Fluidodinamica: soluzioni. Scheda 7. Ripetizioni Cagliari di Manuele Atzeni

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1 Fluidodinaica: oluzioni Problea di: Fluidodinaica - F 000 Scheda 7 Ripetizioni Cagliari di Manuele Atzeni Teto [F000] In un tubo orizzontale di ezione S = 0 c corre dell acqua ad una velocità V = con una preione P = Pa. Ad un certo punto la ezione del tubo auenta fino al valore S = 6 c. Quanto valgono la velocità e la preione dell acqua nella parte larga del tubo? Spiegazione Un fluido incopriibile i ta uovendo dentro un tubo. Auendo che i poano tracurare tutti i fenoeni di attrito, il fluido è oggetto ia alla legge di conervazione della portata che alla legge di Bernoulli. crivere: Applicando la legge di conervazione della portata poiao S V = S V V = SV S = 0 c 6 c =5 Utilizzando poi la legge di Bernoulli poiao crivere: H O V + H O gh + P = H O V + H O gh + P Vito che il tubo è orizzontale, allora h = h e quindi i due terini corripondenti i poono eplificare. Anche e non o quanto valgono, in quanto non o a che altezza i trova il tubo, o però che ono uguali e in queto cao i eplificano. H O V + P = H O V + P V H O + P = V H O V H O V H O P = V H O S S S S + P + P = P S + P S P = kg c c Pa 4 P = Pa Eercizi concettualente identici. In un tubo orizzontale di ezione S = 0 c corre dell acqua con velocità V =5 e con una preione P = Pa. Queto tubo ha una trozzatura nel centro, di ezione S =4c. Quanto corre veloce l acqua nella trozzatura? Quanto vale la preione nella trozzatura? [V = 5 ; P = Pa]. In un tubo di ezione S =c, dell acqua corre con una velocità V = ed ad una preione P = 000 Pa. Se in un econdo tratto del tubo la ua ezione auenta paando ad un valore S = 0 c,a quale velocitá viaggerá l acqua? Se il tubo è poto in orizzontale, Quanto vale la preione nella parte larga del tubo? [] 3. Se in un tubo orizzontale un fluido di denità =5 Kg auenta la ua 3 velocità paando da un valore V i =5 ad un valore V f = 5, di quanto varia la preione del fluido? [ P = 500 Pa] Sotituendo adeo il valore V quanto calcolato precedenteente 93

2 Ripetizioni Cagliari di Manuele Atzeni Scheda7. Fluidodinaica: oluzioni Problea di: Fluidodinaica - F 000 Problea di: Fluidodinaica - F 0003 Teto [F000] In un tubo di ezione S = 0 c corre dell acqua con velocità V =3. Queto tubo ha una trozzatura nel centro, di ezione S =4c. Quanto vale la portata del tubo? Quanto vale la velocità con cui l acqua corre nella trozzatura? Spiegazione L acqua è un liquido e quindi incopriibile. Vale quindi la legge di conervazione della portata. La portata del tubo è Q = S V = 0 c 3 =0, 00 3 Per la legge di conervazione della portata avreo che V = S V S Eercizi concettualente identici S V = S V = 0 c 3 4 c =7, 5 =0, In un tubo di ezione S = 0 c corre dell acqua con velocità V = 3. Queto tubo ha una trozzatura nel centro, di ezione S =4c. Quanto corre veloce l acqua nella trozzatura? [V =7, 5 ]. Di quanto devo diinuire la ezione S = 600 c di un tubo per far auentare la velocità del fluido che ci corre dentro da un valore V = 5 ad un valore V =? [S = 375 c ] Teto [F0003] In un certo tratto, il letto di un canale di irrigazione è profondo h =elargo l = 0, e l acqua al uo interno corre con una velocità V = 0, ; e in un econdo tratto la profondità e la larghezza del canale i diezzano, a quale velocità correrà l acqua in queto econdo tratto? Quanto vale la portata del canale? Spiegazione L acqua è un liquido incopriibile, vale quindi la legge di conervazione della portata. Con i dati a dipoizione, auiao che la ezione del canale abbia una fora rettangolare; il canale, inizialente di una certa dienione, diinuice ad un certo punto la lua ezione, cauando, per la legge di conervazione della portata, un auento della velocità dell acqua. La ezione iniziale del canale vale La ezione finale del canale vale La portata del canale è S = l h = 0 = 0 S = l h = l h =5 =5 Q = S V = 0 0, =43 Per la legge di conervazione della portata avreo che S V = S V V = S V S = 0 0, 5 =0,

