22 - Il principio dei lavori virtuali
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- Achille Biondi
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1 - Il principio dei lavori virtuali ü [.a. 0-0 : ultima reviione 5 aprile 0] Eempio n. Si conideri il portale di Figura, emplicemente ipertatico. Si vuole applicare il principio dei lavori virtuali per il calcolo dell'incognita ipertatica, tenendo conto del contributo di taglio e forzo normale q H Figura - Un portale emplicemente ipertatico Si ceglie - come incognita ipertatica - la reazione orizzontale della cerniera in, riducendoi quindi al itema iotatico equivalente di Figura. q H X Figura - Il itema iotatico equivalente
2 406 - Il principio dei lavori virtuali.nb eggendo, come uuale, gli potamenti ul itema reale, e le forze ul itema virtuale di Figura, i potra' crivere il principio delle forze virtuali come egue: M M +κ T T G + N N E = 0 e caratteritiche M, T ed N ono da calcolare ullo chema di Figura, e rappreentano il contributo del itema di forze virtuali, mentre le caratteritiche M, T ed N ono da calcolare ul itema effettivo di Figura, o piu' appropriatamente ul itema iotatico equivalente. Sara' allora, per il principio di ovrappoizione degli effetti: () H X = Figura - Il itema S di forze virtuali M = M H0 + M X T = T H0 + T X () N = N H0 + N X dove le caratteritiche M H0, T H0 ed N H0 vanno calcolate ullo chema S 0, caricato dai oli carichi eterni. Utilizzando le (), il p.l.v. i crive : M +κ TH0 T G + NH0 N E + M X +κ T G + N E = 0 da cui puo' otteneri l' incognita ipertatica X. () à Il calcolo di Ÿ M, Ÿ T G, Ÿ N E Il diagramma del momento M e' riportato in Figura 4, e l'integrale non preenta particolari difficolta':
3 - Il principio dei lavori virtuali.nb 407 H H X = Figura 4 - Il diagramma del momento ul itema S M = H z z+ H 0 0 z z = H + H I diagrammi del taglio e dello forzo normale poono tracciari partendo dalla conocenza delle reazioni: (4) H H H X = X = Figura 5 - I diagrammi del taglio e dello forzo normale ul itema S
4 408 - Il principio dei lavori virtuali.nb R v = H R h = R v = H Sul ritto, i avra' quindi : T = N = H mentre l' equilibrio del concio in permette di dedurre: (5) (6) T = H N = come illutrato in Figura 6. Si ricorda che la convenzione ui egni degli forzi normali prevede che ei iano poitivi e di trazione, mentre i tagli ono poitivi e fanno ruotare il concio in eno orario. (7) T T N T R h T T N N N N T N R v T N T N R v Figura 6 - I diagrammi delle forze per il calcolo di forzi normali e tagli Data la cotanza dei diagrammi in quetione, gli integrali ono banali : T G = H G + H G (8)
5 - Il principio dei lavori virtuali.nb 409 N E = H E H + E (9) à Il calcolo di Ÿ M H0 M, Ÿ T H0 T G, Ÿ N H0 N E Il diagramma del momento M H0, da calcolare ullo chema S 0 di Figura 7, e' divero da zero olo ul travero, mentre riulta nullo lungo il piedritto, ed il uo andamento e' quello da trave emplicemente appoggiata. Sara' quindi: q q 8 H Figura 7 - Il diagramma del momento ul itema S 0 M H0 M = q H 0z H z z I diagrammi di taglio T H0 e di forzo normale N H0 ono riportati in Figura 8 z = q H 4 (0) T H0 T G = q H G 0 z z = 0 () N H0 N E = qh H q H E z = 0 E ()
