. Con riferimento ai parametri con cui i era caratterizzata la ripota allo calino di un itema dinamico, potremo dire che la velocità di ripota corriponde ad avere un tempo di alita della ripota allo calino ridotto mentre lo morzamento dei tranitori corriponde a ovraelongazione maima e tempo di aetamento contenuti. Rientrano inoltre nel novero delle pretazioni dinamiche anche la reiezione dei diturbi, iano ei ulla linea di andata o u quella di retroazione, e la moderazione del controllo, oia la proprietà del itema di controllo per cui la variabile di controllo non è ottopota ad ecceive ollecitazioni. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 9 -

126 Si conideri un itema a cotante di tempo: ( ) H =, T >. + T Banda paante E noto che la ripota allo calino di queto itema è tanto più rapida quanto più piccola è la cotante di tempo T. Detta ω H = /T la pulazione del polo, poiamo equivalentemente dire che la ripota è tanto più veloce quanto più in alta frequenza è la pulazione del polo. 5 ω H db T t (ec) -5 ω (rad/) Fig. : Ripota allo calino e diagramma di Bode del modulo Pertanto la pulazione del polo è un buon indice della velocità di ripota del itema. Si conideri ora un itema di controllo in anello chiuo, ed in particolare la funzione di traferimento dal riferimento y alla variabile controllata y: () () Y F o = (). Y In virtù dell impoizione dei requiiti tatici, F() varrà, o comunque un valore proimo a, in baa frequenza (cioè per ). Inoltre il itema di controllo arà progettato in modo tale che la ua funzione di traferimento rifletta la caratteritica, propria dei itemi fiici, di avere più poli che zeri. Da quete coniderazioni eguono le due caratteritiche fondamentali del diagramma di Bode del modulo di F: per ω, F(jω) db ; per ω, F(jω) db. Andamenti plauibili del modulo di F potranno pertanto eere quelli riportati in figura: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 9 -

127 db - -3 db ω b -5 ω (rad/) ω (rad/) Fig. : Tipici andamenti del diagramma di Bode del modulo di F Se il diagramma di Bode del modulo di F non upera per neuna pulazione il valore 3 db, i definice banda paante del itema di controllo l inieme delle pulazioni [, ω b ], eendo ω b la pulazione alla quale il modulo vale 3 db. Si oervi che la condizione eprea preliminarmente alla definizione di banda paante eclude la preenza di rilevanti picchi o rigonfiamenti nel diagramma del modulo, e quindi le ituazioni rappreentate dal diagramma di detra in Fig.. In altre parole il itema di controllo i comporta da filtro paabao. Se la pendenza del diagramma di F db dopo la pulazione ω b vale, il itema di controllo i comporta in prima approimazione come un itema del primo ordine, con pulazione del polo pari a ω b. Ne conegue che i tranitori del itema in anello chiuo aranno caratterizzati da una cotante di tempo approimativamente pari a: τ =. ωb Il itema arà quindi tanto più veloce quanto più etea è la ua banda paante, oia l etremo uperiore della banda paante è un buon indice della velocità di ripota del itema di controllo. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 9-3

128 Velocità di ripota e pulazione critica Ci i pone ora l obiettivo di individuare un indice di velocità di ripota legato alla funzione di traferimento d anello L(), piuttoto che alla funzione di traferimento in anello chiuo F(). Ricordiamo che riulta: y + y L() Fig. 3 : Sitema di controllo privo di diturbi L ( ) F ( ) =. + L ( ) Il legame tra le ripote in frequenza è quindi: ( ω) F j ( ω) L( jω) L j =, + ed in particolare: ( ω) F j ( ω) L( jω) L j =. + Conideriamo ora la eguente approimazione: ( ω) F j ( ω) Lj ( ω) Lj = + : Lj ( ω) ( ω) : Lj ( ω) Lj ω >> ω <<. Tracciato il diagramma di L, l approimazione conite nell attribuire a F il valore per quelle pulazioni per cui L è deciamente opra l ae a db, o il valore di L quando L è deciamente otto l ae a db. Poniamoci ora nelle ipotei di applicabilità del criterio di Bode. Coniderando un tipico andamento di L, i avrà la ituazione riportata in Fig. 4. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 9-4

129 4 L F ω c? db ω (rad/) Fig. 4 : Metodo grafico per il tracciamento del diagramma aintotico del modulo di F a partire da quello di L L approimazione conite allora nel porre: ( ω) F j ( ω) Lj ω << ω ω >> ω c c. L approimazione è evidentemente migliore a pulazioni lontane dalla pulazione critica ω c. Poiamo quindi concludere che F i comporta da filtro paabao a guadagno unitario, ma non iamo ancora in grado di dire e preenta rionanza (oia e il modulo di F preenta rigonfiamenti). Di coneguenza non è ancora chiaro e ia più opportuno approimare F con un itema del primo ordine o con uno del econd ordine a poli complei. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 9-5

130 Smorzamento e margine di fae Il calcolo eatto del modulo di F per ω=ω c conduce al eguente riultato: ( ω ) F j c ( ωc) ( ) Lj = = = = + Ljω jϕ c + e c + coϕc + j in ϕc. = = = = + coϕc + coϕc + in ϕc ( + coϕc) ( coϕm) ϕ in m In particolare, per ϕ m = 9, riulta: ( ω ) F( jω ) F j = = 3, c c db per cui ω c = ω b, oia la pulazione critica coincide con l etremo uperiore della banda paante. Peraltro per valori inferiori a 9 del margine di fae, ma comunque elevati, il modulo di F in ω c rimane proimo al valore precedentemente ottenuto: in particolare rimane inferiore a per valori di ϕ m uperiori a 6. Coniderando che valori di margine di fae elevato ono di norma aociati ad attraveramenti dell ae delle pulazioni con pendenza del modulo di L pari a, poiamo concludere che in queto cao (ϕ m >6 ) è adeguata un approimazione di F con una funzione di traferimento del primo ordine a cotante di tempo, con cotante di tempo pari all invero della pulazione critica: F () = + ω. c Il tranitorio quindi i aeterà al 99% del valore di regime dopo un tempo pari a circa 4.6/ω c. Per valori inferiori del margine di fae (ϕ m <6 ) appare più adeguata un approimazione del econdo ordine con poli complei coniugati alla pulazione ω c : F () ωc + ζωc+ ωc. Lo morzamento i può determinare confrontando il valore aunto in ω c dal modulo della ripota in frequenza dell approimante con il valore eatto determinato precedentemente: ( ω ) F j c da cui: = =, ζ ϕ in m ϕ ϕ ζ = m in m, dove l ultima approimazione è valida e ϕ m è epreo in gradi. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 9-6

131 Il tranitorio quindi i aeterà al 99% del valore di regime dopo un tempo pari a circa 4.6/(ζω c ). Si oervi che il riultato trovato tabilice un importante relazione tra lo morzamento dei tranitori in anello chiuo ed il margine di fae, il quale, quindi, oltre a cotituire un indice di robutezza della tabilità, qualifica anche il grado di tabilità del itema. Eempio Sia: L ( ) =. ( +. 5) Si vuole tracciare l andamento qualitativo della ripota allo calino della funzione di traferimento F(). Il diagramma di Bode di L(jω) è riportato in figura: 4 3 db ω (rad/) Fig. 5 : Diagramma di Bode aintotico di L La pulazione critica è ω c = rad/, mentre il margine di fae riulta: ϕm = 8 ϕc = 8 9 arctan = = E quindi poibile procedere all approimazione: ( ) F + ω c =. +. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 9-7

