Fig Prisma di Saint Venant soggetto a torsione

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1 9.6 orione del prima di Saint Venant La trattazione del problema di de Saint Venant volta inora ha ecluo la preenza della torione, coa per la quale era neceario che la retta di azione del taglio paae per il centro di taglio. l prima-trave ia ora oggetto da due coppie uguali in modulo e di vero oppoto agenti ulle bai, che danno momento ripetto a z, ae del prima (Fig. 9.7). Fig Prima di Saint Venant oggetto a torione Si mantengono le ipotei generali di Saint Venant ul tenore di forzo: σ σ 0 z 0 z 0 (9.75) Eendo tutte nulle le caratteritiche interne che cauano tenioni normali - cioè M M N 0 -, poiamo aggiungere l'ipotei: Le equazioni indefinite di equilibrio i riducono a: σ z 0 (9.76) z z 0 0 z z z z + 0 il che equivale a crivere r div ( ) 0 (9.77 a-c) (9.77 d) ome le Eqq. (9., ), le Eqq. (9.77 a, b) ignificano che z e z non dipendono da z. Rimane valida l'analii delle equazioni di congruenza fatta nel par. 9.: ono ignificative olo le Eqq. (9., ). uttavia, eendo σ z 0, quete ultime divengono omogenee: z z 0 z z 0 (9.78 a, b) ntegrando la (9.78 a) ripetto ad, la (9.78 b) ripetto ad e ommando i riultati, i ha l unica equazione:

2 z z c (9.79) in cui c è una cotante. l problema, quindi, è retto dalle Eqq. (9.77 c, 79). La condizione al contorno è la (9.0), valida u Γ, che per comodità i ripete: z n + n 0 (9.80) Deve eere inoltre oddifatto l equilibrio della ezione alla rotazione attorno all'ae z: z ( ) d (9.8) z Per riolvere il problema i impiegherà ancora l approccio emi-invero: ono poibili due vie, la prima delle quali formula ipotei ugli potamenti, la econda ugli forzi. z 9.6. pproccio agli potamenti potizziamo che il campo di potamenti riferito al baricentro G ia dato da θ' z θ' z z θ' w(, ) (9.8 a - c) Fig Spotamento rigido dei punti della ezione di un prima di Saint Venant oggetto a torione Sugli potamenti (9.8) poiamo fare le eguenti oervazioni:. Le (9.8) configurano una rotazione rigida infiniteima della ezione nel uo piano (vedi Fig. 9.7), con angolo di rotazione ripetto alla ezione z 0 pari a θ' z.. La cotante θ' (detta torione) ha quindi il ignificato di rotazione relativa tra due ezioni a ditanza unitaria ( θ' ha dimenioni radianti/lunghezza).. Dovendo eere per le ipotei fatte ul tenore di forzo: ε σ σ σ 0 ε 0 E ε z z 0 E z E z (9.8 a - c) θ' deve riultare cotante.. La (9.8 c) definice lo potamento dei punti della ezione in direzione z, governato dalla funzione di ingobbamento w(,) che i aume indipendente da z.

3 5. La (9.8 c) eprime lo potamento dei punti del prima in direzione z: poiché il prima l'unico potamento in direzione z che può avere il prima è un moto rigido, per eliminarlo i impone che ia nullo lo potamento medio econdo z, cioè (, ) d 0 w (9.8) Vi è ancora da ottolineare che lo potamento rotatorio rigido della ezione traverale è uno potamento infiniteimo: infatti [cfr..., Fig.. b], in uno rotatorio potamento finito un punto P(, ) i poterebbe lungo l'arco di circonferenza di raggio r +, invece i pota lungo la tangente alla circonferenza (Fig. 9.7) e le componenti di potamento econdo ed ono date ripettivamente dalla (9.8 a) e dalla (9.8 b), valide ancora per potamenti piccoli. L'angolo di rotazione è θ' z, cioè è proporzionale a z, il che ignifica che la bae del prima dove è pota l'origine delle coordinate non ruota: di fatto ci poniamo in un riferimento carteiano relativo olidale con la bae del prima z 0. Scriviamo ora le epreioni delle deformazioni tangenziali ε z, ε z in funzione degli potamenti (9.8): ε z + z w θ θ θ z ε z + z w θ + θ z θ w w + Eprimiamo le tenioni tangenziali in funzione delle deformazioni ( Gε ) ij σ : ij ij) (9.85 a) (9.85b) w w Gεz Gθ Gε Gθ + z z (9.86 a, b) z Sviluppiamo la (9.79) utilizzando le relazioni appena trovate: z z Gθ w w + + c (9.87 a) Dalla (9.87 a) otteniamo la cotante c, che abbiamo dimotrato in 9.. governare il problema della torione: Gθ c (9.88) Utilizzando le Eqq. (9.86) nell equazione indefinita di equilibrio (9.77 c), i ottiene: z z w w + Gθ + 0 (9.89 a) Dividendo per le cotanti, i ha l equazione che regge il problema della torione con l approccio agli potamenti: w w + w 0 (9.89 b)

4 La (9.89 b) è un equazione di Laplace come le (9.6, 70) per il problema delle tenioni tangenziali, colla differenza che l'incognita w ha un ignificato fiico diretto. Per riolvere la (9.89 b) biogna unire la condizione al contorno (9.80), nella quale i otituicono le (9.86), ottenendoi: w w zn + zn n n n n w n n n (9.90) valida ul contorno Γ della ezione. Se confrontiamo la (9.90 b) con la (9.6), vediamo che, per determinare la funzione di ingobbamento, biogna riolvere un problema di Neumann- Dini, che, i ricorda, integrare la (9.89 b) ul dominio dato dalla ezione traverale, conocendo la derivata della funzione w incognita ripetto alla normale al contorno Γ. Sfortunatamente, come per le tenioni tangenziali, anche in queto cao i hanno poche oluzioni analitiche, fra le quali i ricorda la formula integrale di Neumann-Dini per il cerchio. n aenza di oluzioni analitiche i deve ricorrere all integrazione numerica. mmeo di avere determinato la w(, ), formalmente il problema è riolto, poiché l'unica incognita retante, θ, può eere determinata dall'equazione di equilibrio alla rotazione, in cui ora le tenioni ono note a meno di θ : ( z z ) Gθ' w w d + + d (9.9 a) Oervando che ( + ) d è il momento polare d inerzia P [Eq. (.7)], i definice il momento torionale d inerzia come: w w w w + + d P+ d (9.9) Si può dimotrare - i veda, ad eempio, orradi, Vol., ap. 5- che l'integrale nella (9.9) è negativo o nullo per cui P. bbiamo allora: θ' (9.9 b) G od alternativamente θ' χ GP con P χ ( χ ) (9.9 b) n analogia con il fattore di taglio χ [Eqq. (9.67, 68)] χ è definito fattore di torione. omunque epreo, il momento d'inerzia torionale è una quantità geometrica della ezione poiché la funzione di ingobbamento w non dipende da. Ora che è noto anche θ dalle Eqq. (9.86) i calcolano i valori numerici delle tenioni pproccio agli forzi Seguiamo il econdo metodo di 9.. definendo la funzione potenziale degli forzi φ come:

