CHAPTER 1 CINEMATICA Moto Rettilineo

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1 ESERCIZI DI FISICA

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3 CHAPTER 1 CINEMATICA 1.1. Moto Rettilineo Velocità media: vettoriale e calare. Exercie 1. Carl Lewi ha coro i 100m piani in circa 10, e Bill Rodger ha vinto la maratona (circa 4km) in circa h 10 m. (a) Quali furono le loro velocità medie? (b) Se Lewi avee mantenuto il uo ritmo per un intera maratona, quale tempo record avrebbe regitrato? Cao: (a): v L = 100m 10 = 10m/; traformiamo il tempo in econdi, per cui h 10 m = = 7800; pertanto v R = 4000m 7800 = 5.4 m/. Cao: (b): dalla formula invera della velocità media i ha t = pazio velocità = 4000m 10 m = 400 = 1 h 10 m. Exercie. Per un violento tarnuto gli occhi poono chiuderi per la durata di Se i ta guidando un auto a 90km/h, quanta trada i percorre in quel tempo? Soluzione: la velocità va coniderata cotante v = 90km/h = = 5m/; in tal cao = v t = 5 m 0.5 = 1.5m Exercie 3. Un batter d occhio dura circa 100 m. Per quanto pazio vola un caccia MIG-5, alla velocità di 3400km/h, durante un battito di ciglio del pilota? Soluzione: come per l eercizio precedente v = 3400km/h = = 944m/. Quindi = v t = m = 94m Exercie 4. Un lanciatore di baeball lancia normalmente la palla a una velocità orizzontale di 160 km/h. Quanto tempo impiega la palla a raggiungere la bae ditante 18.4m? Soluzione: anche qui dobbiamo utilizzare unità di miura omogenee. v = 160km/h = = 44.4m/. i ua in queto cao la formula invera. t = v = 18.4m 44.4m/ = Exercie 5. Quando il limite di velocità nello tato di New York fu aumentato da 88.5 a 105km/h, quanto tempo fu riparmiato da un automobilita che percorreva a quella velocità la ditanza di 700 km? Soluzione: upponendo empre le due velocità cotanti, la differenza nei tempi i può eprimere come ( ) ( ) t 1 t = 1v1 1 1 = 700km = 1.4h = 1 h 14 m v 88.5 km h km h Exercie 6. Un automobile viaggia u un rettilineo per 40 km a 30 km/h. Proegue poi nella tea direzione per altri 40km a 60km/h. (a) Qual è la velocità vettoriale media del veicolo u queto percoro di 80km? (nel vero poitivo delle x) (b) E la velocità calare media? (c) Tracciare la curva che eprime x in funzione di t indicando come i determina ul grafico la velocità media. = 80km h Cao: (a): v m = x x 1 t t 1 = 40 km h Cao: (b): dobbiamo prima calcolare il tempo totale di percorrenza, con moto a velocità cotante. t 1 = ditanza velocità = 40km 30km/h = ( ) 3 h; t = 40km 60km/h = 3h; ommando i tempi dei due tratti, i ottiene t = ( ) = h. Si può pertanto calcolare la velocità media: vm = ditanzatotale t = 80km h = 40 km h 3

4 1.1. MOTO RETTILINEO 4 Exercie 7. Calcolare la velocità media di un atleta per queti due cai: (a) marcia per 80m a 1.m/ e poi cora per altri 80m a 3m/ u una pita rettilinea e (b) marcia per 1min a 1.m/ e cora per 1m a 3m/, empre in rettilineo. Cao: (a): la velocità media è eprea dal rapporto tra lo pazio totale percoro e il tempo impiegato. È neceario conocere i tempi di percorrenza. t 1 tratto = ditanza velocità = 80m 1. m = 66.6; t tratto = 80m 3 m = 6.6; i ha quindi t totale = = 93.. Si può ora calcolare la velocità media, apendo che d totale = 160m, v media = 160m 93. = 1.7 m. Cao: (b): nel econdo cao ono noti i tempi di percorrenza e le velocità; è neceario trovare la ditanza totale percora. 1 tratto = v t = 1. m 60 = 7m; tratto = v t = 3 m 60 = 180m; i ha quindi d totale = = 5m. Si può ora calcolare la velocità media, apendo che il tempo totale è di min = 10: v media = 5m 10 =.1 m. Exercie 8. Un auto ale una collina alla velocità cotante di 40km/h e ridicende dalla tea trada a 60km/h. Calcolare le velocità medie compleive (calari e vettoriali) per andata e ritorno. Soluzione: velocità media vettoriale: v media = x x 1 t rapporto tra lo potamento x che i effettua in un intervallo t e l intervallo di tempo teo. In queto cao, poiché l auto ritorna, percorrendo la tea trada, al punto di partenza, i ha x = x 1 e ciò implica x = 0 e quindi v media = 0 velocità calare media: la ditanza totale percora è il doppio della trada in alita o in dicea, quindi totale = d. I tempi di percorrenza i poono calcolare in funzione della ditanza d: t alita = d km, 40 km h t dicea = d km. La velocità media arà: 60 km h v media = ditanzatotale tempo = d km ( d d ) kmh = d km 3d+d 10 km h = d km 5d 10 km h = 5 10 km h = 48 km h Exercie 9. Un autobu di linea viaggia da Torino a Mantova, per metà tempo a 56km/h e per il tempo retante a 89km/h. Al ritorno percorre metà della ditanza a 56km/h e il reto a 89km/h. Qual è la ua velocità calare media (a) all andata, (b) al ritorno e (c) per l intero percoro? (d) Qual è la velocità vettoriale media compleiva? Cao: (a): il tempo di percorrenza è divio in due parti uguali t totale = t 1 + t = t 1, da ciò egue che t 1 = t totale. Poiamo eprimere la ditanza totale in funzione del tempo t 1. 1 = 56t 1 = 89t 1 tot = 1 + = 145t 1 la velocità media calare è empre v media = ditanzatotale tempo, per cui v media = 145t 1 = 7.5 km t 1 h Cao: (b): al ritorno vi è uguaglianza nelle ditanze percore nei due tratti e non più nei loro tempi di percorrenza, cioè 1 =. Si ha quindi i ha quindi t 1 = 1 56 t = 1 89 t 1 +t = v m = 1 = 69 km h Cao: (c): la velocità media compleiva è data dal rapporto tra la ditanza compleiva percora e il tempo impiegato a percorrerla. Quet ultimo è eprimibile come da cui : t andata = 7.5 t ritorno = t a r = t ritorno = = t ritorno = v totale m = = 71 km 141 h Cao: (d): eendo ancora il punto il partenza coincidente con quello di arrivo, lo potamento totale è nullo e nulla arà pure la velocità vettoriale totale media.

