Modello monodimensionale per le correnti in moto turbolento vario. Fig. 1

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1 Modello monodimenionale per le correnti in moto turbolento vario 1. Decompoizione dei campi di moto turbolento vario Prima di affrontare la definizione del modello per le correnti in moto turbolento vario, è neceario premettere quanto egue. Se i hanno delle condizioni al contorno variabili, il campo di moto che i genera (ad alti valori di Re) è un campo definito di moto turbolento vario. chiarimento della definizione data, conideriamo la miura di una componente u j di velocità in un punto x del dominio di definizione del moto; dalla miura riulta un andamento dei valori come in Fig. 1 (linea a tratto continuo). uj t Fig. 1 Se le condizioni al contorno variano nel tempo con una cala molto maggiore della cala dei tempi delle fluttuazioni di velocità prodotte dalla turbolenza, i può quindi contatare che la componente u j varia con frequenze molto elevate intorno ad un valore che, invece, ha una periodicità temporale molto più ampia (linea tratteggiata). Queto comportamento di variabilità temporale è analogo per qualunque grandezza di campo in quete condizioni di moto turbolento vario. In queti cai, una qualunque grandezza di campo F(x,t) può eere decompota nel modo eguente: F(x,t) = FPB(x,t) + FP(x,t) (8) Dove il primo termine a detra della (8) è quanto i ottiene filtrando la grandezza data con un operatore di filtro paa-bao ; mentre il econdo termine è il riultato di un filtraggio con un operatore di filtro paa-alto. Definita quindi, nel cao di moto turbolento vario, la decompoizione di una qualiai grandezza di campo come in (8), per emplicità di crittura ueremo le eguenti poizioni: FPB(x,t) F(x,t) e FP(x,t) F (x,t). 1

2 Inoltre, applicando l operatore di media temporale < ( ) > 1 t 0 +T T ( )dt t 0 alla componente FP(x,t) F (x,t) riulta: <F (x,t)> = 0. Mentre, applicando lo teo operatore alla componente FPB(x,t) F(x,t) i ottiene che la componente a baa frequenza (periodicità temporale Tp) riulterà mediata nel tempo u intervalli di tempo T << Tp. 2. Equazione di continuità Sia data una generica corrente lineare in condizioni di moto vario, come chematicamente rappreentata in Fig. 2. l d 2 1 Fig. 2 Conideriamo ora il volume di controllo cotituito dal tronco di corrente di lunghezza infiniteima d e delimitato dalla frontiera 1 2 l ; con riferimento al principio di conervazione della maa e al teorema di Reynold (3 a formulazione) riulta: ρ d - ( ρv n d 1 + ρv n d2 + ρv n d 1 l ) =0 2 l dove con n i intende il verore normale in ogni punto della frontiera, aunto con vero entrante in. Integrando la (1) nell intervallo di tempo finito t e viluppando ogni ingolo integrale i ottiene quanto egue. 1 integrale dt ρ d = dt [ ρ d ] d (2) potendoi aumere cotante in la quantità / t, riulta: (1) dt ( ρ d = [ ρ d] dt (3) 2

3 2 e 3 integrale dt [ ρv n d 1 + ρv n d2] (4) 1 2 Le grandezze compree in parentei ono ripettivamente la portata in maa entrante nella ezione 1 e la portata in maa ucente nella ezione 2 cambiata di egno. Tenendo conto della lunghezza infiniteima del tronco di corrente in eame, la (4) diventa: dt ( ρq d) (5) avendo indicato con Q la portata in volume attravero la generica ezione della corrente. 4 integrale dt [ ρv n d l ] = dt l [ (ρv n dp)d] (6) P dove con P i intende il perimetro geometrico della generica ezione della corrente. I valori degli integrali in (6) i poono intendere riferendoi all interpretazione geometrica di Fig.3. l Schema 2a ( / t) dt Suppoto il cao di V ucente (chema 2a), il fluo di V attravero l moltiplicato per dt rappreenta la variazione del volume del tronco di corrente nell intervallo di tempo dt. Tale variazione vita in ezione (chema 2b) è pari a dt. Pertanto, la (6) diventa: Schema 2b ( ρ d) dt (7) Fig. 3 Ponendo i riultati di (3), (5) e (7) nella (1), i ottiene: [( ρ ρq d) ( ρ d) ( Facendo tendere t a zero riulta: d)] dt = ( ρ ρq d + d) dt = 0 lim 0 ( ρ ρq d + d) dt = ( ρ + ρq ) ddt = 0 L equazione di continuità per le correnti lineari in moto vario riulta, quindi, formulata nel modo eguente: ( ρ + ρq ) = 0 3