5 φ φ z z (9.9 a, b) φ φ L equazione indefinita di equilibrio (9.77 c) è identicamente oddifatta: 0. Sotituendo le (9.9) nell equazione di congruenza (9.79), i ottiene: con la condizione al contorno φ φ + φ c (9.9) φ φ φ d φ d φ φ z n + zn n n d + d dφ 0 (9.95 a) d d valida ul contorno Γ della ezione; nello viluppare la (9.95 a) i ono utilizzate le relazioni geometriche di Fig. 9.7 con d. La (9.95 a) ignifica φ cotante u Γ, cotante che può eere aunta nulla enza ledere le generalità. Quindi, alla (9.9) uniamo la condizione φ 0 u Γ (9.95 b) Eendoi proceduto col metodo di 9.., abbiamo da riolvere un problema di Dirichlet per l equazione di Laplace, per il quale l nalii Matematica aicura l eitenza di una ed una ola oluzione data dalla formula integrale di Dirichlet; purtroppo anche in queto cao vi ono oluzioni in forma chiua per un numero limitato di forme del contorno Γ. Pertanto, in teoria nella maggior parte dei cai biognerebbe ricorrere all integrazione numerica. La cotante c nell Eq. (9.79) nell'approccio agli forzi è ancora incognita: fruttiamo l equilibrio (9.8), otituendovi le (9.9), che ora ono da ritenere funzioni note. Si ha φ φ ( ) d + d z z (9.96 a) Si viluppa l'integrale a econdo membro della relazione precedente fruttando la regola di derivazione di un prodotto ed il teorema di Gau: φ + φ d ( φ) ( φ) φ + φ d ( φ) ( φ) + φ d d φ( n + n ) φd d (9.96 b) l econdo integrale nell'ultimo termine della (9.96 b) è nullo per la condizione al contorno (9.95 b), per cui reta: Γ φ d (9.96 c) Queta relazione permette di determinare il valore della cotante c. La oluzione completa del problema richiede la valutazione degli potamenti, che poono eere calcolati integrando le deformazioni corripondenti alle tenioni (9.9). uttavia, il 5

6 calcolo è facilitato e i adotta un approccio mito, cioè i fa uo delle relazioni trovate nell approccio agli potamenti anche e non i è determinata la funzione di ingobbamento w(,). Le epreioni (9.86) delle tenioni tangenziali ono riolte in funzione delle derivate degli potamenti: w z φ w z φ + + Gθ' Gθ Gθ' Gθ (9.97 a, b) ntegrando le (9.97) con condizioni al contorno opportune e otituendovi il valore di θ che i ottiene dalla (9.88), nota c dalla (9.96 c), i ricava la funzione di ingobbamento. Per riolvere il problema è neceario trovare la oluzione dell equazione di Laplace φ c. Numericamente queto è empre poibile e nemmeno troppo difficile con l uo del calcolatore; tuttavia, da un punto di vita pratico non è comodo e i ricorre peo a oluzioni approimate. Prima di preentare le oluzioni, eatte od approimate per alcune forme comuni di ezione, dobbiamo analizzare in generale la oluzione trovata, introdurre il concetto centro di torione e mettere queto in relazione con il centro di taglio entro di torione e di taglio bbiamo determinato la oluzione per il prima oggetto a ollecitazione di torione prendendo l'ae elatico come ae di rotazione e dei momenti torcenti: ci i chiede ora e l ipotei di riferire le rotazioni al baricentro influica ui riultati. Pertanto, riconideriamo la oluzione del problema della torione aumendo come centro di rotazione un punto generico di coordinate (, ) (Fig. 9.7). Le Eqq. (9.8) diventano ( ) θ' ( ) z θ' ( ) z z θ' w, (9.98 a - c) llora, le epreioni (9.86) delle tenioni tangenziali diventano: z w θ w G + θ c + z G (9.99 a, b) in cui indica che la grandezza è riferita al nuovo centro di rotazione. Sotituendo le (9.99) nella (9.77 c), i perviene alla eguente l equazione di Laplace valida ul dominio della ezione traverale: w + w w 0 (9.00) Operando nello teo modo che ha portato alla (9.90), la condizione al contorno diventa: z valida u ul contorno Γ. Si ponga w + w n + + zn + 0 n n (9.0 a) n ( w + ) n n (9.0 b) 6

7 Fig Polo del momento torcente e delle rotazioni w w + ), ( ), ( (9.0) Poiché w e w differicono per termini lineari, ovviamente i ha: 0 w w (9.0) llora, il problema da riolvere diventa: 0 w (9.0 a) in con la condizione u Γ n n n w (9.0 b) l problema differenziale che i è ottenuto è formalmente identico alle Eqq. (9.89 b, 90). Poiché la oluzione dell equazione di Laplace è unica, w e w differicono al maimo per una cotante ineenziale, che rappreenta la tralazione rigida lungo z. llora, dall Eq. (.7) i ottiene: w w + + ), ( ), ( (9.05) Sotituendo la (9.05) nelle epreioni (9.99) delle tenioni tangenziali, i ottiene: z z w G w G + θ + θ (9.06 a, b) z c z w G w G + + θ + θ Le Eqq. (9.06) dimotrano che, per quanto riguarda le tenioni tangenziali, la oluzione del problema della torione è indipendente dalla celta del centro di rotazione. Queto riultato è del tutto analogo al fatto che le tenioni tangenziali dovute al taglio ono indipendenti dal punto di applicazione di queto, eccezione fatta per le ezioni cave. Ovviamente, gli potamenti dipendono dal centro di rotazione. Quindi, la celta del centro di rotazione relativa tra le ezioni non è univoca. l baricentro è icuramente una celta comoda, ma da un punto di vita teorico biognerebbe aumere come centro di rotazione il punto detto ENRO D ORSONE, per il quale i annulla lo potamento medio della ezione in direzione z, tale cioè che riultino nulli lo potamento aiale medio e le rotazioni medie 0 d ), ( 0 d ), ( 0 ) d, ( ϕ ϕ m w w w w m m (9.07 a - c) 7

