Lezione. Tecnica delle Costruzioni

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1 Lezione Tecnica delle Cotruzioni

2 Stati limite di eercizio

3 Stati limite di eercizio Claificazione STATO LIMITE DI FESSURAZIONE STATO LIMITE DI TENSIONE STATO LIMITE DI DEFORMAZIONE

4 Stato limite di tenione in eercizio

5 Limitazione delle tenioni Coniderazioni di bae Tenioni di compreione elevate nel calcetruzzo in preenza di carichi di eercizio poono favorire la formazione di feure longitudinali e determinare o microfeurazioni nel calcetruzzo o livelli di vicoità maggiori di quelli previti. Elevate tenioni nell acciaio poono condurre a feure ampie e permanentemente aperte. Tali fenomeni poono ridurre la durabilità delle opere. I valori delle tenioni del calcetruzzo e dell acciaio, da confrontare con i corripondenti valori limite, debbono tener conto, e del cao, degli tati coattivi.

6 Stato limite di tenioni Valori limite delle tenioni La verifica i eegue per: - combinazione dei carichi rara - combinazione di carico quai permanente Valori limite delle tenioni in eercizio Materiale Comb. di carico rara Comb. di carico quai perm. Calcetruzzo σ c < 0.6 f ck σ c < 0.45 f ck Acciaio σ < 0.8 f yk NTC08, punto

7 Calcolo delle tenioni in eercizio Le tenioni nel calcetruzzo e nell acciaio i calcolano aumendo: - legame σ-ε elatico lineare non reitente a trazione per il calcetruzzo - legame σ-ε elatico lineare per l acciaio - coefficiente di omogeneizzazione n 15

8 Calcolo delle tenioni in eercizio Fleione emplice max ε c max σ c h d x G O M N, ε Ae neutro n 15, σ /n c ε σ /n y min ε c min σ c Dati: Geometria della ezione Armature Momento M Ed Incognite: Poizione dell ae neutro Tenioni maime

9 Calcolo delle tenioni in eercizio Fleione emplice max ε c max σ c h d x G O M N, ε Ae neutro n 15, σ /n c ε σ /n y min ε c min σ c Per trovare l ae neutro: S n 0 (l ae neutro è baricentrico)

10 Calcolo delle tenioni in eercizio Fleione emplice Equazione di econdo grado, con oluzione: x n (A + A' ) b (Ad + A' c) b n (A + A' ) epoi: σ c M I Ed y con: 3 bx ' I + na( x c) + na ( d x) 3

11 Struttura per eempi numerici Q kn/m k G 1k 6. kn/m L 4.5 m Comb. di carico per SLU γg 1 G + γq Q k k kn/m M q L M M knm max Ed Ed

12 Struttura per eempi numerici Q kn/m k G 1k 6. kn/m L 4.5 m Comb. di carico rara G1 k + Qk kn/m Comb. di carico frequente G1 k + ψ1 Qk kn/m Comb. di carico quai permanente G1 k + ψ Qk kn/m

13 Struttura per eempi numerici L 4.5 m Comb. di carico rara G1 k + Qk kn/m Comb. di carico frequente Q kn/m G1 k + ψ1 Qk kn/m Comb. di carico quai permanente G1 k + ψ Qk kn/m k G 1k 6. kn/m M M Ed max q L 8 M Ed knm M Ed 91.0 knm M Ed 81.1 knm

14 Eempio n. 1 Verifica di ezione rettangolare Dati: Sezione Armature 30x50 A A 14 Comb.di carico rara M Ed knm Calcetruzzo C5/30 Acciaio B450C Procedura: 1 individuazione dell ae neutro - determinazione del momento d inerzia della ezione reagente omogeneizzata 3 calcolo delle tenioni maime di calcetruzzo ed acciaio

15 Eempio n. 1 Calcolo ae neutro e momento d inerzia Per una ezione rettangolare la poizione dell ae neutro è fornita dalla eguente epreione: n (A + A' ) b (Ad + A' c) x b n (A + A' ) e vale x 16.6 cm Il momento d inerzia della ezione reagente omogeneizzata è fornito dalla: I b x e vale I cm 4 n A' (x c) + n A (d x)

16 Eempio n.1 Verifica delle tenioni in eercizio La tenione maima (in valore aoluto) nel calcetruzzo vale: σ c MEd 3 I x MPa 0.6 fck MPa σ c fck La tenione dell armatura tea vale: MEd ( ) ( ) 3 σ n d x I MPa 0.8 fyk MPa σ La verifica è oddifatta fyk

17 Eempio n. 1 Verifica di ezione rettangolare Dati: Sezione Armature 30x50 A A 14 Comb. di carico quai perm. M Ed 81.1 knm Calcetruzzo C5/30 Acciaio B450C - La poizione dell ae neutro x ed il momento d inerzia I non cambiano. - Biogna olo ricalcolare la tenione maima del calcetruzzo e confrontarla con il valore limite pertinente. 17/18

18 Verifica ulle tenioni in eercizio Combinazione di carico quai permanente La tenione maima (in valore aoluto) nel calcetruzzo vale: σ c MEd 3 I 81.1 x MPa 0.45 fck MPa σ c 0.45 fck 0.65 La verifica è oddifatta

19 Eempio n. Verifica di ezione rettangolare Dati: Sezione Armature 30x40 A A Comb. di carico rara M Ed knm Calcetruzzo C5/30 Acciaio B450C n (A + A' ) b (Ad + A' c) x b n (A + A' ) 14.6 cm b x 3 3 I + n A' (x c) + n A (d x) cm 4 19/18