5 1.1. MOTO RETTILINEO 5 Exercie 10. La poizione di un oggetto che i muove in linea retta è data dall epreione x = 3t 4t +t 3, ove x è in metri e t in econdi. (a) Qual è la ua poizione per t = 1,,3,4? (b) Qual è lo potamento dell oggetto nell intervallo di tempo tra t = 0 e t = 4? (c) Qual è la velocità media nell intervallo tra t = e t = 4? Cao: (a): la legge oraria del moto è decritta dalla funzione x = f (t) e quindi per calcolare la poizione nei tempi indicati, otituico tali valori alla variabile t e calcolo il valore del polinomio: x(1) = = 0m x(3) = = 0m x() = = m x(4) = = 1m Cao: (b): per calcolare lo potamento vettoriale i deve tenere conto delle poizioni iniziale e finale, per cui x = 1m 0m = 1m Cao: (c ): la velocità media è data da v media = 1 ( )m 4 = 7 m. Exercie 11. La poizione di una particella che i muove lungo l ae x è data in cm dalla relazione x = t 3, ove t è in econdi. Coniderando l intervallo tra t =.00 e t = 3.00, calcolare (a) la velocità media, (b) la velocità itantanea per t =.00 e (c) per t = 3.00, (d) la velocità itantanea per t =.50 ed (e) quando la particella i trova a metà trada tra le ue poizioni per t =.00 e per t = Cao: (a): calcoliamo la ditanza percora dopo ec: x() = = 1.75m e dopo 3ec: x(3) = = 50.5m. La velocità media è quindi: 50,5cm 1.75cm v m = = 8.5 cm 3 Cao: (b): per ottenere la velocità itantanea, otituiamo i valori del tempo nella formula della derivata prima della legge oraria. La derivata prima è v = 4.50t : v it () = 4.50 = 18 cm Cao: (c): v it (3) = = 40.5 cm Cao: (d): v it (.50) = = 8.1 cm Cao: (e): Quando la particella i trova a metà trada è a = 36cm. Se, quindi, x = 36cm, otituendolo nella legge oraria, i ha: da cui i ottiene il valore di t 3.6 = t t = 3 = la velocità itantanea a t =.6, arà v it (.6) = = 30.3 cm Exercie 1. Un aereo a reazione di altiime pretazioni, in un eercizio per eludere i radar, è in volo orizzontale a 35m dal uolo u un terreno piano. Improvviamente arriva in un luogo dove il terreno inizia a alire con pendenza di 4,3, aai difficilmente riconocibile a vita, come indicato in figura. Di quanto tempo dipone il pilota per correggere l aetto dell aereo per evitare l impatto col terreno? La ua velocità è di 1300 km/h. Soluzione: per riolvere queto problema i deve ricorrere alle relazioni trigonometriche; in particolare, chematizzando come in figura, il triangolo ABC rappreenta il rialzo del terreno, il egmento AB = 35 m la ditanza dell aereo dal uolo; il tratto BC il percoro che l aereo può compiere prima di urtare il uolo. Si ha quindi BC = 35m tan4.3 = 465.5m il pilota non deve uperare queta ditanza; il tempo di reazione è legato anche alla velocità t = 465.5m ,6 m = 1.3

6 1.1. MOTO RETTILINEO 6 Exercie 13. Due treni, che viaggiano alla tea velocità di 30 km/h, ono diretti uno contro l altro u uno teo binario rettilineo. Un uccello che vola a 60 km/h decolla dalla teta di un treno quando i trovano alla ditanza di 60 km dirigendoi vero l altro treno. Appena lo ha raggiunto, inverte la rotta fino a ritornare ul primo treno, e coì di eguito. (a) quanti viaggi può fare l uccello da un treno all altro prima che i due treni i contrino frontalmente? (b) qual è la ditanza totale percora dall uccello? Cao: (a): calcoliamo via via i vari tratti che l uccello percorre. Treno e volatile i muovono di moto rettilineo uniforme nello teo vero e per completare i 60km i avrà: 60km = 60 km h t +30 km h t; da ciò i ricava che t = 3h. In un tale tempo i due treni percorrono entrambi 0km. La ditanza che li epara, quando l uccello inverte il proprio volo, arà 60km 40km = 0km. In queto econdo tratto, ripetendo il ragionamento, i avrà 0km = 90 km 0 h t, con t = 3 h; i due treni i avvicineranno di altri km. La nuova ditanza che li epara è ora di 0km 3 = 0 3 km. Tale proceo di avvicinamento, dal punto di vita matematico, proegue all infinito (i numeri coinvolti ono divenuti pure periodici) Cao: (b): la omma di quete ditanze ucceive arà i d i = 60km Velocità itantanea: vettoriale e calare. Exercie 14. (a) e la poizione di una particella è data da x = 4 1t +3t (t in econdi e x in metri), qual è la ua velocità per t = 1? (b) In quell itante i ta potando nel eno delle x crecenti o decrecenti? (c) Qual è la ua velocità itantanea? (d) in momenti ucceivi la velocità è maggiore o minore? (e) C è un itante in cui la velocità è nulla? ( f ) Dopo il tempo t = 3 potrà accadere che la particella i muova vero initra ull ae delle x? Cao: (a): per ottenere la legge delle velocità, i deve derivare la legge oraria: dopo un econdo avremo v = dx dt = 1 + 6t v(1) = = 6 m Cao: (b): per valutare lo potamento, calcoliamo la poizione iniziale e dopo 1 : x(0) = 4m x(1) = = 5m lo potamento è quindi vero le x decrecenti Cao: (c): la velocità itantanea calare v = 6 m Cao: (d): la legge delle velocità è eprea da una relazione lineare; la ua forma grafica è quella di una retta crecente; in particolare dai valori negativi. Cao: (e): la velocità diviene nulla quando 1 + 6t = 0 cioè per t =. Cao: ( f ): è neceario avere informazioni ulle poizioni e le velocità; in particolare x(3) = = 16m v(3) = = 6 m per t > 3 e v > 3 i due valori i mantengono poitivi e pertanto la particella i pota vero detra. Exercie 15. Il grafico della figura rappreenta un armadillo che i muove a balzi a initra e a detra lungo un ae x. (a) Indica in quali intervalli di tempo i troverà (e i troverà) a initra dell origine ull ae x. Dire anche e e quando la ua velocità arà (b) negativa, (c) poitiva o (d) nulla.

7 1.1. MOTO RETTILINEO 7 Soluzione: intervallo 0 < t < : il tratto di curva è decrecente con valori dell ordinata decrecenti al crecere del tempo: i pota vero initra; i coefficienti angolari delle rette tangenti nei vari punti (le derivate prime nel punto e quindi le velocità itantanee) ono negativi: la velocità è negativa. intervallo < t < 3: la curva è empre decrecente e i coefficienti angolari empre negativi: i pota vero initra con velocità negativa. intervallo 3 < x < 7: la curva diviene crecente con coefficienti angolari poitivi: lo potamento è vero detra con velocità poitive. per t = 3 i ha una velocità nulla; nel punto di acia 3, infatti, la curva inverte il proprio andamento e in eo la tangente alla curva diviene parallela all ae orizzontale, quindi con coefficiente angolare nullo e, dal punto di vita fiica, velocità itantanea nulla. Exercie 16. Che ditanza copre in 16 il velocita di cui la figura motra il grafico velocità-tempo? Soluzione: La ditanza percora può emplicemente eere calcolata, determinando l area ottea dalla poligonale che decrive il moto del corpo. In queto cao, ad eempio, l area (colorata in giallo) può eere calcolata uddividendola in due trapezi e un rettangolo: A 1 = (10 + 8) 8 m = 7m A = (8+4) m = 1m A 3 = 4m 4 m = 16m A tot = = 100m Accelerazione. Exercie 17. Una particella paa in.4 dalla velocità di 18m/ a una velocità di 30m/ in direzione oppota. Qual è tato il modulo dell accelerazione media della particella in queto intervallo di.4? Soluzione: applichiamo la definizione di accelerazione media: a m = v v 1 t t 1 = 30 m 18 m.4 = 0 m Exercie 18. La figura rappreenta la funzione x(t) di una particella in moto rettilineo. (a) Per ciacun intervallo AB, BC,CD, DE dite e la velocità v e e l accelerazione a ono poitive, negative o nulle. (Tracurate i valori agli etremi degli intervalli). (b) Oervando la curva, potete indicare qualche intervallo in cui è evidente che l accelerazione non è cotante? (c) Se gli ai ono tralati vero l alto, in modo che l ae dei tempi coincida con la linea tratteggiata, cambia qualcoa delle ripote? Cao: (a): Tratto AB: v > 0 (crecente e coefficiente angolare rette tangenti poitivo); i può coniderare rettilineo per cui a = 0 Tratto BC: come nel cao precedente Tratto CD: è parallelo all ae del tempo per cui v = 0 (al paare del tempo non i alcuno potamento) e a maggior ragione a = 0 Tratto DE: curva decrecente e coefficiente angolare delle rette tangenti negativo, per cui v < 0 ma a > 0