6 40 - Il principio dei lavori virtuali.nb q q H Figura 8 - Il diagramma del taglio e dello forzo normale ul itema S 0 à Il calcolo dell' incognita ipertatica Dalla () i ha ubito: oia : X = Ÿ M MI0M Ÿ M IM +κ Ÿ TI0M T G +κ Ÿ T IM G + Ÿ NI0M N E + Ÿ N IM E N () X = H + H q H +κ J H + q H 4 E + H G G N+ H + E E (4) Se i vogliono tracurare le deformazioni taglianti, occorre eliminare da queta formula i termini in cui compare la rigidezza tagliante G, che i uppone infinita. Ne egue: X = H q H + q H 4 E + H + H + E E (5) Se i vuole tracurare anche la deformazione da forzo aiale, occorre eliminare dalla (5) i termini in cui compare la rigidezza aiale E, che i uppone infinita: X = q H 4 H + H = q 8 H HH + (6)
7 - Il principio dei lavori virtuali.nb 4 Eempio n. o teo telaio dell' eempio precedente ubice anche un cedimento anelatico orizzontale della cerniera di initra, che i pota della quantita' d. Studiare la truttura con l'auilio del principio dei lavori virtuali, tracurando gli effetti delle deformazioni taglianti ed aiali. q H δ Figura 9 - a preenza di un vincolo imperfetto In queto cao, il lavoro eterno compiuto dalla forza virtuale unitaria in non e' nullo, e quindi il p.l.v. i crive, limitandoi ai oli effetti fleionali: M + X M = δ e quindi, utilizzando i valori degli integrali gia' dedotti: (7) X = Jδ Ÿ M MI0M Ÿ M IM N = δ q H 4 H + H = 4 δ+q H 8 H HH (8) Eempio n. Si conideri ora il portale opeo di Figura 0, cotituito da tre tratti di divera ezione retta, con momento di inerzia I (tratto ), I (tratto ) ed I (tratto D), oggetto ad una forza orizzontale concentrata ad altezza H.
8 4 - Il principio dei lavori virtuali.nb F D H H H Figura 0 - Un portale opeo a truttura e' una volta ipertatica, e come truttura iotatica equivalente i cegliera' il itema di Figura. F X D H H H Figura - Un S.I.E. per il portale opeo Sullo chema S 0 le reazioni poono calcolari a partire dalle tre equazioni di equilibrio: R h = F R Dv = F H H R v = R Dv ed il relativo diagramma M H0 del momento i preenta come in Figura : (9)
9 - Il principio dei lavori virtuali.nb 4 FHH H F D H H H Figura - Il diagramma M H0 per il portale opeo Sullo chema S le equazioni di equilibrio fornicono: R h = R Dv = H H R v = R Dv (0) Ne egue che il momento aume l'apetto di Figura, variando linearmente lungo il travero dal valore äh a initra, al valore äh a detra. X = D H H H H H Figura - Il diagramma M per il portale opeo Il principio dei lavori virtuali, limitandoi agli effetti fleionali, i crivera':
10 44 - Il principio dei lavori virtuali.nb M + X M = 0 ed occorrera' eplicitare gli integrali, baandoi ui diagrammi precedenti. () à Il calcolo di Ÿ M H0 M Si divide l'integrale in piu' tratti, crivendo: H M M = H M M z+ H z+0 0 z () Si noti che il ritto di detra non compare, in queno u di eo il momento M H0 e' nullo, e che i e' divio in due il ritto di initra. e epreioni analitiche ono molto emplici: per il primo tratto, da all'acia della forza F, i ceglie l'origine in, ottenendo: M H0 = F z M = z per il econdo tratto, dall'acia della forza F, al punto, i ceglie l'origine in, ottenendo: M H0 = F HH H M = H z per il terzo tratto, dal punto al punto, i ceglie l'origine in, ottenendo: () (4) M H0 = F HH H z (5) M = H HH H z e quindi il richieto integrale puo' deduri come M F HH H = F H H z 0 z+ F HH H H HH z z+ 0 0 z F HH H + H HH H z z = F HH H JH H H N F HH H I H + H M 6 + (6) à Il calcolo di Ÿ M lle leggi di variazione di M gia' dedotte, deve aggiungeri la legge di variazione lungo il ritto di detra. Scegliendo l'origine del riferimento in D i ottiene: M = z e quindi ubito : (7) M =