8 Si può dimotrare che le (9.07) ono oddifatte e: w (, ) d w (, ) d w (, ) d 0 (9.08 a - c) Sotituendo nelle (9.08) la (9.05) e tenendo in conto che gli ai ed ono principali d'inerzia, i ricavano le coordinate del centro di torione: w (, ) d w(, ) d (9.09 a, b) Nel ricavare le (9.09) i è potuta eliminare la cotante perché per w deve valere la condizione analoga alla (9.8) w (, ) d 0. alora le (9.09 a, b) ono critte come: w w (9.09 c) avendo indicato gli integrali nelle (9.09 a, b) ripettivamente con w ed w, detti momenti centrifughi d'ingobbamento. Se la ezione ha un ae di immetria, il centro di torione è u eo; quindi eo coincide col baricentro per ezioni doppiamente immetriche. Nei paragrafi precedenti i è fatto peo uo del ENRO D GLO, definendolo come quel punto tale che, e le azioni taglianti ono applicate in eo, non vi è torione della ezione. Si erano poi ricavate in generale le coordinate di [Eqq. (9.68)] e per il cao particolare delle ezioni in parete ottile a profilo aperto [Eqq. (9.59, 60)]. Queta definizione del centro di taglio è dovuta a Goodier (vedremo che ne eite un'altra) ed ha come coneguenza la poibilità di eparare il problema del taglio da quello della torione: e la forza tagliante V è applicata in un punto P qualiai, può empre eere traportata da P al punto aggiungendo una coppia torcente V a. n queto modo, data la validità del principio di ovrappoizione degli effetti, i riolvono eparatamente due problemi: () il problema del taglio con V in ; () il problema della torione. Fig Forza e coppia ulla ezione per dimotrare che il centro di taglio e il centro di torione coincidono Prima di procedere, è da enfatizzare che nella defizione di Goodier del centro di taglio i tracurano implicitamente le deformazioni della ezione nel uo piano dovute alla fleione, che hanno l'effetto di ditorcere la ezione nel uo piano (9...). Si fa in otanza riferimento alla ezione indeformata. 8

9 La coincidenza tra centro di taglio e centro di torione può eere dimotrata emplicemente: nella ituazione di Fig V è applicato in, i hanno potamenti η V, mentre la rotazione unitaria θ è nulla. Nella ituazione B gli potamenti iano η e la rotazione unitaria V θ ( 0). Per il teorema di Betti i ha θ V η (9.0) V Ma θ V è nulla per ipotei, per cui η 0: allora, il centro di taglio non ubice potamento quando la ezione ruota per effetto della torione;poiché nel moto rotatorio l'unico punto fio è il centro di rotazione, neceariamente coincide col centro di torione. uttavia la definizione del centro di taglio non è unica: vi è una econda definizione dovuta a refftz e icala e vedremo che la coincidenza opra dimotrata uite per il centro di ta-glio definito in queto econdo modo. Queta econda definizione è la eguente: centro di taglio econdo refftz e icala è il punto della ezione traverale del prima-trave per il quale deve paare la forza tagliante V (V, V ) affinchè ia nullo il lavoro mutuo, cioè L V ( ) ( ) ( γ + γ ) dv V z z z z θ L 0 z * w + z w + ddz 0 (9.) in cui le tenioni tangenziali ono le oluzioni del problema del taglio e gli corrimenti angolari da torione ono dati dalle (9.85). Omettendo lo viluppo della (9.), per il quale i rimanda a Viola, Vol., ap. 8, i ottengono le coordinate di * : * w(, ) d * w(, ) d (9. a, b) Le relazioni ottenute coincidono con le (9.09), cioè il centro di taglio definito econdo refftz e icala coincide con il centro di torione. uttavia, le (9.) non coincidono con le Eqq. (9.68), cioè il centro di taglio econdo Goodier non coincide con il centro di taglio econdo refftz e icala che uitono le relazioni * e, quindi, è ditinto dal centro di torione. Si può dimotrare νθ νθ * + φ(, ) d * + φ(, ) d (9. a, b) per la cui dimotrazione i rimanda a Viola, op. cit. Nel cao particolare ma importante delle ezioni in parete ottile a profilo aperto le definizioni del centro di taglio vengono a coincidere a caua dell'aunzione di tenioni tangenziali da taglio uniformi ullo peore: in ne daremo una dimotrazione rigoroa. Per concludere notiamo che le coordinate del centro di taglio econdo refftz e icala non dipendono dal rapporto di Poion del materiale. l teorema di Betti ancice l'uguaglianza dei lavori mutui di itemi di forze: i vedano 7. ed il ap.. 9

10 9.6. nalogia idrodinamica Prima di eaminare alcune oluzioni del problema della torione, vogliamo dare qualche cenno della coiddetta analogia idrodinamica: in paato, non eitendo i calcolatori elettronici, le oluzioni numeriche delle Eqq. (9.89 b, 9) riultavano inaffrontabili, per cui i ricorreva ad eperimenti eeguiti u altri fenomeni fiici, retti però dalle tee equazioni. Un fenomeno fiico retto dalle tee equazioni che reggono il problema della torione è il moto di un fluido ideale privo di vicoità in regime irrotazionale all interno di un tubo, la cui ezione traverale ha area e contorno dato dalla linea chiua Γ. ale moto è retto dalle equazioni eguenti. v v + in, + 0 u Γ 0 v v c v n vn (a - c) in cui v e v ono le componenti della velocità del fluido econdo ai carteiani ortogonali. È immediato notare l uguaglianza formale tra, ripettivamente, la (a) e la (9.77 c), la (b) e la (9.79), la (c) e la (9.80). Se i fa muovere un fluido all'interno di un tubo avente la ezione traverale con la tea forma della ezione del prima di cui i vuole tudiare la torione, l oervazione delle linee di corrente del fluido permette di fare alcune coniderazioni, almeno qualitative, ulle tenioni tangenziali. Miurando le componenti di velocità, utilizzando la teo-ria della imilitudine, è poibile pervenire anche ai valori numerici di z e z, ma a noi inte-rea olo fare alcune coniderazioni qualitative. Fig Linee di corrente in tubi di ezioni notevoli n Fig ono motrate le linee di corrente formate dal fluido in moto in tubi di ezione notevole. Nel fare i commenti le componenti della velocità del fluido vanno direttamente i- dentificate con le tenioni tangenziali:. nella ezione quadrata le linee di corrente ono circolari, eendovi zone di ritagno negli pigoli; pertanto, il quadrato ha circa la tea portanza torionale del cerchio incritto. r. Nella ezione rettangolare le linee di corrente e, quindi, del vettore ( z, z ) divengono ellittiche e i hanno i valori maimi lungo la mediana parallela al lato corto; negli pigoli, 0

11 come nella ezione quadrata, dove il moto del fluido tende ad arretari, le tenioni tangenziali ono tracurabili o nulle.. Nelle ezioni in parete ottile, la portanza torionale è baa: infatti, le linee di fluo con vero oppoto ono molto vicine, per cui i contributi al momento torcente i elidono in gran parte, retando olo il momento torcente dato dalla differenza, molto piccola, tra il braccio della linea interna e quello della linea eterna.. Le ezioni chiue hanno buona portanza torionale anche e lo peore è piccolo poichè le linee di fluo hanno lo teo vero e braccio non tracurabile ripetto al polo del momento torcente Soluzioni del problema della torione Sezione circolare Per la ezione circolare (Fig. 9.77) l equazione del contorno i crive in un qualunque riferimento baricentrico come + R (d) eendo R il raggio del cerchio. umiamo come funzione potenziale degli forzi la funzione che i annulla ul contorno in accordo con l'eq. (9.65 b). ( ) + φ, K (9.) R Fig Sezione circolare oggetta a torione Sotituendo la (9.) nella (9.9), abbiamo: da cui φ K G ' R θ (e) K Gθ' R (9.5) Per determinare θ, otituiamo φ nella (9.96 c) con K dato dalla (9.5): φd + Gθ' R d R

