a) Caso di rottura duttile con armatura compressa minore di quella tesa

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1 LEZIONI N 39 E 40 FLESSIONE SEMPLICE: LA DOPPIA ARMATURA E LA SEZIONE A T LA VERIFICA DELLA SEZIONE INFLESSA CON DOPPIA ARMATURA a) Cao di rottura duttile con armatura comprea minore di quella tea Si può procedere in perfetta analogia con quanto già fatto per la emplice armatura. Si ipotizza, in prima itanza, che l armatura comprea ia nervata. La procedura i articola in due fai conecutive: 1) determinazione della poizione dell ae neutro mediante la condizione: C+C = T 2) calcolo del momento ultimo mediante la relazione (equilibrio alla rotazione intorno all ae neutro): M Rd = C ( ) + C (-d ) + T (d-) Per imporre l equilibrio alla tralazione delle forze interne eplicitiamo: C = 0.81 f cd b 161

2 C = f d A T = f d A 0,81 fcdb fd A fd A 0 Quindi i ricava immediatamente l incognita poizione dell ae neutro: = f d (A -A ) /(0.81 b f cd ) Nota la poizione dell ae neutro, riulta nota in modo completo la ezione reitente. Reta da controllare e l ipotei fatta circa l acciaio compreo, e cioè che eo ia nervato, riulti confermata. Occorre quindi valutare la deformazione dell armatura comprea, mediante la proporzione: cu : : d cu d L armatura comprea è nervata e: f k E Se l ipotei ull armatura comprea è confermata i può procedere con la valutazione del momento flettente ultimo, in cao contrario, occorre utilizzare la procedura del punto ucceivo. Nel cao di armatura comprea nervata, i valuta il momento ultimo: M Rd = C ( ) + C (-d ) + T (d-) Ed infine i controlla che ia: M Ed M Rd 162

3 b) Cao di rottura duttile con armatura doppia immetrica Anche in queto cao occorre valutare la poizione dell ae neutro = kd tramite l equazione di equilibrio delle forze interne C + C = T. L acciaio compreo non può eere nervato, poiché, in tal cao, i avrebbe C =T e quindi arebbe C = 0. Poiché l acciaio teo è nervato, T è nota e vale: T = f d A La riultante di compreione nel calcetruzzo è: C = 0,81 f cd b Per quanto riguarda C, la tenione di compreione nell acciaio dipende dalla deformazione unitaria dell acciaio compreo, che non è nervato: C A E A Il valore della deformazione unitaria dell acciaio compreo i ricava facilmente mediante la imilitudine di triangoli: d cu in cui cu =3,5 163

4 L equazione di equilibrio diviene pertanto: d 0,81 f b E 3,5 10 A f A 3 cd d Sviluppando i ottiene l equazione di econdo grado determinatrice della poizione dell ae neutro, tenendo conto che le armature tea e comprea ono uguali: 2 3 0,81f 3,510 3,510 3 cdb E fd A E Ad 0 che vale quindi: 2 E 3,510 f A E 3,510 f A 40,81 f be 3,510 Ad 20,81 f b d d cd cd La conocenza dell ae neutro permette infine di valutare la deformazione unitaria dell acciaio teo: cu d e di controllare la deformazione dell acciaio compreo: d cu Infine i può valutare il momento ultimo della ezione: M Rd = C ( ) + C (-d ) + T (d-) e controllare che ia: M Ed M Rd 164