132 La ripota allo calino approimata di F() è riportata in Fig. 6, dove viene confrontata con la ripota effettiva del itema di controllo:.8 approimata.6.4. vera t (ec) Fig. 6 : Ripota allo calino di F P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 9-8

133 Diturbo in linea di andata Conideriamo un diturbo d in linea di andata: Reiezione dei diturbi d y y L() Fig. 7 : Sitema di controllo con diturbo in linea di andata La funzione di traferimento dal diturbo d alla variabile controllata y è data da: () () Y D = S () = + L (), dove S prende il nome di funzione di enitività. Poiamo approimare il modulo della ripota in frequenza come fatto prima: ( ω) Sj = + Lj ( ω) ω : Lj ( ω) >> Lj ( ω), ω : Lj << ( ω) e, nelle ipotei di applicabilità del criterio di Bode, ( ω) Sj = + Lj ( ω) Lj ( ω) ω << ω ω >> ω c c Tracciato il diagramma di L, quello di / L i ottiene per ribaltamento ripetto all ae a db. L approimazione conite nell attribuire a S il valore per quelle pulazioni per cui L è deciamente otto l ae a db, o il valore di / L quando L è deciamente opra l ae a db. Coniderando un tipico andamento di L, i avrà la ituazione riportata in figura (con le tee coniderazioni fatte prima circa la validità delle approimazioni). P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 9-9

134 4 L /L ω c db - S ω (rad/) Fig. 8 : Cotruzione grafica del diagramma aintotico di S Pertanto le componenti armoniche (inuoidi) del diturbo a pulazioni inferiori alla pulazione critica, e quindi interne alla banda paante, ono fortemente attenuate ulla variabile controllata. L attenuazione è tanto maggiore quanto più alto è il valore del modulo di L ulla banda paante. Si conclude quindi che per un efficace reiezione dei diturbi in linea di andata la banda paante deve eere ufficientemente ampia da contenere le armoniche ignificative del diturbo. Diturbo in linea di retroazione Conideriamo un diturbo n in linea di retroazione: y + y L() + + n Fig. 9 : Sitema di controllo con diturbo in linea di retroazione La funzione di traferimento dal diturbo n alla variabile controllata y è data da: () () Y N () () L = F () =, + L P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 9 -

135 La funzione di traferimento F(), che prende il nome di funzione di enitività complementare, è la tea eitente tra riferimento e variabile controllata. Sappiamo quindi già come ottenerne il modulo a partire da quello di L (i veda la Fig. 4). Poiamo concludere quindi che tutte le componenti armoniche del diturbo eterne alla banda paante del itema di controllo vengono attenuate, mentre quelle interne paano. Ne conegue che per un efficace reiezione dei diturbi in linea di retroazione (che tipicamente i caratterizzano come rumore di alta frequenza), è bene che la banda paante non ia ecceivamente ampia. Si oervi che F() = S() P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 9 -

136 Moderazione del controllo Conideriamo un itema di controllo in cui mettiamo in evidenza la variabile di controllo: d y + u + + y R() G() + + n Fig. : Sitema di controllo con in evidenza la variabile di controllo La funzione di traferimento dal riferimento y alla variabile di controllo u è data da: () () U Y () L () R = Q () =, + dove Q prende il nome di funzione di enitività del controllo. Si oervi che, a meno del egno, queta è anche la funzione di traferimento dal diturbo d e dal diturbo n alla variabile di controllo. Poiché il riferimento e i due diturbi hanno caratteritiche armoniche differenti, è bene che la funzione di traferimento attenui (o non amplifichi) u tutto l ae delle pulazioni. Poiamo approimare il modulo della ripota in frequenza: ( ω) Qj ( ω) Lj ( ω) Rj = + Gj Rj ω : Lj ( ω) >> ( ω << ωc) ( ω) ( ω) ω : Lj ( ω) << ( ω >> ω ) Poiché fuori dalla banda paante (ω>ω c ) il modulo di Q coincide con quello di R, è bene che il regolatore ia progettato in modo che il uo modulo non auma valori ecceivi in alta frequenza. Per quanto riguarda invece il comportamento in banda paante, dobbiamo ipotizzare una tipologia di ripota in frequenza per G: ipotizziamo un comportamento di tipo filtro paabao, con un certo guadagno maggiore di e pulazione di taglio pari a ω G. E allora abbatanza evidente che e ω c è molto maggiore di ω G, il diagramma di / G, cui Q coincide in banda, può aumere valori molto elevati. c. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 9 -

137 4 G /G ω G ω c db ω (rad/) Fig. : Banda in anello aperto e in anello chiuo Concludiamo allora che per garantire moderazione al controllo la banda paante non deve eere ecceivamente ampia ripetto alla banda che caratterizza la dinamica in anello aperto. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 9-3

138 Eercizi Eercizio 9. c o L() c Per il itema di controllo di figura i tracci l andamento qualitativo dell ucita c quando: + L ( ) = ( + )( +. ) e: c o (t) = ca(t). Eercizio 9. Con riferimento al itema di controllo della figura precedente, i dica per quale delle eguenti celte della funzione di traferimento L() la ripota di c allo calino in c o ha tempo di ripota inferiore: L ( ) = ( + )( +. ) L ( ) = + Eercizio 9.3 Si dica e il itema di controllo della figura precedente in cui: L ( ) = ( +. ) è in grado di riprodurre correttamente in ucita il egnale di riferimento: o () = in( + β ) + in( 5 + β ) + in( + β ) c t a t a t a t 3 3 dove a, a, a 3, β, β, β 3 ono parametri arbitrari. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 9-4

139 Traccia delle oluzioni Eercizio 9. Dal diagramma di Bode del modulo di L, riportato di eguito, i deduce che il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile (criterio di Bode). Nella tea figura è anche riportato il diagramma di Bode approimato del modulo della funzione di traferimento in anello chiuo dal riferimento alla variabile controllata: () F () () L =. + L 4 3 L db F w (rad/) Tale funzione di traferimento può eere approimata da una funzione di traferimento del primo ordine a guadagno unitario e polo a pulazione ω c : F (), + ω c per cui, eendo ω c uguale a rad/, la ripota allo calino approimata ha l andamento riportato in figura:.8 c t () P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 9-5

140 Eercizio 9. I diagrammi di Bode del modulo di L e L ono riportati in figura. Da ei i deduce che in entrambi i cai il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile, e che la pulazione critica è la tea in entrambi i cai. Si può quindi concludere che i due itemi in anello chiuo avranno tempo di ripota otanzialmente uguale. 4 L L db w (rad/) Eercizio 9.3 Il diagramma di Bode del modulo di L è riportato in figura, inieme al diagramma approimato della funzione di traferimento in anello chiuo F. Il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile e la ua banda paante arriva fino alla pulazione rad/. Poiché però il egnale di riferimento contiene un armonica a pulazione rad/ (fuori banda), il itema non è in grado di ineguire correttamente tale egnale di riferimento. L F db w (rad/) P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. 9-6