20 Verifica ulle tenioni in eercizio Combinazione di carico rara La tenione maima (in valore aoluto) nel calcetruzzo vale: σ σ c MEd 3 n I La tenione dell armatura tea vale: M x MPa 0.6 fck MPa σ c prima era fck Ed ( d x) 15 ( ) I 7.5 MPa La verifica è oddifatta ma il margine i è ridotto fyk MPa σ prima era fyk

21 Verifica ulle tenioni in eercizio Combinazione di quai permanente La tenione maima (in valore aoluto) nel calcetruzzo vale: σ c MEd 3 I 81.1 x MPa 0.45 fck MPa σ c 0.45 fck 0.74 prima era 0.65 La verifica è oddifatta ma il margine i è ridotto

22 Verifica tenioni in eercizio Commento La verifica ulle tenioni in eercizio: - è generalmente oddifatta per ezioni progettate allo tato limite ultimo - potrebbe non eere oddifatta quando i frutta peantemente l effetto poitivo dell armatura comprea

23 Stato limite di feurazione

24 Stati limite di feurazione Campo di validità delle precrizioni La feurazione è quai inevitabile in trutture di calcetruzzo armato oggette a fleione, taglio, torione o a trazioni indotte da carichi diretti o da deformazioni impree impedite. Le feure poono anche viluppari per altre caue, come ritiro platico o reazioni chimiche epanive all interno del calcetruzzo indurito.

25 Stati limite di feurazione Coniderazioni generali La feurazione deve eere limitata a un livello tale da non pregiudicare il corretto funzionamento della truttura o da renderne inaccettabile l apetto. In alternativa, i può o permettere la formazione delle feure enza neun tentativo di limitarne la larghezza, o invece impedirla con provvedimenti quali la predipoizione di giunti che conentano il movimento, a condizione che non venga pregiudicato il funzionamento della truttura.

26 Stati limite di feurazione Per evitare o limitare la formazione di feure i eeguono verifiche per i tre eguenti tati limite - Stato limite di decompreione - Stato limite di formazione delle feure - Stato limite di apertura controllata delle feure Si prendono in coniderazione due combinazioni di carico: - Combinazione frequente - Combinazione quai permanente NTC08, punti e

27 Stati limite di feurazione Per evitare o limitare la formazione di feure i eeguono verifiche per i tre eguenti tati limite - Stato limite di decompreione - Stato limite di formazione delle feure - Stato limite di apertura controllata delle feure Si deve tenere conto delle condizioni ambientali: - Ordinarie - Aggreive - Molto Aggreive NTC08, punto

28 Condizioni ambientali Condizioni ambientali Clae di epoizione Ordinarie Aggreive Molto aggreive X0, XC1, XC, XC3, XF1 XC4, XD1, XS1, XA1, XA, XF, XF3 XD, XD3, XS, XS3, XA3, XF4 NTC08, punto

29 Stati limite di feurazione Per evitare o limitare la formazione di feure i eeguono verifiche per i tre eguenti tati limite - Stato limite di decompreione - Stato limite di formazione delle feure - Stato limite di apertura controllata delle feure Infine i deve tenere conto della enibilità delle armature alla corroione: - Armature enibili - Armature poco enibili (per c.a. ordinario) NTC08, punto

30 Stato limite di decompreione Si raggiunge quando la tenione del bordo meno compreo è uguale a zero c A M Ed σ c max σ / n n E E c h d N Ed c n σ / n A b NTC08, punto

31 Stato limite di formazione delle feure Si raggiunge quando la tenione maima di trazione è pari al valore f ctm /1. f cfk c A M Ed σ c max σ / n n E E c h d N Ed c n A f ctm / 1. b NTC08, punto

32 Stato limite di apertura controllata delle feure Si raggiunge quando il valore di calcolo dell ampiezza delle feure w d è pari a: 0. mm o 0.3 mm o 0.4 mm Il valore limite dell ampiezza delle feure dipende da: - Combinazione di carico - Condizioni ambientali - Senibilità delle armature NTC08, punto

33 Verifiche a feurazione per trutture con armature poco enibili Cond. Amb. Comb. carico Stato limite w d Ordinarie Aggreive Molto Aggr. Frequente Ap. feure < 0.4 mm Quai perm. Ap. Feure < 0.3 mm Frequente Ap. Feure < 0.3 mm Quai perm. Ap. feure < 0. mm Frequente Ap. Feure < 0. mm Quai perm. Ap. feure < 0. mm NTC08, punto

34 Verifiche a feurazione per trutture con armature enibili Cond. Amb. Comb. carico Stato limite w d Ordinarie Aggreive Molto Aggr. Frequente Ap. feure < 0.3 mm Quai perm. Ap. Feure < 0. mm Frequente Ap. Feure < 0. mm Quai perm. Decomp. -- Frequente Form. Feure -- Quai perm. Decomp. -- NTC08, punto

35 Stati limite di feurazione Limiti di apertura delle leioni (7.3.1) Clae di epoizione Elementi di calcetruzzo armato normale e precompreo con cavi non aderenti Combinazione di carico quai-permanente Elementi precomprei con cavi aderenti Combinazione di carico frequente X0, XC XC, XC3, XC4 XD1, XD, XS1, XS, XS Decompreione Nota 1 Per le clai di epoizione X0, XC1, l ampiezza delle feure non influenza la durabilità e queto limite è poto per garantire un apetto accettabile. In aenza di requiiti relativi all apetto queto limite può eere mitigato. Nota Per quete clai di epoizione, inoltre, i raccomanda che la decompreione ia verificata otto la combinazione di carico quai-permanente. Eurocodice ver. 005

36 Stati limite di feurazione CONTROLLO DELLA FESSURAZIONE Metodo emplificato Calcolo diretto dell ampiezza delle feure Eurocodice ver. 005