12 ( co ϑ+ in ϑ) R ρ πr Gθ' R ρdρdϑ Gθ' π (9.6 a) 0 0 R Eendo π R il momento polare d inerzia P della ezione circolare, i ottiene: θ' (9.6 b) G P onfrontando la (9.6 b) con le (9.9 b, 9 b) i deduce che il fattore di torione χ della ezione circolare vale, per cui il momento d'inerzia torionale della ezione circolare coincide con il momento polare d'inerzia. alcoliamo ora le tenioni tangenziali con le (9.9): z φ GR G P R P (9.7 a) z φ GR G P R P (9.7 b) La riultante delle tenioni tangenziali è data da: z + z P + ρ P (9.8) in cui la coordinata ρ ha origine nel centro del cerchio ed è miurata poitiva vero l'eterno lungo un raggio qualivoglia. È evidente, come motrato in Fig. 9.77, che la tenione tangenziale crece linearmente lungo il raggio ed è maima ulla circonferenza, dove è diretta come la tangente in accordo con la condizione al contorno (9.0). Pertanto, il maimo momento torcente applicabile ad una ezione circolare vale f ma P (9.9) R α γ in cui γ è il coefficiente di icurezza ed α, ripettivamente con il criterio di nervamento di Von Mie e quello di reca. Quindi ma R P. Reta da calcolare la funzione di ingobbamento mediante le (9.97): w w P P G G G G P P w(, ) cotante (9.0) Queta cotante eprime evidentemente la tralazione rigida del cilindro lungo l ae z, per cui è ineenziale e può eere aunta nulla: ne egue che nella torione del cilindro circolare retto la ezione traverale i conerva piana.

13 Sezione rettangolare Per la ezione rettangolare (Fig. 9.78) la oluzione analitica eite ia per l'eq. (9.89 b), approccio agli potamenti, che per l'eq. (9.9), approccio agli forzi, ma in entrambi i cai è data da una erie infinita. L'approccio claico, eguito da de Saint Venant nell'opera "Mémoire ur la torion de prime...", è il primo, mentre il econdo approccio fu eguito anni più tardi da Prandtl, tanto che la funzione φ nella (9.9) è detta peo funzione di Prandtl. Daremo i fondamenti del primo approccio ed illutreremo nel dettaglio il econdo, che riulta di trattazione un poco più emplice. Fig Sezione rettangolare oggetta a momento torcente: andamento delle tenioni tangenziali, deformazione della ezione e del parallelepipedo La ezione ia riferita agli ai di Fig e ia a b; le condizioni al contorno per l'eq. (9.89 b) diventano nel cao in eame: Se i pone w b a a per ±, < < il problema da riolvere diventa: w b b a per < <, ± (9. a, b) w(, ) w(, ) + (9.) w w + 0 in w b a a 0 per ±, < < w b b a per < <, ± (9. a - c) ercando una oluzione otto forma di erie a variabili eparate, i ottiene la funzione di ingobbamento: m b m w 8 m π + ( ) Sh ( ) (, ) in (9.) m m a m m π + h ( ) b 0 ( ) m Nel cao di ezioni rettangolari molto allungate - a >> b - la erie diventa tracurabile a fronte del primo termine, per cui la funzione di ingobbamento i emplifica in w(, ) (9.5)

14 che è una uperficie rigata. Le tenioni tangenziali i ottengono dalle (9.85) previa valutazione dell angolo unitario di torione θ mediante la (9.9 b), il che a ua volta richiede la valutazione dell integrale nella (9.9), detto integrale di Dirichlet. Queta erie di calcoli rende meno attrattivo l approccio agli potamenti: comunque, da queto come dall approccio agli forzi i ottengono delle formule approimate di uo pratico, che vedremo più otto. Nell'approccio agli forzi dobbiamo riolvere la (9.9) con la condizione (9.95 b): la cotante c a econdo membro della (9.9) è incognita; tuttavia, ammettiamo di conocerne l'epreione (9.88), cioè c G θ. Supponiamo che la oluzione ia una erie a variabili epa-rate: + + φ(, ) Y ( ) coλ λ π (9.6) b Notiamo che i termini della (9.6) oddifano la condizione φ(±b/, ) 0: dobbiamo determinare Y () in modo che oddifi la condizione di nullo ugli altri lati. Lo viluppo in erie di Fourier della cotante nell'intervallo b/, b/ è (i veda qualiai teto di nalii Matematica): 8 ( ) coλ π + (f) + 0 Sotituendo la (9.6) e la (f) nell'equazione di Poion (9.9) e coniderando per la linearità la generica armonica i ha: 8 ( ) Y ( ) λy ( ) Gθ π + L'equazione precedente ha oluzione: 8 ( ) Y ( ) h( λ ) + BSh( λ ) + Gθ (h) πλ + Per determinare le cotanti della (h), i impongono le condizioni di annullamento di φ ui lati ± a/, trovando: 8 ( ) a G ech 0 θ λ πλ + B (i, i) La funzione delle tenioni per una ezione rettangolare è, allora, eprea da: + 0 8b ( ) h ( λ ) φ(, ) Gθ coλ π ( + ) h ( λ a / ) (9.7 a) lla (9.7) i può dare una forma alternativa, che è quella che i trova u gran parte dei teti, oervando che i arriva a b 8b π + 0 (g) ( ) coλ (j) ( + ) λ φ θ + b 8b ( ) h ( ) (, ) G coλ λ π 0 ( + ) h ( a / ) (9.7 b) Le tenioni tangenziali i ricavano dalle Eqq. (9.9):

15 φ 8 ( ) Sh ( λ ) Gθ z coλ π ( + ) h ( λ a / ) (9.8) b + 0 φ λ θ + b ( ) h ( ) z G en λ (9.9) π 0 ( + ) h ( λa / ) Benché il problema non ia ancora riolto completamente dal momento che θ non è ancora noto, le Eqq. (9.8, 9) permettono già di fare alcune importanti oervazioni:. Le tenioni z ono date da una erie i cui termini hanno h ( λ a / ) h[( + ) πa / b] a denominatore: al crecere del rapporto tra i lati a/b queta quantità crece eponenzialmente, per cui tali tenioni divengono empre più piccole al crecere di a/b. n Fig le tenioni tangenziali ono diagrammate per a/b.5: z raggiunge valori di una certa rilevanza olo agli etremi della mediana parallela al lato più lungo. Per rettangoli allungati, ingegneriticamente ono peo tracurate.. Le tenioni z, oltre alla erie, che ha la tea truttura, ono lineari in, per cui ono di entità maggiore. l valore maimo e quello minimo, che ha lo teo modulo, i hanno ulla mediana parallela al lato corto per ±b/, dove le funzioni eno e coeno iperbolico ono unitarie. enendo in conto olo il primo termine della erie i ha: 8 πa ma z z( b /, 0) Gθ b ech π b (9.0) ome i è fatto nel diagramma di Fig. 9.78, l'approimazione ingegneritica, valida particolarmente per rettangoli allungati, dà a z ulla mediana un andamento lineare, nullo nel baricentro e maimo agli etremi, eendo il valore maimo calcolato con la formula approimata (9.5 a), cioè z (,0) (maz ) (9.) b Per riolvere completamente il problema della torione del rettangolo, dobbiamo ancora calcolare θ, che otteniamo dalla (9.96 c) e è noto il torcente applicato: φ(, ) d b a λ G θ d + b 8b ( ) h ( ) coλ b a λ π + a d ( ) h ( / ) 0 9 b π θ + a ab G h ( + ) 5 5 π a (9.) 0 ( + ) b La (9.) permette di calcolare θ e è noto il momento torcente applicato alla ezione. Fu de Saint Venant teo ad oervare che per rettangoli allungati - a >> b - la (9.) è approimabile con il primo termine della erie: 5