11 - Il principio dei lavori virtuali.nb 45 0 H H z + + H + 0 H +HH H z H + H H + H + H z 0 = à Il calcolo dell' incognita ipertatica Si ha immediatamente, dalla () : X = oia, emplificando: F HH H + F H HH H KH H H + H + O + F HH H J H + H H + H H + H N 6 X = F I II I H H H + H M+I H H + H HH H M I II H + I H M+ I I IH + H H + H M (9) (0) Eempio n. 4 Si vuole ora tudiare il telaio di Figura 4, tenendo conto dei oli effetti della deformabilita' fleionale. D q H H Figura 4 - Un telaio emplicemente ipertatico Si utilizza il itema iotatico equivalente di Figura 5, dove e' anche evidenziata l'incognita ipertatica X. Il principio dei lavori virtuali, limitandoi agli effetti fleionali, i crivera':
12 46 - Il principio dei lavori virtuali.nb M + X M = 0 () dove i diagrammi M H0 ed M devono eere calcolati ullo chema S 0, in preenza del olo carico applicato q, ed S, in preenza di una incognita ipertatica unitaria X =. D q H H X Figura 5 - Un S.I.E. per il telaio emplicemente ipertatico di Figura 4 e reazioni vincolari per lo chema S 0 ono ricavabili dalle tre equazioni di equilibrio: R Dh = 0 R v + R Dv + q = 0 q + R v = 0 da cui ubito : () R Dh = 0 R v = q () R Dv = q Il diagramma dei momenti e' quindi limitato al travero, dove aume l'apetto quadratico, ed ha equazione (origine in ): M H0 = q z H z (4)
13 - Il principio dei lavori virtuali.nb 47 D q H q 8 H Figura 6 - Il diagramma M H0 Sullo chema S, le equazioni di equilibrio i crivono, cegliendo il polo in D: R Dh + = 0 R v + R Dv = 0 R v + HH + H = 0 (5) da cui ubito : R Dh = ; R v = H + H ; R Dv = H + H ed il diagramma dei momenti e' riportato in Figura 7 (6) H D H H H X = Figura 7 -Il diagramma M
14 48 - Il principio dei lavori virtuali.nb Il calcolo di Ÿ M H0 M 'integrale ara' divero da zero olo lungo il travero, dove puo' criveri (origine in ): M = q 0z H z H HH + H z z = q 4 HH H (7) Si noti ubito che, e i ritti hanno uguale lunghezza, tale integrale i annulla, in quanto prodotto di una funzione immetrica per una antiimmetrica: à Il calcolo di Ÿ M 'integrale potra' eere uddivio in tre tratti: M = 0 H z z+ 0 H HH + H z H + H + IH H H + H M ' incognita ipertatica, quindi, ara' fornita da : z+ H z z = 0 (8) X = q 8 H H H + H +IH H H + H M (9) à ' influenza dello forzo normale Nei cai in cui H ed H aumono valori molto proimi, e non addirittura coincidenti, il valore dell' incognita iperttatica X diviene molto piccolo, ed e' opportuno indagare e l'influenza dello forzo normale non poa eere rilevante. cio' fare occorre calcolare il diagramma N H0 ullo chema S 0 ed il diagramma N ullo chema S. Nel primo cao, le reazioni () garanticono l'aenza di forzi normali ul travero, mentre i due ritti vedranno uno forzo normale cotante, e pari alla meta' della riultante del carico applicato: N H0 = R v = q N H0 D = R Dv = q ome ovvio, il ritto di initra riulta compreo, quello di detra e' teo. (40) (4) Nel econdo cao, invece, le reazioni (6) implicano uno forzo normale nel travero pari a -, mentre per i ritti i ha, analogamente al cao precedente: N = R v = H + H (4)