4 3. Equazione del moto Sulla bae di quanto epoto nel paragrafo 2, applicando l operatore media temporale al coì detto termine integrale delle forze di inerzia locali I i ottiene quanto egue: I = ρv d = ρ V d + ρ V d Il econdo integrale a detra della (9) i può aumere tracurabile poiché riulta in realtà ρ 0; i ottiene quindi: (9) I = ρ V d = ρ V d I Premeo quanto opra, in riferimento ad una generica corrente lineare in condizioni di moto turbolento vario, i conideri un uo tronco di lunghezza infiniteima d come chematicamente rappreentato in Fig.4. 1 l z d Fig. 4 e z e 2 In riferimento al dominio di controllo, partiamo dall equazione del moto in forma integrale mediata nel tempo: G + Πp + Πυ = I M M (10) Sviluppando ogni termine dell equazione (10) e proiettandolo ull ae della corrente i ottiene quanto egue [negli viluppi ucceivi il imbolo di media temporale ( ) è omeo per brevità]. 1 termine della (10) G ρg z d = [ ρg zd 1 1 ] d = ρg 1 zd (11) In (11) i è tenuto conto di quanto egue: data la lunghezza infiniteima del tronco di corrente in eame, riulta = 1 d; la i può ritenere cotante nel domini 1. Proiettando ull ae i ottiene: G ê = ρg z d (12) dove con ê i è indicato il verore tangente all ae. 4

5 2 termine della (10) Π p p n d = p 1 n d 1 + p 2 n d 2 + p l n d l (13) dove con n i è indicato il verore normale entrante in ogni punto della frontiera. Tenendo conto che il moto medio i uppone lineare, la quota piezometrica è cotante ulle ezioni della corrente. Data la lunghezza infiniteima del tronco di corrente che i conidera, proiettando la (13) ull ae i ottiene: ê = p (p + p Π p d) ( + d) + (p + p d) d (14) dove con p i intende la preione nel baricentro della ezione. Il terzo addendo a detra della (14) i può intendere coniderando che (vedi Fig. 5): n e l d l = d n e d Fig. 5 Sviluppando e emplificando i termini a detra della (14) è facile ottenere: 3 termine della (10) Π ν μ d = n 1 ê = p Π p μ d n d (15) μ d n 2 + μ n l d l (16) Tenendo conto che i primi due integrali a detra della (16) danno origine a grandezze vettoriali ortogonali all ae della corrente, proiettando la (16) ull ae i ottiene: ê = Π ν l μ u n d l = t ν Bd (17) dove con B i è indicato il perimetro bagnato della generica ezione del tronco di corrente in eame. 4 e 5 termine della (10) I M DV ρ d = Dt ρ [ + V V] d = d [ ρ d + ρ(v V)d ] (18) Proiettando al (18) ull ae i ottiene: (I M ) ê = d [ ρ u d + ρ (u u + u u y + u u y z ) d z ] (19) 5

6 Data la linearità del campo di velocità medio temporale, i termini evidenziati in grigio nella (19) i poono tracurare. Pertanto, dalla (19) deriva: (I M ) ê = ρ ( U + U U ) d (20) dove U = Q = 1 u d. 6 termine della (10) In analogia con lo viluppo del 3 termine della (10) (vedi opra), riulta: M ρ V u n d( ) (21) Proiettando al (21) ull ae i ottiene: M ê = ρ u u n d l = t t Bd (22) l l termine degli viluppi operati, coniderando i riultati coneguiti in (12), (15), (17), (20) e (22) i può crivere la eguente condizione di equilibrio dinamico ripetto alla direzione della corrente: ρg z p d d t νbd = ρ ( U + U U ) d + t tbd (23) Dividendo tutti i termini della (23) per (ρgd), i ottiene la eguente formulazione monodimenionale dell equazione del moto per le correnti in moto turbolento vario: dove i è poto: t 0 = (t ν +t t ); R = /B. z + 1 p ρg + 1 g ( U U + U ) + t 0 ρgr = 0 6