16 abella 9. - Valori dei coefficienti α e β in funzione del rapporto a/b a/b α β a/b α β b ab G θ 0.60 G θ' θ' K (9.) a Nella (9.) i ono definiti il momento d'inerzia torionale e la rigidezza torionale del rettangolo ripettivamente come: b ab a K G (9. a, b) Oerviamo che per a + (rettangolo di forma allungata) la parentei tonda tende ad /. onervativamente nella pratica peo i pone uguale a zero la frazione in parentei quando b/a < /5. Nella pratica ingegneritica i fa l'ulteriore approimazione di impiegare la (9.) anche quando il rapporto b/a non è piccolo. lcuni autori (i vedano, ad eempio, imoheno e Goodier, op. cit.) hanno propoto di eprimere la tenione tangenziale maima agli etremi della mediana parallela al lato corto e l'angolo unitario di torione ripettivamente come: b α β ma z J ab θ ' J ab ab α G Gab β (9.5 a, b) ove i coefficienti α e β dipendono dal rapporto tra i lati a/b e ono deumibili dalla abella 9.. Le relazioni precedenti, benché approimate, ono di uo molto facile e ono quelle utilizzate nella pratica Sezione formata dall unione di più rettangoli Negli eempi preentati precedentemente abbiamo eaminato più volte ezioni formate dall'unione di rettangoli (Fig. 9.79): ora ne tudieremo il comportamento otto ollecitazione di torione, enza per altro cercare di determinare la funzione di ingobbamento o quella delle tenioni. Dato il comportamento elatico lineare, la ituazione effettiva non arà molto divera da quella che vede il momento torcente applicato alla ezione ripartito tra i diveri rettangoli in aliquote i. Per l equilibrio la omma dei momenti torcenti i deve eere uguale a : (a) i i (9.6) (b) 6

17 Fig Sezioni formate da rettangoli: (a) generica; (b) ezione a rovecia dove la ommatoria ui i è etea agli n rettangoli da cui è formata la ezione (5 in Fig a, in Fig b). Siccome in realtà la ezione è unica, per la congruenza l'angolo unitario di torione θ' è il medeimo per tutti i rettangoli. llora, dalla (9.5 b) i ha: i Gi i i θ K θ (9.7) Sotituendo la (9.7) nella (9.6), abbiamo: Dalla (9.8 a) otteniamo l'angolo unitario di torione: θ i i G i i ' (9.8 a) i θ' (9.8 b) K Sotituendo infine la (9.8 b) nella (9.7), abbiamo il momento torcente opportato dal j- eimo rettangolo: i i Kj j (9.9 a) K i i l momento torcente applicato applicato alla ezione i ripartice tra i ingoli rettangoli in maniera direttamente proporzionale alle loro rigidezze torionali. Per ogni ingolo rettangolo la maima viene poi calcolata con la (9.5 a). Se, come i ha peo, la ezione ha proprietà elatiche uniformi, cioè G i G per tutti i rettangoli, la (9.9 a) diviene: j j (9.9 b) i fini della verifica interea il valore maimo della tenione tangenziale: a volte queto i ha nel rettangolo che opporta l'aliquota maggiore di, cioè quello con ma j ; tuttavia, la tenione tangenziale maima per il ingolo rettangolo dipende anche dalla dimenione minore b, per cui può accadere che la tenione tangenziale maima tra tutte non ia nel rettangolo di maima inerzia torionale. i i 7

18 La oluzione trovata precinde dalla determinazione delle funzioni w e φ e, quindi, non coglie ciò che accade dove rettangoli i unicono, formando un angolo che il più delle volte è retto: l'analogia idrodinamica motra che ove vi è un angolo acuto o retto le linee di corrente i addenano ino quai a coincidere, il che in termini di tenioni tangenziali ignifica valori molto grandi di quete, al limite infiniti. Poiché neuna tenione può uperare la tenione di nervamento o quella di rottura, per ezioni di materiale duttile i ha la platicizzazione degli angoli, mentre le ezioni di materiale duttile poono romperi negli angoli; comunque, anche per le ezioni di materiale duttile i ha una diorganizzazione del profilo con deformazioni non trattabili come infiniteime, che cambiano la forma della ezione. Per ovviare a queto problema, è bene arrotondare gli pigoli come in Fig a; i ha, comunque, un incremento di tenione ripetto al valore più grande ma delle parti collegate, incremento che imoheno e Goodier (op. cit.) quantificano in: * t + m ma r (9.0) ma in cui r è il raggio dell arrotondamento dello pigolo e t m il maggiore tra gli peori delle parti collegate. (a) (b) (c) Fig (a) rrotondamento dell angolo formato da parti rettangolari; (b) andamento delle tenioni tangenziali nella ezione di Fig b; (c) compoizione delle tenioni z u una corda dell anima della ezione ESEMPO 9.6-: SEZONE ROVES (Fig b). Determinare la tenione tangenziale maima per la ezione a rovecia di Fig b oggetta ad una forza tagliante F applicata nell etremo detro uperiore dell ala. SOLUZONE: oerviamo in primo luogo che la ezione non è in parete ottile; tuttavia, è immetrica ripetto all ae, u cui, quindi, i trova il centro di taglio. Pertanto, ulla ezione vi ono tenioni tangenziali z dovute al taglio V F ed al momento torcente F (b/). Le tenioni z dovute al taglio raggiungono valori importanti olo nell anima, che ha larghezza minore, ono dirette come e, in bae alla formula di Jurawij, ono cotanti u ogni corda parallela ad. Le tenioni tangenziali ignificative dovute al momento torcente ono, come i è vito, ulle corde parallele alla dimenione minore: quindi, ono z nell anima e z nell ala, coi veri di Fig b. enuto conto che nell ala z è piccola e z 0, la tenione tangen- 8