3 95 Scheda7. Fluidodinaica: oluzioni Problea di: Fluidodinaica - F 0004 Teto [F0004] Un vao cilindrico di ezione S = 0 c contiene dell acqua fino ad un certo livello. Nel vao viene applicato un foro di ezione S = ad un altezza h = 40 c inferiore al livello dell acqua. Con quale velocità V ece l acqua dal foro? Ripetizioni Cagliari di Manuele Atzeni V + gh = V + gh Avevao ricavato V nell equazione della portata e lo otituiao adeo nell equazione di Bernoulli riorganizzando i terini S V S V = gh gh Spiegazione Trattandoi di un fluido incopriibile che i uove, per queto eercizio arà neceario utilizzare l equazione di Bernoulli e la legge di conervazione della portata. Nell applicazione delle equazioni, arà conveniente coniderare coe punto iniziale la uperficie dell acqua nel vao, e coe punto finale il foro. crivere: Applicando la legge di conervazione della portata poiao S V = S V V = S V S Applicando l equazione di Bernoulli poiao crivere: H O V + H O gh + P = H O V + H O gh + P Teniao adeo preente che h h = h e raccogliao a fattor coune V da cui, cabiando i egni V = S V S V = g h = g h v u V = t g 9, 0, 4 = 0 c S S h S S 7, =, Notate coe il terine a denoinatore che contiene le due ezioni riulti eere olto piccolo e quindi praticaente tracurabile. Coinciao con il coniderare che ia la uperficie dell acqua che il foro i trovano a contatto con l aria dell atofera e quindi alla tea preione. Quindi H O V + H O gh = H O V + H O gh Poiao quindi ora eplificare H ed ottenere O

4 Ripetizioni Cagliari di Manuele Atzeni Scheda7. Fluidodinaica: oluzioni Problea di: Fluidodinaica - F 0005 Problea di: Fluidodinaica - F 0006 Teto [F0005] Un tubo orizzontale di ezione S = 0 c è percoro da acqua alla preione P = Pa che i uove alla velocità V =. All altra etreità del tubo la preione vale P = Pa. Con quale velocità l acqua ece dal tubo? Quale ezione ha il tubo in ucita? Spiegazione Trattandoi di un fluido incopriibile che i uove, per queto eercizio arà neceario utilizzare l equazione di Bernoulli e la legge di conervazione della portata. Applicando l equazione di Bernoulli poiao crivere: H O V + H O gh + P = H O V + H O gh + P Coinciao con il coniderare che il tubo è orizzontale e quindi h = h, quindi V H O + P = V H O + P da cui V H O = P P + V H O V = V = H O H O (P P )+V (P P )+V =5 Applicando la legge di conervazione della portata poiao crivere: S V = S V S = S V V = 6 c Teto [F0006] Un tubo a fora di U contiene una certa quantità di acqua kg ( H = 000 O ) nella ezione di initra e di olio ( 3 olio = 00 kg ) nella 3 ezione di detra. I liquidi in quetione ono feri. Sapendo che la colonna di olio ha un altezza h = 0 c, di quanti centietri la colonnina di olio i trova più in alto della colonnina di acqua? Spiegazione In queto eercizio i fluidi ono feri, quindi utilizzereo l equazione di Stevino. Le due colonne di liquido, vito che ono fere viluppano nel punto in cui i toccano la tea preione; quindi il problea i riolve eguagliando le preioni viluppate dalle due colonne di liquido. Conideriao il punto di contatto dei due liquidi coe origine del itea di riferiento e quindi coe punto ad altezza zero. Le due preioni nel punto di contatto dei liquidi valgono Eguagliandole otteniao P H O = P at + H O g h H O P olio = P at + olio g P H O = P olio h olio P at + H O g h H O = P at + olio g h olio e eplificando pria la preione atoferica P at e ucceivaente l accelerazione di gravità H O h H O = olio h olio da cui ricavo l altezza della colonnina d acqua h H O = olio h olio H O = 6 c

5 Ripetizioni Cagliari di Manuele Atzeni Scheda7. Fluidodinaica: oluzioni e di coneguenza il dilivello tra le due colonnine vale Problea di: Fluidodinaica - F 0007 d = h olio h H O =4c Teto [F0007] Le due ezioni di un torchio idraulico valgono ripettivaente S = 50 c ed S =5c. Sapendo che ulla ezione aggiore viene appoggiato un peo di aa = 50 kg, quale forza devo fare ulla econda ezione per antenere l equilibrio? Spiegazione Il torchio idraulico riane in equilibrio quando le preioni ulle due ezioni ono uguali. Queta è l afferazione che peretterà di riolvere il problea. Il riultato finale dell eercizio diotra che il torchio idraulico è di fatto una acchina eplice che perette di fare tanto lavoro con una piccola forza. P = P F S = F S La forza F è la forza di gravità che agice ul peo, quindi F = g S S = 50 kg 9, 5 c 50 c = 49 N