141 Lezione Pretazioni tatiche dei itemi di controllo

142 Errore a tranitorio eaurito Le pretazioni tatiche di un itema di controllo fanno riferimento al uo comportamento a tranitorio eaurito, oia alla ituazione in cui il itema, dopo un tranitorio dovuto alla variazione dei uoi ingrei, i è portato in una condizione di regime. In particolare aremo intereati, in queta condizione, all errore tra il egnale di riferimento e la variabile controllata. Prerequiito del itema di controllo, neceario per poter parlare di pretazioni tatiche, è evidentemente l aintotica tabilità del itema in anello chiuo. Prenderemo in coniderazione il eguente itema di controllo, uppoto aintoticamente tabile: d y y L() + + n Fig. : Sitema di controllo Si oervi che con una rielaborazione formale dello chema a blocchi è poibile mettere direttamente in evidenza l errore tra y e y: n d y + e y L() Fig. : Sitema di controllo con in evidenza l errore Per lo tudio delle pretazioni tatiche è ufficiente riferiri ad un inieme dei egnali di ingreo ritretto ai coiddetti egnali canonici, come lo calino, la rampa, la parabola ecc. Infatti, ai fini della valutazione dell errore a regime, ono del tutto irrilevanti le eventuali variazioni tranitorie ubite dal egnale di ingreo, del quale rivete interee olo il comportamento aintotico (t ). P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

143 t (ec) t (ec) Fig. 3 : Equivalenza tra generici egnali e egnali canonici ai fini della valutazione delle pretazioni tatiche Eendo il itema di controllo lineare, potremo valutare eparatamente l effetto ull errore dovuto al egnale di riferimento ed ai diturbi (principio di ovrappoizione degli effetti). P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

144 P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 3 Errore dovuto al egnale di riferimento La funzione di traferimento dal riferimento y all errore e è la eguente: () () () E Y L = +. Scriviamo la funzione di traferimento d anello nella eguente forma: ( ) ( ) ( ) L T L g i i k k L = + + µ τ, e calcoliamo il valore limite dell errore utilizzando il teorema del valore finale (applicabile eendo il itema aintoticamente tabile): () () [ ] () () ( ) ( ) () () () e e t E L Y T Y Y Y t L g i i k k L g g g L L L L L + = = = + = = = + = + lim lim lim lim lim lim µ τ µ µ Se y (t) = Aca(t), riulta: e A A A g A g g g g L g g L L L L L L L L L + = + = + = < + = lim lim,,, µ µ µ Se y (t) = Aram(t), riulta: e A A g A g g g g L g g L L L L L L L L L + + = + = + = = lim lim,,, µ µ µ Se y (t) = Apar(t), riulta: e A A g A g g g g L g g L L L L L L L L L + + = + = + = = lim lim,,, 3 3 µ µ µ Pertanto, per valori negativi del tipo g L della funzione di traferimento d anello, l errore è empre infinito, o, tutt al più, nel cao dell ingreo a calino, pari all ampiezza tea dello calino in ingreo: i tratta di ituazioni di neun interee pratico. Per valori del tipo

145 maggiori o uguali a zero, i può compilare la eguente tabella: g L Aca(t) Aram(t) Apar(t) A +µ L A µ L A µ L Si oervi che, quando l errore aume un valore finito e non nullo, eo è tanto più piccolo quanto maggiore è il valore del guadagno d anello µ L. Eempio Sia: ( ) L + = +. Il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile, come i ricava immediatamente dall analii del polinomio caratteritico in anello chiuo. Poiché il tipo di L vale g L =, i ha errore a tranitorio eaurito nullo con riferimento a calino, infinito con riferimento a parabola, mentre con ingreo a rampa, l errore a regime è pari all ampiezza della rampa divio. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 4

146 Errore dovuto al diturbo in linea di andata Dallo chema di Fig. i ottiene la funzione di traferimento dal diturbo d all errore e: E ( ) =. D ( ) + L ( ) A parte il egno, i tratta della tea funzione di traferimento preente tra il riferimento e l errore. Pertanto tutti i riultati della dicuione precedente poono ancora eere utilizzati, pur di tenere conto del cambiamento di egno. Si poono tuttavia preentare dei cai in cui il diturbo non entra nello chema a blocchi del itema di controllo come raffigurato in Fig., oia direttamente in ucita alla funzione di traferimento del proceo. Per poter utilizzare ancora la tabella delle pretazioni tatiche, occorre allora riportare il diturbo in ucita, coniderando uno chema analogo a quello di Fig., in cui il diturbo in ucita è tale da dare gli tei effetti a tranitorio eaurito del diturbo effettivo. Si coniderino i eguenti due cai: a) Il diturbo entra nel itema di controllo paando attravero un itema di funzione di traferimento H(): d H() y + e + + y L() dh y + e + + y L() Fig. 4 : Sitema di controllo con diturbo filtrato Detti µ H e g H guadagno e tipo di H(), il diturbo riportato in ucita, d H, equivalente agli effetti tatici al diturbo effettivo d, avrà traformata: H DH ( ) = µ D ( ) g. H Si oervi infatti che gli eventuali poli o zeri di H non nell origine non hanno alcun effetto ul comportamento a regime ( ). b) Il diturbo entra nel itema di controllo a monte del proceo, oia del itema di funzione di traferimento G() (diturbo di carico): P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 5

147 d y + e + + y R() G() dg y + e + + y L() Fig. 5 : Sitema di controllo con diturbo di carico Detti µ G e g G guadagno e tipo di G(), il diturbo riportato in ucita, d G, equivalente agli effetti tatici al diturbo effettivo d, avrà traformata: D G G ( ) = µ D ( ) g. G Eempio Con riferimento alla Fig. 4, ia: 6+ 3 R ( ) = 5, G ( ) =, dt () = 3ca () t. + 4 La funzione di traferimento d anello riulta: L ( ) = + 4. Il polinomio caratteritico è: χ( ) ( ) ( ) = = , ed ha le due radici a parte reale negativa, il che comporta che il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile. Il diturbo d G riportato in ucita ha traformata: 6 D ( ) ( ) D G = = =. Pertanto: dg () t = 8ram () t. Poiché il tipo della funzione di traferimento d anello vale g L =, ed il guadagno µ L = 3, dalla tabella i ottiene: 8 e = = P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 6

148 Errore dovuto al diturbo in linea di retroazione Dallo chema di Fig. i ottiene la funzione di traferimento dal diturbo n all errore e: () () E N () L () L = = F + (). Calcoliamo il valore limite dell errore utilizzando il teorema del valore finale: µ L L () e e() t [ E() ] L () N g L = = = t + = lim lim lim lim lim µ L + g L Se n(t) = Aca(t), riulta: e = lim µ L gl + µ L Se n(t) = Aram(t), riulta: e A L µ L µ A, g = lim A g = + µ L L + µ L A, g µ A L µ A L = lim g g = lim L g L L L+ =, + µ + µ L Se n (t) = Apar(t), riulta: e L () N () = N () µ A L µ A L = lim g g = lim L g L L L+ =, L µ µ L L =. Si può compilare la eguente tabella: g L Aca(t) Aram(t) Apar(t) µ L A + µ L A A g µ L + µ L Quindi l errore i mantiene finito olo per diturbo a calino dove però è pari all ampiezza del diturbo teo per tipo maggiore o uguale a, e e ne cota olo leggermente per tipo uguale a zero (i ricorda che µ L deve eere un numero elevato per garantire errore piccolo ul riferimento e ul diturbo in linea di andata). E allora evidente che, in preenza di un traduttore con errore tatico, il itema di controllo non può garantire a regime una preciione migliore di quella del traduttore. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 7

149 Eercizi Eercizio. c o e L() Con riferimento al itema retroazionato di figura, i valuti l errore e a tranitorio eaurito quando: L ( ) = ( + ) e c o (t) = ca(t). Eercizio. Con riferimento al itema retroazionato di figura, i valuti l errore e a tranitorio eaurito quando: ( ) L = + e: a) c o (t) = ca(t) b) c o (t) = ram(t) c) c o (t) = ca(t) + par(t) Eercizio.3 Si valuti l errore e a tranitorio eaurito nel eguente chema di controllo: y o e R() d G() y in cui: 5 G ( ) =, R() = ( + ) y o (t) = ram(t), d(t) = ca(t). P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 8