19 ziale maima è z ul lato detro dell anima, dove le tenioni dovute al taglio ed al momento torcente ono equivere. onervativamente per ottenere ma z compleiva i tiene cotante lungo tutta l altezza dell anima la tenione tangenziale maima da torione, che a rigore è olo all etremo di detra della corda parallela ad paante per il baricentro della ola anima. Se i tracura l effetto dell angolo retto, la combinazione peggiore tra le z è all etremo di detra della corda paante per il baricentro dell intera ezione, altrimenti è nel punto P, nel quale, per altro, biogna ipotizzare un arrotondamento dell angolo di raggio r noto. umendo come ae per il calcolo del momento tatico la retta contenente il lato inferiore della ezione, la ditanza del baricentro da queto è: G l momento d inerzia ripetto all ae vale: mm (5.) ( ) mm n primo luogo valutiamo in funzione di F le tenioni tangenziali dovute al taglio, agenti ulla corda baricentrica e ulla corda alla congiunzione di anima ed ala: S S ( 0) 0 (50 65.) mm z F S (0) (0) ( P) S (65.) 0 50 (75 65.) mm F 6 9 z ( P) F S ( P) F Utilizzando la (9. a), valutiamo ora i momenti d inerzia torionali dell anima (apice ) e dell ala (apice ): mm Supponendo che la ezione ia omogenea, quindi con G cotante, il momento torcente 00 F, per comodità preo in valore aoluto, i ripartice tra anima ed ala econdo la (9.9 b): 9 mm 00F F 8.F F + È chiaro che la tenione tangenziale maima è nell anima, che aorbe un aliquota maggiore di ed ha peore più grande. Dalla (9.5 a) con α.7 abbiamo: l rapporto tra i lati dell anima non è eattamente, ma ne differice di poco, per cui i è preo dalla ab. 9. il valore α corripondente ad a/b. 9

20 z.7 8.F Se non i conidera l effetto dell angolo retto in P, la tenione da torione coì determinata i combina con z da taglio ulla corda baricentrica: F z (0) totale F Se ipotizziamo r 60 mm, la (9.0) dà: * zma zma nche e il raggio dell arrotondamento non è propriamente piccolo, l incremento della tenione tangenziale da torione è del 50 %: in queto modo la tenione tangenziale z maima compleiva è in P e vale.57 0 F con un incremento del 7 %. ESEMPO 9.6-: DEERMNZONE D ma PER L SEZONE DELL ES (Fig. 9.7). Per la ezione citata, note le tenioni normali σ z, i vuole determinare il maimo momento torcente applicabile alla ezione inieme con il momento flettente M ξ. SOLUZONE: la ezione, già tudiata per quanto riguarda la fleione (vedi E. 9..-a), è in parete ottile con peore cotante t mm. Supponendo poi la ezione omogenea, la ripartizione di obbedice all Eq. (9.9 b). alcoliamo in primo luogo i momenti d inerzia torionali, ponendo b/a 0 nella (9. a), poiché i rettangoli da cui è formata la ezione ono note-volmente allungati: 7800 mm (ali) 000 mm a w 00 Evidentemente l anima aorbe l aliquota maggiore di : w w w + a La tenione tangenziale maima nell anima i ottiene dall Eq. (9.5 a) con α /: ma z F (anima) ome detto nella teoria, ipotizziamo queta tenione cotante lungo tutta l anima, anche e in realtà agli etremi del rettangolo riulta minore, ma, facendo coì, poiamo penare compenato l effetto dello pigolo, che in queto eempio non conideriamo. Per l anima ma σ z è nel punto B e nell E i era calcolato il valore σ z (B) N/mm. Scriviamo la verifi-ca nel punto B utilizzando il criterio di reca e σ ±00 N/mm : σ id z σ ( B) + (ma z ) (87.68) + ( newton mm 5 ) 00 0

21 Sezione in parete ottile a profilo aperto Si abbia una generica ezione in parete ottile a profilo aperto oggetta a momento torcente, come in Fig. 9.8, in cui i nota come la ezione ia riferita agli tei itemi di ai globali e locali uati per determinare le tenioni tangenziali da taglio (Fig. 9.56), comprea la coordinata curvilinea lungo la linea media. Non ricerchiamo una oluzione analitica del problema della torione per queto tipo di ezione ia perché la determinazione riulterebbe molto complea, ia perché in ogni cao non è poibile pervenire ad una oluzione generale valida per qualiai ezione aperta ottile. Fig Sezione in parete ottile a profilo aperto oggetta a torione Si aume una funzione degli forzi φ approimata, funzione della coordinata curvilinea e della normale locale n alla linea media: b ( ) φ(, n) Gθ n (9.) Si noti la omiglianza della (9.) con il primo termine in parentei quadra della (9.7 b). ome già oervato in 9.5., ulla generica corda normale alla linea media, quindi diretta come n, agicono le tenioni tangenziali z e zn : tali tenioni ono legate a φ dalle (9.9), critte nel riferimento locale. Si ha, quindi: φ n φ z Gθ n 0 n zn (9. a, b) t Nello viluppare le (9.) i è utilizzata la relazione generale θ G [Eq. (9.9 b)] ed il fatto che la coordinata t lungo la tangente alla linea media non figura nella (9.). Benché il momento d inerzia torionale non ia ancora noto, dalla (9. a) poiamo già dedurre che le tenioni z hanno andamento lineare a farfalla lungo la generica corda normale alla linea media coi valori maimo e minimo agli etremi e punto di nullo ulla linea media. Pertanto, il valore maimo è b( ) ma z (9.) l valore minimo è l oppoto della (9.). Evidentemente il maimo aoluto di z per la ezione i ha dove b() è maimo.

22 Reta da determinare il momento d inerzia torionale, per il quale fruttiamo la (9.96 c): l + b φd θ l b ( ) Gθ n dnd G b ( )d 0 b 0 () Per confronto con la (9.9b) per il momento d inerzia torionale abbiamo: l b ( ) d b l (9. a, b) 0 ripettivamente per ezione a peore variabile e ezione a peore cotante. rattando l analogia idrodinamica i era già vito che la portanza torionale dei profili a- perti è piccola e calcolata nel conteto della teoria della torione di de Saint Venant. Ora poiamo quantificare queto fatto: con riferimento alla Fig. 9.8, il contributo al momento torcente di un tratto d di profilo è d M b b M b b M z d ( ) z d ( ) z b d ρ + ρ (l) in cui M z è il valore della tenione z agli etremi della corda. La relazione precedente motra che il momento torcente opportabile da una ezione aperta in parete ottile è proporzionale al quadrato dello peore: è chiaro, quindi, che non può che riultare piccolo dal momento che lo peore è al più di qualche decina di millimetri. uttavia, la portanza torionale reale di queti profili è notevolmente maggiore di quella previta dalla teoria appena volta: ciò è dovuto al comportamento compleivo della trave oggetta a torione, come vedremo nel par Per completare la oluzione, ia pure approimata, della torione del profilo ottile aperto, dobbiamo determinare la funzione di ingobbamento: in accordo con quanto fatto inora, aumiamo che w(, ) è cotante ullo peore. onegue che è una funzione w(): per potere arrivare ad eprimere l'ingobbamento come funzione della ola, conideriamone la variazione per un incremento d. Si ha: w w w w dw(, ) d + d en α + co α d (m) Nello viluppare l'equazione precedente d e d ono tati eprei in funzione di d in bae alle relazioni geometriche deducibili dalla Fig Le derivate di w ono ricavabili dalle Eqq. (9.85), ponendovi uguali a zero le tenioni tangenziali in quanto nulle ulla linea media. llora, i ha: ( en α coα ) d dw(, ) (m) Se i eaminano le Figg. 9.8, 8 e i tiene conto α è l'angolo formato dalla normale n alla linea media, i riconoce che per il raggio ρ tra la tangente alla linea media nel punto generico di queta ed il baricentro, aunto come polo dei momenti, uite la relazione: ρ( ) coα + enα (n) llora, l'eq. (m) diventa: dw(, ) ρ( ) d (m)