6 9 Scheda7. Fluidodinaica: oluzioni Problea di: Fluidodinaica - F 000 kg Teto [F000] Un tubo orizzontale in cui corre acqua ( H = 000 O 3 ), ha una ezione iniziale S = 00 c. Succeivaente il tubo i tringe diventando di ezione S = 60 c. La preione nel tratto iniziale del tubo vale P = Pa, entre nella ezione più tretta vale P = Pa. Quanto valgono le due velocità dell acqua nei due tratti del tubo? Spiegazione Queto problea di fluidodinaica lo riolviao utilizzando il principio di Bernoulli e la legge di conervazione della portata. Vito che le richiete del problea ono due, e due ono le leggi fiiche a notra dipoizione, poiao procedere con la oluzione del problea. Coinciao con lo crivere entrabe le equazioni a notra dipoizione. Eendo le equazioni conteporaneaente vere, ee cotituicono un itea di due equazioni in due incognite ( V e V ), indicato con la parentei graffa. < S V = S V : V H O + gh H O + P = V H O + gh (7.) H O + P Vito che il tubo di queto eercizio è orizzontale, allora h = h ed i terini con le altezze i eplificano in quanto uguali. < S V = S V : V H O + P = V (7.) H O + P Entrabe le incognite i trovano in entrabe le equazioni, quindi devo riolvere il itea con, per eepio, il etodo di otituzione. Coinciao Ripetizioni Cagliari di Manuele Atzeni con il ricavare V dalla pria equazione >< >: V = S V S H O V + P = H O V + P (7.3) Adeo otituiaolo nella econda equazione >< V = S V >: H O S S V S + P = H O V + P (7.4) Adeo raggruppiao i terini che contengono V e potando le preioni a detra dell uguale >< V = S V >: H O S S V S Raccogliao a fattor coune e cabiao di egno >< V = S V >: Infine riolviao v u >< V = t P P >: H O S V H O S S V = S V = S V = 4, 3 S S H O V = P P (7.5) S S = P P (7.6) Pa = kg 000 ( 0, 36) = 3, 7 3 (7.7)

7 Ripetizioni Cagliari di Manuele Atzeni Scheda7. Fluidodinaica: oluzioni Problea di: Fluidodinaica - F 0009 Eercizi concettualente identici Teto [F0009] Un ubacqueo i trova iero nelle acque fere di un lago alla profondità h = 0 ripetto al livello del are. La preione atoferica vale P at = Pa. A quale preione i trova? A quale profondità deve arrivare per raddoppiare la preione a cui i trova? Spiegazione Vito che queto problea tratta di un fluido fero, la legge fiica che utilizzereo è la legge di Stevino P = g h Coinciao con il coniderare il percoro che fa il ubacqueo partendo dalla uperficie del are ( h 0 =0; P 0 = P at = Pa ) fino alla profondità h P = P = g h (P P 0 )= g (h h 0 ) 000 kg 3 9, ( P = g (h h 0 )+P 0 0 ) Pa = Pa A queto punto il ubacqueo cende ulteriorente in profondità fino a raddoppiare la preione a cui i trova. la preione raggiunta arà:. Nella conduttura di una centrale idroelettrica, realizzata con un tubo di ezione cotante, corre l acqua che produrrà poi corrente elettrica. Se la uperficie del lago i trova alla quota h = 500.l.. ed il fondo della conduttura i trova h = 00 piú in bao, con quale preione l acqua ece dalla conduttura? [P = Pa]. Un tubo in cui corre acqua è lungo l =4ed è inclinato vero l alto di = 30. Il tubo ha una ezione S i =0, 3 d ed al fondo abbiao un rubinetto di ezione S f =3c che butta acqua in una vaca. L acqua ece dal tubo con una velocità V f =. Con quale velocità l acqua entra nel tubo? Quale preione abbiao all ingreo nel tubo? [V =0, ; P = 760 Pa] 3. Quale preione deve opportare una perona che i ierge nell oceano fino ad una profondità di h = 00? [ Pa] 4. Se i iergo ad una profondità h = 50 nell oceano, a quale preione vengo ottopoto? [59900 Pa] P =P = Pa Coniderando adeo il percoro dalla profondità h fino alla profondità h avreo che P P = g (h h ) h = P P g =(h h ) h = P P + h g Pa 000 kg 0 = 50, 9, 3