8 1.1. MOTO RETTILINEO 8 Cao: (b): l accelerazione riulta non cotante nel tratto DE dove l andamento non motra le caratteritiche delle curve lineari o quadratiche Cao: (c): Tralando l ae dei tempi fino a farlo coincidere con la linea tratteggiata, i ha la ola variazione della poizione, ottenibile lungo l ae delle ordinate. Exercie 19. Una particella i muove nella direzione dell ae x econdo l equazione x = 50t + 10t, ove x è in metri e t in econdi. Calcolare (a) la velocità vettoriale media della particella durante i primi 3.0, (b) la velocità itantanea e (c) l accelerazione itantanea per t = 3.0. (d) Tracciare la curva x(t) indicando come i può ottenere graficamente la ripota al punto (a). (e) Tracciare la curva v(t) indicando come i può ottenere graficamente la ripota al punto (c). Cao: (a): velocità vettoriale media. x(0) = 0 e x(3) = = 40m. Si ha quindi v = t = = 80 m Cao: (b): velocità itantanea: per calcolare la funzione v(t), dobbiamo derivare la legge oraria: v(t) = t v(3) = = 110 m Cao: (c): accelerazione itantanea: per calcolare la funzione a(t), dobbiamo derivare la legge delle velocità: a(t) = 0 da tale relazione i vede che l accelerazione rimane cotante durante il moto e vale a(3) = 0 m Cao: (d): la legge oraria è una funzione quadratica e la ua rappreentazione grafica è una parabola paante per l origine, non eendoci il termine noto. La linea verde rappreenta la retta per il calcolo della velocità media Cao: (e): la legge delle velocità è una funzione lineare che i rappreenta mediante una retta

9 1.1. MOTO RETTILINEO 9 Exercie 0. (a) Se la poizione di una particella è data dalla funzione x = 0t 50t 3, ove x è epreo in metri e t in econdi, dire e, e quando, la velocità è nulla. (b) Quando è nulla l accelerazione? (c) Quando è negativa, quando poitiva? (d) Tracciare le curve x(t), v(t), a(t) della particella. Cao: (a): ricavo la legge delle velocità, calcolando la derivata prima della legge oraria. v(t) = 0 15t 4 = 0 t = 3 1. coniderando olo la oluzione poitiva dell equazione di econdo grado. Cao: (b): ricavo l accelerazione in funzione del tempo, empre calcolando la derivata prima della legge delle velocità: a(t) = 30t = 0 t = 0 Cao: (c): dall equazione precedente, a(t) = 30t, i ottiene a > 0 per t < 0 e a < 0 per t > 0 Cao: (d): curva x(t): polinomiale di terzo grado curva v(t): polinomiale di econdo grado, parabola curva a(t): funzione lineare, retta Exercie 1. Una perona ta ferma da t = 0min a t = 5.00min; da t = 5.00min a t = 10.0min cammina di buon pao alla velocità cotante di.0 m/ in linea retta. Qual è la ua velocità media e l accelerazione media nei eguenti intervalli di tempo: (a) da t =.00min a t = 8.00min e (b) da t = 3.00min a t = 9.00min?

10 1.1. MOTO RETTILINEO 10 Cao: (a): calcoliamo le ditanze percore nel econdo tratto, per una durata di 3 min: 1 = vt =.0 m 180 = 396m per calcolare la velocità media facciamo il rapporto tra lo pazio percoro ed il tempo impiegato, e per l accelerazione media il rapporto tra la variazione della velocità e del tempo v m ( 8) = a m ( 8) = 396m 6 60 = 1.1 m.0 0 m 360 = m Cao: (b): come prima, calcolando ancora lo pazio percoro nel tratto in movimento: =.0 m (9 5) 60 = 58m v m (3 9) = a m ( 8) = 58m 6 60 = 1.5 m.0 0 m 360 = m Exercie. Se la poizione di un oggetto è data dalla funzione x =.0t 3, dove x è in metri e t in econdi, trovare i valori di (a) velocità media e (b) accelerazione media fra t = 1.0 e t =.0. Indi (c) la velocità itantanea e (d) l accelerazione itantanea per t = 1.0 e per t =.0. Calcoliamo le poizioni dell oggetto dopo 1: x(1) =.0m e dopo : x() =.0 8 = 16.0m. Cao: (a): la velocità media è 16 m v m = 1 = 14 m calcoliamo ora la velocità nei tempi indicati, per ottenere il valore dell accelerazione. Calcoliamo la derivata della legge oraria: v = 6.0t v(1) = 6.0 m v() = 4.0 m Cao: (b): l accelerazione media è a m = m = 18 m 1 Cao: (c): le velocità itantanee ono quelle calcolate in precedenza dalla legge delle velocità v(1) = 6.0 m v() = 4.0 m Cao: (d): per calcolare le accelerazioni itantanee, deriviamo la legge delle velocità a = 1.0t da ciò deriva che a(1) = 1.0 m a() = 4.0 m Exercie 3. In un videogioco, un punto i muove attravero lo chermo econdo la legge x = 9.00t 0.750t 3, ove x è la ditanza in cm miurata dal bordo initro dello chermo e t è il tempo in econdi. Quando il punto raggiunge un bordo dello chermo, ia per x = 0 che per x = 15.0cm, t è rimeo a zero e il punto riparte econdo la x(t). (a) quanto tempo dopo la partenza il punto va itantaneamente a ripoo? (b) Dove accade? (c) Qual è la ua accelerazione in queto itante? (d) In quale direzione i ta potando ubito prima dell arreto? (e) E ubito dopo? ( f ) Quando raggiunge la prima volta un bordo dello chermo dopo t = 0? Cao: (a): il punto è a ripoo quando la ua velocità è nulla. Calcoliamo la legge delle velocità, mediante la derivata prima della legge oraria, e uguagliamola a zero: v(t) = t = 0 t = 4 t = Cao: (b): calcoliamo la poizione del punto dopo : x() = = 1cm