37 Calcolo diretto dell ampiezza delle feure

38 Comportamento allo tato feurato 38

39 Prima della feurazione Per bai valori del carico i può ipotizzare una perfetta aderenza tra calcetruzzo e acciaio. In queta fae tutti i punti della ezione ono oggetti alla medeima deformazione ed il calcolo delle tenioni i volge in bae alle ipotei del primo tadio di comportamento del conglomerato cementizio armato. σ c ( Ac + n A,tot) nσ c N Generica ezione N N 39

40 Formazione prima feura La prima feura i forma allorché la tenione di trazione nel calcetruzzo eguaglia la ua reitenza a trazione. Lo forzo normale corripondente alla feurazione i definice forzo normale di feurazione. Nella realtà, tante la diuniformità delle caratteritiche meccaniche del calcetruzzo nell ambito dell elemento coniderato, la prima feura ha luogo nella ezione con reitenza minima. 40

41 Formazione prima feura Nelle ezioni feurate il carico è aorbito interamente dalle armature. Lo tato tenionale in tali ezioni può eere calcolato ulla bae delle ipotei proprie del econdo tato di comportamento del conglomerato cementizio armato. σ c 0 N σ A f,1,tot N f1 N f1 41

42 Meccanimo di tramiione delle tenioni per aderenza Man mano che ci i allontana dalla ezione feurata l azione aiale di trazione nell armatura diminuice a caua dello viluppo delle tenioni di aderenza tra acciaio e calcetruzzo. Sezione feurata R f τ b τ b x ' f b 0 ( ) R R τ x πφdx 4

43 Meccanimo di tramiione delle tenioni per aderenza Per l equilibrio alla tralazione lungo l ae dell elemento, la diminuzione dello forzo di trazione nell armatura deve eere accompagnata dallo viluppo di tenioni di trazione nel calcetruzzo. Sezione feurata R f τ b τ b R σ ' c c c ' A c da x ' f b 0 ( ) R R τ x πφdx x 43

44 Lunghezza di tramiione La ditanza, calcolata a partire dalla ezione feurata, alla quale corriponde nel calcetruzzo una tenione cotante pari alla reitenza a trazione del calcetruzzo viene definita : lunghezza di tramiione 44

45 Lunghezza di tramiione La lunghezza di tramiione è calcolata imponendo il bilancio tra la riultante delle tenioni normali del calcetruzzo in corripondenza dell attingimento della valore reitente a trazione e le tenioni di aderenza che inducono tale tato di tenioni normali. Queto calcolo è volto ipotizzando che : 1. ad una ditanza dalla leione pari alla lunghezza di tramiione le deformazioni del calcetruzzo iano eguali u tutta la ezione. In tali condizioni le tenioni di trazione del calcetruzzo poono eere coniderate cotanti.. la forza di aderenza viluppata nella lunghezza di tramiione ia eprea in funzione del valore medio delle tenioni di aderenza. 45

46 Lunghezza di tramiione L equazione di bilancio, tra la riultante delle tenioni di trazione del calcetruzzo in corripondenza dell attingimento del valore reitente a trazione e le tenioni di aderenza in grado di indurre tale tenioni normali, i crive : l t f A τ πφ dz f l πφ ctk c,ef b bk 0 t 1 ipotei: tenione di trazione cotante nel calcetruzzo ipotei: forza di aderenza calcolata ulla bae di un valore cotante Pertanto la lunghezza di tramiione è uguale a: l t f f ctk bk A c,eff πφ 46

47 Lunghezza di tramiione Se i moltiplica e divide il econdo membro della precedente relazione per φ/4 i ottiene: l t f A ctk c,ef φ 1 f πφ bk k φ ρ ef dove: ρ ef A /A c,ef è la percentuale d armatura efficace ai fini dell aderenza k f ctk /f bk è un coefficiente dipendente dalle caratteritiche di aderenza delle barre d armatura e dal tipo di ollecitazione 47

48 Lunghezza di tramiione L eperienza ha tuttavia dimotrato che il meccanimo di tramiione per aderenza non riflette che una parte della realtà. A tal riguardo, Ferry-Borge ha propoto la eguente relazione della lunghezza di tramiione: lt kc 1 + k φ ρ dove ono preenti: un meccanimo di diffuione delle tenioni all interno del calcetruzzo, enza che i produca corrimento relativo tra calcetruzzo e armatura. un meccanimo di tramiione per aderenza. ef 48

49 Apertura delle ucceive feure e i apre un altra feura. l r 49/76 N

50 Ditanza tra le feure Le feure i propagano a forzo normale praticamente cotante. La ditanza tra due feure ucceive è empre comprea tra l r el r. l r l r N

51 Ditanza maima tra feure ( r,max ) Secondo l EC i calcola come egue r,max k 3 r + k 1 k k 4 φ ρ eff EC, punto l r l r N

52 Ditanza maima tra feure ( r,max ) r,max k 3 r + EC, punto k 1 k k 4 φ ρ eff k 1 tiene conto dell aderenza barre (corriponde a f ct /f b ): 0.8 per barre ad aderenza migliorata 1.6 per barre lice. k tiene conto del diagramma delle deformazioni: 1.0 trazione 0.5 per fleione emplice valori tra 0.5 e 1.0 nel cao di teno-fleione k k l r 1 f ct f b φ ρ eff

53 Diametro equivalente Se l armatura tea è realizzata con barre di diametro divero φeq r,max k3 r + k1 k k4 ρ eff φ eq n n 1 1 φ φ n n φ φ φ i diametri delle barre uati per l armatura tea n i numero di barre di diametro φ i EC, punto 7.3.4

54 Area di calcetruzzo efficace (A c,eff ) A c,eff è l area di calcetruzzo attorno alle armatura di altezza: h c, eff.5 c h x min 3 h EC, punto 7.3.4