150 Eercizio.4 Con riferimento al eguente chema di controllo: d c H() y o e R() G() y in cui: G ( ) =, H ( ) = R ( ) = +, ( + ) i determini il parametro c in modo tale che l errore e a tranitorio eaurito prodotto da un diturbo: d(t) = ca(t) ia nullo. Eercizio.5 Sapendo che la ripota allo calino di un itema di controllo aume l andamento riportato di eguito:.8 c t () individuare l epreione corretta della funzione di traferimento d anello L() tra quelle riportate di eguito: () L = ( +. ) L () = ( +. ) () L 3 = ( + )( +. ) L 4 () =. +. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 9

151 Traccia delle oluzioni Eercizio. Poiché il itema in anello chiuo non è aintoticamente tabile, come i ricava facilmente dal criterio di Bode, non ha eno parlare di errore a tranitorio eaurito (l errore diverge). Eercizio. Il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile (dal criterio di Bode). La funzione di traferimento d anello L() ha tipo g = e guadagno µ =. Dalle tabelle i ricava: a) e = b) e = =. µ c) e = (prevale il contributo della parabola). Eercizio.3 La funzione di traferimento d anello vale: () RG () () L = = + ( ) ed ha tipo g = e guadagno µ =. Il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile (dal criterio di Bode). Il diturbo d i può riportare in ucita, e agli effetti tatici equivale al egnale: dg () t = 5ram () t. Dalle tabelle i ricava: Contributo d errore dovuto a y o : e y o = =. µ 5 Contributo d errore dovuto a d G : e d = = 5 µ L errore compleivo a tranitorio eaurito vale quindi: e = 4.9 Eercizio.4 Il itema di funzione di traferimento H() è aintoticamente tabile. La funzione di traferimento d anello vale: L () = RG () () = + per cui il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile (dal criterio di Bode). La funzione di traferimento dal diturbo d all errore e vale: () () E D H = () + cg () + L (). P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

152 Dal teorema del valore finale i deduce che per rendere nullo l errore a tranitorio eaurito deve eere oddifatta la condizione: H () cg() + = da cui: () () H c = G = =. Eercizio.5 I diagrammi di Bode del modulo delle 4 funzioni di traferimento ono riportati in figura: 5 L 5 L db -5 db w (rad/) -5 w (rad/) 5 L3 4 L4 db -5 db - - w (rad/) -4 w (rad/) In tutti i cai il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile. La ripota allo calino del itema in anello chiuo evidenzia una dinamica con cotante di tempo pari a.. La pulazione critica dovrà quindi eere pari a rad/, il che eclude la L e la L 4. Poiché la ripota evidenzia anche errore a tranitorio eaurito nullo, la funzione di traferimento d anello deve preentare un integratore, il che eclude anche la L 3. La funzione di traferimento corretta è quindi la L. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

153 Lezione Progetto del controllore

154 Specifiche di progetto Conideriamo nuovamente un itema di controllo in retroazione: d y y R() G() + + n Fig. : Sitema di controllo Supporremo aegnata la funzione di traferimento G(), e ci porremo l obiettivo della intei (o progetto) della funzione di traferimento R() del controllore, ulla bae di un certo numero di pecifiche. Il metodo che eguiremo arà baato ul criterio di Bode, e come tale prevederà il ripetto, da parte della funzione di traferimento d anello L() = R()G(), delle ipotei necearie per l applicabilità del criterio. Ciò comporta, in particolare, che il metodo non arà applicabile e G() ha poli a parte reale poitiva. Infatti tali poli, che non poono eere cancellati da corripondenti zeri nella funzione di traferimento R(), i preentano anche in L(), violando una condizione del criterio. Le pecifiche con le quali tipicamente i impota il progetto ono le eguenti:. Aintotica tabilità In bae al criterio di Bode queta pecifica implica: ϕ m >.. Grado di tabilità e robutezza La tabilità deve eere garantita con un certo margine ripetto ad ineattezze nella modellitica del itema otto controllo. Inoltre i vuole che il itema di controllo, ollecitato da ingrei canonici (calino, impulo), eibica ripote ben morzate. Entrambe quete condizioni ono approimativamente oddifatte e il margine di fae dell anello è uperiore di un valore limite, di volta in volta pecificato: ϕ > ϕ. m m 3. Velocità di ripota Il itema di controllo deve reagire prontamente a variazioni nel egnale di riferimento o ui diturbi. Sappiamo che, e il margine di fae è ufficientemente elevato, i tranitori del itema in anello chiuo ono governati da una cotante di tempo pari all invero della Per una trattazione analoga a quella qui preentata ma di maggiore repiro, i può conultare il Capitolo del teto: Eercizi di Controlli Automatici, G.O. Guardabai e P. Rocco, Pitagora Editrice. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

155 pulazione critica ω c. Imporre un valore maimo alla durata dei tranitori equivale quindi ad imporre un valore minimo alla pulazione critica: ω c ω. c 4. Preciione tatica A eguito dell impoizione di aegnati egnali canonici agli ingrei, l errore tra riferimento e variabile controllata deve eere, a tranitorio eaurito, nullo o inferiore in modulo ad una aegnata oglia: e e. 5. Specifiche addizionali Talvolta poono eere date delle ulteriori pecifiche, come l uo di un controllore dalla truttura aegnata (cioè con un dato numero di poli e zeri), limitazioni all azione di controllo, attenuazione di pecifici diturbi (tipicamente inuoidali). P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

156 Impotazione del progetto Il progetto viene di norma uddivio in due fai:. Progetto tatico E la fae in cui ci i preoccupa di oddifare la pecifica relativa alle pretazioni tatiche (errore a tranitorio eaurito). Si affronta con l ipotei preliminare di eere in grado di rendere il itema in anello chiuo aintoticamente tabile nella ucceiva fae di progetto dinamico. Si fattorizza la funzione di traferimento del regolatore come egue: R ( ) = R ( R ) ( ), con: ( ) ( ) µ R i + Ti R( ) = R ( ) g, R =. + τ k k Dal momento che R () =, le pretazioni tatiche ono unicamente determinate dalle celte effettuate ui parametri di R (). Per non complicare la ucceiva fae di progetto, i ceglie: - il valore minimo del tipo g R che conente di oddifare la pecifica tatica; - fiato g R, il valore minimo del guadagno µ R che conente di oddifare la pecifica. Può uccedere, a valle della celta del tipo del regolatore, che il valore del guadagno riulti indeterminato: in queto cao è poibile aegnare il guadagno in fae di progetto dinamico.. Progetto dinamico Si determina R () (poli e zeri del controllore), in modo tale da oddifare le pecifiche dinamiche u margine di fae e velocità di ripota. Si procede per mezzo di una erie, ragionata, di tentativi di intei. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 3