11 1.1. MOTO RETTILINEO 11 Cao: (c): calcoliamo prima la legge delle accelerazioni, derivando la legge delle velocità: da cui a(t) = 4.50t a() = 9 m Cao: (d): per t < i ha x > 0 e v > 0, il punto i pota vero detra Cao: (e): per t > i ha x > 0 e v < 0; il punto i pota quindi vero initra Cao: ( f ): calcoliamo, dalla legge oraria, i valori per i quali x = t 3 4 t3 = 0 t ( t) = 0 t = 0 t = 3 = 3.46 poiamo analizzare anche il moto del punto riolvendo le diequazioni x > 0 t > 3 x < 0 0 < t < 3 v > 0 0 < t < v < 0 t > a < 0 t > 0 Exercie 4. La poizione di una particella che i muove lungo l ae x dipende dal tempo econdo l equazione x = et bt 3, ove x è dato in metri e t in econdi. (a) Quali dimenioni e unità di miura debbono avere e e b? D ora in poi poniamo che i loro valori numerici iano ripettivamente 3.0 e 1.0. (b) Per quale valore di t la x della particella raggiunge il maimo valore poitivo? (c) Quale ditanza copre nei primi 4.0? (d) Qual è il uo potamento nell intervallo da t = 0 a t = 4.0? (e) Qual è la ua velocità per t = 1.0,.0, 3.0, 4.0? ( f ) Qual è la ua accelerazione negli tei itanti? Cao: (a): la legge oraria è del tipo x = f (t); la dimenione della poizione x è la lunghezza e l unità di miura è il m; da ciò deriva che [e] = m e [b] = m 3 Cao: (b): introducendo i valori aegnati, la legge oraria diviene x = 3.0t 1.0t 3. Per determinare il valore di t corripondente a x max, tudiamo il egno della derivata prima 6t 3t > 0 t t > 0 t ( t) > 0 t > 0 t < i ha x max per t =, poiché per t > 0 la funzione è crecente, per divenire poi decrecente per t <. (i veda la figura) Cao: (c): è poibile ottenere la ripota calcolando l area ottea dalla curva della legge delle velocità: v = 6t 3t 0 t 4

12 1.1. MOTO RETTILINEO 1 in queto cao la curva è una parabola di vertice V (1;3) con concavità rivolta vero il bao e interecante l ae x per t = 0 e t = A = 0 ( 6t 3t ) 4 ( dt + 3t 6t ) dt = 3t t 3 0 3t +t 3 4 = 4m Cao: (d): calcoliamo le poizioni nei due tempi: x(0) = 0 x(4) = = 16m x = 16 0 = 16m Cao: (e): per calcolare le velocità itantanee, applichiamo la legge delle velocità v = 6t 3t, v(1) = 6 3 = 3 m v() = 1 1 = 0 m v(3) = 18 7 = 9 m v(4) = 4 48 = 4 m Cao: ( f ): per calcolare l accelerazione itantanea, applichiamo la legge delle accelerazioni a = 6 6t a(1) = 6 6 = 0 m a() = 6 1 = 6 m a(3) = 6 18 = 1 m a(4) = 6 4 = 18 m Accelerazione cotante. Exercie 5. La teta di un erpente a onagli, nel colpire una vittima, può accelerare a 50m/. Se un automobile potee fare altrettanto, quanto impiegherebbe a raggiungere la velocità di 100 km/h da ferma? Soluzione:: l accelerazione è cotante e la v i = 0, la v f = 100 km h relazione t = a v = 7.8 m 50 m = = 100 : 3.6 = 7.8 m ; per cui vale la Exercie 6. Un oggetto ha accelerazione cotante a = 3.m/. A un certo itante la ua velocità è v = +9.6m/. Qual è la ua velocità (a).5 prima e (b).5 dopo? Cao: (a): eendo i valori della velocità e dell accelerazione poitivi, poiamo upporre che la velocità precedente è inferiore, per cui v = v 0 at = = 1,6 m Cao: (b): come prima ma con velocità ucceiva maggiore, per cui v == v 0 + at = = 17,6 m Exercie 7. Un auto aumenta uniformemente la ua velocità da 5 a 55km/h in 0.50min. Un ciclita accelera uniformemente da fermo a 30 km/h in 0.50 min. Calcolare le ripettive accelerazioni. Soluzione: il moto è uniformemente accelerato e i può eprimere l accelerazione come a = v f v i t f t i, per cui (55 5) 3.6 m a auto = (30 0) 3.6 a ciclita = m = 0.8 m = 0.8 m

13 1.1. MOTO RETTILINEO 13 i due riultati ono uguali, perché la variazione di velocità nell intervallo di tempo uguale è la tea. Exercie 8. Supponiamo che un atronave a reazione i muova nello pazio con accelerazione cotante di 9.8m/, per dare agli atronauti l illuione di una gravità normale durante il viaggio. (a) Partendo da fermo, quanto tempo impiegherà per arrivare a una velocità uguale a un decimo di quella della luce, che viaggia a m? (b) quanta ditanza avrà percoro fino a quell itante? Cao: (a): dalla definizione di accelerazione, in un moto uniformemente accelerato, t = v a = m 9.8 m = Cao: (b): la legge oraria del moto uniformemente accelerato conente di ricavare la ditanza: = 1 at = ( ) = m Exercie 9. Un groo aereo a reazione per decollare deve raggiungere ulla pita la velocità di 360 km/h. Qual è la minima accelerazione cotante necearia per decollare da una pita di 1.80 km? Soluzione: applichiamo una delle relazioni del moto uniformemente accelerato nella quale non compare la grandezza tempo v f = v i + a(x x 0 ) eendo la v f = = 100 m, la v i = 0, e = 1800m, i ha da cui 10 4 m = 0 m m a = 104 m 3600 =.8 m Exercie 30. Un muone (particella elementare) entra alla velocità di m in un campo elettrico che lo rallenta con una decelerazione di m. Che ditanza percorre prima di fermari? Soluzione: poiamo utilizzare la tea relazione del precedente eercizio; in tal cao l incognita arà la ditanza: (x x 0 ) = v f v i a = 0 ( ) m ( ) = 0.10m m Exercie 31. Un elettrone entra con una velocità iniziale di m in una regione della lunghezza di 1cm nella quale è accelerato da un campo elettrico. Ne emerge con una velocità v = m. Qual era l accelerazione, uppota come cotante? Soluzione: problema analogo al da cui a = v f v i (x x 0 ) = v f = v i + a(x x 0 ) ( ) ( ) m 10 m = 1.60 m Exercie 3. Un auto può arretari (in condizioni favorevoli) viaggiando alla velocità di 100 km/h in 43 m. (a) Qual è il modulo dell accelerazione cotante in unità SI e in unità di g? (b) qual è il tempo di frenata? Se il tempo di reazione del pilota per azionare i freni è t = 400m, a quanti tempi di reazione corriponde?

