Determinazione della quota sul livello del mare del monte Etna

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1 Deterinazione ella quota sul livello el are el onte Etna a.s. 998/999 classe 5 oorinatore: Prof.. Epainona Preessa Per ottenere una isura i tutto rispetto, ci siao avvalsi ella consulenza e ella collaborazione el ipartiento i Topografia ell Istituto Tecnico per Geoetri olajanni i iposto, soprattutto per l utilizzo elle sofisticate apparecchiature necessarie, che non sono in otazione ella nostra scuola. oe postazione per effettuare la isura abbiao scelto la banchina el porto i iposto, che si trova praticaente al livello el are e a ove è visibile il cratere ell Etna. Data la notevole istanza tra i punti i cui si vuole isurare il islivello, occorre tenere conto ella curvatura ella Terra e ella rifrazione atosferica. urvatura ella Terra Se la nostra postazione i isura si trova nel punto e il piee ella perpenicolare abbassata al cratere (alla stessa quota i ) viene inicato con B, i fatto la sfera locale viene sostituita con il piano tangente nel punto, il punto B iventa B e la quota el cratere risulta iinuita ella quantità x : il valore i x si può ricavare coe segue: Fig. ( r x ) x () ove si è trascurato il terine x perché olto piccolo. ifrazione tosferica oe si sa la ensità ell aria iinuisce con l altezza, nell ipotesi che la variazione sia unifore e continua, puntano verso l alto (cratere ell Etna) avreo un ona elettroagnetica che si propaga

2 in un ezzo i inice i rifrazione n variabile con continuità e il suo percorso risulterà incurvato, con la concavità rivolta verso il basso. Infatti fra ue eleenti corrisponenti el fronte ona in ue posizioni successive ci eve essere lo stesso nuero i lunghezze ona λ. Dal oento che λ varia al variare i n coe /n, i ue fronti quano si propagano in un ezzo oogeneo non possono restare paralleli e in efinitiva l ona ha una traiettoria incurvata. Il percorso curvilineo a a B non ci consente i isurare l angolo zenitale z a, a quello apparente a, con un errore δa perché l asse i colliazione el gonioetro si ispone tangente alla traiettoria luinosa. L entità ell angolo δ a ipene alla istanza fra e B, alla latituine e al graiente verticale ell inice i rifrazione atosferica, il quale a sua volta ipene alla pressione, alla teperatura e alle loro variazioni con la quota. L errore angolare δ a, ovuto alla rifrazione atosferica, fa auentare la quota i B ella quantità x. Per il calcolo i δ a usiao l espressione i Gauss: Fig. δ a ω () ove ω è l angolo al centro ella sfera locale e è il coefficiente i rifrazione atosferica. Esprieno ω in raianti, approssiativaente si ha: ω (3) a cui:

3 δ a (4) Per eterinare l errore lineare x si consiera il triangolo BB (che si può ritenere un settore circolare i raggio B ), quini: x δ a (5) Il coefficiente viene ato a apposite tabelle. In una stessa località varia nell abito i una giornata, raggiungeno il inio nelle prie ore poeriiane, nelle quali per latituini prossie a quelle i atania si può assuere 0,. Il terine, che tiene conto ell influenza ella curvatura terrestre e ella rifrazione atosferica, è praticaente trascurabile fino a 500 etri i istanza. Nella isurazione effettiva si presentano ue problei istinti, uno altietrico e uno planietrico che verranno affrontati conteporaneaente. - Problea ltietrico Si tratta i eterinare il islivello tra ue punti. Utilizzereo il etoo che in Topografia è noto con Livellazione trigonoetrica a un estreo con angolo zenitale apparente, la cui forula seplificata, rispetto a ue punti e B, a quota rispettivaente e B e le cui proiezioni sulla sfera locale i raggio siano o e B o, è: B (6) ove: arco i circonferenza o B o ( B )/ angolo zenitale apparente (più piccolo i z, angolo zenitale vero) raggio ella Terra coefficiente i rifrazione atosferica. Nel nostro caso, teneno conto che il centro ello struento i isura (teoolite) è più alto el relativo punto a terra i una quantità h s, che rappresenta l altezza struentale, si ha:

4 h b h s (h b altezza ella banchina el porto) B (quota el cratere ) Le verticali che passano per e sono sostituite ai raggi O e O ella sfera locale, la quale viene a sostituire l ellissoie i riferiento esseno piccola la istanza o o rispetto al raggio. uini, la (6) iventa: hb hs (7) Nella forula (7) il terine è incognito, perché si conosce solo la quota el punto, sebrerebbe quini che non si possa applicare per il calcolo i. In pratica, poiché il terine / è olto piccolo (per 500, risulta, a esepio, / 0,00035), si può in un prio tepo trascurarlo, calcolare in oo approssiato (a più che sufficiente per eterinare ) e quini applicare la forula () per ricavare la quota i con aggiore precisione. llora l unica vera incognita è la istanza tra i punti o o H, che sarà eterinata risolveno il problea planietrico. - Problea Planietrico Scegliao il punto all estreità el porto e fissiao un altro punto P sepre sulla stessa banchina el porto, quanto più istante possibile a (all inizio el porto) per riurre gli errori. Sia H il piee ella verticale per il cratere sul piano orizzontale. Il problea consiste nel isurare: La istanza P L angolo HP α (colliano a pria e poi P) L angolo HP β (colliano a P pria e poi ) Infatti noti questi valori si può facilente calcolare: PH 00 c HP- HP γ sen β H P e applicano il teorea ei seni al triangolo HP si eterina: sen γ (8)

5 γ H β LUNGO ME DI IPOSTO P ME α ME POTO Ovviaente, ata la oesta istanza i P (< 500 ), in questa fase si trascura la curvatura terrestre, entre la rifrazione atosferica non influisce sulla isura i α e i β. 3 isultati ottenuti In riferiento alla fig. 3 e alla forula (), irettaente con il teoolite, abbiao isurato: P 663,58 α 0,089 c β 96,67 c ϕ 89,038 c on un righello etallico abbiao isurato la quota el punto, otteneno: h B,0 h s,58 quini calcoliao: γ 00-0,089 96,67,4 c,0,58 3,68 Valori elle costanti aoperate: 0, alcolo ella istanza con la forula (8):

6 sen sen P H , 0,0357 0,9986, γ β Per eterinare, si calcola anzitutto la quota approssiata el cratere, inicata con, trascurano il terine / che è olto piccolo, quini. Si ottiene: 653, ,55 ' ' questo punto si può applicare la forula copleta (7) e si ha: , 4 Precisione ella isura Per il calcolo ell errore consieriao che le costanti e siano conosciuti con estrea precisione e quini trascuriao gli errori erivanti alla loro isura. Trascuriao anche il terine / perché olto piccolo e consieriao la forula: La quota è quini funzione ella quota, ella istanza e ell angolo zenitale ϕ, quantità che sono affette agli errori i isura. pplicano la forula ell errore eio, si ha: ( ) ( ) ( ) ( ) esseno: sen si ottiene: ( ) ( ) ( ) Il teoolite può coettere al assio i seguenti errori: e ± 0,0% (errore percentuale nella isura elle istanze) ϕ ± 0,00005 c (errore assoluto nella isura egli angoli).

7 Noi assuiao c. uini si ha: ±57, 3 c oncluiao che la quota el cratere i Nor-Est ell Etna risulta: (3305,09 ± 0,57).