PRINCIPIO DI INDUZIONE. k =. 2. k 2 n(n + 1)(2n + 1) 6

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1 PRINCIPIO DI INDUZIONE LORENZO BRASCO Esercizio. Diostrare che per ogni n si ha nn. 2 Esercizio 2. Diostrare che per ogni n si ha 2 2 nn 2n. Soluzione Procediao per induzione: la 2 è ovviaente vera per n, coe è facile convincersi. Supponiao adesso che la 2 sia vera per un qualche naturale ipotesi induttiva: è vero che questo iplica la validità di 2 anche per il naturale successivo? Se la risposta è sì abbiao finito, grazie al principio di induzione. Abbiao quindi e sfruttando l ipotesi induttiva, sappiao dire esplicitaente chi è la soatoria a seconda ebro, ovvero , dopo di che basta svolgere un po di seplici passaggi algebrici, per ottenere che [ 2 ] , ovvero la 2 è vera anche per e quindi possiao concludere. Esercizio 3. Diostrare che per ogni n si ha 2 nn

2 2 LORENZO BRASCO Osservazione. Più in generale, per ogni n N ed i N, definiao N i n i, ovvero N i n è la soa delle potenze i esie dei prii n nueri: in particolare, negli esercizi precedenti abbiao trovato la fora esplicita per N i n quando i, 2, 3. Si può provare la seguente forula ricorsiva per N i n: 4 N i n i n i i i N n. i Infatti coinciao osservando che, usando il cabio di indice j e la forula del Binoio di Newton si veda Esercizio 7, si ottiene n n i i N i n j i j, 0 j0 0 j0 0 ovvero scabiando le soatorie nella precedente, si ha i i i N i n n j i N n j0 0 N i n i N i n i 2 0 i N n. Osserviao adesso che N i n N i n n i per definizione, quindi la relazione precedente può anche essere riscritta, portando N i n e la soatoria a prio ebro e dividendo per i, coe N i n i ni i 2 i N n, i ovvero, visto che la precedente vale per ogni i e per ogni n, sostituendo i con i e n con n si ottiene la 4. Esercizio 4. Diostrare che per ogni n, il nuero n 3 5 n è divisibile per. Soluzione Conviene coe sepre appellarci al principio di induzione: la tesi è ovviaente vera per n, dal oento che in tal caso il nuero in questione è 0 3 5, che è chiaraente divisibile per. Supponiao adesso che per un certo naturale, il nuero n sia divisibile per ipotesi induttiva, vogliao che lo stesso succeda anche per il naturale successivo, ovvero vogliao provare che 3 5 è anch esso divisibile per. D altronde si ha 3 5 n 3 0 3n [n ] [3 ], Notare che i due indici j e sono indipendenti.

3 PRINCIPIO DI INDUZIONE 3 e quest ultia è la soa di tre nueri, tutti divisibili per : il prio n lo è per ipotesi induttiva, il terzo è, entre il secondo 3 è divisibile per in quanto triplo prodotto del nuero pari 2. In conclusione, anche 3 5 è divisibile per. Esercizio 5. Diostrare che per ogni n, il nuero 0 n è divisibile per 9. Soluzione Procediao per induzione: coe sepre, il prio passo è verificare che la nostra afferazione sia vera per il prio naturale per cui viene forulata, ovvero in questo caso per n. D altronde in tal caso il nuero in questione è 0 9, che è divisibile per 9. Adesso, doandiaoci cosa succede se assuiao che la nostra afferazione sia vera per un certo naturale N, ovvero assuiao di sapere che 0 sia divisibile per 9 ipotesi induttiva: lo stesso varrà per anche per 0? In effetti si ha , ovvero 0 è la soa di due nueri divisibili per 9 e quindi è anch esso divisibile per 9. Per il principio di induzione, ne concludiao che l afferazione di partenza è vera per ogni n. Esercizio. Diostrare che per ogni n N ed ogni n, si ha n n n. Soluzione È sufficiente scrivere esplicitaente i binoiali a prio ebro e svolgere qualche calcolo, infatti si ha n n che è esattaente ciò che volevao provare. n!!n! n!!n! n!n n! n!n!n!!n n n! n!n, Esercizio 7 Binoio di Newton. Siano x, y R due nueri positivi. Diostrare che per ogni n si ha n 5 x y n x y n 0 Soluzione Procediao usando il principio di induzione: la verifica che 5 è vera per n è iediata. Supponiao adesso di sapere che 5 sia vera per un certo N, vorreo diostrare che allora essa è vera anche per il successivo naturale, ovvero per : osserviao innanzitutto che vale ovviaente x y x y x y, 2 Si provi che per ogni n N, nn è un nuero pari.