15 - Il principio dei lavori virtuali.nb 49 N H0 D = R Dv = H + H (4) e i noti che ora ambedue i ritti riultano comprei. io' bata a calcolare gli integrali richieti per il principio dei lavori virtuali: NH0 N E = q E IH H M (44) N E = E H + H HH + H + E (45) Eempio n.5 Si vuol calcolare le incognite ipertatiche per la truttura di Figura 8. Ea e' tre volte ipertatica, e come truttura iotatica equivalente i ceglie la trave di Figura 9. q Figura 8 -Una trave tre volte ipertatica Tale celta, come noto, riulta particolarmente conveniente, in quanto uddivide la trave originaria in due ditinte travi emplicemente appoggiate. Sullo chema S 0, ad eempio, il diagramma del momento e' limitato alla econda campata, e coincide con quello di trave emplicemente appoggiata in e. X X X q Figura 9 -Un S.I.E. per la trave di Figura 8 Si potra' crivere, imbolicamente : S.I.E. = S 0 + X S + X S + X S (46) ed i itemi S 0, S, S ed S ono preentati nella Figure 0-, inieme ai relativi diagrammi dei momenti. Per il principio di ovrappoizione degli effetti, il momento ulla truttura effettiva ara' pari a:
16 40 - Il principio dei lavori virtuali.nb M = M H0 + X M + X M H + X M H (47) q q 8 Figura 0 -Il diagramma del momento per il itema S 0 X = Figura -Il diagramma del momento per il itema S X = Figura -Il diagramma del momento per il itema S X = Figura -Il diagramma del momento per il itema S Si criva ora il principio dei lavori virtuali, aumendo come inieme di forze (virtuali) quelle agenti ul itema S, e come inieme di potamenti quelli effettivi, calcolabili ul S.I.E.. imitandoi ai oli effetti fleionali, i ha: M M = 0 (48) nalogamente, poono criveri altre due equazioni, cegliendo come iniemi di forze quelli agenti ul
17 - Il principio dei lavori virtuali.nb 4 itema S e ripettivamente ul itema S, e come potamenti quelli effettivi: M M H = 0 (49) M M H = 0 Utilizzando la (47) i giunge quindi ad un itema di tre equazioni nelle tre incognite ipertatiche: M X +X MH M +X MH M = (50) M M H X M +X M H +X MH H M = H M M H X M +X MH H M +X M H = (5) H M i cui coefficienti poono agevolmente deduri a partire dalle leggi di variazione dei momenti: M = 0 z z = (5) M M H = 0 z z z = 6 (5) M M H = 0 (54) M H = 0 z z+ 0 z z = + (55) M H M H = 0 z z z = 6 (56) M H = 0 z z = (57) M M H0 = 0 (58) M H M H0 = q 0 z z H z z = q 4 (59) M H M H0 = q 0 z z H z z = q 4 (60)
18 4 - Il principio dei lavori virtuali.nb Il itema (5) i crive allora come : con oluzione : X + 6 X = 0 6 X X + X = q 4 X = q 4 H + q X = H + X = H q + q 4 H + X + 6 X = q 4 (6) (6) Eempio n.6 Si conideri la truttura di Figura 4, una volta ipertatica, e i voglia utilizzare il principio dei lavori virtuali al fine di ottenere l'incognita ipertatica. ttea la geometria della truttura, i vuole tener conto degli effetti da deformazione aiale delle due ate. F α H Figura 4 -Una truttura pingente emplicemente ipertatica Si celga, quale itema iotatico equivalente, la truttura di Figura 5, ottenuta poizionando una cerniera in mezzeria.
19 - Il principio dei lavori virtuali.nb 4 F X α H Figura 5 -Un S.I.E. per la truttura di Figura 4 à ' eame del itema S 0 Sulla truttura S 0, caricata dalla forza F, il diagramma del momento riulta identicamente nullo, mentre gli forzi aiali nelle due ate poono calcolari dalle equazioni di equilibrio della cerniera in : F H0 N α H0 N Figura 6 -'equilibrio della cerniera in ommita' per il itema S 0 e quindi : N H0 o Hα+N H0 o Hα = 0 N H0 Sin Hα+ N H0 Sin Hα+F = 0 N H0 = N H0 = F Sin Hα (6) (64) à ' eame del itema S Il itema S e' riportato in Figura 7, inieme al diagramma del momento. Su ciacuna delle ate il momento decrece linearmente da, in corripondenza della cerniera, a zero in corripondenza delle cerniere al uolo.
