Cammini Minimi. Cammino in un grafo. Connettività in grafi non orientati. Connettività in grafi orientati

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1 Cammini Minimi Algoritmo di Dijktra Cammino in un grafo Dato un grafo G=(V,E), un Cammino (Percoro) in G è un inieme di vertici v 1, v 2,.., v k tali che (v i, v i+1 ) E v 1 v 2 v v k In un grafo orientato i farà riferimento a cammini diretti Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 2 Connettività in grafi non orientati Due vertici u,v ono connei in un grafo non orientato e eite un cammino che collega u e v Un grafo è conneo e per ogni coppia di vertici u e v, u e v ono connei Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati Connettività in grafi orientati Due vertici u e v ono connei in un grafo orientato e eite un cammino diretto che collega u a v Un grafo diretto è fortemente conneo e per ogni coppia (u,v), eite un cammino da u a v e da v ad u Un grafo è debolmente conneo e per ogni coppia (u,v), eite un cammino da u a v (o vicevera) Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati Coto di un cammino ia G = (V,E) un grafo orientato ai cui archi è aociato un coto W(u,v). Il coto di un cammino p = (v 0,v 1,...,v k ) è la omma dei coti degli archi che lo cotituicono W( p) k = W i = ( v v 1 i 1, i ) Coto di un cammino minimo Il coto minimo del cammino da un vertice u ad un vertice v è definito nel eguente modo: min {W(p)} e eitono cammini p da u a v δ(u,v) = altrimenti Un cammino minimo da u a v è un cammino p da u a v di coto W(p) = δ(u,v) Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 1

2 Varie verioni del problema 1 Nel problema dei cammini minimi viene richieto di calcolare i cammini minimi in un grafo orientato Vi ono quattro verioni del problema: Cammini minimi da un'unica orgente a tutti gli altri vertici (ingle ource hortet Path) Cammini minimi da ogni vertice ad un'unica detinazione (ingle Detination hortet Path) Varie verioni del problema 2 Cammini minimi da un'unica orgente ad un unica detinazione (ingle-pair hortet Path) Cammini minimi da ogni vertice ad ogni altro vertice (All Pair hortet Path) Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 7 Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 8 Rioluzione dei vari problemi Noi riolveremo la prima itanza La econda itanza i riolve immetricamente La terza i può riolvere uando la oluzione della prima Non i conoce ancora un algoritmo che riolva la terza itanza in tempo aintoticamente migliore della prima La quarta itanza i può riolvere uando la oluzione della prima per ogni vertice del grafo In genere i può fare di meglio Eempio di applicazione i upponga di voler determinare il percoro più breve (in termini di chilometri) che collega due luoghi A e B e i modella la carta tradale u cui compaiono A e B come un grafo in cui: I vertici ono gli incroci Gli archi ono i tratti di trada tra incroci ucceivi I pei degli archi ono le ditanze in chilometri di ciacun arco Il problema i riconduce a quello dell'identificazione del cammino minimo dal vertice corripondente ad A al vertice corripondente a B Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 9 Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 10 Eempio di cammino minimo Note 1 12 v 1 v t Nel cao di grafi non peati, l'identificazione dell'albero dei cammini minimi può eere eeguita tramite la procedura di viita in ampiezza 1 v 9 v cammino minimo 1 Non vogliamo calcolare olo il coto dei cammini minimi, ma anche i cammini minimi tei Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 11 Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 12 2

3 Archi di coto negativo Nel grafo orientato ci potrebbero eere anche archi di coto negativo Queti archi potrebbero creare dei problemi nell individuazione dei cammini minimi Vi potrebbero eere dei cicli di coto negativo raggiungibili da e un vertice u è raggiungibile da tramite un cammino p che paa per un vertice appartenente ad un ciclo di coto negativo, allora eiteranno cammini da a u di coto empre minore coto minimo di cammino δ(,u) non è definito Eempio a 2 7 b c -10 Nel cao di cicli negativi i pone δ(,u)= u Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 1 Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 1 Archi di coto poitivo upporremo che il grafo orientato avrà olo archi di coto poitivo In queto cao il cammino di lunghezza minima non contiene cicli Dimotrazione? Teorema: ottotruttura ottimale e p è un cammino minimo da u a v, allora ogni otto-cammino di p è anche un cammino minimo In altre parole: e il cammino p = (v 0,v 1,...,v k ) è minimo allora ono minimi anche tutti i ottocammini p ij = (v i,...,v j ). Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 1 Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 1 Dimotrazione e eitee un cammino q da v i a v j di coto minore di p ij allora otituendo nel cammino p il ottocammino p ij con il cammino q i otterrebbe un cammino da v 0 a v k di coto minore di p Impoibile e p è minimo v 0 v i X v j v k q Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 17 compoizione dei coti di un cammino minimo e p è un cammino minimo da ad un vertice v ed u è il vertice che precede v nel cammino allora δ(,v) = δ(,u) + W(u,v) Dimotrazione: Dipende dalla ottotruttura ottima: δ(,v) = W(p) = δ(,u) + W(u,v) p' v u Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 18