55 Ampiezza della feura tra le barre L ampiezza della feura crece con la ditanza tra le barre e i tabilizza u un valore maimo quando la ditanza tra le barre è maggiore di 5 (c + φ/). h x w w max 5(c + φ/) EC, punto 7.3.4

56 Ampiezza della feura tra le barre Se la ditanza tra le barre è maggiore di 5 (c + φ/) i può timare w max aumendo: r, max 1.3 ( h x) x h w w max EC, punto (c + φ/)

57 Verifica di feurazione Verifica allo tato limite di apertura delle feure Il valore medio di apertura delle feure (w m ) è dato da: w ε ε ( ) m c L dz dove L è la ditanza tra due feure conecutive ε dz L N N ε c dz L 57

58 Verifica di feurazione Verifica allo tato limite di apertura delle feure Il valore medio di apertura delle feure (w m ) può eere calcolata attravero la più emplice relazione: dove ε m ε cm Δ m w ε ε Δ ( ) m m cm m è il valore medio della deformazione della barra è il valore medio della deformazione nel calcetruzzo fra due feure conecutive è il pao medio tra le feure A feurazione tabilizzata la deformazione media del conglomerato tra due feure può eere tracurata ripetto a quella corripondente dell armatura. Per tal motivo, è peo anche adottata la formulazione : wmεmδm 58

59 Verifica di feurazione Verifica allo tato limite di apertura delle feure Stabilizzatei le feure, lungo l ae dell elemento coeitono : ezioni feurate in cui gran parte dello forzo di trazione neceario all equilibrio è portato dall armatura ezioni in cui il comportamento è aimilabile a quello di ezione interamente reagente. L analii dello tato deformativo del concio compreo tra due feure conecutive non può precindere dalla coniderazione che il calcetruzzo abbia reitenza a trazione. 59

60 Verifica di feurazione Verifica allo tato limite di apertura delle feure Oervazione : a feurazione avvenuta, la deformazione media della barra (ε m ) non coincide con quella della barra nuda. In particolare, per il calcolo della deformazione media della barra occorre tener conto dell effetto irrigidente del calcetruzzo teo compreo tra due feure conecutive. Tale effetto prende il nome di : Tenion tiffening 60

61 Deformazione media del cl Le tenioni nel calcetruzzo variano tra 0 ed f ct σc f ct σ 0 σ 0 c c N N

62 Deformazione media del cl Le tenioni nel calcetruzzo variano tra 0 ed f ct, dunque la deformazione media è pari a: ε cm σ cm E cm 0.5 f E ct cm σ 0.5 cm f ct N N

63 Deformazione media dell armatura Nella ezione feurata reagice olo l armatura e la tenione σ è maima σ N A N N

64 Deformazione media dell armatura Le tenione dell armatura i riduce nella parte interna del concio perché il calcetruzzo aorbe parte della forza di trazione. σ N A Δ σ A c,eff A f ct N N

65 Deformazione media dell armatura Le tenione media dell armatura vale: σ m σ Δ σ σ A c,eff A σ f ct σ σ m N N

66 Deformazione media dell armatura e la deformazione media nell armatura vale: ε σ E m σ E A c,eff A σ f ct N N

67 Differenza tra deformazioni medie La differenza tra le deformazioni medie vale ε m ε cm σ E A c,eff A σ f ct 0.5 f E ct cm... e può eere eprea anche come egue ε m ε cm σ E A 1 / ρ c,eff A eff σ f ct 1 + E E cm A A c,eff ρ eff

68 Calcolo dell ampiezza delle feure L Eurocodice fornice una formula appena divera ε m ε cm σ E 1 k t f σ ct,eff ρ eff 1 + E E cm ρ eff 0.6 σ E f ct,eff reitenza a trazione efficace del calcetruzzo f ctm oadunvaloreminoreelafeurazioneèprevita prima di 8 giorni k t (anziché 0.5) dipende dalla durata del carico 0.6 per carichi di breve durata 0.4 per carichi di lunga durata EC, punto 7.3.4

69 Ampiezza delle feure w k econdo EC w d ( ε ) m εcm r, max ε m ε cm σ E 1 k t f σ ct,eff ρ eff 1 + E E cm ρ eff 0.6 σ E r,max k 3 c + k 1 k k 4 φ ρ eff EC, punto Circolare 617/09, punto C

70 Eempio numerico Combinazione di carico quai permanente Dati: Sezione Armature 30x50 A A 14 G k + ψ Q k 3.05 kn/m M Ed 81.1kNm Calcetruzzo C5/30 Acciaio B450C ψ Q k 5.85 kn/m G 1k 6. kn/m L 4.5 m M M Ed max q L 8

71 Eempio numerico Combinazione di carico quai permanente Dati: Sezione Armature 30x50 A A 14 G k + ψ Q k 3.05 kn/m M Ed 81.1kNm Calcetruzzo C5/30 Acciaio B450C Procedura: 1 calcolo il momento di feurazione - calcolo della ditanza maima tra le feure 3 calcolo della differenza di deformazione media tra acciaio e calcetruzzo 4 calcolo dell ampiezza delle feure

72 La trave i feura? Il baricentro della ezione omogeneizzata i trova ad una ditanza dal bordo uperiore pari a: d G,up n E E cm bh + n A d + bh + n A ( ) ' + A n A 6.67 ' c 5.66 cm Il baricentro della ezione omogeneizzata i trova ad una ditanza dal bordo inferiore pari a: dg,inf h dg, up 4.34 cm

73 La trave i feura? Nota la poizione del baricentro, fornita dalle ditanze: d G, up d G, inf 5.66 cm 4.34 cm i calcola il momento d inerzia della ezione omogeneizzata: I b d 3 G,up 3 3 b dg,inf cm n A ( ) ' d c + n A ( d c) G,up G,inf