4 4 LORENZO BRASCO dopo di che applichiao l ipotesi induttiva ovvero il fatto che stiao supponendo 5 vera per, ottenendo quindi x y x y x y 0 x x y y x y 0 0 x y x y. 0 0 A questo punto, riscriviao la pria soatoria cabiando il noe dell indice di soa e ponendo h, così da ottenere n 0 x y x h y h, h in odo che abbiao ottenuto x y 0 h 0 x y 0 [ x y x y ] x y, ovvero, utilizzando l identità diostrata nell esercizio precedente x y x y x y 0 x y, 0 quindi la 5 è vera anche per. Per il principio di induzione, essa è vera per ogni n. Esercizio 8. Diostrare che per ogni n N si ha 2 n n!. Soluzione La proposizione è chiaraente vera per n 0, ricordandosi che 0! per definizione. Supponiao adesso che sia vera per un certo N, ostriao coe questo iplichi che debba essere vera anche per il naturale successivo. Si ha infatti per ipotesi induttiva !, e d altronde 2, appena, quindi abbiao provato concludendo così la diostrazione. 2!, Esercizio 9. Diostrare che per ogni n, si ha 7 2 n n! n n.

5 PRINCIPIO DI INDUZIONE 5 Soluzione Di nuovo, usereo il principio di induzione: partiao intanto col verificare che 7 è vera per n, infatti si ha 2!, con seplici calcoli 3. Supponiao adesso che 7 sia vera per un certo N, vogliao provare che lo stesso possiao dire per il naturale successivo. Osserviao che si ha, sfruttando l ipotesi induttiva 2! 2 2! 2 n 0, quindi se riusciao a diostrare che la quantità a secondo ebro può essere stiata coe segue 8 2 n 0, abbiao concluso, perchè avreo diostrato proprio che 7 è vera anche per. Il problea quindi si è ridotto a diostrare la validità di 8, a d altronde si vede subito che essa è equivalente a diostrare che 2, la quale è una conseguenza inediata della forula del Binoio di Newton diostrata in precedenza, infatti n 0 n 2, 0 concludendo così la diostrazione. 0 Esercizio 0. Diostrare che per ogni n N, si ha 9 n n 3 n n!. Soluzione Usiao il principio di induzione: la verifica che 9 è vera per n 0 è iediata. Vediao adesso cosa succede se supponiao che 9 sia vera per un certo N: se grazie a questo riusciao a provare la validità di 9 anche per il successivo naturale, abbiao finito. Coe pria, osserviao che grazie all ipotesi induttiva possiao dire Supponiao per un attio di saper provare che 2 3! 3 3! 3 n n 0, di nuovo questo ci peretterebbe di provare che 9 è valida anche per e quindi di concludere. Resta quindi da provare che effettivaente vale la 0: con qualche passaggio algebrico, non è difficile vedere che questa è equivalente alla seguente 3, 3 Non volendo sforzarsi con calcoli troppo lunghi o non volendo usare la calcolatrice, non è difficile convincersi che 2! e quest ultia è ovviaente vera.

6 LORENZO BRASCO che cerchereo adesso di diostrare. Usando nuovaente la forula del Binoio di Newton n n 2 0! !!! ! n ! 2 2 2, dopo di che osserviao che usando la, abbiao! 2, ovvero riprendendo da dove eravao riasti 2 concludendo così la diostrazione. 2 0 h0! 2 h 2 h 2 2 h 2 3, Osservazione 2. Si osservi che nella risoluzione degli ultii due esercizi, abbiao diostrato 2 n n 3, per ogni n. n 0

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