14 1.1. MOTO RETTILINEO 14 Cao: (a): come opra, dopo aver effettuato la traformazione: 100 km h = 7.8 m eendo g = 9.81 m, i ha a = v f v i (x x 0 ) m 0 (7.8) = ( m ) = 8.97 a = 8.97 m 9.81 m = 0.91g g Cao: (b): per calcolare l intervallo di tempo utilizziamo la definizione di accelerazione cotante t f t i = v f v i a = 7.8 m 8.97 m = 3.1 8t reazione m Exercie 33. Il colonnello Stapp tabilì un record mondiale di velocità u pita guidando una litta a reazione alla velocità di 100 km/h. La litta e lui teo furono rallentati fino all arreto in 1.4. Quale accelerazione dovette opportare? eprimere la ripota in unità di g (accelerazione di caduta libera). Soluzione: la decelerazione è cotante e porta la velocità iniziale v i = 100 : 3.6 = 84.4m/ ad una velocità finale v f = 0, per cui a = v f v i t f t i = (84.4 0) m 1.4 = 03. m = 0.7g Exercie 34. Su una trada aciutta un auto può frenare enza fatica con una decelerazione di 4.9m/ (uppota cotante). (a) Quanto tempo impiegherà, da una velocità iniziale di 4.6 m/, per arretari completamente? (b) Quanta trada percorrerà in queto tempo? Cao: (a): da v i = 4.6 m a v f = 0 m, i avrà t = v f v i a = (0 4.6) m 4.9 m = 5 Cao: (b): applichiamo la legge oraria del moto uniformemente accelerato x x 0 = v i t + 1 at = ( 4.9) 5 = 61.5m Exercie 35. Per tudiare gli effetti fiiologici ugli eeri umani delle alte accelerazioni i ua una litta a reazione u una pita diritta in piano. Un veicolo di queto tipo può raggiungere da fermo una velocità di 1600 km/h in 1.8. (a) Eprimere in unità g il valore dell accelerazione uppota cotante. (b) Che ditanza è coperta nel tempo indicato? Cao: (a): la v i = 0 m e quella finale è v f = = m ; quindi a = v f v i t f t i = m 1.8 = 46.9 m = 5.g Cao: (b): dalla relazione v f = v i + a(x x 0) i ha x x 0 = v f v i a = (444.4 m ) 46.9 m = 400m Exercie 36. I freni di un auto ono in grado di realizzare una decelerazione di 5.1m/. Se i viaggia a 135km/h e i avvita un poto di controllo della polizia tradale, qual è il tempo minimo entro il quale i può riucire a portare la velocità al limite di 90km/h? Soluzione: traformare le velocità in unità SI: v i = = 37.5 m e v f = 5.0 m ; i quindi t = v f v i a = ( ) m 5.1 m =.45

15 1.1. MOTO RETTILINEO 15 Exercie 37. Una moto viaggia a 30 m/ quando comincia a frenare imprimendo un accelerazione negativa cotante. Durante l intervallo di 3.0 dall inizio della frenata, la velocità cende a 15 m/. Che ditanza ha percoro la moto in queto9 intervallo? Soluzione: calcolare il valore della decelerazione da qui i può ottenere la ditanza a = (15 30) m 3.0 = 5 m = v i t + 1 at = 30 m m 9.0 = 67.5m Exercie 38. Un auto da competizione può accelerare da zero a 60km/h in 5.4. (a) Qual è, in unità SI, la ua accelerazione media in queto intervallo di tempo? (b) E quale ditanza percorre, upponendo l accelerazione cotante? (c) quanto tempo occorrerebbe, mantenendo invariata l accelerazione, per arrivare a 0.5 km di ditanza? Cao: (a): eprimere la velocità nel SI: v f = 60 : 3.6 = m. i ha quindi Cao: (b): da v f = v i + a(x x 0) i ottiene a m = (16.7 0) m 5.4 = 3.1 m x x 0 = (16.7 0) m 3.1 m = 44.8m Cao: (c): coniderando la partenza da zero, i ha = 1at, da cui 50m t = 3.1 m = 1.7 Exercie 39. Un treno parte da fermo e i muove ad accelerazione cotante. A un certo itante ta viaggiando a 30m/, e dopo 160m è paato a 50m/. Calcolare (a) l accelerazione, (b) il tempo impiegato a percorrere quei 160m, (c) il tempo impiegato per arrivare a 30m/ e (d) la ditanza coperta dalla partenza al momento in cui ha raggiunto la velocità di 30m/. Cao: (a): eendo, in un moto uniformemente accelerato, v f = v i + a x i ottiene a = v f ( v i 50 x = 30 ) m = 5 m 160m Cao: (b): dalla definizione di accelerazione uniforme a = v f v i t f t i t = v f v i a = (50 30) m 5 m = 4 Cao: (c): in queto cao i deve coniderare la partenza da fermo e il tempo neceario per raggiungere una velocità di 30m/ t = (30 0) m 5 m = 6 Cao: (d): ancora conideriamo la partenza da fermo, per cui = 1 at = 1 5a = m 6 = 90m i ha Exercie 40. Un auto che viaggi a 56km/h è arrivata a 4.0m da una barriera quando il pilota frena a fondo. Dopo.00 urta la barriera. (a) Qual è tata la decelerazione cotante prima dell urto? (b) A che velocità i muove l auto al momento dell urto?

16 1.1. MOTO RETTILINEO 16 Cao: (a): l auto ha a dipoizione 4m per decelerare; la ua velocità è di v = 56 : 3.6 = 15.6m/; dal teto i può oervare che la velocità finale al termine dei 4 m non arà nulla. Calcoliamo la decelerazione dalla x x 0 = v o t + 1 at, a = (x x 0) v 0 t t = 4m 15.6 m.00 4 = 3.6 m Cao: (b): applichiamo la legge delle velocità v = v 0 + at, v = 15.6 m 3.6 m.00 = 8.4 m = 30. km h Exercie 41. Un automobile copre in 6.00, ad accelerazione cotante, il tratto compreo fra due punti poti a 60.0m di ditanza. La ua velocità, paando il econdo punto, è di 15.0m/. (a) Qual era la velocità al primo punto? (b) Qual è l accelerazione? (c) A quanti metri dal primo punto i trova la linea di partenza? Cao: (a): eendo l accelerazione cotante, poiamo utilizzare una delle relazioni del moto uniformemente accelerato; in particolare quella che non contiene il valore di a. Da x x 0 = (v 1+v )t i ottiene v 1 = (x x 0) v = 60.0m 15.0 m t 6.00 = 5.0 m Cao: (b): note le velocità finale e iniziale e l intervallo di tempo, bata applicare la definizione di accelerazione a = ( ) m = 1.7 m 6.00 Cao: (c): applichiamo la relazione nella quale non compare il tempo di percorrenza v 1 = v 0 +a(x x 0), dalla quale i ottiene, riolvendo ripetto alla ditanza x x 0 = v 1 v 0 a = (5.0 0) m 1.7 m = 7.3m Exercie 4. Due fermate della metropolitana ono ditanti 1100m. Se un convoglio accelera a +1.m/ da fermo nella prima metà del tragitto, e quindi decelera a 1.m/ nella econda metà, quali ono (a) il tempo impiegato e (b) la velocità maima? Cao: (a): con partenza da fermo,il primo tratto è lungo 550m coì come il econdo; dalla x x 0 = 1 at (x x i ottiene t = 0 ) a = 550m 1. m = Il tempo totale è pertanto t = 30.3 = Cao: (b): calcoliamo la velocità dalla v 1 = v 0 + a(x 1 x 0 ) = 0 m +,4 m 550m da cui v 1 = 130 m = 36.6 m Exercie 43. Un emaforo diviene improvviamente giallo. La velocità v 0 = 50km/h e la maima frenata poibile vale 5.0m/. Il miglior tempo di reazione per azionare i freni è T = Per evitare di oltrepaare il emaforo con il roo decidere e fermari o proeguire a velocità cotante nei due cai: (a) la ditanza fino alla linea di arreto è di 40m e la durata del giallo è di.8; (b) quete due quantità ono ripettivamente 3m e 1.8. Cao: (a): andando a 50km/h = 13.9m/ per fermarmi impiego 0 = 13.9 m 5t da cui t = 13.9 m 5 m =. m 78 per cui il tempo totale, comprenivo del tempo di reazione, è: t tot = = Con una accelerazione di 5 m mi fermo in 19.3m. Queta celta è quindi poibile. Se mantengo la velocità cotante di 13.9 m percorro 40m in t = 40m 13.9 m =.87. Poo quindi anche proeguire. Cao: (b): ripetendo gli tei calcoli con i valori di queto econdo cao i ottiene una impoibilità per entrambe le celte.