74 La trave i feura? Il momento di feurazione M r è quello in grado di indurre nella fibra maggiormente tea (quella inferiore) una tenione pari a f cfk. f cfk M I r d G,inf M r I d G,inf f cfk knm M Ed 81.1 knm > M r 30.9 knm Si, la trave i feura 74/76

75 Ditanza maima tra le feure ρ r,max eff k A 3 r c,eff + A k 1 k A b h k 4 c,eff φ ρ eq eff % h c, eff.5 c cm h x min 1.6 cm 3 3 h 50 5 cm n A b n M Ed h c,eff

76 Ditanza maima tra le feure r,max k 3 r + k ρ eff.93% 1 k k 4 φ ρ eq eff φ eq n n 1 1 φ φ n n φ φ mm

77 Ditanza maima tra le feure r,max k 3 r + ρ eff.93% k 1 k k 4 φ ρ eq eff 1 mm φ eq 18.9 mm r30mm k (barre ad aderenza migliorata) k 0.5 (fleione emplice) k k

78 Deformazioni di acciaio e cl ε m ε cm σ E 1 k t f σ ct,eff ρ eff 1 + E E cm ρ eff 0.6 σ E σ n M I Ed ( d x) 187. MPa n 15 (carichi di lunga durata) A n n x x 16.6 cm M Ed 4 I cm A da verifica ulle tenioni in eercizio b

79 Deformazioni di acciaio e cl ε m ε cm σ E 1 k t f σ ct,eff ρ eff 1 + E E cm ρ eff 0.6 σ E > 0.6 σ M n Ed I ( d x) 187. MPa f ct,eff f ctm.56mpa k t 0.4 (carichi di lunga durata)

80 Deformazioni di acciaio e cl ε m ε cm σ f ct,eff 1 kt E σ ρeff E E cm ρ eff 0.069% σ M n Ed I ( d x) 187. MPa f ct,eff f ctm.56mpa k t 0.4 (carichi di lunga durata)

81 Verifica dell ampiezza della feura Infine i calcola l ampiezza delle feure: ( ε ε ) % mm wd r,max m cm che deve eere inferiore a 0.3 mm per: - armature poco enibili alla corroione - combinazione di carico quai permanente - ambiente ordinario La verifica è oddifatta

82 Verifica dell ampiezza della feura Infine i calcola l ampiezza delle feure: ( ε ε ) % mm wd r,max m cm che deve eere inferiore a 0. mm per: - armature poco enibili alla corroione - combinazione di carico quai permanente - ambiente molto aggreivo La verifica è ancora oddifatta

83 Verifica dell ampiezza delle feure enza calcolo diretto

84 Verifica enza calcolo diretto La verifica dell ampiezza delle feure w d indotte principalmente da carichi può eere eeguita omettendo il calcolo eplicito e: - L armatura tea è non inferiore ad un valore minimo A,min EC, punto 7.3. e 7.3.3

85 Criterio di non platicizzazione Sforzo normale centrato Affinché il comportamento di un opera in conglomerato cementizio armato ia oddifacente allo tato feurato è eenziale che l armatura non riulti platicizzata in preenza dell azione di trazione corripondente alla compara delle prime feure. Infatti, è olo a queta condizione che potranno formari in ucceione molte feure di apertura limitata. Se, al contrario, l armatura i platicizza alla compara della prima feura, tale feura tenderà ad apriri indefinitamente al crecere della ollecitazione, con microfeurazione via via crecente del calcetruzzo in proimità della feura e deterioramento dell aderenza armaturacalcetruzzo, al punto che la tramiione di tenioni di trazione al calcetruzzo arà molto limitata e non potranno nacere nuove feure. 85

86 Criterio di non platicizzazione Sforzo normale centrato Si conideri l equilibrio alla tralazione longitudinale di un tirante tra due ezioni di cui una - in econdo tadio di comportamento con tenione di trazione nell armatura pari alla tenione di nervamento el altra - in primo tadio di comportamento con tenione di trazione nel calcetruzzo pari alla reitenza per trazione A f y Α σ 1 A c f ct A f y Α σ 1 86

87 Criterio di non platicizzazione Sforzo normale centrato A f y Α σ 1 A c f ct A f y Α σ 1 Af y Ac fct+σ1a ovvero, e i tracura il contributo dell armatura nel primo tadio di comportamento: A min f f ct y A c 87

88 Criterio di non platicizzazione Momento flettente CT C 0.85 h TA f y ξ h /3 h σ c1 f c Se i tracura il contributo dell armatura uperiore e i eegue l equilibrio alla tralazione ulla ezione nel primo tadio di comportamento, i ha: M 1 ξ hb f h 1 ξb h f w ct w ct t 88

89 Criterio di non platicizzazione Momento flettente CT C 0.85 h TA f y ξ h /3 h M Aσr0.85h σ c1 f c Se i eegue l equilibrio alla tralazione ulla ezione nel econdo tadio di comportamento, i ha: t Dall equilibrio alla tralazione del concio tra le ezioni eaminate i ha: A c ct,min 0.39ξ Af fy 89

90 Criterio di non platicizzazione Momento flettente CT C 0.85 h TA f y ξ h /3 h σ c1 f c Nel cao di fleione, l area della ezione d armatura necearia è peo eprea in funzione dell area della parte tea della ezione di calcetruzzo. La relazione precedente diventa : A ct ct,min 0.78ξ A f fy Nota: il fattore 0.78 ξ variatra0.4e0.5aecondadellaformadellaezione. t 90

91 Armatura minima A,min k f A c ct,eff σ ct k c dipende dalla ditribuzione delle tenioni vale 1.0 per trazione 0.4 per fleione valori intermedi per fleione compota EC, punto 7.3.