157 Si conideri il itema di controllo di figura: Eempio introduttivo d H() y + e + + y R() G() dove: Fig. : Sitema di controllo per l eempio 5 5 G ( ) =, H ( ) =. ( +. )( + )( + ) +. Si vuole progettare il regolatore R() in modo tale che: e 5. per y (t) = ca(t), d(t) = ± ca(t); ω c rad / ; ϕ m 6. Progetto tatico Fattorizzata R() come: R ( ) = R( R ) ( ), R( ) =, i deve progettare R ( ) g R R =µ in modo da oddifare la pecifica ull errore a tranitorio eaurito. Ipotizzando il itema in anello chiuo aintoticamente tabile e facendo uo, in virtù della linearità del itema, del principio di ovrappoizione degli effetti, calcoliamo l errore dovuto al egnale di riferimento: o o e [ E ( ) ] ( ) L ( ) Y o = = + = lim lim lim = R + 5 µ g R. g R, gr = = lim g = + 5µ R R + 5µ R, g R Il riultato è coerente con le tabelle della preciione tatica della Lezione, pur di tenere conto che il guadagno d anello vale 5µ R e che lo calino ha ampiezza. Paando all errore dovuto al diturbo, i ha: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 4

158 H ( ) e [ E ( ) ] ( ) L ( ) D d = d = + = 5 lim lim lim R + ± = 5 µ g R. g 5 5 R m, gr = = m lim g = + 5µ R R + 5µ R, g R Anche in queto cao il riultato è coerente con le tabelle, tenendo conto che il diturbo va riportato in ucita (e quindi, agli effetti tatici, va moltiplicato per il guadagno di H()). Appare evidente che per entrambi i egnali di ingreo (riferimento e diturbo), la pecifica ull errore può eere garantita con regolatore di tipo nullo (g R = ). Adottando queto valore ed aumendo il guadagno µ R poitivo, i ha: o o e = e + e d e + e d = + 5 = 5 + 5µ R + 5µ R + 5µ. R La pecifica tatica arà quindi enz altro oddifatta e: µ R. + 5µ R 5. Ripetto al valore limite calcolato dalla precedente dieguaglianza, conviene prediporre un opportuno margine di icurezza, inteo a cautelari vero le inevitabili incertezze ui parametri del proceo e ul valore dei diturbi. Un valore opportuno potrebbe allora eere µ R =. Il progetto tatico è allora concluo con la celta della funzione di traferimento: R( ) =. Progetto dinamico La funzione di traferimento d anello del itema può eere critta come: L( ) = R ( ) R ( ) G( ) = R ( ) L ( ), con: L( ) = R( ) G( ) =. ( +. )( + )( + ) Il primo tentativo da eeguire per il progetto di R () conite nel porre banalmente R () =. La funzione di traferimento d anello coincide, allora, con L (), ed il relativo diagramma di Bode del modulo aintotico è tracciato di eguito: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 5

159 db ω (rad/) Fig. 3 : Diagramma di Bode aintotico di L Mentre la pulazione critica è abbondantemente uperiore al valore limite impoto dalla pecifica, il margine di fae riulta, come facilmente calcolabile, negativo, per cui il itema in anello chiuo riulterebbe addirittura intabile. Per il progetto di R () i può ricorrere all oervazione fatta nella Lezione 8 a propoito del criterio di Bode, riguardo ai itemi a fae minima. Si ricorda che, per un itema a fae minima, il fatto che l attraveramento dell ae a db da parte del diagramma aintotico del modulo della ripota in frequenza di L avvenga con pendenza ( db/decade) garantice di norma un margine di fae poitivo, tanto più proimo ai 9, quanto più ampio è il tratto di pendenza. Conviene allora procedere determinando preliminarmente un opportuno andamento per il diagramma del modulo di L e, a poteriori, rialire all epreione della funzione di traferimento del regolatore. Il metodo di progetto, di natura grafica, conite nell individuare ull ae a db un valore di pulazione, uperiore al limite inferiore richieto per la pulazione critica, e per queto punto tracciare un tratto di retta a pendenza, detinato ad eere un tratto del diagramma di L. In baa frequenza i può operare come egue: il diagramma di L deve avere la tea pendenza di quello di L, altrimenti i modificherebbe il tipo del regolatore in ede di progetto dinamico; e il progetto tatico i è concluo con un vincolo ul valore del guadagno µ R, il valore di L deve eere maggiore o uguale (di fatto è comodo ceglierlo uguale) a quello di L. In alta frequenza, invece: il diagramma di L deve avere pendenza maggiore o uguale in modulo (di fatto è comodo ceglierla uguale) a quella di L, altrimenti i perverrebbe al progetto di un regolatore non realizzabile (con più zeri che poli); il valore di L deve eere minore o uguale a quello di L, per garantire la moderazione del controllo. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 6

160 L applicazione del metodo all eempio porta, cegliendo come pulazione critica il valore rad/, al grafico di L di figura modulo [db] L L ω c -6 Il margine di fae riulta: ω(rad/) Fig. 4 : Diagramma di Bode aintotico di L ( ) ( ) ϕ m = 8 arctan. arctan = 8 9 = 68. Le pecifiche dinamiche ono quindi oddifatte, e riulta: ( ) L = = + +. Ne conegue: R ( ) Infine: ( ) ( ) ( + 5 )( +. ) L = = L ( ) ( ) ( ) R = R R = ( + 5 )( +. ) ( + )( + ) ( + 5)( +. ) ( +. )( + )( + ) ( + )( + ) = ( + 5)( +. ). Si oervi che in alta frequenza il diagramma di L non i congiunge con il diagramma di L. Sarebbe tato lecito congiungere i due diagrammi, ma in queto cao i arebbe ottenuto, come è facile verificare, un controllore di ordine 3 (con 3 poli), più problematico da realizzare.. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 7

161 Per il itema di controllo di figura: Eempio di progetto per itemi di tipo y + e y R() G() Fig. 5 : Sitema di controllo per l eempio dove: G ( ) =, ( + ) i vuole progettare il regolatore R() in modo tale che: e = per y (t) = ca(t); ω c rad / ; ϕ m 4. Progetto tatico Procedendo come nell eempio precedente, i ha: g e [ E( ) ] ( ) L ( ) Y R+ o = = g R g R + = lim lim lim = lim R+ =, + µ R g + µ R In queto cao, anche con regolatore di tipo nullo (g R = ) i ottiene errore tatico nullo. Il tipo della funzione di traferimento d anello è infatti la omma del tipo del itema otto controllo e del tipo del controllore: gl = gg + gr. Poiché nel preente cao g G =, è ufficiente imporre g R = per avere un anello di tipo. Il progetto tatico quindi non impone neun vincolo al regolatore e potremo porre, formalmente: R( ) =. Progetto dinamico Poiché: L( ) = R ( ) R ( ) G( ) = R ( ) G( ), P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 8

162 conviene tracciare il diagramma del modulo di G per controllare e le pecifiche ono già oddifatte con R = : 4 3 db - - Si ha ω c = 3, ma: -3 - ω (rad/) Fig. 6 : Diagramma di Bode aintotico di G ϕ m = 8 9 arctan ( 3) = = 9, che non oddifa la pecifica. La oluzione grafica del progetto dinamico è riportata in Fig. 7: i oervi che in baa frequenza i è evitato di raccordare i diagrammi del modulo di L e G, in quanto il progetto tatico non impone alcun vincolo ul guadagno del regolatore. Si ottiene ω c =, e: ( ) ϕ m = 8 9 arctan 5 = 8 9 = 68. Tutte le pecifiche ono oddifatte e riulta: L ( ) = =, da cui: L ( ) ( + ) + R ( ) = R ( ) = = =.. G( ) P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 9

163 4 3 db G L ω (rad/) Fig. 7 : Diagrammi di Bode aintotici di G e L P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