17 1.1. MOTO RETTILINEO 17 Exercie 44. Quando una vettura i arreta con la frenata più bruca poibile, lo pazio di arreto i può coniderare omma di una pazio di reazione, uguale alla velocità iniziale moltiplicata per il tempo di reazione del pilota, e di uno pazio di frenata, che è la ditanza percora durante la frenata. La tabella eguente fornice alcuni valori tipici: velocità iniziale ( m ) pazio di reazione (m) pazio di frenata (m) pazio di arreto (m) (a) Qual è il tempo di reazione aunto per il pilota? (b) Quale arebbe la ditanza di arreto della vettura per una velocità iniziale di 5 m? Cao: (a): traduciamo le indicazioni del teto: (x x 0 ) arreto = v 0 T reaz + (x x 0 ) f renata. Oervando la tabella (prima riga), i può ricavare v 0 T reaz = pazio reazione da cui T reaz = 7.5m 10 m = 0.75 Cao: (b): ricaviamo l accelerazione da v 1 = v 0 a(x x 0) utilizzando i dati ad eempio della econda riga, con v 1 = 0 v m a = = (x x 0 ) 10m = 10 m e la v 1 = 5 m allora la ditanza che i percorre è da cui 5 m = 10 m (x x 0) (x x 0 ) = 65 m 0 m = 31.5m Si può ora calcolare la ditanza di arreto, econdo la relazione introdotta nel cao 1: x arreto = = 50m Exercie 45. Se i tabilice che la maima accelerazione tollerabile dai paeggeri della metropolitana è 1.34m/, e le tazioni i trovano a 806m di ditanza l una dall altra, (a) qual è la maima velocità che un treno può raggiungere tra due tazioni? (b) qual è il tempo di percorrenza? (c) e il treno ota per 0 in ogni tazione, qual è la maima velocità media di un treno della metropolitana? Cao: (a): per determinare la velocità maima, upponiamo che nella prima metà del percoro vi ia la fae di accelerazione e nella econda metà quella di rallentamento, in modo da poter coniderare maima la velocità centrale. per ottenere tale velocità, non avendo informazioni ul tempo, uiamo la relazione v = v 0 + a(x x 0), da cui v max = 1.34 m 403m = 3,9 m = 118 km h Cao: (b): per calcolare il tempo, come detto opra, upponiamo che la prima metà percoro ia di moto accelerato con partenza da fermo, per cui 403m t 1 = 1.34 m = 4.5 dacui t tot = 49 Cao: (c): coniderando il tempo di ota indicato i ha la velocità media è pertanto t tot +t ota = = 69 v m = 806m 69 = 11.7 m

18 1.1. MOTO RETTILINEO 18 Exercie 46. La cabina di un acenore ha una cora totale di 190m. La ua velocità maima è di 300m/min. Sia l accelerazione ia la decelerazione hanno un valore aoluto di 1.0m/. (a) Quanti metri percorre l acenore durante l accelerazione da fermo alla velocità maima? (b) quanto tempo impiega per una cora completa enza fermate intermedie, dalla partenza da fermo all arreto completo? Cao: (a): anche qui, mancando informazioni relative al tempo, poiamo uare la relazione del moto uniformemente accelerato v = v 0 + a(x x 0) dove l incognita è rappreentata dalla ditanza x x 0 = v v 0 a = 5 m 1.0 m = 10.5m Cao: (b): eendo fino al raggiungimento della velocità maima, un cao di moto uniformemente accelerato con partenza da fermo i ha 1m t = a = 1.0 m = 4. Cao: (c): la lunghezza compleiva è di 190m, il tratto iniziale di moto accelerato e quello finale di moto decelerato ammonta a 1m; il tratto di moto rettilineo uniforme intermedio è quindi di = 169m. il tempo per percorrerlo va calcolato tramite appunto le leggi del moto rettilineo uniforme e cioè t = v = 169m 5 m = 33.8 il tempo compleivo di percorrenza (tratto accelerato, rettilineo uniforme e decelerato) arà pertanto t tot = = 4. Exercie 47. Nel momento in cui il emaforo volge al verde, un auto parte con accelerazione cotante a =. m. Nello teo itante un autocarro che opravviene alla velocità cotante di 9.5 m/ orpaa l auto. (a) a quale ditanza oltre il emaforo l auto orpaerà il camion? (b) che velocità avrà in quel momento? Cao: (a): poiamo affrontare queto problema attravero le equazioni delle leggi orarie che decrivono il moto dei due veicoli. L automobile i muoverà di moto uniformemente accelerato con partenza da fermo e la ua legge oraria arà: = 1 at ; il camion i muove di moto rettilineo uniforme la cui legge oraria i può crivere come = vt. Quando i incontrano arà t auto = t camion e auto = camion avendo entrambi come riferimento il emaforo. Poo riolvere ottenendo le oluzioni del itema { auto = 1 at auto camion = vt camion per quanto opra detto, i può applicare il metodo del confronto, riolvendo ripetto a t e ottenendo a v = 0 da cui i ottiene = 0, punto di partenza corripondente al emaforo, e = v a = ( ) 9.5 m. m = 8m Cao: (b): calcoliamo la velocità dell auto empre con le relazioni del moto accelerato v = v 0 + a(x x 0 ) v =. m 8m = 19 m Exercie 48. All ucita da una curva, il macchinita di un treno che ta viaggiando a 100 km/h = 7.8 m/ i accorge che una locomotiva è entrata erroneamente nel binario da una diramazione pota 0.4 km più avanti, come in figura. La locomotiva viaggia a 18 km/h. Il macchinita aziona immediatamente la frenatura rapida. (a) Quale deve eere il valore aoluto minimo dell accelerazione cotante imprea dal freno per evitare una colliione?

19 1.1. MOTO RETTILINEO 19 Soluzione: la legge oraria della locomotiva che i è inerita erroneamente è loc = loc 0 + v loc t, eendo identificabile come un moto rettilineo uniforme, dove 0 indica la ditanza tra la locomotiva e il treno, nel itema di riferimento del treno; la legge oraria del treno in frenata arà treno = v treno 0 t 1 at. Sotituendo i valori numerici i ha { loc = 5t + 40 treno = 7.8t 1 at affinché il treno non urti la locomotiva deve eere loc treno, quindi 5t t 1 at riolvendo 1ot t at at 45.6t = a a 0.6 m Exercie 49. Due treni, che viaggiano uno o 7km/h = 0m/ e l altro a 144km/h = 40m/, ono diretti l uno contro l altro u un binario rettilineo in piano. Quando i trovano a 950 m di ditanza, ciacun macchinita vede l altro treno e i affretta a frenare. Verificare e avviene lo contro qualora entrambi i treni rallentino con accelerazione, in modulo, di 1.0m/. Soluzione: calcoliamo le ditanze che percorrono i due treni prima di arretari, attravero le leggi orarie 1 = 0t 1 at = 40t 1 at appiamo che per evitare l urto , quindi volgendo i ha calcoliamo il dicriminante 0t 0.5t + 40t 0.5t 950 t 60t = < 0 ciò indica che non eitono tempi che oddifano tale condizione e quindi i due treni i urtano. Accelerazione nel moto di caduta libera. Exercie 50. In un cantiere una chiave inglee, laciata cadere inavvertitamente, arriva al uolo alla velocità di 4m/. (a) Da che altezza è caduta? (b) quanto tempo impiegato a cadere? Cao: (a): upponendo che la chiave inglee foe appoggiata e quindi avee velocità nulla, poiamo applicare la relazione v f = gh, dove h è la ditanza dal uolo. Si ha quindi h = v f g = 4 m 9.8 m = 9.4m Cao: (b): per determinare il tempo di caduta, eendo un moto uniformemente accelerato, i può applicare la relazione v f v i = a t, da cui t = 4 m 9.8 m =.45 Exercie 51. (a) Con quale velocità deve eere lanciata verticalmente una palla per arrivare ad un altezza maima di 50m? (b) Per quanto tempo rimarrà in aria? (c) Tracciare le curve indicative y(t), v(t), a(t). Cao: (a): Poiamo utilizzare la relazione v f = v 0 gh, dove il egno negativo indica il vero del moto oppoto all accelerazione di gravità; in tale cao la v f = 0, perché alendo la palla rallenta fino a raggiungere l altezza maima dove la velocità i annulla. Riolvendo ripetto a v 0 i ha v 0 = gh dacui v 0 = 9.81 m 50m = 31.3 m

