accelerazione al posto di velocità. Ecco quello che otteniamo:

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1 Lezione 5 - pag.1 Lezione 5: L accelerazione 5.1. Velocità e accelerazione Sappiao che la velocità è una grandezza essenziale per descrivere il oviento: quando la posizione di un corpo cabia nel tepo, allora diciao che esso possiede una certa velocità; se la posizione cabia ad un rito costante, la velocità del corpo è costante. Coe abbiao visto, quando non abbiao a che fare con una velocità costante è utile considerare la velocità edia, cioè il rapporto tra la variazione di posizione S, che si registra in un intervallo di tepo t, e la durata di quell intervallo di tepo. In forula: ΔS v edia = Δt Ora vogliao definire una nuova grandezza, l'accelerazione, che descriva coe la velocità di un corpo cabia nel tepo. A tale scopo proviao a fare un gioco di tipo linguistico: ricopiao le righe precedenti, ettendo velocità al posto di posizione, e accelerazione al posto di velocità. Ecco quello che otteniao: l accelerazione è una grandezza essenziale per descrivere il oviento: quando la velocità di un corpo cabia nel tepo, allora diciao che esso possiede una certa accelerazione. Se la velocità cabia ad un rito costante, allora diciao che la sua accelerazione è costante." La definizione di accelerazione edia si può ottenere allo stesso odo. L'accelerazione edia è il rapporto tra la variazione di velocità v, che si registra in un intervallo di tepo t, e la durata di quell intervallo di tepo. In forula: Δv a edia = Δt Coe vedete, abbiao definito la grandezza accelerazione ricopiando, quasi parola per parola, quel che avevao detto per definire la grandezza velocità: entrabe, infatti, descrivono il odo in cui qualcosa varia nel tepo: il odo in cui la posizione cabia nel tepo è descritto dalla grandezza velocità; il odo in cui la velocità cabia nel tepo è descritto dalla grandezza accelerazione. Dalla definizione si ricava che l accelerazione si isura in etri al secondo quadrato s ( = ). s s

2 Lezione 5 - pag. Se un corpo ha un accelerazione di 1 /s, vuol dire che la sua velocità auenta di 1 /s per ogni secondo che passa. Se ora quel corpo ha una velocità di 5 /s, tra un secondo avrà una velocità di 6 /s, tra 10 s la sua velocità sarà diventata di 15 /s, e così via 5.. Effetti dell accelerazione Coe lo spostaento, anche la velocità è una grandezza vettoriale ( fig.5.1): questo significa che per conoscere la velocità con cui un corpo si sposta, non ci basta conoscere la rapidità dello spostaento (cioè quanti etri vengono percorsi al secondo), a dobbiao conoscere anche la direzione in cui lo spostaento ha luogo. Il vettore velocità istantanea è sepre tangente alla traiettoria. Fig. 5.1 Un corpo che si uove nel piano. S 1 è il vettore posizione all istante t 1, S è il vettore posizione ad un successivo istante t. Δ S è lo spostaento subito nel frattepo. La velocità edia nell intervallo tra t 1 e t è un vettore diretto coe Δ S. Se t 1 e t sono olto vicini, il vettore velocità è quasi tangente alla traiettoria Quando diciao che la velocità di un corpo cabia possiao perciò intendere più cose diverse tra di loro: a. la direzione del oviento non cabia, quindi il oto avviene lungo una linea retta, a cabia la rapidità con cui il corpo si sposta (cioè il nuero di etri percorsi al secondo); b. la rapidità dello spostaento non cabia, a cabia la sua direzione ( fig.5.): pensate ad esepio a un auto che percorre una larga curva senza dover rallentare; c. cabiano sia la rapidità dello spostaento, sia la sua direzione.

3 Lezione 5 - pag.3 Coe abbiao visto l accelerazione è la grandezza che descrive in odo quantitativo i cabiaenti di velocità: quindi in tutti e tre i casi elencati in precedenza c è accelerazione. Fig. 5. Per lo stesso corpo della fig. precedente sono descritti i vettori velocità. v 1 è la velocità all istante t 1, v all istante t, Δ v è variazione di velocità subita nel frattepo. Il vettore Δ v è diretto verso l interno della traiettoria. Benché la definizione di questa grandezza sebri difficile, in realtà quando ci troviao sopra un qualche ezzo di trasporto percepiao proprio gli effetti dell'accelerazione. Se l autobus sul quale viaggiao percorre un rettilineo (è il caso a.) ci accorgiao sia di un auento sia di una diinuzione nella rapidità dello spostaento. Nel prio caso ci sentiao spinti all indietro verso lo schienale del nostro sedile, nel secondo ci sentiao spinti verso il sedile che ci sta davanti. Se l autobus curva (è il caso b.) ci sentiao spinti verso l esterno della curva, e l effetto è tanto più evidente quanto più grande è la rapidità dello spostaento. In alcuni casi questo effetto è spettacolare: pensate alle ontagne russe nei luna park! Viceversa è difficile percepire il oviento quando esso avviene senza variazioni di velocità, o con variazioni inie. Coe abbiao già detto, il oto a velocità costante può essere percepito dalle vibrazioni e dai lievi sobbalzi del ezzo, a cosa sono vibrazioni e sobbalzi se non piccoli cabiaenti iprovvisi nella direzione del oto, cioè accelerazioni? 5.3. Accelerazione e grafico tepo velocità Prendiao in considerazione il oviento di un ciclista rappresentato nel seguente grafico tepo velocità ( fig.5.3): il ciclista, che inizialente pedala alla velocità di 10 /s (punto A), rallenta gradualente fino a raggiungere, in un tepo di 5 s, la velocità di 5 /s (punto B). Mantiene inalterata questa velocità per 5 s (punto C), poi gradualente accelera fino a raggiungere nuovaente la velocità di 10 /s (punto D)