20 44 - Il principio dei lavori virtuali.nb X = H Figura 7 -Il diagramma del momento ul itema S Per il calcolo dello forzo normale, i oervi che le equazioni di equilibrio dell'intera truttura i crivono: R h + R h = 0 R v + R v = 0 = 0 R v (65) avendo celto il polo in. Ne egue che le componenti verticali delle reazioni ono nulle, mentre le componenti orizzontali ono uguali e contrarie. Inoltre, l'equazione di equilibrio dell'ata, cegliendo come polo il punto, fornice: e quindi : T + = 0 T = = Sin Hα H Infine, l' equilibrio della cerniera in fornice: (66) (67) N R h T Figura 8 -'equilibrio della cerniera in per il itema S da cui : R h + N o Hα+T Sin Hα = 0 N Sin Hα+T o Hα = 0 (68)
21 - Il principio dei lavori virtuali.nb 45 N = o Hα H (69) R h = H à a crittura del p.l.v. Dovra' criveri, per il principio dei lavori virtuali : M M + N N E = 0 e tramite il principio di ovrappoizione degli effetti : M = M H0 + X M N = N H0 + X N da cui l' equazione : M + N E X = M NH0 N E = 0 Sara' poi poibile calcolare gli integrale nel eguente modo : (70) (7) (7) M = 0 M = K z 0 O z = (7) (74) NH0 N E = F Sin Hα o Hα H E = F H Tan Hα E (75) N E = o Hα H E (76) e quindi l' incognita ipertatica i crive : X = F Tan Hα H I H + I o Hα (77) Eempio n.7 a maglia triangolare chiua di Figura 9 e' oggetta ad una tea di carico uniformemente ditribuita di intenita' q lungo l'ata orizzontale. Ea e' iotatica per vincoli eterni, e tre volte internamente ipertatica.
22 46 - Il principio dei lavori virtuali.nb α H q Figura 9 -Una maglia triangolare chiua, tre volte ipertatica ome itema iotatico equivalente i ceglie la truttura di Figura 0, in cui ono tate introdotte tre cerniere nei tre vertici della maglia, inieme alle corripondenti incognite ipertatiche. ome empre, i poono crivere tre epreioni del principio dei lavori virtuali, utilizzando empre il itema di potamenti effettivo come itema di potamenti geometricamente ammiibile, e le forze X =, X = ed X =, ripettivamente. X = X = X = H q Figura 0 -Il itema iotatico equivalente alla maglia chiua di Figura 9 on le uuali terminologie, i ha: M M + N N E = 0 M M H + N N H E = 0 M M H + N N H E = 0 (78) dove i e' tenuto conto anche dell'effetto delle deformazioni aiali. Per il principio di ovrappoizione degli effetti i ha: M = M H0 + X M + X M H + X M H N = N H0 + X N + X N H + X N H e quindi le (65) i tramutano nel itema di dimenione tre: (79)
23 - Il principio dei lavori virtuali.nb 47 con : a ij X j + b i = 0 i =,, (80) MHj Hi a ij = M + NHj Hi N E (8) Hi b i = M + NH0 Hi N E (8) Occorre quindi tudiare i itemi S 0, S, S ed S, e per ciacuno di ei tracciare il diagramma del momento e dello forzo normale. à o tudio del itema S 0 Il diagramma del momento ul itema S 0 e' limitato all'ata orizzontale caricata, dove aume andamento parabolico. o forzo normale e' invece identicamente nullo α H q 8 q Figura -Il diagramma del momento ul itema S 0 à o tudio del itema S Il diagramma del momento u itema S e' limitato alle due ate inclinate, caricate da una coppia unitaria in un etremo. Nell'ata il momento decrece linearmente da, dove ha valore unitario, ad, dove i annulla, ed analogo diagramma puo' tracciari per l'ata : X = H Figura -Il diagramma del momento ul itema S
24 48 - Il principio dei lavori virtuali.nb Per dedurre il valore degli forzi normali, i conideri l'ata, e i criva l'equazione di equilibrio intorno al punto (analogo ragionamento puo' fari per l'ata ): T + = 0 e quindi i conoce il taglio in : (8) T = (84) io' e' anche deducibile dal diagramma del momento, e dalla ua pendenza. onociuto il taglio, l'equilibrio della cerniera in fornice gli forzi normali nelle ate ed, in quanto le reazioni eterne ono identicamente nulle, coi' come nullo e' il taglio in : Si ha quindi : T Sin Hα + N o Hα+ N = 0 T o Hα N Sin Hα = 0 (85) N = T Tan Hα = H (86) N = Sin Hα H o Hα (87) T N N α T N T N Figura - e forze agenti ull'ata e ulla cerniera in Ma Sin Hα = H o Hα = e quindi infine : (88)