20 1.1. MOTO RETTILINEO 0 Cao: (b): il tempo di volo può eere calcolato upponendo che una volta giunta all altezza maima, la palla ridicenda riacquitando la velocità che aveva all inizio. t alita = 31.3 m 9.81 m = 3. per cui t volo = 3. = 6.4 Cao: (c): il grafico y(t) è un grafico pazio tempo di un moto uniformemente decelerato: il grafico v(t) eprime la variazione lineare della velocità al paare del tempo il grafico a(t) è invece una retta parallela all ae delle acie. Exercie 5. Da una nuvola a 1700 m opra la uperficie terretre cadono gocce di pioggia. Se non foero rallentate dalla reitenza dell aria, a che velocità arriverebbero al uolo? Soluzione: i dati aegnati i rifericono alla velocità iniziale, che upponiamo nulla, alla ditanza da percorrere; non i hanno informazioni ul tempo di percorrenza. Riulta quindi naturale fare riferimento alla relazione v f = v i gh, da cui otituendo v f = 9.81 m 1700m = 18.6 m come i può notare è una velocità etremamente elevata, pari a oltre 600km/h. Exercie 53. In un cantiere i rompe l unico cavo che otiene un montacarichi vuoto fermo in cima a un edificio alto 10m. (a) A che velocità ca a battere al uolo? (b) per quanto tempo è caduto? (c) al paaggio a metà altezza qual era la ua velocità, e (d) da quanto tempo tava cadendo?

21 1.1. MOTO RETTILINEO 1 Cao: (a): il problema è identico a quello precedente, per cui v f = 9.81 m 10m = 48.5 m Cao: (b): per calcolare il tempo, utilizziamo la legge delle velocità del moto uniformemente accelerato, per cui t = v g = 48.5 m m = 4.95 Cao: (c): il calcolo della velocità a metà percoro è identico a quello per il percoro intero, eendo un moto di tipo uniformemente accelerato v 1 = 9.81 m 60m = 34.3 m Cao: (d): lo teo vale anche per il tempo impiegato t = v g = 34.3 m m = 3.5 Exercie 54. Una pietra viene cagliata in bao alla velocità di 1.0m/ dal tetto di un edificio poto a 30.0m dal uolo. (a) Quanto tempo impiega ad arrivare al uolo? (b) Qual è la ua velocità all impatto col terreno? Cao: (a): conociamo la velocità iniziale, la ditanza da percorrere e l accelerazione alla quale il corpo è oggetto e che va ad aumentare la velocità durante la dicea; rimane come incognita il tempo, per cui = v 0 t + 1 gt, otituendo i valori i ha 30m = 1.0 m t m t riolvendo l equazione di econdo grado in t, tracurando la radice negativa, i ha t 1, = 1 ± = Cao: (b): come per i cai precedenti la relazione che le grandezze aegnate nel teto è v f = v 0 + gh; (ono poibili altri metodi, come per eempio quello baato ull uo della definizione di accelerazione a = v f v i t ) in queto cao bata otituire i valori aegnati per ottenere v f = (1.0) m m 30m = 7 m Exercie 55. Da una torre alta 145m i lacia cadere nel vuoto una fera del diametro di 1m. (a) Per quanto tempo la fera rimane in caduta libera? (b) qual è la ua velocità quando tocca il fondo della torre? (c) quando colpice il fondo, mentre la ua velocità i annulla la fera ubice una decelerazione media pari a 5g. (d) Di quale ditanza i pota il baricentro durante la decelerazione? Cao: (a): la fera parte con velocità nulla per cui è poibile uare la relazione contenente la ditanza da percorrere, l accelerazione e con il tempo come incognita h = 1gt ; riolvendo ripetto a t i ha 145m t = 9.8 m = 5.44 Cao: (b): eendo la velocità iniziale nulla, la velocità finale può eere ottenuta da v f = gh v f = 9.8 m 145m = 53.3 m Cao: (c): nel cao di una fera la cui maa è ditribuita in modo uniforme, il baricentro è poto nel centro. Avendo la fera raggio 0.5m ea toccherà terra quando il uo baricentro diterà ancora 0.5m dal uolo. Conideriamo pertanto il moto di un punto, il baricentro, oggetto ad una decelerazione di 5g, la cui velocità iniziale è pari a 53.3 m e quella finale a 0 m. Avremo da cui 0 m m = m h h = = 5.8m

22 1.1. MOTO RETTILINEO Exercie 56. Si lacia cadere una pietra da un dirupo alto 100m. Quanto tempo impiega per cadere (a) per i primi 50m e (b) per i retanti 50m? Cao: (a): conideriamo nulla la velocità iniziale della pietra. Quindi h = 1 gt da cui h 50m t = g = 9.8 m = 3. Cao: (b): la relazione precedente non può più eere utilizzata nello tea forma, perché dopo aver percoro 50m, la pietra non h più una velocità nulla, ma pari a v = gh = 9.8 m 50m = 31.3 m. Al termine della caduta la velocità arà, ancora per la tea relazione, v = 9.8 m 100m = 44.3 m. Avendo calcolato la velocità a metà trada e quella finale, poiamo ottenere il tempo degli ultimi 50m con la relazione h = v 1 +v f t t = h v 1 + v f = 50m ( ) m = 1,3 come i può notare il tempo dei econdi 50m e più breve, perché eendo un moto uniformemente accelerato, la velocità crece linearmente con il tempo durante la caduta. Exercie 57. Un animale fa un alto vero l alto elevandoi in modo da paare all altezza di m dopo (a) Qual era la ua velocità iniziale? (b) Qual è la ua velocità a quella altezza dal uolo? (c) Quanto più in alto può arrivare? Cao: (a): anche e non viene eplicitato, dobbiamo upporre che il alto avvenga lungo la verticale al uolo; in queto cao l incognita è la velocità iniziale, noti ditanza e tempo e ovviamente accelerazione; i ha dunque h = v o t 1 gt (il egno negativo ta ad indicare che la velocità iniziale tende a diminuire otto l azione della gravità), per cui v 0 = h 1 gt t = 0.544m 4.9 m (0.00) 0.00 = 3.7 m Cao: (b): per calcolare la ua velocità utilizziamo la relazione che lega le velocità iniziale e finale con la ditanza percora v f = v 0 gh v f = 3.7 m 4.9 m 0.544m = 1.74 m Cao: (c): la domanda fa upporre che lo lancio dell animale conenta un alto più alto e che 0.544m ia una poizione intermedia; in queto calcoliamo oervando che, al raggiungimento della poizione maima, la velocità finale poeduta dall animale arà nulla; per cui applicando la tea relazione del cao precedente, con incognita l altezza h, i ha h = v 0 v f g = ( 3.7 m ) m = 0.698m (dove i calcola v 0 v f per tenere conto del egno negativo davanti all incognita h). Il valore di 0.698m rappreenta l altezza maima raggiungibile, per cui, ripetto alla poizione precedente a m dal uolo, l animale potrà percorrere nel alto ancora una ditanza pari a h = 0.698m 0.544m = 0.154m Exercie 58. Un oggetto cade in acqua da un altezza di 45 m. Cade direttamente in una barchetta in moto uniforme rettilineo che i trova a 1m dal punto di impatto al momento in cui l oggetto viene laciato cadere. Qual era la velocità della barca?

