Nel caso di molte misure e statistica gaussiana

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1 Dicrepanza Nella tragrande maggioranza dei cai le concluioni perimentali implicano il confronto tra due o più valori. Queti valori poono eere delle miure (e quindi con un incertezza), delle time teoriche (con o enza incertezza) o grandezze note. Nell ipotei che i dati perimentali i ditribuicono u una gauiana è poibile fare un confronto quantitativo. Data una miura perimentale bet ± con deviazione dalla media pari a m ed una tima teorica teo della medeima quantità, definiamo: D bet teo t bet m teo per una gauiana i ua z La quantità D è detta dicrepanza, mentre la quantità t indica quanto è ditante bet da teo in unità di deviazione tandard (lo abbiamo già incontrato (i chiama z) quando abbiamo parlato della gauiana, e della t di tudent ). Ricordatevi che abbiamo definito un z gau e t tud identici per N ma molto differenti e relativi a poche miure.

2 Nel cao di molte miure e tatitica gauiana Se z = 0.3 ignifica che bet dita da teo di 0.3 deviazioni tandard della media. Quindi: - eite il 75% di probabilità che teo ia il valore medio della ditribuzione tatitica miurata - eite il 75% di probabilità che la differenza tra teo e bet ia di origine tatitica. Da queto i conclude che la miura perimentale è compatibile con il valore atteo! Se z = 3.5 ignifica che bet dita da teo di 3.5 deviazioni tandard della media. Quindi: - eite il 0.05 % di probabilità che teo ia il valore medio della ditribuzione tatitica miurata - eite il 0.05 % di probabilità che che la differenza tra teo e bet ia di origine tatitica In altre parole: Da queto i conclude che la miura NON è compatibile con il valore atteo! Lo trumento non funziona correttamente (poco probabile) La mia procedura di miura non è corretta Eitono degli effetti fiici che diturbano la miura Eite un errore itematico Ho fatto una coperta!

3 Nota: Quale è il ignificato tatitico di z? - Ho ottenuto una miura bet con deviazione tandard deviazione tandard dalla media m - Devo verificare e bet o teo ono tatiticamente uguali - Queto equivale a verificare con che probabilità D = bet - teo ia zero - Poiché bet è una miura allora con la propagazione degli errori poo ricavare l errore u D D bet teo etendo la relazione alla D deviazione dalla media (ho una ola variabile) Dm m - Allora t non è altro che la ditanza di D da zero in unità di igma dalla media D t Dm bet m teo

4 Coa uccede e devo confrontare due miure perimentali o due oervabili, ciacuna con una incertezza? Data una miura perimentale bet1 ± 1 con deviazione dalla media pari a m1 effettuata dallo tudente A ed una miura una miura perimentale bet ± con deviazione dalla media pari a m effettuata dallo tudente B D t bet1 bet1 m1 bet bet m Il reto è eattamente lo teo Notate che i può dimotrare la formula opra con la propagazione degli errori

5 Il limite entro il quale tabilire la compatibilità è tabilito a priori e varia tra i diveri ambiti perimentali. Nel cao di queto coro di laboratorio lo tabiliremo entro oppure m. Se è tra due o tre igma allora l eperimento non è concluivo. Quindi: un dato perimentale è compatibile con una tima teorica/attea e z < una miura perimentale con e m è compatibile con un altra miura (con e m ) o con un valore noto e z < In pratica la probabilità che la differenza ia di origine tatitica deve eere uperiore al 5% Abbiamo già vito in una gauiana (non neceariamente per le altre ditribuzioni tatitiche) l intervallo bet ± corriponde al 68 % dei dati In altre parole, nel cao di una ditribuzione gauiana, le ingole miure cadranno nell intervallo <> ± con livello di confidenza pari al 68% Analogamente per (95%) o 3 (99.7%) o X Per ditribuzioni non gauiane, i dice [ o -, o + ] al 95% C.L. Queto ignifica che il 95% delle miure cadono nell intervallo [ o - o +]

6 Quindi: Quando devo confrontare due miure o una previione teorica ed una miura devo: 1) Accertarmi e uare la gauiana o l approccio della t di tudent. In quet ultimo cao a partire dalla t tud etraggo la t gau equivalente. ) Sapere quali ono gli intervalli di confidenza (in altre parole la finetra entro quale intervallo ho il 68%, 95%, 99.7% degli eventi). 3) Decidere una oglia di probabilità oltre la quale ritengo la probabilità irragionevolmente piccola. Cioè decidere ad eempio che "e l'evento è fuori da un intervallo di confidenza del 95% allora è improbabile. 4) Calcolare la dicrepanza, t, P(t), (1-P(t)) - Lo o fare con la gauiana - Non lo o fare con altre ditribuzioni (ho biogno di conocere il C.L) Eempio (vedi il file precedente o lucido ucceivo)