25 - Il principio dei lavori virtuali.nb 49 N = Sin Hα Sin Hα H H o Hα = H o Hα = H à o tudio del itema S Il diagramma del momento per il itema S e' analogo al precedente, con le ate ed intereate da un momento linearmente variabile tra uno e zero, e con l'ata carica. X = H Figura 4 -Il diagramma del momento ul itema S ' equilibrio alla rotazione delle due ate ed, o piu' emplicemente lo tudio della pendenza del diagramma del momento portano a conocere i ripettivi tagli: T H = (90) T H = mentre l' equilibrio della cerniera in porta a crivere: oia : N H o Hα+T H Sin Hα+ N H = 0 N H Sin Hα+ T H o Hα+T H = 0 (9) N H = o Hα Sin Hα Sin Hα = H H (9) N H = Sin Hα o Hα o Hα o Hα + Sin Hα Sin Hα Sin Hα = + o Hα Sin Hα = H + = H H (9) ' equilibrio della cerniera in fornice :
26 40 - Il principio dei lavori virtuali.nb e quindi : N H o Hα+T H Sin Hα N H = 0 N H Sin Hα T H o Hα T H = 0 N H = N H o Hα T H Sin Hα = 4 H + H (95) à o tudio del itema S Il diagramma del momento per il itema S e' analogo al precedente, con le ate ed intereate da un momento linearmente variabile tra uno e zero, e con l'ata carica. X = H Figura 5 -Il diagramma del momento ul itema S ' equilibrio alla rotazione delle due ate ed, o piu' emplicemente lo tudio della pendenza del diagramma del momento portano a conocere i ripettivi tagli: T H = (96) T H = mentre l' equilibrio della cerniera in porta a crivere: oia : N H o Hα+T H Sin Hα N H = 0 N H Sin Hα T H o Hα T H = 0 (97) N H = o Hα Sin Hα Sin Hα = H H (98) N H = H H o Hα Sin Hα = H (99) ' equilibrio della cerniera in fornice :
27 - Il principio dei lavori virtuali.nb 4 e quindi : N H o Hα+T H Sin Hα+ N H = 0 N H Sin Hα+ T H o Hα+T H = 0 (00) N H = N H o Hα+T H Sin Hα = o Hα+ Sin Hα = + H H 4 H (0) à Il calcolo dei coefficienti Gli integrali che compaiono nelle tre equazioni di congruenza poono calcolari agevolmente. Si ha infatti, per i momenti: M M H0 = 0 M H M H0 = q 0 z M H M H0 = q 0 M = K z 0 O z = z z H z = q z H z = q 4 M M H = K z 0 O K z O z = 6 M M H = K z 0 O K z O z = 6 M H = K z 0 O z + 0 z M H M H = 0 M H = K z 0 O z z z = 6 z + 0 z 4 z = + z = + mentre per gli forzi normali, cotanti nelle ate, gli integrali ono immediati : (0) (0) (04) N N H0 = 0 N H N H0 = 0 (05) N H N H0 = 0
28 4 - Il principio dei lavori virtuali.nb N = N N H = H + H = H + H H H H + + H H + H = H H 4 H 8 H N N H = H H H 4 H + H + + H H = H H 8 H N H = H H + H + 4 H + H = H H N H N H = + H H 6 H H + H + H 4 H 4 H + H H = H (07) H N H = H H H à a oluzione del itema a matrice ed il vettore b delle equazioni (8) e (8) poono riempiri come egue: a = I + H + H a = 6 I H H a = 6 I H H a = I + I H H H
29 - Il principio dei lavori virtuali.nb 4 a = 6 I H ; a = I + I H H H b = 0 b = q 4 I b = q 4 I e la oluzione del itema puo' otteneri come: X = I H q 5 I4 H I J M+ J I MMMí J6 J8 H 4 H+ + J I4 H 4 + M + H J I6 H H I MMNN (09) X = X = I H q 5 I4 H + J H + MMí J J8 H 4 H+ + J I4 H 4 + M + H J I6 H H I MMNN (0) Per tracurare gli effetti della deformazione aiale, i calcola il limite per che tende ad infinito, ottenendo: q X = H+ q X = X = 6 H+ () à Un eempio numerico Si ipotizzi ora di voler eaminare una truttura di luce = 4 metri, ed altezza H = 7 metri, oggetta al carico q pari a tm -. Inoltre, la truttura ia metallica con ezione caratterizzata da un'area = 98 cm ed un momento di inerzia I = cm 4 (corripondente ad un profilato HE 400 ). Sara' ovviamente: = = 9.90 m e quindi i momenti incogniti ono pari a : X = 7.95 X = X = 6. Ponendo invece Ø i hanno i valori: X = 8.0 X = X = 6.0 () () (4)