164 Eempio di progetto per itemi con zeri a parte reale poitiva Per il itema di controllo di figura: y + e y R() G() Fig. 8 : Sitema di controllo per l eempio dove: G ( ) = +, i vuole progettare il regolatore R() in modo tale che: e = per y (t) = ca(t); ω c. rad / ; ϕ m 4. Il progetto tatico impone la preenza di un integratore nel controllore, mentre non ne vincola in alcun modo il guadagno. Poiamo allora porre: R( ) =. Scritta la funzione di traferimento d anello come: L ( ) = R ( L ) ( ), con: L( ) = R( ) G( ) =, + tracciamo il diagramma di Bode del modulo di L : P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

165 6 4 db - Riulta ω c =, e: ω (rad/) Fig. 9 : Diagramma di Bode aintotico di L ( ) ( ) ϕ m = 8 9 arctan. arctan. 5 = = 73. Il itema in anello chiuo arebbe quindi intabile. Si oervi che il contributo di fae dello zero alla pulazione.5 rad/ è negativo, eendo lo zero a parte reale poitiva. Il itema non è quindi a fae minima, ed il fatto che il diagramma del modulo tagli l ae a db con pendenza non implica margine di fae poitivo. D altra parte lo zero non può eere cancellato da un corripondente polo nel regolatore, pena il manifetari di una intabilità interna. L unico provvedimento utile in queto cao è fare in modo che la pulazione critica riulti enibilmente inferiore alla pulazione dello zero, in modo che il contributo negativo alla fae critica ia meno rilevante. Si conideri ad eempio la oluzione riportata in figura: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

166 6 4 db L L - Riulta ω c =., e: ω (rad/) Fig. : Diagrammi di Bode aintotici di L e L ( ) ( ) ϕ m = 8 9 arctan. 5. arctan. 5 = 8 9 = 66. Anche in queto eempio, come nel precedente, i diagrammi non ono tati raccordati in baa frequenza, non eendoci un vincolo di guadagno dato dal progetto tatico. Riulta quindi:.. L ( ) = =, da cui: L ( ). + R ( ) + = = =., L ( ) R ( ) = R( R ) ( ) =. +. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 3

167 Eempio di progetto per itemi con ritardo Per il itema di controllo di figura: d y + e + + y R() G() dove: Fig. : Sitema di controllo per l eempio e G ( ) =, ( + )( + ) i vuole progettare il regolatore R() in modo tale che: e 5. per d(t) = ±ca(t); ω c 3. rad / ; ϕ m 4. Progetto tatico Suppoto il itema di controllo aintoticamente tabile, il ritardo non gioca alcun ruolo nel determinare le pretazioni tatiche. Dalle tabelle della preciione tatica otteniamo che per funzione di traferimento d anello di tipo riulta: e = + µ. L Pertanto, celto un regolatore di tipo, i dovrà imporre: + µ R 5. µ R Poiamo cautelarci contro eventuali incertezze ponendo µ R =, e quindi concludere che: R( ) =. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 4

168 Progetto dinamico Scritta la funzione di traferimento d anello come: L ( ) = R ( L ) ( ), con: e L( ) = R( ) G( ) =, ( + )( + ) tracciamo il diagramma di Bode del modulo di L : db Riulta ω c, e: ω (rad/) Fig. : Diagramma di Bode aintotico di L ( ) ( ) 8 ϕm 8 arctan. arctan ωcτ = = 6. π A caua della preenza del ritardo il itema riulterebbe intabile. Per il progetto i può coniderare la oluzione di Fig. 3: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 5

169 L L db Riulta ω c.3, e: ω (rad/) Fig. 3 : Diagrammi di Bode aintotici di L e L ( ) ( ) 8 ϕm 8 arctan arctan 3. 3 ωcτ = = 73. π Tutte le pecifiche ono oddifatte e riulta: e e L ( ) = = da cui: ( )( ) ( )( ) L ( ) ( + )( + ) R ( ) = =, L ( ) ( + 33)( ) R ( ) = R ( R ) ( ) = ( + )( + ). ( + 33)( ), P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 6

170 Eempio di progetto per itemi con diturbo inuoidale Per il itema di controllo di figura: d y + e + + y R() G() dove: Fig. 4 : Sitema di controllo per l eempio G ( ) = +, i vuole progettare il regolatore R() in modo tale che: e = per y (t) = ca(t); un diturbo dt ( ) = in( ω t), con ω 3., ia attenuato a regime, ull ucita y, di un fattore almeno pari a ; ω c. rad / ; ϕ m 5. Progetto tatico Eendo il itema otto controllo di tipo, la pecifica ull errore a tranitorio eaurito è automaticamente oddifatta. Poniamo formalmente R ( ) =. Per quanto riguarda invece la pecifica ull attenuazione del diturbo, valida anch ea a tranitorio eaurito, utilizzeremo il teorema della ripota in frequenza, nell ipotei di poter rendere il itema in anello chiuo aintoticamente tabile. La funzione di traferimento dal diturbo d all ucita y riulta: Y ( ) ( ) D( ) = + L( ) = S. Pertanto, quando dt ( ) = in( ω t), a tranitorio eaurito i ha: ( ) ( ) = ( ω) ω + ( ω) yt S j in t S j. La pecifica ull attenuazione del diturbo i traduce quindi nella eguente condizione: S( jω) <, ω 3.. D altra parte appiamo che: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 7

171 ( ω) S j ( ω) L j, eendo ω<< ωc, ω. L jω >>. Pertanto dovremo emplicemente imporre: L( jω) >, ω. 3. Progetto dinamico 3, oia ( ) Eendo R () =, riulta L() = R () G(). La Fig. 6 riporta i diagrammi di Bode del modulo di G e di L ottenuta econdo il olito criterio di progetto G L db ω (rad/) Fig. 5 : Diagrammi di Bode aintotici di G e L Si oervi che il vincolo ull attenuazione del diturbo inuoidale i traduce, graficamente, nell individuazione di una zona proibita, oia di un area nel piano del diagramma del modulo in cui il diagramma di L non può entrare. Riulta ω c =.3, e: ( ) ϕ m 8 9 arctan. 3 3 = = 84. Tutte le pecifiche ono oddifatte e riulta: 3. L ( ) = da cui: L ( ) 3. ( + ) + R ( ) = R ( ) = = = 3.. G( ) P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 8

172 Compenazioni Negli eempi precedenti non i è mai uppoto di poter miurare il diturbo. La reiezione degli effetti del diturbo ulla variabile controllata era affidata ecluivamente all anello di controllo, il quale agice ulla bae del manifetari di un errore tra egnale di riferimento e variabile controllata. Se tuttavia il diturbo è effettivamente miurabile, è poibile fruttare l informazione data dalla miura e agire direttamente ulla variabile di controllo, anticipando l effetto del diturbo ull ucita, enza attendere che queto i manifeti in errore. Si parla di compenazione diretta del diturbo quando: il diturbo è miurabile i eercita un azione di controllo dipendente dalla ua miura. Conideriamo dunque un itema da controllare u cui agice un diturbo: d H() u G() + + y Fig. 6 : Sitema otto controllo Uno chema di compenazione potrebbe allora eere il eguente: C() d H() u G() + + y Fig. 7 : Compenazione del diturbo La funzione di traferimento C() decrive il comportamento dinamico del compenatore e comprende anche l effetto dinamico del traduttore del diturbo, qualora eo non riulti tracurabile. Per il progetto di C() i può imporre che la funzione di traferimento da d a y ia nulla: Y ( ) = H ( ) + CG ( ) ( ) =, D( ) P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 9