92 Armatura minima A,min k f A c ct,eff σ ct A ct area di calcetruzzo nella zona tea h n b X A ct M Ed σ A ct b (h X) b h/ per fleione emplice EC, punto 7.3.

93 Armatura minima A,min k f A c ct,eff σ ct f ct,eff reitenza a trazione efficace del calcetruzzo i aume pari a f ctm o ad un valore minore e la feurazione è previta prima di 8 giorni Pertanto (per la fleione) A,min k c f ct,eff σ A ct 0.4 f f ctm yk b h 0.6 f f ctm yk bd EC, punto 7.3.

94 Verifica enza calcolo diretto La verifica dell ampiezza delle feure w d indotte principalmente da carichi può eere eeguita omettendo il calcolo eplicito e: - L armatura tea è non inferiore ad un valore minimo A,min - Il diametro delle barre è non uperiore ad un valore maimo φ max, o - la ditanza tra le barre è non uperiore ad un valore maimo d max EC, punto 7.3. e 7.3.3

95 Stati limite di feurazione Metodo emplificato ( ) Eurocodice ver. 005 Tenione nell acciaio [MPa] Diametro maimo delle barre [mm] 1 w k 0,4 mm w k 0,3 mm w k 0, mm ) I valori nel propetto ono baati ulle eguenti aunzioni: c 5 mm; f ct,eff.9 MPa; h cr 0,5; (h - d ) 0.1 h ; k 1 0.8; k 0.5; k c 0.4; k 1.0; k t 0.4 e k 1.0. ) Sotto la combinazione di carico pertinente.

96 Stati limite di feurazione Metodo emplificato ( ) Tenione nell acciaio [MPa] Spaziatura maima delle barre [mm] 1 w k 0,4 mm w k 0,3 mm w k 0, mm ) I valori nel propetto ono baati ulle eguenti aunzioni: c 5 mm; f ct,eff.9 MPa; h cr 0.5; (h - d ) 0.1 h ; k 1 0.8; k 0.5; k c 0.4; k 1.0; k t 0,4 e k 1.0. ) Sotto la combinazione di carico pertinente. Eurocodice ver. 005

97 Stati limite di feurazione Metodo emplificato ( ) Il diametro maimo delle barre è modificato come egue: Fleione (ezione parzializzata): ( f ) φ φ.9 ct,ef kh * c cr ( h d ) Trazione (la ezione è tutta tea): dove: φ φ h h cr valori d ordinaria. φ φ * ct,ef ( f ).9 8 ( h d) è il diametro maimo "modificato" delle barre; è il diametro maimo dato nel propetto; è l altezza totale della ezione; è l altezza della zona tea ubito prima della feurazione, coniderando i caratteritici delle forze aiali otto la combinazione quai-permanente; è l altezza utile ripetto al baricentro dello trato più eterno di arm. Se tutta la ezione è tea h-d è la minima ditanza tra il baricentro dello trato di armatura e il lembo eterno della ezione. 1

98 Eempio numerico Combinazione di carico quai permanente Dati: Sezione Armature 30x50 A A 14 Calcetruzzo C5/30 Acciaio B450C ψ Q kn/m k 5.85 G 6. kn/m 1k L 4.5 m M M Ed max q L 8

99 Eempio numerico Combinazione di carico quai permanente Dati: Sezione Armature Procedura: 30x50 A A 14 Calcetruzzo C5/30 Acciaio B450C 1 determinazione dell armatura tea minima - determinazione della tenione di lavoro dell armatura 3 determinazione della ditanza maima tra le barre o il diametro maimo

100 Calcolo dell armatura tea minima A,min k c f ct,eff σ A ct per fleione emplice A ct b (h x') b d G,inf cm d G,up b h cm h n G A ct n M< M r d G,inf b

101 Calcolo dell armatura tea minima A,min k c f ct,eff σ A ct cm A ct 730 cm k c 0.4 (fleione) f ct,eff f ctm.56mpa σ f yk 450 MPa L armatura dipota è ben maggiore, A cm

102 Ditanza maima tra le barre Combinazione di carico quai permanente σ w d 0.4 mm w d 0.3 mm w d 0. mm σ σ tenione nell acciaio coniderando la ezione feurata 187. MPaper la condizione di carico pertinente (combinazione quai permanente nel cao in Da verifica u tenioni in eercizio eame) 10/76

103 Ditanza maima tra le barre Combinazione di carico quai permanente σ w d 0.4 mm w d 0.3 mm w d 0. mm La ditanza maima tra le barre deve eere non uperiore di (300+50)/75 mm Nella ezione in eame vi ono 4 barre ad una ditanza di circa 70 mm e la verifica è oddifatta 103/76

104 o in alternativa

105 Diametro maimo delle barre Combinazione di carico quai permanente σ w d 0.4 mm w d 0.3 mm w d 0. mm σ 187. MPa Per armature poco enibili e condizioni ambientali ordinarie deve eere w d <0.3mm

106 Diametro maimo delle barre Combinazione di carico quai permanente Dalla tabella i ha φ * max 8.5 mm e quindi il diametro modificato vale φ * max φ max f ct,eff.9 kc h 4 c mm Nella ezione in eame ono tate utilizzate barre φ0 e la verifica è oddifatta

107 Stato limite di deformazione

108 Stati limite di deformazione CONTROLLO DELLA DEFORMAZIONE Metodo emplificato Calcolo diretto della deformazione

109 Verifica eplicita delle deformazioni

110 Elemento teo Per bai valori di carico vi è perfetta aderenza tra acciaio e calcetruzzo e le deformazioni di acciaio e calcetruzzo ono uguali σ c1 A c N + n A ε 1 ε c1 E (A c c N + n A ) n E E c N 1. Sezione integra N ε