4 Limite uperiore per i coti di cammino minimo Per ogni arco (u,v) vale la diuguaglianza: δ(,v) δ(,u) + W(u,v) Dimotrazione e u non è raggiungibile da allora δ(,u) = e δ(,v) + W(u,v) banalmente e u è raggiungibile da allora δ(,u) + W(u,v) è il coto di un cammino da a v ed è quindi maggiore o uguale di δ(,v) Rappreentazione dei cammini minimi 1 In genere ci interea calcolare non olo i coti dei cammini minimi dalla orgente ad ogni vertice del grafo ma anche i cammini minimi tei Dato un vertice u con π[u] indichiamo il predeceore di u nel cammino da a u Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 19 Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 20 Rappreentazione dei cammini minimi 2 G=(V,E) V = orgente Definiamo G π =(V π,e π ) il ottografo predeceore di G con V π ={v V: π[v] NIL} {} E π ={(π[v],v) E : v V π -{}} ottografo predeceore Un ottografo predeceore G π è uno hortetpath tree per G e V π è cotituito da tutti i vertici di G raggiungibili da G π forma un albero con radice il cammino emplice da a v in G π coincide con il cammino minimo da a v in G Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 21 Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 22 Tecnica del rilaamento Idea dell algoritmo 1 L algoritmo che tudieremo per riolvere il problema dei cammini minimi ua la tecnica del rilaamento Dettagli a breve Ad ogni vertice v del grafo aociamo un campo d[v] che rappreenta una tima di δ(,v) Durante l eecuzione dell algoritmo è un limite uperiore per δ(,v) [d[v] δ(,v)]; mentre alla fine arà uguale a δ(,v) I valori d[v] e π[v] vengono aggiornati mediante la coiddetta tecnica del rilaamento degli archi quando viene rilaato l arco (u,v) i verifica e è poibile ottenere un cammino più breve di quello di coto d[v] attraverando l arco (u,v) Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 2 Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 2

5 Rilaamento di un arco Il rilaamento ripetto ad un arco (u,v) conite nel controllare e è poibile migliorare il cammino finora trovato per v aggiungendo al cammino trovato per u l arco (u,v). Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 2 Idea dell algoritmo 2 Rilaamento di un arco RELAX(u, v, w) if d[u] + w(u, v) < d[v] then d[v] d[u] + w(u, v) π[v] u //predeceore di u ul cammino di coto d[v] Inizializzazione INITIALIZE-INGLE-OURCE(G, ) for each vertex v V[G] d[v] π[v] nil d[] 0 Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 2 Effetto del rilaamento Dopo aver eeguito RELAX(u, v, w) vale la diuguaglianza d[v] d[u] + W(u,v) e d[v] > d[u] + W(u,v) prima del rilaamento, allora viene poto d[v] = d[u] + W(u,v) e d[v] d[u] + W(u,v) prima del rilaamento, allora non viene fatto nulla Idea dell algoritmo i eegue INITIALIZE-INGLE-OURCE(G, ) Ogni arco (u,v) viene rilaato eeguendo RELAX(u, v, w) L algoritmo termina quando i valori di d coincidono con i pei dei cammini minimi i noti che e ad un certo punto d[u]=δ(,u), allora neuna ucceiva invocazione di RELAX può modificare d[u] Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 27 Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 28 Come cegliamo gli archi? Nota L ordine in cui gli archi vengono rilaati dipende dal tipo di algoritmo Alcuni algoritmi rilaano ciacun arco più volte i può provare che qualiai algoritmo che eegua l inizializzazione ed una equenza di rilaamenti per cui alla fine d[v] = δ(,v) per ogni vertice v calcola correttamente i cammini minimi Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 29 Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 0

6 Algoritmi per P Vi ono due algoritmi claici di queto tipo, uno dovuto a Dijktra ed uno dovuto a Bellman-Ford L algoritmo di Dijktra richiede che i pei degli archi non iano negativi mentre quello di Bellman-Ford funziona anche nel cao generale Algoritmo di Dijktra 1 Input: grafo direzionato G=(V,E) con archi di peo maggiore o uguale a 0 un vertice che rappreenta la orgente L algoritmo mantiene Per ogni u V, i valori d[u] e π[u] : inieme di vertici per cui è tato già determinato un cammino minimo Per ogni u i ha d[u]=δ(,u) Q: coda a priorità che contiene i vertici che non ono in Per ogni u Q, la chiave che determina la priorità di u è d[u] Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 1 Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 2 Algoritmo di Dijktra 2 I vertici adiacenti a quelli in formano una frontiera tra i vertici per cui i conoce un cammino minimo e tutti gli altri vertici Ogni volta viene inerito in il vertice della frontiera che ha il valore di d più piccolo (celta greedy) e vengono rilaati tutti gli archi ucenti da eo Ogni arco è rilaato eattamente una volta Output: π: ottografo predeceore, d: pei dei cammini minimi da a tutti gli altri vertici Algoritmo di Dijktra Per ogni vertice u di è già noto il cammino minimo da ad u frontiera Reto del grafo Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati Peudocodice dell algoritmo di Dijktra DIJKTRA(G,w,) 1 INITIALIZE-INGLE-OURCE(G, ) 2 Q V[G] while Q do u Extract-Min(Q) {u} 7 for each v Adj[u] 8 do RELAX(u,v,w) Pao dell algoritmo di Dijktra I valori nei vertici indicano i valori di d 0 min(+, ) = Per ogni nodo u della frontiera, d[u] contiene la lunghezza di un percoro paante olo per vertici in min(+8, ) = 12 Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati

7 Pao dell algoritmo di Dijktra I valori nei vertici indicano i valori di d Pao dell algoritmo di Dijktra I valori nei vertici indicano i valori di d min(9, +1) = min(12, +) = 9 Per ogni nodo u della frontiera, d[u] contiene la lunghezza di un percoro paante olo per vertici in Per ogni nodo u della frontiera, d[u] contiene la lunghezza di un percoro paante olo per vertici in Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 7 Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 8 Pao dell algoritmo di Dijktra I valori nei vertici indicano i valori di d 8 1 Per ogni nodo u della frontiera, d[u] contiene la lunghezza di un percoro paante olo per vertici in 7 9 Correttezza dell algoritmo ia u il vertice della frontiera con il più piccolo valore di d. Un qualiai cammino minimo da ad u attravera olo vertici in u Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 9 Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 0 Correttezza dell algoritmo di Dijktra 1 ia u il vertice della frontiera con il più piccolo valore di d. Qualiai cammino da ad u che attravera qualche vertice in V- ha lunghezza maggiore di d[u] in quanto deve paare attravero qualche altro vertice x della frontiera con d[x] d[u] per poi raggiungere u Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 1 u x Correttezza dell algoritmo di Dijktra 2 ia p' u v un percoro minimo da a v. e prima della chiamata a RELAX(u,v,w) i ha d[u]= δ(,u), allora dopo la chiamata i ha d[v]= δ(,v). Dimotrazione d[v] d[u]+w(u,v) Per effetto di RELAX(u,v,w) = δ(,u)+w(u,v) = δ(,v) Per la ottotruttura ottimale Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 2 7

8 Correttezza dell algoritmo di Dijktra Teorema: Quando u viene inerito in i ha d[u] = δ(,u). Idea della dimotrazione: Da quanto illutrato nelle due lide precedenti egue che eite un cammino minimo tra ed u che attravera olo vertici di : z u iccome d[z] = δ(,z), allora il riultato della lide precedente implica che dopo RELAX(z,u,w) (eeguita quando z viene aggiunto ad ) riulta d[u] = δ(,u) (e π[u] = z). Compleità dell algoritmo di Dijktra Il tempo di eecuzione dipende da come è implementata la coda a priorità Q Per l analii conidereremo tre divere implementazioni di Q Mediante un array Mediante binary heap Mediante Fibonacci Heap INITIALIZE-INGLE-OURCE(G, ) richiede tempo O(V) Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati Q implementata con array Inizializzazione di Q Tempo O(V) per inerire i vertici nell array Analii del ciclo di while V operazioni Extract-Min (linea ) Ciacuna richiede tempo O(V) in quanto occorre cercare il minimo V aggiornamenti di Ciacuna richiede tempo cotante Un totale di O(E) iterazioni del ciclo di for (linee -8) in quanto la lita di adiacenza di ciacun vertice u viene candita eattamente una volta (quando u è inerito in ) RELAX(u,v,w) ulla linea 8 richiede tempo cotante Tempo totale: O(V 2 + E )=O(V 2 ) Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati Q implementata con binary heap Inizializzazione di Q effettuata mediante una Build-Heap che cotruice un heap con V elementi in tempo O(V) Analii del ciclo di while V operazioni Extract-Min - Ciacuna richiede tempo O(log V) V aggiornamenti di - Ciacuna richiede tempo cotante Un totale di O(E) iterazioni del ciclo di for (linee -8) in quanto la lita di adiacenza di ciacun vertice u viene candita eattamente una volta (quando u è inerito in ) RELAX(u,v,w) ulla linea 8 : L aggiornamento di d[v] è effettuata eeguendo DECREAE- KEY(Q,v,d[u]+w(u,v)) che richiede tempo O(log V) L aggiornamento di π[v] richiede tempo cotante Tempo totale: O(Vlog V + E log V) Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati Q implementata con Fibonacci heap Inizializzazione di Q effettuata mediante V Make-Heap e V-1 Union in tempo O(V) Analii del ciclo di while V operazioni Extract-Min - Ciacuna richiede tempo O(log V) V aggiornamenti di - Ciacuna richiede tempo cotante Un totale di O(E) iterazioni del ciclo di for (linee -8) in quanto la lita di adiacenza di ciacun vertice u viene candita eattamente una volta (quando u è inerito in ) RELAX(u,v,w) ulla linea 8 : L aggiornamento di d[v] è effettuata eeguendo DECREAE- KEY(Q,v,d[u]+w(u,v)) che richiede tempo ammortizzato O(1) L aggiornamento di π[v] richiede tempo cotante Tempo totale: O(Vlog V + E) Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e trutture Dati 7 8