5 IL PROGETTO DELLA DOPPIA ARMATURA Conideriamo una ezione rettangolare con emplice armatura, di dimenioni aegnate (b, d). Siano anche aegnate le caratteritiche dei materiali (R ck ; f k ). Ipotizzando una rottura di tipo duttile ( cu = 3,5, >,bil ) determiniamo il momento flettente maimo di progetto che la ezione può opportare e l armatura tea A corripondente. Utilizzando le tabelle per il progetto condizionato relative ai materiali coniderati (R ck ; f k ), individuiamo il più piccolo valore di, che poiamo chiamare *, aociato alla più baa deformazione dell acciaio che riteniamo di poter accettare, naturalmente non minore di,bil. In corripondenza di * ricaviamo la percentuale di armatura *. Utilizzando la relazione: d M / b Ed Valutiamo il maimo momento flettente che la ezione può opportare, che è: M * bd 2 *2 La corripondente armatura è: A bd * * Se il momento flettente di progetto, M Ed è maggiore di M* occorre rinforzare la ezione, affinché ea poa opportare anche la differenza di momento flettente: M M M Ed * Se non vogliamo modificare la carpenteria, occorre diporre dell armatura aggiuntiva, ia in zona tea, che in zona comprea, tali da aorbire le forze: M C T d d 165

6 Aggiungiamo armatura enza modificare il diagramma delle deformazioni unitarie che abbiamo precelto, in modo di non alterare le caratteritiche di duttilità della ezione, fiate inizialmente con la celta dei valori marginali delle deformazioni unitarie. Entrambe le armature che andiamo ad aggiungere ono nervate: quella tea (A ) perché i trova in corripondenza della armatura A, che è nervata, quella comprea ( A ) perché la ua ditanza dal lembo compreo del calcetruzzo è tale che le deformazioni unitarie non poono cendere molto al di otto del 3.5 e comunque ono uperiori al valore di nervamento. Pertanto le due armature ono uguali e la loro determinazione è molto emplice: A A M d d f d Nel compleo, quindi, la ezione riulta armata con l area tea: A A e con l area comprea A. Occorre oervare che, naturalmente, la procedura decritta certamente non fornice un area d acciaio comprea uguale all area d acciaio tea compleiva (armatura doppia immetrica), né conduce alla determinazione di un armatura comprea che i trova in un rapporto prefiato ripetto all area tea totale, come invece è pratica ricorrente nella pratica profeionale. 166

7 CONSIDERAZIONI SULLE SEZIONI INFLESSE CON DOPPIA ARMATURA Le ezioni inflee con armatura doppia immetrica non poono andare incontro alla rottura con acciaio compreo nervato, perchè queto comporterebbe che la forza di compreione nell acciaio compreo C ia uguale in valore aoluto a quella di trazione T nell acciaio teo: C = T e che, di coneguenza, arebbe impoibile oddifare l equazione di equilibrio alla tralazione: C + C = T Pertanto l acciaio compreo deve retare in campo elatico, in modo che poa eere: C = T - C Tenuto conto del fatto che la deformazione unitaria allo nervamento dell acciaio è un poco minore del 2, che l acciaio compreo i trova a pochi centimetri di ditanza dal lembo compreo del calcetruzzo e che la deformazione unitaria del calcetruzzo è pari al 3,5, i raggiungono valori elevati della deformazione dell acciaio teo. Ciò comporta che nel cao di una ezione rettangolare armata con armatura doppia immetrica non i può verificare mai la condizione di rottura bilanciata ed ea va empre incontro ad una rottura di tipo duttile. 167

8 L IMPIEGO DELLA DOPPIA ARMATURA NON SIMMETRICA PER LA RIDUZIONE DELLA FRAGILITÀ Altra intereante oervazione che i può formulare è la eguente. Conideriamo una ezione inflea dotata di armatura doppia non immetrica ed eaminiamo la condizione di rottura bilanciata in queto cao. Per determinare l area dell acciaio criviamo l equazione di equilibrio delle forze orizzontali interne: C + C - T = 0 La riultante delle tenioni di compreione nel calcetruzzo, C, vale: C = 0,81 f cd b In cui è noto, naturalmente: cu d cu La riultante delle tenioni di compreione nell acciaio A, che è nervato, vale: C = A f d. La riultante delle tenioni di trazione nell acciaio A : 168