23 1.1. MOTO RETTILINEO 3 Soluzione: e i due oggetti vengono ad impattare, ignifica che il corpo in caduta (moto uniformemente accelerato) percorrerà in verticale i 45 m nello teo intervallo di tempo impiegato dalla barca a percorrere 1 m orizzontalmente con moto rettilineo uniforme. Calcolo pertanto il tempo di caduta e lo utilizzo per calcolare la velocità cotante con cui la barca percorre i 1m. Tempo per percorrere 45m con partenza da fermo: da h = 1 gt i ha, otituendo i valori numerici e riolvendo ripetto a t, t = 45m 9.8 m = Velocità della barca: e percorre 1m in 3.03, la ua velocità arà, v = 1m 3.03 = 4 m Exercie 59. Un razzo viene lanciato verticalmente e ale per 6.00 con accelerazione cotante di 4.00 m. Dopo queto tempo finice il carburante e proegue come un corpo in caduta libera. (a) Qual è la maima altezza raggiunta? (b) Quanto tempo impiega dal decollo all atterraggio? Cao: (a): calcoliamo prima la ditanza che il razzo percorre durante la fae di accelerazione; da (empre con v 0 = 0) h = 1 at, i ha h 1 = m ( 6.00 m ) = 7.00m dopo tale intervallo di tempo in cui il moto era accelerato, ha raggiunto la velocità v = at = 4.00 m 6.00 m = 4.00 m il razzo ha poi proeguito la ua cora con moto decelerato, otto l effetto dell accelerazione g, che ha ridotto la velocità di 4 m fino a zero. La ditanza percora in queto intervallo può eere coì ottenuta, v f = v i gh, da cui ( ) 4 m h = 9.8 m = 9.4m il tratto percoro in verticale arà quindi h tot = 7.00m + 9.4m = 101.4m Cao: (b): il tempo per percorrere i primi 7m è aegnato pari a t 1 = 6.00; calcoliamo il tempo impiegato a percorrere i 9.4m in moto decelerato, utilizzando la relazione h = 1 (v + v 0)t : t = 9.4m (4 + 0) m =.45 calcoliamo infine il tempo di ricaduta da un altezza compleiva di m mediante la conueta relazione t = hg, t 3 = 101.4m 9.8 m = 4.55 Da tutto ciò riulta che il tempo compleivo è la omma dei tre tempi relativi ai diveri comportamenti del razzo t tot = ( ) = Il moto compleivo è componibile, come vito, in tre moti: un primo tratto di moto accelerato vero l alto, fino all eaurimento del carburante; un econdo tratto, empre di alita, con moto però decelerato, e un terzo tratto di caduta con moto accelerato vero il bao. Exercie 60. Un giocatore di baket, fermo vicino al canetro, alta verticalmente fino ad un altezza di 76.0 cm. (a) Per quanto tempo il giocatore i trova nei 15cm uperiori del alto (tra 61.0cm e 76.0cm) e (b) per quanto tempo invece nei 15 cm inferiori? Cao: (a): è utile calcolare prima la velocità iniziale, quella cioè con cui viene piccato il alto, apendo che la velocità finale arà nulla (infatti il cetita dopo aver raggiunto l altezza maima, ricade). Tramite la olita relazione v f = v 0 gh i ha v 0 = gh = 9.8 m 0.76m = 3.86 m allo teo modo poiamo calcolare la velocità all altezza di 0.61 m: v 0.61m = 9.8 m 0.61m = 1.7 m

24 1.1. MOTO RETTILINEO 4 calcoliamo ora il tempo impiegato a percorrere in alto (verticale) i primi 0.61m e ad arrivare fino a 0.76 m: t 0.61 = v v 0 g = ( ) m 9.8 m = 0.18 t 0.76 = (3.86) m 9.8 m = l intervallo di tempo arà pertanto t = = coniderando che il cetita i trova tra quete due ditanze ia in fae di alita che di ricaduta, i avrà t volo = = 0.35 Cao: (b): poiamo velocizzare il calcolo, coniderando le caratteritiche del moto uniformemente accelerato. Calcoliamo ancora la velocità dopo 15 cm, apendo che la velocità iniziale è quella ottenuta in precedenza, cioè 3.86 m ( v 0.15 = v 0 gh = 3.86 m ) m m = 3.46 m il tempo compleivo di alita e immetrica ricaduta è t = ( ) m 9.8 m = 0.08 Exercie 61. È poibile eeguire una miurazione di g lanciando verticalmente vero l alto una fera di vetro nel vuoto all interno di una torre e laciandola poi ricadere. Se T 0 è l intervallo di tempo tra i due paaggi della fera a un livello inferiore e T 1 quello fra due paaggi a un livello uperiore, e pota H la ditanza tra i due livelli, dimotrare la eguente relazione che lega tali grandezze a g (fare riferimento alla figura) g = 8H T 0 T 1 Soluzione: la relazione pazio-tempo, motrata in figura, che caratterizza il moto è tipico di un moto uniformemente accelerato (forma parabolica) con velocità prima decrecente e poi crecente; di coneguenza, eendo la curva continua, i avrà un valore del tempo per il quale la velocità i annulla: tale valore è individuabile nel vertice della parabola. [Ricordiamo che la velocità itantanea può eere vita come il coefficiente angolare (pendenza) della retta tangente alla curva in quel punto e quindi nella prima metà tale valore è poitivo e decrecente, nella econda tale valore è negativo e crecente]. La legge oraria del moto aume in generale la forma = 0 + v 0 t 1 gt ; l equazione generale di una parabola è h = c + bt + at, ne riulta che il coefficiente di t vale 1g. Ricavo gli altri coefficienti dell equazione della parabola eprimendoli in funzione dei dati aegnati. Impongo il paaggio della parabola per i punti (t 1 ;H 1 ), (t 3 ;H ) e o che l acia del vertice vale t v = t +t 1 = t 4+t 3 eendo il punto medio dei egmenti T 0 e T 1. H 1 = at1 + bt 1 + c H = at3 + bt 3 + c a b = t +t 1 H 1 = at1 a(t +t 1 )t 1 + c H = at3 a(t +t 1 )t 3 + c b = a(t +t 1 )