8 00 Scheda7. Fluidodinaica: oluzioni Problea di: Fluidodinaica - F 000 Teto [F000] In un cilindro verticale veriao del ercurio, dell acqua e dell olio. La colonnina di ercurio è alta L Hg =5c; la colonnina di acqua è alta L = 0 c e la colonnina di olio è alta L H = 5 c. La preione O olio atoferica vale P at = Pa. Trovate la preione ul fondo della colonna di liquido. le denità dei liquidi utilizzati valgono: olio = 00 kg ; 3 kg H = 000 O ; 3 Hg = 3579 kg. 3 Ripetizioni Cagliari di Manuele Atzeni P b!c = g h b!c = g (h c h b ) P b!c = 3579 kg 3 9, ( 40 c + 35 c) = 6653, 7 Pa La preione ulla linea di eparazione tra l olio e l acqua vale P a = P 0 + P 0!a P a = Pa+ 76 Pa = 076 Pa Spiegazione Vito che queto problea tratta di un fluido fero, la legge fiica che utilizzereo è la legge di Stevino P = g h L unico valore di preione che conociao è quello dell atofera in cia alla colonnina di liquido; per queto otivo arà conveniente fiare li il notro itea di riferiento e aegnare a quell altezza il valore h 0 =0. Di coneguenza fiiao i valori delle altezze a cui i trovano le linee di eparazione tra i diveri liquidi ed il fondo del cilindro: h a = h 0 L olio = 5 c La preione ulla linea di eparazione tra l acqua e il ercurio vale P b = P 0 + P 0!a + P a!b P b = Pa+ 76 Pa+ 960 Pa = 0336 Pa La preione ul fondo della colonnina di liquido vale P c = P 0 + P 0!a + P a!b + P b!c P c = Pa+ 76 Pa+ 960 Pa+ 6653, 7 Pa = 0979, 7 Pa h b = h a L H = 35 c O h c = h b L Hg = 40 c Iaginiao adeo di trovarci ulla uperficie della colonna di liquido e di potarci vero il bao. Dalla legge di Stevino abbiao che P 0!a = g h 0!a = g (h a h 0 ) P 0!a = 00 kg 3 9, ( 5 c 0 c) = 76 Pa P a!b = g h a!b = g (h b h a ) P a!b = 000 kg 3 9, ( 35 c + 5 c) = 960 Pa

9 Ripetizioni Cagliari di Manuele Atzeni Scheda7. Fluidodinaica: oluzioni Problea di: Fluidodinaica - F 00 Problea di: Fluidodinaica - F 00 Teto [F00] Sapendo che un ottoarino in ierione ta ubendo una preione P = 0000 Pa, a quale profonditá i trova ripetto alla uperficie? Spiegazione Vito che queto problea tratta di un fluido fero, la legge fiica che utilizzereo è la legge di Stevino P = g h La preione ulla uperficie del are ad altezza h 0 =0vale P 0 = Pa. Il ottoarino i trova alla preione P = 0000 Pa. Utilizzando la legge di Stevin avreo che P = g h (P P 0 )= g (h h 0 ) (P P 0 ) g (P 0 P ) g = h = h Utilizzando il valore di denità dell acqua alata avreo h = 0000 Pa 030 kg 3 9, h = 7, 3 Teto [F00] Un contenitore cilindrico viene riepito d acqua fino all altezza h i = 30 c dal fondo. All altezza h f =5c dal fondo viene praticato un piccolo foro, di dienione tracurabile ripetto alla uperficie della bae del contenitore. Con quale velocità l acqua ece dal foro? [V f =, ] Spiegazione Mentre l acqua ece dal foro, il livello dell acqua nel contenitore i abbaa. Praticaente oerviao un oviento di fluido che dalla uperficie i pota vero il foro. Utilizziao quindi il teorea di bernoulli. Utilizziao l equazione di bernoulli: V f + gh f + P f = V i + gh i + P i Teniao preente che entrabi i lati del fluo di acqua ono a contatto con l aria e quindi entrabi alla preione atoferica P at per cui P i = P f = P at i eplificano nell equazione V f + gh f = V i + gh i V f V i = gh i gh f A queto punto dobbiao capire quanto vale la velocità dell acqua ulla uperficie del contenitore. Per queto utilizziao la legge di conervazione della portata. S i V i = S f V f per cui

10 0 Scheda7. Fluidodinaica: oluzioni ottenendo V i = S f S i V f Ripetizioni Cagliari di Manuele Atzeni per cui V f S f S i V f = gh i gh f! Sf Si Vf = g (h i h f ) f = g (h i h f ) Sf V S i v u V f = t g (h i h f ) Sf S i Se adeo ci offeriao ul terine S f S i! dobbiao coniderare che la uperficie del foro è olto più piccola della uperficie del contenitore, per cui tutto il terine vale Sf Si! = Per cui otteniao la forula finale g (h i h f ) V f = = p g h =,