111 Elemento teo Quando N N r (forzo di feurazione) il calcetruzzo i feura f ct A c Nr + n A Se la feurazione intereae tutte le ezioni ε r Nr E A N N r N (A + r c 1. Sezione integra n A ) f ct. Sezione feurata N r ε

112 Tenion-tiffening Ma il calcetruzzo teo tra le feure porta parte della forza di trazione e riduce le deformazioni Ma il calcetruzzo teo tra le feure porta parte della forza di dell acciaio. trazione e riduce le deformazioni dell acciaio. Dunque il valore medio della deformazione dell acciaio ε rm arà minore di ε r. ε r ε < ε r εrm < ε r N N

113 Deformazione media La deformazione media dell armatura i può crivere come egue rm r β con β coefficiente adimenionale 1. ε ε ( ε ε ) r r1 N r N N r 1. Sezione integra ε rm β ( ε ε ) r. Sezione feurata r1 ε r1 ε r ε

114 Deformazione media Quando la trazione aumenta, il contributo poitivo del calcetruzzo i riduce progreivamente ε m ε β N ( ε ε ) r N r r1 N 1. Sezione integra ε m. Sezione feurata N N r β N ( ε ε ) r N r r1 ε r1 ε r ε

115 Deformazione media Quando la trazione aumenta, il contributo poitivo del calcetruzzo i riduce progreivamente ε m ε β N ( ε ε ) r N r r1 ed il comportamento dell elemento tende a quello della ezione feurata. N N N r 1. Sezione integra. Sezione feurata ε r1 ε r ε

116 Deformazione media Se i conidera che ε r1 ε 1 N r N ε r ε N r N la deformazione media dell acciaio per N aegnato ε m ε β N ( ε ε ) r N r r1 i può crivere come egue ε m ε β ε Nr N + β ε 1 Nr N

117 Deformazione media e mettendo in evidenza ε ε m Nr Nr 1 β ε + β ε1 N N ζ 1 ζ ζ tiene conto del tenion-tiffening e vale: Mr 1 β - nel cao di fleione M 1 r σ σ - β in generale

118 Parametri di deformazione - deformazione -curvatura ( ζ) 1 εm ζ ε + 1 ε m ( ζ) m1 χm ζ χ + 1 χ - freccia f ζ f ( 1 ζ) 1 + f ζ σ β 1 r σ in generale σ r tenione per il carico di feurazione σ tenione per il carico agente EC, punto β dipende dal tipo di carico 1.0 per carico di breve durata 0.5 per carichi permanenti

119 Effetti della vicoità Per carichi di lunga durata biogna tener conto degli effetti vicoi uando il modulo di elaticità efficace del calcetruzzo per il calcolo dei parametri di deformazione: E c,eff Ecm 1 + ϕ ϕ coefficiente di vicoità del calcetruzzo EC, punto 7.4.3

120 Struttura per eempio numerico Q kn/m k G 1k kn/m L 4.5 m Comb. di carico per SLU γg 1 G + γq Q k k 43.0 kn/m M q L M M knm max Ed Ed

121 Struttura per eempio numerico L 4.5 m Comb. di carico rara G1 k Q k kn/m Comb. di carico frequente G Q. kn/m 1k + ψ 1 k 4 3 Q kn/m k G 1k kn/m Comb. di carico quai permanente G Q. kn/m 1k + ψ k 1 6 M max q L 8 + M knm Ed M knm Ed M knm Ed

122 Eempio numerico Combinazione di carico quai permanente Dati: Sezione Armature 90x6 A 5 0 A 4 14 G k + ψ Q k 1.6kN/m M Max 54.7 knm Calcetruzzo C5/30 Acciaio B450C ψ Q k G 1 k 4.1 kn/m (cat kn/m A) L 4.5 m f ( G + Q ) k ψ EI k L 4

123 Eempio numerico Combinazione di carico quai permanente Dati: Sezione Armature Procedura: 90x6 A 5 0 A 4 14 G k + ψ Q k 1.6kN/m M Max 54.7 knm Calcetruzzo C5/30 Acciaio B450C 1 determinazione della freccia in condizione feurata f e f >f max determinazione della freccia in condizione non feurata f 1 3 determinazione della freccia interpolando tra i valori f 1 ed f

124 Eempio numerico Combinazione di carico quai permanente f ζ f ( 1 ζ) 1 + f f ( G + ψ Q ) k E c,eff I k 1 L 4 f ( G + ψ Q ) k E c,eff I k L 4 ζ 1 β M M r Ed E c,eff Ecm 1 + ϕ MPa Andrebbe calcolato

125 Condizione feurata Combinazione di carico quai permanente Ricordando che: n E n 15 E 8993 c,eff i calcola la poizione dell ae neutro: n (A + A' ) b (Ad + A' c) x b n (A + A' ) 7.9 cm

126 Condizione feurata Combinazione di carico quai permanente Quindi i calcola il momento d inerzia della ezione reagente omogeneizzata : I b x n A' (x 5598 cm c) + n A (d x) ed infine i calcola la freccia della trave in condizione feurata: f ( G + ψ Q ) k E c,eff I k L è maggiore di L/50 18 mm mm

127 Condizione non feurata Combinazione di carico quai permanente Il baricentro della ezione omogeneizzata i trova ad una ditanza dal bordo uperiore pari a: d G,up n E E cm bh + n A d + bh + n A ( ) ' + A n A 6.67 ' c 13.0 cm Il baricentro della ezione omogeneizzata i trova ad una ditanza dal bordo inferiore pari a: dg,inf h dg, up 1.80 cm

128 Condizione non feurata Combinazione di carico quai permanente Nota la poizione del baricentro, i calcola il momento d inerzia della ezione omogeneizzata: I 1 3 b dg,up b d cm 3 G,inf 4 + n A ( ) ' d c + n A ( d c) G,up G,inf ed infine i calcola la freccia della trave in condizione non feurata: f ( G + ψ Q ) k E c,eff I k 1 L mm