23 enendo in conto la definizione (9.60) di area ettoriale, i ha ρ ( ) d dω. Pertanto, integrando la (m) abbiamo: w ( ) ω( ) + ω (9.5) Per determinare la cotante ω, impieghiamo la (9.8), cioè imponiamo che l'ingobbamento medio ia nullo: Fig Relazioni geometriche per ρ l 0 l w ( ) b( ) d [ ω( ) ω ] b( )d 0 (o) Dalla (o) otteniamo: 0 ω l ω ( ) b( )d 0 (9.6) n queto modo la funzione di ingobbamento riferita al baricentro è completamente definita: nel par. 9.8 vedremo che queta grandezza va più razionalmente riferita al centro di torione, che per le ezioni a profilo ottile aperto coincide col centro di taglio. Una volta noto queto, i riferice la funzione di ingobbamento a mediante la (9.05) con 0. ESEMPO 9.6-: DEERMNZONE D ma PER L SEZONE SEMROLRE DELL ES La ezione di Fig è ora oggetta a olo momento torcente, di cui i vuole determinare il valore maimo applicabile. SOLUZONE: eendo lo peore cotante, il momento d'inerzia torionale è dato dall'eq. (9. b), applicando la quale i ottiene: π πrt mm Quindi, riolvendo la (9.) ripetto a i ottiene: ma ( f ) newton mm in cui i dati ono gli tei dell'e e i è uato come là il criterio dì nervamento di Von Mie. La cara portanza torionale dei profili aperti, almeno e calcolata nell'ambito della teoria di Saint Venant, i deduce dal fatto che nell'e i era determinata una forza maima F applicata nel centro di taglio della ezione libera della menola di newton, che con una luce di m dà luogo a M (0) newton mm, cioè la portanza fleionale ha un ordine di grandezza volte maggiore. ESEMPO 9.6-5: LOLRE ma z PER L SEZONE DELL ES ON L EOR DE PROFL SOL (Fig. 9.7). SOLUZONE: la ezione in quetione è riguardabile anche come un unico profilo ottile, avente la linea media con punti angoloi. Eendo lo peore cotante, il momento d'inerzia torionale è dato dall'eq. (9. b): ( ) mm

24 La tenione tangenziale maima, raggiunta ui bordi eterni e cotante lungo il profilo è data dall'eq. (9.): ma z b N / mm ome era da attenderi, dato che con entrambi gli approcci lo peore è tato coniderato tracurabile ripetto alla lunghezza del profilo viluppato, i riultati coincidono Sezioni in parete ottile a profilo chiuo: oluzione approimata di Bredt ominciamo a coniderare il cao di una ezione chiua monoconnea in parete ottile oggetta a momento torcente come in Fig. 9.8 a: la ezione ia riferita agli ai baricentrici principali d'inerzia e lungo la linea media i tabilica una coordinata curvilinea di origine arbitraria, coì come fatto in 9.5. per il taglio. L'impotazione analitica del problema della torione per i cilindri cavi non è complea, tuttavia rinunciamo a riportarla, rimandando ai teti più volte citati di Baldacci e di Viola, in quanto i ha una ola oluzione analtica e la oluzione numerica dell equazione di Laplace i preenta oneroa, per cui i ricorre ad una oluzione approimata dovuta a Bredt (896). La oluzione analitica è per la ezione a corona circolare ottile e dice che P. La condizione al contorno (9.0) ci dice che ul contorno ia eterno che interno la tenione tangenziale di modulo z + z è diretta econdo la tangente al contorno. Pertanto, attea la piccolezza dello peore, nei punti interni la tenione manterrà una direzione poco dicota da quella che ha ul contorno. La i aume diretta come la tangente alla linea media, la quale a ua volta ha direzione poco divera da quelle delle tangenti ai contorni. (a) (b) Fig (a) Sezione in parete ottile a profilo chiuo oggetta a ; (b) equilibrio di un tronco di lunghezza unitaria in direzione z tra ed ; (c) area Ω racchiua dalla linea media n accordo con le precedenti analii di profili ottili aumiamo che la tenione tangenziale z è cotante u ogni corda normale alla linea media, corda che ha per lunghezza lo peore t, funzione di. agliamo dal prima cavo un tronco di lunghezza unitaria in direzione z, com-

25 preo tra due ezioni longitudinali e ; non è neceario che una delle ezioni ia in 0. L equilibrio in direzione z del tronco richiede che t t (9.7) z z Per il principio di reciprocità delle tenioni tangenziali i ha z z ; inoltre le ezioni e ono arbitrarie, per cui per il fluo di tenioni tangenziali q() i ha: q () ( ) t( ) cotante (9.8) in cui per emplicità i ono omei gli indici "z" a. Si noti che la (9.8) può eere ricavata dall'analogia idrodinamica utilizzando il principio della cotanza della portata del fluido. n otanza riulta cotante il prodotto della tenione tangenziale per lo peore della ezione, per cui la prima aumenta dove queto diminuice, coì come in un canale od in un tubo la velocità del fluido che vi paa è maggiore dove la ezione del tubo o del canale è minore. Per ricavare il valore del fluo, fruttiamo l equilibrio alla rotazione della ezione ripetto all ae del prima: il momento indotto dalle tenioni tangenziali ripetto ad un punto O del piano della ezione traverale deve eguagliare il momento torcente eterno. ome polo O aumiamo il baricentro della ezione, ma queta celta non è obbligata: l equilibrio teo motra che il riultato è indifferente al polo. Su un elemento d agice la forza t d, il cui momento ripetto ad O è t d ρ. Pertanto, i ha t ρd q ρd (9.9 a) eendoi potuto portare fuori dall integrale t q per la cotanza di quet ultimo. Si è già notato che ρ d è il doppio dell area del triangolo elementare di bae d ed altezza ρ (Fig. 9.8 a): quindi, l integrale a econdo membro della (9.9 a) è il doppio dell area Ω racchiua dalla linea media (Fig. 9.8 c). Si hanno in definitiva le relazioni eguenti, equivalenti tra loro: q( ) Ω q Ωt (9.9 b - d) Ω Ωt Le relazioni precedenti ono denominate prima formula di Bredt. La prima formula di Bredt è in completo accordo con quanto trovato nello tudio delle ezioni chiue monoconnee in parete ottile oggette a taglio (9.5.): infatti, e queto è nullo, ono nulli il econdo addendo a econdo membro ia della (9.6 c) che della (9.6 b); in quet ultima z coincide col torcente eterno, per cui la (9.6 b) i riduce alla (9.9 b). La oluzione completa del problema della torione richiede anche l angolo di rotazione unitario θ ' e la funzione di ingobbamento. Per calcolare θ ', utilizziamo al olito il teorema di laperon, per il quale il lavoro eterno compiuto dal momento torcente u un tratto unitario di cilindro è uguale al doppio dell energia elatica di deformazione. Quet ultima, agendo olo, è data dalle tenioni tangenziali z z per le corripondenti deformazioni. Pertanto, i ha: Si è tenuto conto che (9.50 a) i ottiene θ ' V z γ z dv V z dv G (9.50 a) γ z z G ; eendo dv t ( ) d, otituendo la (9.9 c) nella 5