7 Coa biogna fare quando ho poche miure, una tatitica gauiana e voglio uare le regole per la compatibilita di z: Eempio: ho 4 Miure che mi hanno dato un valore medio di 5.3 ed una deviazione tandard della media Voglio verificare la compatibilità di queto riultato con un valore atteo di 4.9. La funzione ERF della gauiana ( z ), poiché cotruita con la deviazione tandard del campione non produce le corrette probabilità Etraggo l oervabile t uando la deviazione tandard miurata t tud = ( )/0.17 =.35 Utilizzando la tabella della t di Student trovo la probabilità aociata alla t ottenuta P(eterna,t tud =.35) = = 0.1 Ricavo la probabilità equivalente a 0.1 = 10% con la funzione ERF gauiana P(gauiana-eterna)= 10% -> t gau = 1.65 Eeguo tutti i ragionamenti di compatibilità come e la t ricavata dai miei dati perimentali foe 1.65 Poiché t gau < allora il dato perimentale è compatibile con il valore atteo Ho il 10% di probabilità che la differenza tra la mia miura e il valore atteo ia di origine tatitica e quindi lo accetto Se non avei uato la ditribuzione di Student avrei concluo che la compatibilità tra il dato perimentale e quello atteo

8 Media Dadi media dadi Media Dadi Accelerazione di Gravità (m/) ESEMPIO : Tiro due dadi uguali in forma Voglio apere e tatiticamente i due dadi ono uguali? Miura perimentale Miura perimentale arb. unit dicrepanza errore t 1 m1 m biogna uare la deviazione dalla 0 < t < 1 Le due miure ono certamente conitenti i dadi ono uguali 1 < t < Ho tra il 5-30% di probabilità che le due miure iano conitenti Le due miure ono conitenti - i dadi ono uguali < t < 3 Ho tra lo 0.3-5% di probabilità che le due miure iano conitenti Le due miure con molta probabilità non ono conitenti - i dadi con molta probabilità NON ono uguali - arebbe opportuno fare ulteriori miure t > 3 Ho meno del 0.3 % di probabilità che le due miure iano conitenti Le due miure non ono conitenti - i dadi NON ono uguali Dado 1 Dado Dado 1 Dado arb. unit media

9 media dadi media dadi ESEMPIO : Tiro un dado Voglio apere e il dato è truccato Valore Atteo Miura perimentale Valore Atteo Miura perimentale arb. unit arb. unit 3 4 t teo m1 1 biogna uare la deviazione dalla media 0 < t < 1 La teoria ed i dati ono conitenti 1 < t < Ho tra il 5-30% di probabilità che la teoria ed i dati iano conitenti < t < 3 Ho tra lo 0.3-5% di probabilità che la teoria ed i dati iano conitenti t > 3 Ho meno del 0.3 % di probabilità che la teoria ed i dati iano conitenti

10 Significatività Statitica Supponiamo di avere una miura ingola 0 e una ditribuzione (per emplicità di tipo gauiana con valor medio <> e deviazione tandard ). Ci chiediamo e la differenza tra 0 e <> ia di origine tatitica o reale Calcoliamo quindi la t gau (uando o meno la t tud ) Significatività Se 1-P(t) < 5 % (oppure Z = t gau > 1.96) - i dice che ho evidenza ignificativa che 0 NON appartenga alla ditribuzione tatitica che ha generato <> e. Ovvero la dicrepanza è ignificativa. Se 1-P(t) < 1 % (oppure t gau >.3) - i dice che ho evidenza altamente ignificativa che 0 NON appartenga alla ditribuzione tatitica che ha generato <> e. Ovvero la dicrepanza è altamente ignificativa.

11 HP : Ditribuzione gauiana e miure ripetibili ed indipendenti Coa ignifica cartare i dati la cui differenza dal valor medio ia ignificativa? - Significa cartare i dati per i quali t gau > Significa che ono icuro di eliminare circa il 5% di dati buoni - Significa che avrò il 5% di probabilità di cartare un evento che in realtà è buono Eempio: Ho delle catole con 1000 componenti elettrici che devono avere un valore di reitenza pari a 10 ± 1 Ohm. Poiché non poo miurare la reitenza di tutti i componenti elettrici della catola ne piglio 0 e ne miuro la reitenza. Se il valor medio della reitenza è compreo tra 8.04 ed Ohm (nota 1.96 = 1.96*1, quindi =8.04 e =11.96) allora la catola viene avviata alla vendita. In cao contrario i butta via. In queto cao, poichè il mio limite è 1.96 igma, ono icuro di buttare via il 5% di catole buone (con reitenza 10 ± 1 Ohm) inieme a quelle con reitenza divera da 10 ± 1 Ohm