129 Momento di feurazione Il momento di feurazione M r è quello in grado di indurre nella fibra maggiormente tea (quella inferiore) una tenione pari a f cfm. I M fcfm 3 d r G,inf 33.9 knm M Max 54.7 knm > M r 33.9 knm la trave i feura

130 Eempio numerico Combinazione di carico quai permanente f ζ f ( 1 ζ) 1 + f mm f mm f.9 mm M r ζ 1 β E c, eff M Ed 8993 MPa knm La freccia è minore di L/50 18 mm

131 Verifica delle deformazioni enza calcolo diretto

132 Freccia della trave Q Trave a emplice armatura La freccia della trave vale: f f Q L E c I M max E c I L con M max Q L 8 f calcolata coniderando le ezioni tutte le ezioni feurate

133 Freccia della trave Q Trave a emplice armatura La tenione nell armatura vale: e quindi: n σ σ I Mmax ( d x) M n I n max ( d x) con Sotituendo nell epreione precedente i ottiene σ d I ( 1 ξ) ξ x d

134 Rapporto L/d e freccia della trave Q Trave a emplice armatura il rapporto f/l della trave vale: f L ( 1 ξ) E d mentre per altri chemi tatici vale: 1 σ L f L c 1 ξ σ L ( 1 ) E d (c dipende dalla chema tatico)

135 Rapporto L/d e freccia della trave L d ( 1 ξ) c E f σ L lim (c dipende dalla chema tatico) Il maimo rapporto L/d dipende da: - Schema tatico (attravero c ); - tenione di lavoro dell acciaio σ ; - tipo di calcetruzzo (attravero ξ); - ρ e ρ (attravero ξ); - Il rapporto f/l ritenuto accettabile.

136 Verifica delle deformazioni Nell Eurocodice ono fornite relazioni analitiche per il calcolo dei valori limiti del rapporto L/d (valide per σ 310 MPa corripondente a f yk 500 MPa): L d k f ρ ρ + ρ ρ 0 0 ck 3. fck 1 3 e ρ ρ 0 L d k f ck ρ0 ρ ρ' f ck ρ' ρ 0 e ρ > ρ 0 EC, punto 7.4.

137 Verifica delle deformazioni L d k f ρ ρ + ρ ρ 0 0 ck 3. fck 1 3 e ρ ρ 0 L d k f ck ρ0 ρ ρ' f ck ρ' ρ 0 e ρ ρ 0 k dipende dallo chema tatico ρ percentuale di armatura tea in mezzeria ρ percentuale di armatura comprea in mezzeria ρ 0 percentuale di riferimento dell armatura tea pari a: EC, punto 7.4. ρ 0 f ck 1000 (f ck in MPa)

138 Verifica delle deformazioni La circolare n. 617 fornice formule più emplici per il calcolo dei valori limiti del rapporto L/h: L h k f ρ + ρ' ck 500 f yk A A,eff,calc k dipende dallo chema tatico ρ percentuale di armatura tea ρ percentuale di armatura comprea A,eff A,calc area di armatura tea effettivamente preente area di armatura tea calcolata Circolare /0/009, punto

139 Verifica delle deformazioni Per f ck 5 MPa, f yk 450 MPa, ρ 0 e A,eff A,calc, i può omettere il calcolo eplicito della freccia e non ono uperati i eguenti valori di L/h: Schema tatico k ρ 0.5% ρ 1.0% ρ 1.5% Travi appoggiate Etremità travi continue Campate interne di travi continue Menole Circolare /0/009, punto

140 Verifica delle deformazioni - Per travi e piatre nervate di luce maggiore di 7 m, caricate da tramezzi fragili, i valori di L/h indicati in tabella devono eere moltiplicati per 7/L (L in metri). - Perpiatrenonnervatedilucemaggioredi8.5m,caricateda tramezzi fragili, i valori di L/h indicati in tabella devono eere moltiplicati per 8.5/L (L in metri). Circolare /0/009, punto

141 Eempio numerico Dati: Sezione 90x6 Calcetruzzo C5/30 Acciaio B450C c5cm L 4.5 m Procedura: 1 determinazione dei valori limite del rapporto L/h corripondenti ai materiali utilizzati - confronto con il rapporto L/h dell elemento trutturale in eame

142 Eempio numerico Poiché i ua un calcetruzzo con C5/30 ed un acciaio con f yk 450 MPa i valori maimi di L/h ono: Schema tatico k ρ 0.5% ρ 1.0% ρ 1.5% Travi appoggiate Etremità travi continue Campate interne di travi continue Menole

143 Eempio numerico Lo chema tatico è di trave appoggiata Schema tatico k ρ 0.5% ρ 1.0% ρ 1.5% Travi appoggiate Etremità travi continue Campate interne di travi continue Menole

144 Armatura tea Q kn/m k G 1k kn/m Comb. di carico per SLU γg 1 G + γq Q k L 4.5 m k 43.0 kn/m q L M M Ed max M Ed knm 8 MEd A 14.7 cm 0.9 d f yd

145 Eempio numerico Lo chema tatico è di trave appoggiata La percentuale di armatura tea è ed interpolando ρ % Schema tatico k ρ 0.5% ρ 1.0% ρ 1.5% Travi appoggiate Etremità travi continue Campate interne di travi continue Menole

146 Eempio numerico i ottiene un rapporto L/h maimo di 18., che è maggiore di quello della trave in eame pari a: L h Schema tatico k ρ 0.5% ρ 1.0% ρ 1.5% Travi appoggiate Etremità travi continue Campate interne di travi continue Menole

147 Fine