26 Ω Ω θ t G q t G d d ' (9.50 b) che è detta econda formula di Bredt. Nel cao di peore cotante l'integrale t d diventa uguale a t l e la (9.50 b) è ricritta come: t G q t G l l Ω Ω θ ' (9.50 c) Si noti che le (9.50) ono riconducibili alla forma generale (9.9 b) pur di porre: Ω t d (9.5) Per concludere, affermiamo enza dimotrarlo che nel cao di fluo q non cotante u θ diventa: Ω θ t q G d ) ( ' (9.50 d) La (9.50 d) è la relazione da impiegari in preenza di taglio, che rende q non cotante, come i deduce dall'eq. (9.6 c). n 9.5. avevamo laciata irriolta la quetione della determinazione del centro di taglio dei profili chiui ottili, quetione che ora poiamo riolvere: infatti, e il taglio è applicato nel centro di taglio, θ 0. oniderando un taglio V applicato in, il momento torcente ripet-to al baricentro, celto come polo, è V ; otituendo nella (9.50 d) i flui di taglio dati dalle (9.6 c) e (9.6 b), abbiamo: + Ω Ω θ t S V t q G t q G d ) ( d d ) ( ' 0 0 d ) ( d d ) ( ) ( d + ρ Ω Ω Ω t S V t t S V t V G (p) Dalla (p) i ottiene la coordinata del centro di taglio: Ω ρ t t S S d )d ( ) ( )d ( ) ( (9.5) La coordinata i ottiene ponendo un taglio V nel centro di taglio e procedendo analogamente. Se confrontiamo la (9.5) con la (9.59 a), notiamo che la coordinata del centro di taglio del profilo chiuo è uguale alla coordinata del profilo aperto meno una quantità dipendente dalla forma della ezione, per cui nel profilo chiuo è meno dicoto dal baricentro che nel profilo aperto della tea forma (i tenga preente, comunque, l'arbitrarietà del profilo aperto corripondente: in 9.5. i era vito che il punto della linea media in cui i apriva il profilo poteva eere celto a piacere. 6

27 L'ultima grandezza da determinare è la funzione di ingobbamento: la via per arrivare all'epreione di queta è la medeima eguita per i profili aperti, con la differenza che ora z non è nulla ulla linea media, per altro facilmente eprimibile con le Eqq. (9.50). Omettendo i paaggi, per i quali i rimanda a orradi, Vol., ap. 5, i ha la formula finale: Ω w ( ) ρ( ) d + w t (9.5) 0 ( ) l olito la cotante w va determinata imponendo l'annullamento dell'ingobbamento medio. (a) (b) Fig Profilo chiuo biconneo: (a) flui nella ezione traverale; (b) tronco di lunghezza unitaria in direzione z onideriamo ora il cao di un cilindro con SEZONE MOLEPLEMENE ONNESS: in Fig. 9.8 a è rappreentata una ezione biconnea, cioè con cavità. n figura ono evidenziate le linee medie dei diveri tratti, nel cao pecifico, lungo ciacuno dei quali agice il ( i) fluo di tenioni tangenziali q ( ) t ( ), eendoi pota una coordinata curvilinea i i z i i i lungo ciacun tratto. L'analogia idrodinamica porta ancora a ( i) q i( i ) z ti ( i ) cotante (9.5) noltre, poiché gli peori dei diveri tratti ono piccoli, le tenioni tangenziali ono ancora aunte cotanti ullo peore e dirette come la tangente alla linea media. Se, analogamente al cao del cilindro a ezione monoconnea, ioliamo un tratto di lunghezza unitaria in direzione z (Fig. 9.8 b), riultano flui incogniti a fronte di ole equazioni di equilibrio, una di equilibrio alla tralazione lungo l'ae ed una di equilibrio alla rotazione ripetto ad un polo: il problema è, quindi, ipertatico, una volta nel cao di ezione biconnea. n generale, è facile vedere che il grado di ipertaticità è pari al numero delle cavità interne meno. l problema può eere riolto coniderando ia l equilibrio che la congruenza. Poiamo vedere l'inieme delle linee medie che i connettono come una rete o grafo: nelle reti in cui non vi iano perdite, vale il principio di conervazione: in queto cao la omma dei flui entranti in un nodo è uguale alla omma dei flui che ne econo. Per il nodo : t t + t (9.55) in cui per emplicità i ono omei gli indici "z". L'equazione di equilibrio di momento ri- 7

28 petto ad un polo O i crive come: t ρ( )d + t ρ( )d + t ρ( ) d l l l (9.56 a) in cui i flui ono tati direttamente critti fuori dal egno di integrale in quanto cotanti; l, l ed l ono ripettivamente le lunghezze delle linee medie u cui ono pote le coordinate, ed. Ricavando t dalla (9.55) e otituendolo nella (9.56 a) i ottiene: t Ω + t Ω (9.56 b) La congruenza richiede che le celle abbiano lo teo angolo unitario di torione, che i valuta con l'eq. (9.50 b): θ' GΩ t d d + d t l t l t l t (9.57 a) θ' GΩ t d d + d t l t l t l t (9.57 b) in cui i è già tenuta in conto la (9.55). Le Eqq. (9.56 b, 57) riolvono il problema fornendo i flui di tenioni tangenziali e l'angolo unitario di torione. Fig Sezione multiconnea (ad n celle) a profilo rettangolare onideriamo ora il cao di una ezione ad n celle, che, quindi, è n volte ipertatica; per comodità i fa riferimento ad una ezione a profilo eterno rettangolare (Fig. 9.85), ma la procedura mantiene la ua generalità. La conervazione dei flui per il generico nodo i i crive come: (i) q 0 (9.58) in cui in genere i aumono poitivi i flui entranti e negativi quelli ucenti. La congruenza richiede che l'angolo unitario di torione ia il medeimo per tutte le celle. enendo in conto gli equilibri dei flui nei nodi uperiori, i crivono n equazioni di congruenza: Si faccia attenzione che la conervazione dei flui può eere critta olo per metà dei nodi della ezione: gli altri nodi darebbero luogo ad equazioni che arebbero una ripetizione delle prime. Nel cao in eame i crivono le equazioni per i nodi uperiori. 8