4 Lezione 5 - pag.4 Fig.5.3 Il oviento di un ciclista si può descrivere con un grafico tepo-velocità Coe la pendenza del grafico tepo posizione descrive la velocità del corpo che si uove, cioè la rapidità con cui cabia la sua posizione, così la pendenza del grafico tepo velocità ne descrive l accelerazione, cioè la rapidità con cui cabia la sua velocità. I tre diversi tratti che notiao nel grafico hanno ciascuno pendenza costante, ciò significa che il ciclista si è osso con un accelerazione che è stata costante a tratti. Il prio tratto (AB) ha pendenza 1 /s, infatti l accelerazione nei prii cinque 5 secondi vale: Δv1 a s 1 = = = 1. Δt 5 s s 1 Attenzione: quando diciao che l accelerazione è negativa non intendiao dire che il ciclista torna indietro, a solo che diinuisce la rapidità del suo spostaento in avanti. È un po quello che succede quando sul giornale leggete che il tasso di inflazione è diinuito nel ese di Ottobre: questo non significa che i prezzi, ad Ottobre, siano calati. Significa solo che è diinuito il loro rito di crescita. Il secondo tratto (BC) ha pendenza zero, infatti in quei cinque secondi la velocità non cabia, quindi v =0, cioè a =0. Il terzo tratto ha pendenza +1 /s, infatti + 5 l accelerazione negli ultii cinque secondi vale: Δv a s = = = + 1. Δt 5 s s 5.4. Coe calcolare la distanza percorsa? Consideriao una prova di accelerazione di un auto che passa da 0 a 108 k/h (cioè 30 /s), nel tepo di 10 s. Quale distanza percorre l auto nel corso di questa prova? La risposta sarebbe facile se conoscessio la velocità edia con cui si è ossa: distanza percorsa = velocità edia 10 s

5 Lezione 5 - pag.5 Se l auto avesse sepre antenuto la velocità iniziale, cioè 0 /s, non si sarebbe ossa affatto. Se invece avesse antenuto sepre la velocità finale, cioè 30 /s, l auto avrebbe percorso 300. Dunque la distanza percorsa nella prova è copresa tra 0 e 300, perché la velocità edia è copresa tra 0 e 30 /s: a qual è esattaente il suo valore? La risposta dipende da coe la velocità è auentata in quei 10 s, ed è facile deterinarla se l auento è stato unifore nel tepo, cioè se l accelerazione è stata costante. Se un corpo si uove con accelerazione costante (e solo in questo caso) la sua velocità edia è la edia aritetica tra il valore iniziale e quello finale: vi + vf v =. L auto della prova è passata in 10 s da 0 a 30 /s. Se l auento di velocità è stato unifore nel tepo, allora il grafico tepo velocità dell auto ha questo aspetto ( fig.5.4): Fig.5.4 Il grafico tepo velocità di un auto che auenta la sua velocità in odo unifore. Coe si calcola la distanza percorsa nei dieci secondi descritti dal grafico? In questo caso (e solo in questo!) la velocità edia è perciò: v v + v /s i f = = = 15/s E la distanza percorsa è 15 /s 10 s = I oti uniforeente accelerati I oti in cui la velocità cabia sepre allo stesso rito, cioè i oti in cui l accelerazione è costante, si chiaano oti uniforeente accelerati. Sono facili da analizzare dal punto di vista dei calcoli; purtroppo, però, è olto difficile realizzarli in pratica. È olto iprobabile, per esepio, che l auto della quale

6 Lezione 5 - pag.6 abbiao discusso nel paragrafo precedente abbia antenuto un accelerazione costante: dunque non possiao essere certi che nel corso della prova abbia davvero percorso una distanza di 150. Anzi, è certo che ne ha percorsi di più: questo vuol dire che la velocità edia è stata più grande di 15 /s, e questo perché la velocità non è auentata in odo unifore, bensì più rapidaente all inizio della prova e più lentaente alla fine. Dobbiao dunque concludere che l idea di oto uniforeente accelerato è un idea astratta, priva di un reale contenuto? Esistono oppure no i oti uniforeente accelerati? Ebbene sì, esistono, e questa fu una tra le più grandi scoperte di Galileo: i corpi pesanti, che cadono per brevi tratti vicino alla superficie della Terra, si uovono verso il basso con un accelerazione costante. Coe si giunse a questa scoperta, e coe oggi ne interpretiao il significato, costituisce il tea fondaentale della prossia lezione Distanza percorsa e area Torniao all'auto della figura 5.4. Notiao un fatto interessante: la distanza percorsa nei 10 s che abbiao preso in considerazione non è altro che l'area copresa tra il grafico della velocità e l'asse delle ascisse, coe si può osservare in fig.5.5: fig 5.5 La distanza percorsa è l'area del triangolo arancione Vedreo più avanti che si tratta di un fatto del tutto generale. Quale che sia la fora del grafico tepo - velocità, la distanza percorsa in un certo intervallo di tepo coincide sepre con l'area copresa tra l'asse delle ascisse e il grafico della velocità, liitataente all'intervallo che prendiao in considerazione.