173 da cui: H ( ) C ( ) =. G( ) Speo il riultato di queta operazione è una funzione di traferimento non realizzabile o intabile. In tal cao ci i limita a rendere le due funzioni di traferimento uguali olo approimativamente. In particolare ono di interee le eguenti approimazioni: Si approima il olo guadagno: C ( ) = µ C = H( ) G( ). in queto modo i annulla a regime l effetto di un diturbo cotante Si approima la ripota in frequenza olo ad una determinata pulazione ω : ( ω) Cj ( ω) ( ω) H j = Gj in queto modo, progettando C() aintoticamente tabile, i annulla a regime l effetto di un diturbo inuoidale alla pulazione ω. Di norma uno chema di compenazione viene aociato ad uno chema di retroazione per rendere la reiezione del diturbo più robuta ripetto ad incertezze di modello e per oddifare le altre pecifiche. Si perviene allora allo chema di controllo di figura: C() d H() y + e R() u G() + + y Fig. 8 : Controllo in retroazione con compenazione del diturbo P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

174 Eercizi Eercizio. Con riferimento al eguente itema di controllo: y o e R() d G() y in cui: () G =. 4 + ( ) i progetti il regolatore R() in modo tale che: o e. per y () t = ca() t, d() t = ± ca() t ω c rad/ φ m 4 Eercizio. Con riferimento al eguente itema di controllo: y o e R() G() d y in cui: G () e = + i progetti il regolatore R() in modo tale che: e per d() t ca() t = = ω c.5 rad/ φ m 45 P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

175 Traccia delle oluzioni Eercizio. R Sia R () = R () R (), con R () = µ. g R Progetto tatico E ufficiente un regolatore di tipo g R =. Dalle tabelle i ottiene (upponendo il itema in anello chiuo aintoticanente tabile) errore dovuto a y o : e y o = + µ errore dovuto a d: e = d + µ R R (i oervi che, agli effetti tatici, il diturbo d i può riportare inalterato in ucita). Coniderando il cao più favorevole i avrà: e = e o + ed =. µ R 54. y + µ Scegliamo µ R =, oia R () =. Progetto dinamico Poto: () G() L = =. 4 R ( + ) e ne traccia il diagramma di Bode del modulo. Senza ulteriori provvedimenti i otterrebbe margine di fae negativo. Si progetta quindi L() in modo da tagliare a ω c = e da raccordari in baa e alta frequenza con la L. Si ottiene un margine di fae pari a: φ m = = 8 3 = 49 > 4. Si oervi che il contributo dello zero nel emipiano detro è modeto in quanto lo zero teo i trova ad alta frequenza. Si ricava l epreione della L():.. L () = =, 3 3 ( + )( +. ) da cui: () () L R () = R() R() = = L 4 ( + ) ( + )( +. ) P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 3.

176 5 L L db w (rad/) Eercizio. R Sia R () = R () R (), con R () = µ. g R Progetto tatico La pecifica ull errore a tranitorio eaurito impone la preenza di un integratore nell anello, e quindi l adozione di un regolatore di tipo : g R =. Il guadagno del regolatore è arbitrario. Sceglieremo quindi: R() =. Progetto dinamico Poto: () R () G() L e = = + e ne traccia il diagramma di Bode del modulo. Senza ulteriori provvedimenti i otterrebbe, a caua del ritardo preente nel proceo, un itema intabile in anello chiuo: φc = = 9 π Si progetta quindi L() in modo da tagliare con pendenza a ω c =.5 e i raccorda il diagramma in alta frequenza con quello di L. Si oervi che non è neceario raccordare i diagrammi in baa frequenza in quanto il progetto tatico non impone vincoli ul guadagno del regolatore. Si ottiene un margine di fae pari a: 8 φm = = 48 > 45 π Si ricava l epreione della L(): P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 3

177 L () 5. + e 5. + = = e , da cui: ( ) ( ) L 5. + R ( ) = R( R ) ( ) = = L L L - db w (rad/) P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 4

178 Lezione Regolatori PID

179 Legge di controllo PID Conideriamo un regolatore che eercita un azione di controllo dipendente dall errore attravero la eguente legge: t ( ) ut ( ) = K et ( ) K e( ) d K de t P + I τ τ+ D. dt La legge di controllo è quindi compota da: un azione Proporzionale all errore; un azione Integrale ull errore; un azione Derivativa ull errore. Queto tipo di regolatori prende quindi il nome di PID. I tre guadagni che compaiono nella legge di controllo vengono chiamati: K P : guadagno proporzionale; K I : guadagno integrale; K D : guadagno derivativo. Alternativamente, la legge di controllo i può crivere come egue: t ( ) ut ( ) K et ( ) ( ) T e d T de t = P + τ τ + D, I dt dove: KP TI = : tempo integrale K T D I KD = : tempo derivativo K P Tra le ragioni del vatiimo utilizzo dei regolatori PID nella pratica dell automazione indutriale (i PID ono anche detti regolatori indutriali), ricordiamo: emplicità di realizzazione in divere tecnologie (elettronica, idraulica, pneumatica); efficacia per la regolazione di un ampia gamma di procei indutriali; tandardizzazione con i relativi vantaggi in termini di affidabilità e economicità; emplicità di taratura dei parametri; poibilità di taratura automatica dei parametri, per mezzo di emplici eperimenti. Dal cao generale della legge di controllo PID è poi poibile derivare altre leggi di controllo, annullando una o più delle azioni di controllo. Sono in particolare di interee le leggi di controllo: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

180 P (proporzionale); PD (proporzionale-derivativa); PI (proporzionale-integrale). Eendo un itema dinamico lineare e invariante, il regolatore PID può eere rappreentato da una funzione di traferimento: e R() u ( ) R Fig. : Funzione di traferimento del regolatore PID K I KP + T + T T = KP + + KD= KP + + TD = T T I I I I D Il numeratore di R() è di grado uperiore al numeratore: pertanto, coì come critta, la funzione di traferimento non è fiicamente realizzabile. Ciò corriponde all impoibilità di ottenere dall errore un egnale che ne cotituica in ogni itante la derivata. Per rendere realizzabile l azione derivativa occorrerà in effetti aggiungere un polo in alta frequenza, per altro di norma irrilevante ai fini della valutazione delle pretazioni del regolatore PID. Dall ultima epreione critta per R() i riconoce che al variare di T I e T D gli zeri del regolatore poono eere reali o complei e coniugati. Imponendo la preenza di due zeri reali e ditinti, naturalmente nel emipiano initro, il diagramma di Bode del modulo di R aumerà l andamento tipico riportato in figura: db - - ω (rad/) Fig. : Tipico andamento del diagramma di R Il progetto del regolatore PID i riduce quindi alla celta del guadagno e della poizione degli zeri. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -

181 Taratura analitica dei regolatori PID Come tutti i controllori, anche il controllore PID può eere progettato ulla bae delle tecniche analitiche vite in precedenza, che fanno uo del modello matematico del itema otto controllo critto in forma di funzione di traferimento. Tuttavia, nel cao del controllore PID, i gradi di libertà nel progetto ono limitati a 3 (il guadagno e due zeri): è allora opportuno procedere in modo più diretto ripetto alla intei per tentativi della funzione di traferimento d'anello già illutrata, elezionando direttamente la poizione degli zeri (tipicamente in modo da cancellare i poli del proceo) e cegliendo il guadagno in modo da oddifare le pecifiche dinamiche. Eempio Si conideri lo chema di controllo in figura: y + e y R() G() dove: G () =. e 3 ( + 5)( + ). Fig. 3 : Sitema di controllo per l eempio Si vuole progettare il regolatore R() nella clae dei regolatori PID in modo tale che: e = per y (t) = ca(t); ϕ m 4 ω c ia la maima poibile. La pecifica tatica impone un regolatore di tipo, oia la preenza dell'azione integrale nel regolatore PID. Scritta la funzione di traferimento come R () ( + T )( + T ) = µ R, dove µ R > è il guadagno, T e T ono le cotanti di tempo degli zeri e i è ottintea la preenza di un polo in alta frequenza introdotto per rendere realizzabile l'azione derivativa, potremo porre: T = 5, T =, in modo da cancellare con gli zeri del regolatore i poli del proceo. Si ottiene quindi la funzione di traferimento d'anello: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 3