30 44 - Il principio dei lavori virtuali.nb I calcoli Eempio n.8 a trave doppia collegata da un pendolo di Figura 6 e' gia' tata tudiata attravero il coiddetto metodo mito. In queta ede, invece, i vuol utilizzare il p.l.v. per la crittura delle due equazioni di congruenza ul itema iotatico equivalente di Figura 7. F D H G E Figura 6 - Una trave doppia collegata da un pendolo Si ono quindi celte come incognite lo forzo normale nel pendolo DE (poitivo e di trazione), e la reazione del carrello in. F D X X X H G X E X Figura 7 - Il itema iotatico equivalente alla truttura di Figura 6 Siano ora M i momenti flettenti effettivi, M i momenti flettenti generati da uno forzo normale unitario X =, ed M H i momenti generati da una reazione X =. Utilizzando il itema di potamenti effettivo, ed il itema di forze virtuali in cui X =, i puo' crivere il principio dei lavori virtuali come:
31 - Il principio dei lavori virtuali.nb 45 M M = X H E (5) Il egno negativo dipende dall'aver celto lo forzo normale poitivo e di trazione, e quindi la forza unitaria con cui e' caricata la truttura compie lavoro negativo per effetto dell'allungamento del pendolo. Utilizzando invece il itema di potamenti effettivo, ed il itema di forze virtuali in cui X =, i puo' crivere il principio dei lavori virtuali come: M M H = 0 (6) Per il principio di ovrappoizione degli effetti, il momento M puo' eprimeri come omma dei momenti generati dalla forza F, dalla X e dalla X : M = M H0 + X M + X M H e quindi le (5-6) divengono : (7) M +X M M +X MH M = X H H M +X M H M +X MH H M = 0 E (8) Si tratta quindi di calcolare i coefficienti di un itema di equazioni nelle due incognite X ed X. tal fine, i riportano i diagrammi dei momenti M H0, M ed M H, u cui e' immediato calcolare gli integrali richieti: F F D G E Figura 8 - Il itema S 0 ed il relativo diagramma dei momenti M H0
32 46 - Il principio dei lavori virtuali.nb D G E Figura 9 - Il itema S ed il relativo diagramma dei momenti M D G E Figura 40 - Il itema S ed il relativo diagramma dei momenti M H Sara' quindi poibile eprimere analiticamente i tre diagrammi del momento, e crivere: M = H F z z 0 z+ F z 0 z z = 4 F (9) H M = H F z z 0 z+ F z 0 H z z = F (0)
33 - Il principio dei lavori virtuali.nb 47 M M = 0 H z z z+ 0 z 0 z z z = 0 z z+ () MH M = H z z 0 z+ z 0 H z z = () MH H M z = z H z 0 z+ 0 e equazioni divengono quindi : z = () 0 + H E con oluzione : X + X = 4 F X + X = F (4) 5 E F X = 79 E + 4 H X = 8 I8 E F + F HM 79 E + 4 p (5) Per riottenere i riultati del metodo mito, non reta che tracurare la deformabilita' aiale del pendolo, e far tendere E all'infinito. Si ottiene: X = 5 79 F X = F (6) à Il cao del carico ditribuito Un vantaggio dell'utilizzo del principio dei lavori virtuali riiede nel poter tudiare facilmente divere condizioni di carico, calcolando volta a volta il olo diagramma M H0 dovuto ai carichi. Se ad eempio la truttura precedente foe caricata da una tea di carico uniformemente ditribuita di intenita' q u tutta la trave uperiore, biognerebbe utilizzare l'epreione M H0 = q z H +z (7) nella prima campata, e :
34 48 - Il principio dei lavori virtuali.nb M H0 = q H +z (8) nella econda, icche' riulta: M = 0 0 q H +z H M = 0 0 H z q H +z q z H +z z z+ q z H +z z z z = 4 q 4 z+ z = 4 4 q Gli altri termini retano inalterati, icche' le equazioni di congruenza i crivono : 0 + H E con oluzione : X + X = 4 q 4 X + X = 4 4 q (9) (0) () X = 6 E 4 q 79 E + 4 H X = I89 E q+96 H qm I79 E + 4 HM () Per riottenere i riultati del metodo mito, non reta che tracurare la deformabilita' aiale del pendolo, e far tendere E all'infinito. Si ottiene: X = 6 79 q X = q () ü alcolo Eempio n.9 Si conideri il telaio di Figura 4, cotituito da un travero, incatrato al piede, di altezza H, e da un ritto di luce, poggiante u due carrelli.