12 HP : Ditribuzione gauiana e miure ripetibili ed indipendenti Coa ignifica cartare i dati la cui differenza dal valor medio ia altamente ignificativa? - Significa cartare i dati per i quali t gau >.56 - Significa che ono icuro di eliminare l 1% di dati buoni - Significa che avrò l 1% di probabilità di cartare un evento che in realtà è buono Eempio: Ho delle catole con 1000 componenti elettrici che devono avere un valore di reitenza pari a 10 ± 1 Ohm. Poichè non poo miurare la reitenza di tutti i componenti elettrici della catola ne piglio 0 e ne miuro la reitenza. Se il valor medio della reitenza è compreo tra 7.44 ed 1.56 Ohm allora la catola viene avviata alla vendita. In cao contrario i butta via. In queto cao, poichè il mio limite è.56 igma, ono icuro di buttare via olo l 1% di catole buone inieme a quelle con materiale difettoo Notate che in queto cao butto via meno catole (olo l 1%) ma è più facile avviare alla vendita catole con materiale difettoo

13 Media Peata Può capitare che una grandezza ia tata miurata più volte da perone o con tecniche differenti Ciacuna di quete miure a ua volta è il riultato di molte miure e quindi è nella forma Il calcolo del emplice valor medio potrebbe non eere conveniente e le incertezze non ono uguali o molto imili. E in generale più corretto uare la media peata definita come Attenzione: controllare che le miure iano conitenti, tra loro in pratica la z tra le divere miure non deve eere aociata ad una probabilità ecceivamente baa Nota: Queta relazione vale per la deviazione tandard e per quella della media / 1 i i bet i i i i i i i bet w w w w

14 Nota: Media Peata E inutile fare una media peata quando le deviazioni tandard o deviazioni tandard della media ono otanzialmente uguali per tutte le miure. Fate la media delle miure e etraete la deviazione tandard e/o della media dalle miure tee (confrontando il riultato con l errore minimo). Sebbene ia corretto tenere conto dell errore trumentale aociato ad ogni miura, privilegiate empre il dato perimentale. Solo alla fine confrontatelo con l errore minimo etratto ulla bae delle incertezza trumentali: Poiché l errore minimo ul periodo non può eere di molto inferiore all errore trumentale devo confrontare (alla fine dei conti) l errore minimo con quello ricavato per il periodo medio eempio: Ottenuto dai olo dati perimental e, non dall errore trumentale) Come vedete il valore medio calcolato con i due metodi è uguale. Poono cambiare le deviazioni tandard Ottenuto facendo la media peata con la igma trumentale

15 Eercizio: Si upponga di voler verificare che due forniture di reitenze di valore nominale dichiarato (per eempio ia = 470 ) ia affidabile. Si upponga che ogni fornitura ia normalmente ditribuita con deviazione tandard = 0 ma con valor medio differente. Per una tima rapida del valor medio i miuri un campione di N = 5 reitenze da ogni fornitura. Si e trovato: 1 campione 1 = 480 campione = 475 Quale è la probabilità che la differenza tra il valore medio oervato e quello atteo ia olamente di origine tatitica? b) Quale valore di, a livello di confidenza del 95 %, rappreenta una tima del valore vero? c) Quale valore di, a livello di confidenza del 98 %, rappreenta una tima del valore vero? d) Quale deve eere il valore di N per eere icuri, a livello di confidenza del 98%, che la tima non differica da per più di 5? Soluzione: Sappiamo il valore medio vero Sappiamo la deviazione tandard vera E fatto 1 ciclo di 5 miure da una popolazione per due catole di reitenze e i ottengono due valori medi

16 1.13% ) ( % ) ( eterna P t eterna P t N m m m % (interna) % (interna) t P t P /.3 98% (interna) N N N N igma N N t P m

17 Periodo [] T m d m -tot d/ m -tot -tot d/-tot

18 La econda miura riulta incompatibile con le altre in quanto valutando la dicrepanza d= T -T i della tea da ogni altra e il corripondente errore md = ((m ) + (m i ) ) 1/ riulta (per ogni i=1,3,4,5) d/m d > 1.96 La econda miura è incompatibile con le altre in quanto anche coniderando la miura con la più alta deviazione tandard. La miura non riulta eere compatibile con un C.L. del 95% Se queta è la oglia tatitica allora la miura non rappreenta la tea oervabile fiica delle miure 1,3,4,5. Quindi, una volta evidenziata la NON compatibilità con ogni altra miura non va inerita nella media peata

19 Eercizio Facendo 30 volte una miura ho ottenuto la tabella motrata. In quale intervallo ho un livello di confidenza del 80% di trovare la proima miura (non è contata una ditribuzione gauiana). Ovviamente vito che non to parlando di deviazione dalla media ne di una ditribuzione gauiana non poo uare le proprietà della t gau Metto in ordine crecente le miure fatte e verifico in che intervallo intorno al valore medio raccolgo il 90% delle miure

20 Soluzione [ ]

21 E tutto Chiaro? Dovrete aver chiari i eguenti argomenti: Dicrepanza Livello di confidenza Compatibilità