182 .µ L() R() G() R 3 = = e. Come è noto, il diagramma di Bode del modulo aociato a L ha pendenza u tutto l'ae delle pulazioni, e taglia l'ae in corripondenza della eguente pulazione: ωc =. µ R. La fae critica riulta quindi: 8 8 ϕc = 9 ωc τ = 9.3µ R. π π Imponiamo il vincolo ul margine di fae: 8 5π ϕm = 9.3µ R 4 µ R =.9. π.3 8 Scegliendo µ R =.9 i ottiene il regolatore: () ( + 5)( + ) K R =.9 =.9 = K I P + + KD, con K 7.5, K =.9, K = 9. P = I D Queto regolatore conferice al itema di controllo un margine di fae di circa 4 ed una pulazione critica di.9 rad/. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 4

183 Taratura automatica dei regolatori PID Uno dei vantaggi connei all utilizzo dei regolatori PID conite nella poibilità di effettuare la taratura dei parametri ulla bae di emplici prove perimentali, precindendo dalla formulazione matematica, non empre agevole, del itema otto controllo. Tra i numeroi metodi empirici per la intonizzazione dei regolatori PID, ci limitiamo ad accennare ai due tradizionalmente più noti. Metodo di Ziegler e Nichol in anello chiuo Il metodo i articola nei eguenti pai:. Si chiude l anello di controllo con il regolatore PID (i cui parametri devono eere intonizzati), imponendo nulle le azioni integrale e derivativa: K I =, K D =. y + e y PID S Fig.4 : Sitema in anello chiuo con regolatore PID. Partendo da valori molto piccoli di K P i effettua un emplice eperimento, conitente nell applicare un piccolo gradino al egnale di riferimento. 3. Si aumenta progreivamente K P ripetendo di volta in volta l eperimento finché non i intaura nell anello un ocillazione permanente. T y t Fig.5 : Ocillazione permanente 4. Detto K P il valore del guadagno proporzionale corripondente all ocillazione permanente (guadagno critico) e T il periodo di tale ocillazione, i tarano i parametri di un regolatore P, PI o PID ulla bae della eguente tabella: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 5

184 K P T I T D P.5K P PI.45K P T. PID.6K P T T 8 Il metodo non è empre applicabile: ci ono infatti itemi che non generano ocillazioni, anche con guadagni proporzionali elevati. Altre volte può eere pericoloo, o comunque conigliabile, portare il itema al limite di tabilità. Metodo di Ziegler e Nichol in anello aperto Il metodo i articola nei eguenti pai:. Si applica una variazione a calino all ingreo del itema otto controllo. u S y Fig.6 : Perturbazione a calino. Si traccia la tangente alla ripota nel punto di fleo: y Y τ t Fig.7 : Metodo della tangente nel punto di fleo 3. Si individuano graficamente le intercette τ e Y della tangente ugli ai t e y, ripettivamente. 4. Si tarano i parametri di un regolatore P, PI o PID ulla bae della eguente tabella: P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 6

185 K P T I T D P Y PI 9. Y 3τ PID. Y τ.5τ Il metodo non è ovviamente applicabile e la ripota allo calino non preenta fleo o e la ripota preenta ocillazioni. Inoltre non empre è poibile operare ul proceo in anello aperto, o perturbare brucamente il uo ingreo. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 7

186 Eercizio. Eercizi Si criva la legge di controllo nel dominio del tempo del regolatore PID decritto dalla eguente funzione di traferimento: ( + T )( + T ) R () = µ con: µ = 5, T =, T = 3. Eercizio. Si upponga di dover intonizzare un regolatore PID per il controllo di un proceo decritto dalla funzione di traferimento (non nota): () G = ( + ) 3. Si determini a quale taratura dei parametri condurrebbero le regole di Ziegler e Nichol in anello chiuo. Succeivamente, i tracci il diagramma di Bode della funzione di traferimento d anello riultante dall applicazione del regolatore PID al proceo. Eercizio.3 A partire dalla ripota allo calino in anello aperto di un proceo, riportata in figura, i tarino i parametri di un regolatore PID utilizzando le regole di Ziegler e Nichol in anello aperto t () Succeivamente, apendo che la funzione di traferimento del proceo è la tea dell eercizio precedente, i tracci il diagramma di Bode della funzione di traferimento d anello riultante dall applicazione del regolatore PID al proceo. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 8

187 Eercizio. Si ha: () ( + )( + ) Traccia delle oluzioni R = 5 3 = da cui K I = 5, K P = 5, K D = 3. La legge di controllo nel dominio del tempo è quindi data da: () t de t ut () = 5et () + 5 e( τ) dτ + 3. dt Eercizio. Si tratta di individuare il valore K P che rende nullo il margine di fae del itema di controllo avente funzione di traferimento d anello L () = KPG (). Il periodo dell ocillazione i ottiene poi come T = π ω c, eendo ω c la pulazione critica in queta condizione particolare. Il problema i può facilmente riolvere determinando, ad eempio con il regolo delle fai, il valore della pulazione critica tale che ciacuno dei tre poli di G (coincidenti alla pulazione rad/) dia un contributo di fae di 6, in modo che la fae critica valga 8. Si ottiene ω c = 7., e quindi T = πω c = 37.. Il guadagno proporzionale critico i ricava valutando di quanto va tralato in alto il diagramma di Bode del modulo di G per farlo tagliare alla pulazione ω c. Si ottiene KP 5 db, oia K P 56.. Si oervi che il calcolo di K P equivale alla determinazione del margine di guadagno aociato a G. Dalle tabelle i ricava: K = 6. K = 336., T = T = 85., T = T 8= 46.. P P I D La funzione di traferimento del PID è quindi (tracurando il polo ad alta frequenza del derivatore): ( ) R = K P + T + T T T ( )( ) ( ) ( + T ( 4) ) ( +. ) + T + T T 8 KP = 6. KP =. = T T I I D I La funzione d anello riultante: ( ) L ( +. ) 3 ( + ) = ha il diagramma di Bode riportato in figura. P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. - 9

188 3 K p ω c - db -4 db w (rad/) -4 - w (rad/) Eercizio.3 Occorre tracciare la tangente nel punto di fleo alla ripota allo calino ed individuare le intercette con gli ai. Graficamente i ottiene Y =., τ =.8. Dalle tabelle i ricava: K =. Y = 57., T = τ= 6., T = 5. τ = 4. P I D La funzione di traferimento del PID è quindi (tracurando il polo ad alta frequenza del derivatore): ( ) R = K P + TI + TD. + τ+ τ 6. = = T Y τ τy La funzione d anello riultante: ( ) L I ( +. ) 3 ( + ) = ( + τ) ( +. ) ha il diagramma di Bode riportato in figura. = db Y τ t () -4 - w (rad/) P. Rocco - Dipene di Automatica Lez. -