9 T = A f d. L equilibrio alla tralazione è epreo dalla: 0,81 f cd b + A f d - A f d = 0 Si ricava pertanto: 0,81 f cd b A A A bil, f d Pertanto il quantitativo di armatura tea che corriponde alla rottura bilanciata aumenta all aumentare dell armatura comprea, empre, naturalmente, con il vincolo che l armatura comprea ia minore di quella tea. Allora i può oervare che una oluzione per ridurre la fragilità delle ezioni inflee è quella di aggiungere armatura in zona comprea. 169

10 LA VERIFICA DELLA SEZIONE A T Nella verifica a fleione della ezione a T poono verificari 2 cai: a) l ae neutro taglia la oletta ( ); b) l ae neutro taglia l anima della trave ( > ). Il cao a) è in realtà un cao di fleione emplice di una ezione rettangolare di larghezza b, in virtù della ipotei di calcolo di calcetruzzo teo non reagente, ed è quindi un cao già tudiato. Il cao b) può eere trattato in modo analogo a quello di una ezione rettangolare con doppia armatura. Quindi il diagramma delle deformazioni unitarie prevede il calcetruzzo al 3,5 e l acciaio teo con una deformazione uperiore a quella di nervamento. Peraltro è facile oervare che una modalità di rottura di queto tipo comporta un armatura tea molto elevata, per bilanciare il contributo del calcetruzzo compreo che ha una uperficie molto grande per la preenza dell ala della T. Non ha quindi eno ipotizzare anche la preenza di acciaio compreo. Conideriamo una ezione rettangolare di larghezza b. Per ea i ha: C = 0.81 f cd b T = f d A 170

11 Per determinare la riultante di compreione nel calcetruzzo della ezione a T, al termine C biogna ottrarre il termine C che corriponde alla parte mancante di calcetruzzo di larghezza b -b ed altezza -, indicata in figura con la lettera S: C = f cd (b b)( ) In cui è il coefficiente di riempimento del diagramma parabola rettangolo incompleto compreo tra le deformazioni = 0 ed cu, con cu = 3,5. Il coefficiente, neceario a determinare l area di un diagramma parabolarettangolo incompleto (che non i etende fino al 3,5 ) ed il coefficiente, che individua la ditanza tra il baricentro della figura ed il lembo compreo della ezione (ditanza = ), ono riportati nella tabella eguente. Quindi i può ricavare l incognita poizione dell ae neutro imponendo l equilibrio alla tralazione: C C T = 0 Sotituendo i valori di C, C e T i ottiene: 0,81 fcdb fcd b b fd A 0 0,81 fcdb fd b b fcd b b fd A 0 0,81 fcdb fd b b fcd b b fd A 0 Infine i ricava: f d A fcd b b 0,81 b b b fcd 171

12 Tabella per la determinazione dei parametri del diagramma parabola rettangolo cmax cmax

13 La oluzione può eere determinata utilizzando una procedura iterativa econdo lo chema eguente: a) aegnazione di un valore di tentativo della poizione dell ae neutro 0, tale da realizzare una deformazione dell acciaio teo >,bil ; b) valutazione iniziale della deformazione unitaria all intradoo dell ala comprea mediante la 0 cu ; 0 c) individuazione del valore di i nella tabella; d) calcolo della poizione aggiornata dell ae neutro con la relazione precedente; e) controllo di convergenza: i i 1 toll f) e è tata raggiunta la convergenza la procedura termina, altrimenti i determina un valore aggiornato della deformazione unitaria all intradoo dell ala comprea mediante la i i i cu e i ritorna al punto c). Una oluzione di prima approimazione del problema della determinazione dell ae neutro può eere ottenuta ponendo 0,50, upponendo cioè che nelle due zone di area S il legame cotitutivo del calcetruzzo poa eere approimato con una legge triangolare. Si ha allora che: f A f b b f A 0,50 f b b 0,81 d cd d cd b b b f 0,81 fcdb 0,50 f cd cd b b 175