35 - Il principio dei lavori virtuali.nb 49 D q H E Figura 4 - Un telaio doppiamente ipertatico a truttura e' manifetamente doppiamemte ipertatica, e puo' eere riolta col metodo mito, introducendo tre cerniere in, ed E, oppure utilizzando il metodo della compoizione degli potamenti per la crittura diretta di due equazioni di congruenza. In queto Eempio, i vuole utilizzare il principio dei lavori virtuali al fine di calcolare le incognite ipertatiche di Figura 4. D q X X H E Figura 4- Un itema iotatico equivalente per il telaio di Figura 4 Siano ora M i momenti flettenti effettivi, M i momenti flettenti generati da una reazione unitaria X =, ed M H i momenti generati da una reazione unitaria X =. Utilizzando il itema di potamenti effettivo, ed il itema di forze virtuali in cui X =, i puo' crivere il principio dei lavori virtuali come: M M = 0 (4) Utilizzando invece il itema di potamenti effettivo, ed il itema di forze virtuali in cui X =, i puo' crivere il principio dei lavori virtuali come: M M H = 0 (5)
36 440 - Il principio dei lavori virtuali.nb Per il principio di ovrappoizione degli effetti, il momento M puo' eprimeri come omma dei momenti generati dal carico q, dalla X e dalla X : M = M H0 + X M + X M H e quindi le (4-5) divengono : (6) M +X M M +X MH M = 0 H M +X M H M +X MH H M = 0 (7) à Il calcolo degli integrali Il tracciamento dei diagrammi del momento non preenta alcuna difficolta' : in Figura 4 e' riportato il diagramma M H0, calcolato ullo chema iotatico caricato dalle forze eterne: q D q E ' epreione analitica e' facilmente deducibile: M H0 = q z M H0 D = q q z + q z (8) M H0 E = q Il diagramma M, riportato in Figura 44, e' ancora piu' emplice, in quanto cotituito da tratti lineari:
37 - Il principio dei lavori virtuali.nb 44 D H E M = z = M E ed analogamente per il diagramma M H, riportato in Figura 45: (9) D H E M H = z H = M E (40) Sara' quindi : M = 0 q z z z+ 0 q z = 5 q4 (4) H M = q z Hz z+ 0 q 5 q 4 z = 4 (4) Si noti che per il calcolo del econdo integrale ul tratto i e' riportata l'origine del itema di riferimento
38 44 - Il principio dei lavori virtuali.nb di M H nel punto, tralando di -, e quindi l'epreione analitica di M H e' divenuta (z-). M M z = z 0 z+ 0 z = 0 (4) MH H M z = z 0 z+ 0 z = 4 (44) MH M = z Hz z+ z = In definitiva, i hanno le due equazioni di congruenza : (45) 0 X + 7 X 6 = 5 4 q (46) 7 X 6 con oluzione : + 4 X = 5 4 q 4 (47) X = 59 4 q X = 0 q (48) Figure Vincoli alcolo
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